高精度GPS定位必须采用载波相位观测值进行数据处理，因此,获得高精度GPS定位结果的前提是整周模糊度的正确固定。在实时动态定位中，快速固定整周模糊度是扩展GPS实时应用、提高定位效率和可靠性的关键技术。对于载波相位定位，单个历元观测值组成的法方程是秩亏的，一般需要多个历元组合求解。由于卫星相对于接收机的几何结构变化缓慢，短时间内多个历元观测值组合获得的法方程病态性严重，其法方程矩阵的条件数一般在10⁶以上，导致模糊度参数的浮点解精度很低，无法正确固定模糊度^[1]。为得到可靠的模糊度浮点解，一般需要较长时间的观测直至站星几何结构发生显著变化，这制约了GPS在实时动态定位中的应用。针对短时间内法方程病态性严重这一问题，众多学者进行了研究，提出和改进了很多方法用于处理方程病态问题，如岭估计^[2]、正则化方法^[3-4]、截断奇异值法^[5]、谱修正迭代法^[6]和遗传算法^[7]等。这些研究对改善定位法方程病态和加快模糊度固定具有一定的作用。与上述方法思路不同，本文提出一种利用历元间坐标差信息加快模糊度收敛的新方法，本文称其为“历元间坐标差法”，首先通过站际历元间二次差分定位模型，获得相邻历元间的坐标差信息；然后将该信息融入到模糊度法方程中，提高模糊度浮点解精度，加快模糊度收敛。本文尝试挖掘观测数据中隐含的有用信息，改善法方程的病态性，达到加快模糊度固定的目的。显然上面提到这些方法可作为后续进一步加快模糊度收敛的技术手段，本文并未对其开展研究。

1 动态相对定位中模糊度固定方法

GPS载波相位动态定位需要多个历元联合求解，将各历元的观测方程组合求解，每新增一个历元，法方程矩阵的阶数至少要增加3，随着历元的累积阶数将会变得很大，法方程求逆运算量大，无法满足动态定位实时性的要求，所以在模糊度在航快速固定中，常用的方法是在定位法方程中消去坐标参数，仅保留模糊度参数^[8-11]。

1.1   分块最小二乘法的序贯解算^[8]

在GPS动态定位中，可将未知参数划分为X₁、X₂两类。X₁为时变参数，如位置参数；X₂为时不变参数，如模糊度参数。载波相位双差观测法方程可表示如下：

则法方程的解由下面两式解算得到：

式中，M₂=N₂₂-N₂₁N^-1₁₁N₁₂ ，R₂=w₂-N₂₁N^-1₁₁w₁。

对于n个历元，对式(3)进行叠加获得叠加模糊度法方程：

n个历元的模糊度参数X₂的组合解由式(4)解算。当X₂解算出后，将X₂作为已知值根据式(2)可以计算出坐标参数X₁。

1.2   利用历元间坐标差信息加快模糊度固定

1.2.1   站际历元间二次差分模型

载波相位站际单差线性化模型可表示如下：

式中，Δ为站际单差算子；下标t表示历元；φ表示载波相位观测值；λ为载波波长；ρ为由坐标初值计算的站星距离；δion、δtrop依次表示电离层，对流程延迟量；dx为流动站坐标改正数；即基线向量改正数；cδt表示钟差；N为模糊度；ε表示载波相位测量噪声。

对于短基线，站际单差模型消除了卫星钟差影响，极大削弱了卫星轨道误差影响，而高采样率观测条件下站际历元二次差分后的电离层延迟、对流层延迟残余误差很小，因此，可将残余误差影响计入观测值残差中^[12]。由式(5)在t₁、t₂相邻历元间差分可构建站际历元间二次差分模型：

式中，l=(λΔφ_t2-λΔφ_t1)-(Δρ_t2-Δρ_t1)；ΔT=Δcδt_t2-Δcδt_t1。对于短时间相邻的两个历元，站星相对位置变化很小，设计矩阵A的变化量很小，舍去(A_t2-A_t1)·dx_t1项对站际历元间二次差分方程的影响可由下式进行估算：

式中，γ_t1,t2^p为卫星p对应的二次差分方程中的舍去项；dS_rov和dS^p依次表示流动站、卫星从t₁ 时刻到t₂时刻移动的距离；dρ^p表示t₁ 时刻到t₂时刻流动站与卫星p的站星几何距离的变化量；ρ_t2^p为t₂时刻流动站与卫星p的站星距离；ΔR_t2表示t₂时刻流动站近似坐标的坐标分量精度。上述变量的具体含义可参见文献^[13]。考虑到站星距离ρ一般大于20 000 km，站星距离变化率小于800 m/s，GPS卫星运动速度小于3 800 m/s，而流动站坐标近似值由伪距差分定位给定时，一般可保障ΔR_t2≤10 m，当流动站速度不大于250 m/s时，有：

动态定位中采样间隔一般较小，t₂-t₁分别取0.1 s、1 s、5 s时，舍去γ^p_t1,t2项造成的极限误差依次为0.42 mm、4.2 mm、21 mm，而实际情况中舍入误差远小于极限误差，所以当采样率较高时，(A_t2-A_t1)·dx_t1项相对于l是非常小的，可将该项计入残余误差^[13-14]。令Δdx_t2=dx_t2-dx_t1，则站际历元间二次差分模型可表示为：

对于上述历元差分模型还需考虑其随机模型，可采用卫星高度角法定权^[15]，当共视卫星大于4颗时，可通过最小二乘法解算出历元间坐标差Δdx及其协方差阵D_Δdx。

1.2.2   历元间坐标差信息与模糊度法方程联合

考虑第t_i-1、t_i相邻两个历元，由分块最小二乘平差可知，

考虑历元间坐标差，可构造虚拟观测方程：

式中，D_Δdx为历元间坐标差的协方差阵；P_Δx为虚拟观测方程权阵。将式(10)、式(11)代入式(12)，整理有：

式中，M_b=(N₁₁)_ti^-1(w₁)_ti-(N₁₁)_ti-1^-1(w₁)_ti-1;M_m=(N₁₁)_ti^-1(N₁₂)_ti-(N₁₁)_ti-1^-1(N₁₂)_ti-1。 令f=M_b-Δdx_ti ，M_x=MT_mP_ΔdxM_m，R_x=M^T_mP_Δdxf，则虚拟观测方程式(13)对应的法方程为：

现将式(14)与式(4)进行联合，即将虚拟观测法方程与模糊度法方程合并构建新的模糊度法方程，对于n个历元累加的法方程可表示如下：

2 实验分析

为了检验新方法的实际效果，设计以下两种数据处理方案。

方案1 直接叠加模糊度法方程求解(常规方法)。

方案2 将历元间差分模型解算的坐标差信息融入模糊度法方程中求解(新方法)。

方案1为常规的最小二乘法，方案2在方案1的基础上考虑了历元间坐标差信息。具体的数据处理流程如图 1所示，模糊度搜索方法采用LAMBDA法^[16-19]。

图  1  数据处理流程

Figure  1.  Flowchart of Data Processing

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2.1   算例1：静态数据模拟动态定位

选取了一段20 min的实测静态数据，基线长约为5 m，数据采样间隔为1 s，卫星截止高度角为15°，卫星观测数为7，卫星编号依次为14、22、25、29、30、31、32，以高度角最大的14号卫星为参考星，用rtklib事后处理软件包rtkpost解算的基线解为[-4.942 6,1.825 8,-0.952 2]，6个双差模糊度固定解为[-7 793 244，516 140，-272 575，-725 277，-59 522，-566 697]。下面的实验分析将以上述结果为参考解。

由于模糊度成功固定后，方案2与方案1解算的结果是相同的，所以下面只给出了方案2解算的基线长度固定解与参考基线长度的差值ds的分布情况，如图 2所示。基线长度差异ds在5 mm范围内波动，其RMS值为0.0 015 m，表明新方法解算的结果是可靠的。

图  2  基线长度误差/m

Figure  2.  Accuracy of Baseline Length/m

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图 3、图 4依次为模糊度浮点解精度和Ratio值随观测时间的变化。图 3中， ${\hat{N}}$ 表示模糊度浮点解，N表示模糊度的参考解，‖·‖₂表示向量的2范数，则 $DN2={{\left\| \hat{N}-N \right\|}_{2}}$ 表征模糊度浮点解的精度^[20]。从图 3可以看出，双差模糊度浮点解的精度随着观测时间的增加而提高。当观测时间较短时，由于法方程病态性严重，模糊度浮点解精度较差。而将历元间坐标差信息加入到模糊度法方程中，短时间内可以改善方程的病态性，得到精度较高的浮点解。

图  3  模糊度浮点解精度/周

Figure  3.  Accuracy of Float Ambiguity Solution/cycle

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图  4  Ratio值

Figure  4.  Value of Ratio

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从图 4中可以看出，在观测时间较短时，方案2计算得到Ratio值明显要大于方案1的Ratio值，表明方案2较之方案1模糊度固定的可靠性增强。但是随着观测时间的增加，两者的差异将会逐渐缩小，有时甚至会出现方案1优于方案2的情况。这是由于随着观测时间的增加，站星几何结构已发生较为显著的变化，即法方程的病态性已得到改善。从图 3可以看出，观测70 s后模糊度浮点解已具有较高的精度。在模糊度在航快速固定中，人们所关心的是在尽可能短的时间内成功固定模糊度，而新方法正是针对这一问题开展研究，因此新方法具有较高的应用价值。为了更直观的说明新方法在模糊度度在航快速解算中的优点，对Ratio阈值依次设置为2.5、3.0、3.5、4.0时模糊度固定成功所需要的观测时间进行统计，同时也对模糊度首次固定正确的时间和模糊度连续10个历元固定正确的首次固定时间进行统计，统计结果如表 1所示。由表 1可知，从达到模糊度固定的各个指标所需要的时间看，方案2较之方案1所需时间均少，并且其优化的比率是比较显著的，表明新方法有效加快了模糊度固定的速度。

表  1  模糊度固定所需时间/s

Table  1.  Time Required to Fix Ambiguity/s

固定指标/s	算例1						算例2
	Ratio阈值				首次固定	连续固定	Ratio阈值				首次固定	连续固定
	2.5	3.0	3.5	4.0			2.5	3.0	3.5	4.0
方案1	19	22	24	47	4	4	250	500	565	590	50	75
方案2	4	6	14	22	2	2	190	210	270	500	15	15
差异	15	16	10	25	2	2	60	290	295	90	35	60
优化/%	79	73	42	53	50	50	24	58	52	15	70	80

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2.2   算例2：航测动态数据解算

选取了一段20 min的飞机航测动态数据，采样间隔为5 s，卫星截止高度角为15°，卫星观测数为7，卫星编号依次为2、4、10、12、13、17、24，以高度角最大的4号卫星为参考星。6个双差模糊度的正确解为[-2,18,1,0,-2,-854 748]。基线长度随观测时间的变化如图 5所示。

图  5  基线长度/km

Figure  5.  Baseline Length/km

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同样，依次按照两种方案进行了计算。图 6、图 7依次为模糊度浮点解精度，Ratio值随观测历元的变化。采用与表 1相同的方式，对模糊度固定所需时间进行了统计，如表 1所示。从算例2的实验结果中，可以得出与算例1相同的结论，即历元间坐标差信息的使用可以有效改善短时间观测中法方程的病态性，进而得到较可靠的模糊度浮点解，从而提高模糊度固定的效率和可靠性。

图  6  模糊度浮点解精度/周

Figure  6.  Accuracy of Float Ambiguity Solution/cycle

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图  7  Ratio值

Figure  7.  Value of Ratio

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3 结 语

本文提出了一种利用历元间坐标差信息加快动态定位中模糊度固定的新方法。实验结果表明：在定位时加入历元间坐标差信息，可以改善模糊度法方程的病态性，提高模糊度浮点解的精度，从而加快模糊度固定，且模糊度固定的可靠性也得到了增强。虽然在动态定位中存在相邻历元间共同观测卫星数过少导致无法使用历元间坐标差信息的情况，此时可以在定位计算中略去历元间坐标差信息的叠加。考虑到目前多GNSS系统的快速发展，可用卫星数逐步增多，本文提出的新方法具有较广的应用前景。如果与其他处理病态方程的方法相结合，有可能进一步加快模糊度的固定速度，这将是下一步需要开展的研究。