Multi-GNSS Satellites Clock Estimation and Analysis

基于无电离层组合伪距和相位的观测方程为：

式中，r为测站号；s为卫星号；P_r^s和L_r^s为无电离层组合伪距和相位观测值；ρ₀^s为站-星间几何距离；c为光速；dt_r为接收机钟差；dt^s为卫星钟差；T_r为传播路径上对流层延迟误差；N^s为无电离层组合整周模糊度；λ为无电离层组合波长；B_r、b_r分别为接收机端无电离层组合伪距和相位的硬件延迟；B^s、b^s分别为卫星端无电离层组合伪距和相位的硬件延迟；e_s、ε_s分别为伪距和相位的测量噪声，多路径误差通常归入到测量噪声内。

参数估计时，接收机伪距硬件延迟B_r被接收机钟差dt_r吸收，卫星伪距硬件延迟B^s被卫星钟差dt^s吸收，固定测站坐标，式(1)线性化为：

式中，δt_r=dt_r+B_r；δt^s=dt^s+B^s；$ {{\tilde N}^s}$=N^s+c(b_r-b^s-B_r+B^s)/λ；OMC_Pr^s=P_r^s-ρ₀^s；OMC_Lr^s=L_r^s-ρ₀^s；m_r^s和dT_r分别为对流层湿延迟投影函数和残余误差；v_Pr^s和v_Lr^s分别为伪距和相位观测值残差。

由式(2)可得历元间差分的相位观测值为：

式中，sys=G、R、E、B，文中G代表GPS，R代表GLONASS，E代表Galileo，B代表BDS；Δδt_{r, sys}为系统sys相邻历元间接收机钟差改正数之差；Δδt^s为相邻历元间卫星钟差改正数之差；在规定的弧段内，对流层湿延迟的投影函数m_r^s发生变化，对投影函数进行历元间做差分得Δm_r^s；天顶对流层湿延迟残余误差参数dT_r作为分段线性常数估计；ΔOMC_Lr^s为相位观测值与计算值之差OMC_Lr^s的历元间差，Δv_Lr^s为相邻历元间相位观测值残差之差。

多系统卫星钟差估计时，同一测站不同系统接收机端伪距硬件延迟不同，不同系统接收机钟差存在差异^[8]。此时可以估计一个接收机钟差和多个系统时间差，或者同时估计若干个接收机钟差^[9]。本文同时估计了4个系统的接收机钟差参数。则多模融合卫星钟差估计误差为：

式中，i=1, …, n_G；j=1, …, n_R；k=1, …, n_E；l=1, …, n_B；n_sys为测站r接收到系统sys卫星个数；δt_{r, G}、δt_{r, R}、Δδt_{r, E}、Δδt_{r, B}分别为测站相邻历元间的GPS、GLONASS、Galileo和BDS接收机钟差改正数之差；Δδtⁱ、Δδt^j、Δδt^k、Δδt^l分别为第i颗GPS卫星，第j颗GLONASS卫星，第k颗Galileo卫星，第l颗BDS卫星的相邻历元间卫星钟差改正数之差；Δm_rⁱ、Δm_r^j、Δm_r^k、Δm_r^l分别为第i颗GPS卫星，第j颗GLONASS卫星，第k颗Galileo卫星，第l颗BDS卫星对应的对流层湿延迟投影函数之差；ΔOMC_Lrⁱ、ΔOMC_Lr^j、ΔOMC_Lr^k、ΔOMC_Lr^l分别为第i颗GPS卫星，第j颗GLONASS卫星，第k颗Galileo卫星，第l颗BDS卫星的相位观测值与计算值之差的历元间差；Δv_Lrⁱ、Δv_Lr^j、Δv_Lr^k、Δv_Lr^l分别第i颗GPS卫星，第j颗GLONASS卫星，第k颗Galileo卫星，第l颗BDS卫星的相邻历元间相位观测值残差之差。

对式(4)采用均方根信息滤波方法进行参数估计。需要指出的是接收机钟差是相对量，对同一系统的所有跟踪站的接收机钟差采用重心基准$ \sum\limits_{r = 1}^{{m_{sys}}} {\Delta \delta {t_{r, {\rm{sys}}}}} = 0$进行约束，m_sys为跟踪站到系统sys卫星的测站个数。

由式(4)可以得到历元k时刻卫星s的历元间差分钟差改正数Δδt^s(k)，则历元k时刻卫星s的钟差改正数为：

式中，i₀为卫星s初始历元；δt^s(i₀)为初始历元i₀对应的卫星钟差改正数；Δδt^s(i)为历元i对应的卫星钟差改正数历元间差。

由式(2)可得历元k时刻的非差伪距观测值误差方程为：

由历元间差分相位观测值可以得到的非常精确的对流层延迟误差和历元间差分卫星钟差^[4-5]。将式(3)求得的dT_r和式(5)带入式(6)，可得：

式中

历元间差分方法同时对相位与伪距观测值进行了差分，由式(5)可以看出，求得的卫星钟差受到δt^s(i₀)的影响，当采用导航星历进行计算时，会导致数十纳秒的偏差^{[2, 4-5]}。

式(7)可看做利用精确求得的卫星钟变化来平滑伪距残差，因此δt^s(i₀)经过一段时间才会收敛，才能被用于卫星钟差的计算，经测试，收敛时间大概需要20分钟。

本文在文献[5]的基础上，利用式(7)，对同一系统同一测站观测到的卫星s、t进行星间做差，消除接收机钟差可得：

式中，δt^t(i₀)和δt^s(i₀)分别为卫星t和s在历元i₀对应的卫星钟差改正数；omc_Pr^st(k)=omc_Pr^t(k)-omc_Pr^s(k)；v_Pr^st(k)为卫星t和s在历元k对应的伪距观测值残差星间差。

式(8)与测站无关，采用最小二乘估计即可得到相应卫星的初始时刻钟差改正数δt^s(i₀)。需要指出的是卫星钟差是相对量，采用重心基准$\sum\limits_{s = 1}^n {\delta {t^s}} \left( {{i_0}} \right) = 0 $进行约束，n为历元i₀时刻观测到的同一系统卫星个数。

求出卫星s初始时刻i₀的卫星钟差改正数δt^s(i₀)后，历元k时刻卫星s的钟差可以表示为：

式中，t^s(k)₀为历元k时刻由导航星历得到的卫星钟差初值；t^s(k)为历元k时刻卫星s的钟差。

为了对本文算法的精度进行分析，采用2014年9月17日(年积日为260天)的全球分布的50个实测跟踪站数据，基于均方根信息滤波单历元解算多系统卫星钟差，测站分布如图 1所示。由于GNSS (Global Navigation Satellite System)观测值是测站与卫星间的相对时间延迟，所以本文所求的卫星钟差是相对于某基准钟的相对钟差。研究表明，基准钟的精度优于10^-6 s，相对钟差和绝对钟差对定位的影响是等价的^[2]。本文为了保证基准钟的钟差精度及实时估计卫星钟差的需要，以所有跟踪站同一系统的接收机钟差的重心基准作为基准钟，本文所求的同一系统的卫星钟差是相对于该基准钟的相对钟差。

Figure 1.  Distribution of GNSS Tracking Stations

本文对估计的多系统卫星钟差的精度评价采用与武汉大学多系统最终精密卫星钟差做二次差的方法。首先，选取同一系统内某一卫星作为参考星，参考星要尽量选择历元数最多的卫星，做差时GPS、GLONASS、Galileo和BDS选择的参考星依次为G09、R05、E11和C01。为了消除卫星钟差估计时基准钟选择的不同产生的影响，将本文估计的卫星钟差与武汉大学卫星钟差中的相应卫星与参考星的钟差做一次差。然后将计算结果与武汉大学的结果做二次差，这样做可以有效地反映出本文估计的卫星钟差与武汉大学最终精密卫星钟差之间的符合程度^{[2, 4-5]}。图 2~图 4分别为GPS、GLONASS、BDS和Galileo系统卫星钟差与武汉大学最终精密卫星钟差二次差的均方根(root mean square，RMS)。从中可以看出，采用本文算法求得的GPS，GLONASS，Galileo和BDS卫星钟差与武汉大学最终精密卫星钟差二次差的均方根都优于0.2 ns，其中GPS所有卫星钟差二次差均方根的平均值为0.145 ns，GLONASS所有卫星钟差二次差均方根的平均值为0.188 ns，BDS和Galileo卫星钟差二次差均方根的平均值为0.139 ns。

Figure 2.  Accuracy of GPS Satellites Clock Offsets

Figure 3.  Accuracy of GLONASS Satelllites Clock Offsets

Figure 4.  Accuracy of BDS and Galileo Satelllites Clock Offsets

为了验证算法的正确性，将估计的多模卫星钟差应用于PPP动态定位，并与武汉大学最终精密卫星钟差的定位结果比较。为了排除轨道因素的影响，不同卫星钟差定位解算时，卫星轨道都固定为武汉大学最终精密卫星轨道。选取了多模跟踪站九峰站进行定位试验，本文估计卫星钟差时未使用该站数据，采用GPS、GPS/GLONASS、GPS/BDS、GPS/GLONASS/BDS和GPS/GLONASS/BDS/Galileo 5种不同的动态定位模式，统计了东、北和高三个分量偏差的均方根，从第3小时开始进行精度统计以保证三个方向上偏差小于10 cm。

图 5和图 6分别为采用武汉大学最终精密钟差和本文估计的精密钟差的定位结果。从中可以看出，对于九峰站，本文估计的GPS卫星钟差的定位结果优于武汉大学卫星钟差的定位结果，这主要是因为实验所用的跟踪站在中国境内比较集中，估计的卫星钟差更适用于该区域内测站。无论是对于本文估计的卫星钟差还是武汉大学的卫星钟差，多系统融合定位精度都得到了极大提高，GPS/BDS、GPS/GLONASS/BDS融合定位平面精度优于1 cm，高程方向优于3 cm，由于Galileo卫星数较少，GPS/GLONASS/BDS/Galileo四系统融合定位相对于GPS/GLONASS/BDS融合定位没有明显提高。另外，除了GPS，基于本文估计的卫星钟差的其余四种定位模式的定位结果与基于武汉大学的卫星钟差的定位结果差距在1 cm左右，这一方面可能是由于历元间差分观测值测量噪声变大，估计的卫星钟差精度比基于非差模式的钟差略差，另一方面可能是由于武汉大学估计多系统卫星轨道和钟差时用到九峰站的数据，该站定位结果与武汉大学最终精密卫星钟差内符合性较好。

Figure 5.  Multi-GNSS PPP Results with Satellites Clock Offsets Generated by Wuhan University

Figure 6.  Multi-GNSS PPP Results with Satellites Clock Offsets Estimated in this Article

本文多模卫星钟差估计分为两步。首先，采用历元间差分相位观测值求解精确的卫星钟差变化和对流层湿延迟改正；然后，采用非差伪距观测值求解初始时刻卫星钟差改正数。本文不需要采用并行计算的方法，待初始时刻卫星钟差改正数收敛以后即可获得高精度的多模卫星钟差。由于相位观测值历元间差分消除了模糊度参数，而伪距观测值星间差分消除了接收机钟差参数，在保证了卫星钟差精度的基础上，提高了计算效率，该算法非常适合应用于多系统实时卫星钟差估计。

基于本文算法得到的多模精密卫星钟差与武汉大学最终精密卫星钟差互差优于0.2 ns。精密单点定位结果显示与利用武汉大学最终精密产品的定位结果精度相当，说明基于该算法得到的多模精密卫星钟差完全可以满足高精度导航定位用户的需要。