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冰下湖的发现具有冰川学、地质学及生物学等各方面的意义，探测冰下湖已成为众多研究者关注的热点[1-4]。目前，冰下湖监测手段主要包括无线电回波探测、地震探测以及卫星测高3种。作为探测冰下湖最直接的方法，无线电回波探测和地震探测都是基于回波探测原理[5-8]。相较于无线电回波探测，地震探测更有利于确定冰下湖局部环境[9]。然而这两种方法都存在一定的局限性，无线电回波探测由于受到波长的限制，不能得到冰下湖的深度；而地震探测需要大量的人力物力，不适用于大范围的冰下湖探测。
国际上利用卫星测高数据监测冰下湖始于1993年，Ridley等利用欧洲遥感卫星雷达测高数据绘制了沃斯托克湖的详细地形，并根据其表面非常平坦的地形特征，分析得到了另外3个具有同样特征的冰下湖[10]。2005年, Gray等首次发现了冰下湖的活动[11]，这一现象改变了以往冰下湖是稳定存在的认识。随后众多学者基于冰下湖活动引发冰面高程变化这一现象，利用测高数据对冰下湖进行监测[12-13]。2009年, Smith等利用冰、云和陆地高程卫星(ice, cloud and land elevation satellite, ICESat)测高数据获取了124个活跃的冰下湖，并根据冰面高程变化得到了这些冰下湖的边界及全南极活跃冰下湖水排出和流入的体积，大多数冰下湖都会以平均0.1~1 km3/a的变化率与外界发生水量交换[14]。该研究证明卫星测高技术不仅能够获取冰下湖的位置及边界范围，还可以监测冰下湖随时间的活动情况。此外，基于测高数据监测结果，众多研究发现冰下湖的活动与冰流速及冰下水文之间存在重要的联系[15-19]。
卫星测高重复轨道算法常应用于冰下湖的监测，该算法多以一次函数来描述地形和高程变化，解算便捷且最大限度地保留了有效数据量，对于简单地形和高程变化情况有较好的监测结果，但对于冰下湖复杂活动监测结果的准确性有待检验。本文利用重复轨道测高数据监测冰下湖高程变化，引入模型仿真实验，探讨分析监测模型中不同地形和高程变化对冰下湖高程变化结果的影响。并依据仿真实验结果，监测Academy12和CookE2两个较为典型的冰下湖活动特征。
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众多研究发现，位于冰下湖(除少数小尺度外)上的冰层浮于其表面[20-21]。如图 1所示，根据浮力定律，由于冰盖受到冰下湖水压的支撑，当有水流入或流出冰下湖时, 湖面发生上升或下降，会导致冰与水之间失去平衡，迫使冰盖表面也会随着上升或下降。
Figure 1. The Subglacial Lake Water Movement
由于冰下湖活动会引起冰盖表面高程变化，在排除如冰流速、潮汐等影响造成冰面高程变化后，即可将其视为冰下湖的活动[14]。目前，卫星测高重复轨道算法是较为常用的冰下湖监测方法。该算法假设在沿重复轨迹小段区域内(见图 2)，卫星地面脚点高程可由地形项和随时间变化项两部分来拟合，通常分别以一次函数拟合的地形(简称一次地形)和线性变化(又称一次高程变化)来描述，即
Figure 2. The Sketch Map of Repeat-track Observations
式中, H表示模型拟合的脚点高程；D(x, y)表示某一时刻的地形项；Δh(t)表示高程随时间变化项；(x, y)为脚点坐标；(x, y)为区域内脚点坐标的平均值；t是时间项；m1、m2、m3和k表示待求系数。
将式(1)和卫星地面脚点测量高程Hp结合建立误差方程，并基于最小二乘原理解算方程。再利用脚点测量高程Hp与求解的地形进行较差处理，得到经地形改正的高程变化量dh，即为冰下湖活动产生的冰面高程变化，且有:
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由上文可知，冰下湖活动监测结果受到所用方法的影响，不同的模型可能会导致不同的结果。本文首先对冰盖表面变化特征进行了统计分析，总结出两种可能的地形和5种高程随时间变化的情况(见图 3)，其中图 3(a)和图 3(b)表示地形项仿真模型，图 3(c)-3(g)表示高程变化仿真模型，实验区域大小为图 2所示的矩形范围。然后将地形项和高程变化项进行组合，构成10种仿真模型。把卫星地面脚点的地理坐标(x, y)和时间信息t引入仿真模型，替代真实地面脚点高程Hp参与式(1)的平差。最后将解算的高程变化和仿真模型中的高程变化进行比较，评价现行算法针对各种情况的适用性。
Figure 3. Simulation sModels of Topography and Height Change
为了分析现行算法中地形和高程变化项对冰下湖活动监测结果的影响，在仿真实验中，除了应用式(1)的一次函数，又增加了二次函数拟合的地形(以下简称二次地形)D′(x, y)和二次函数拟合的高程变化(简称二次高程变化)Δh′(t)，组成4种拟合函数(以下称解算模型)分别解算以上10种仿真模型，进行结果对比。D′(x, y)与Δh′(t)的表达式分别为：
式中, m1~m6、k1和k2均为待求系数。
下面以一种仿真模型为例进行详细介绍。当仿真模型中地形为一次地形、高程随时间为二次抛物线变化时，4种不同解算模型得到的高程变化对比结果如图 4所示，坐标原点是参与解算的ICESat测高数据起始时间。为了增强实验对比效果，图 4中将与高程变化相关的量均展示出来，其中仿真模型表示图 3(e)所示的仿真模型高程变化，解算结果表示通过相应解算模型得到的高程变化量dh，解算模型表示解算模型中的高程随时间变化项Δh或Δh′。
Figure 4. The Contrast Results of the Planar Topography Simulations
从图 4(a)可以看出，利用一阶函数模型解算的高程变化和仿真模型中的高程变化情况差别不大。再与解算模型和仿真模型相同的情况图 4(b)对比，证明一阶函数模型对于该情况下的冰下湖活动监测是适用的。而图 4(c)中解算模型得到的结果相较于其他结果并不理想，表明相较于解算模型中的高程变化项，监测结果受到地形项的影响更大，复杂模型的适用性并不一定更强。图 4(d)是利用高次函数拟合低次函数，从理论和实验结果看都是可行的。
实验中利用上述方法分析不同仿真模型下4种解算模型的对比结果，并计算解算结果和仿真模型之间的偏差，将偏差的标准差小于0.5 m的解算模型认为是适用的，在表 1中用“√”表示。
仿真模型 解算模型 地形 高程变化 一次地形 二次地形 一次高程变化 二次高程变化 一次高程变化 二次高程变化 一次 √ √ √ √ 二次上升 √ √ √ √ 一次 二次升降 √ √ √ 三次 √ √ 无规律 一次 √ √ 二次上升 √ √ 二次 二次升降 √ 三次 无规律 Table 1. Statistical Results of the Applicable Calculating Models for the Simulations
由统计结果可知, 当地形为一次且高程随时间的变化有特定的变化规律时，一次函数解算模型基本都是适用的，较复杂的解算模型针对有些情况反而不可用，分析表明地形项对结果的准确性有较大的影响，复杂模型并不能代替简单模型获取更优的结果；当地形为二次时，二次地形结合二次高程变化的解算模型适用性更高。对结果整体分析发现，仿真模型越复杂，越不容易得到精确的结果。针对无规律的高程变化，由表 1可看出由于其变化复杂没有模型适用。
以上分析表明，冰下湖监测模型并不是唯一的，冰面高程变化解算结果受到地形项和高程变化项的共同作用且对地形的依赖性更强。现行的一次函数模型对于简单地形且高程随时间有规律变化的情况，能够得到较好的结果。实际中地形的复杂度是相对的，对于ICESat卫星数据利用重复轨道算法时，根据轨迹分布特征将处理区域分为沿轨迹方向700 m、垂直轨迹方向300 m的矩形条带(见图 2)，相对于整个冰下湖该范围很小，因此可以把地形项简化为一次地形。此外，冰下湖水的流动造成冰盖表面在某个时间段上升或下降通常都具有一定的规律，故根据仿真实验的结果，基于ICESat测高数据利用现行一次函数模型能够有效监测冰下湖的活动。
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基于上述理论，本文针对不同的冰下湖活动情况，选取了两条分别经过Academy12和CookE2冰下湖表面的ICESat重复轨迹进行高程变化解算。如图 5所示，蓝色直线表示ICESat重复轨迹，白色曲线是利用ICESat测高数据得到的冰下湖边界，由于CryoSat-2合成孔径干涉模式(synthetic aperture interferometic mode, SARIn)测高数据分布较均匀，因此黑色曲线是利用SARIn测高数据得到的CookE2冰下湖修正后边界[22-23]，底图为中分辨率成像光谱仪(moderate-resolution imaging spectroradiometer，MODIS)影像镶嵌图。其中Academy12冰下湖在分析时间内呈平缓有规律的变化，而CookE2冰下湖存在较剧烈的变化。
Figure 5. The Sketch Map of the Experimental Areas
经过Academy12冰下湖的ICESat重复轨迹Track 96的剖面图如图 6(a)所示，时间为2003-10-2008-02。由剖面图可以发现, 在该湖的核心区域(红色方框)有明显的高程变化，图 6(b)为图 6(a)中红色方框部分放大图。取位于湖最低处和较陡的两个矩形条带区域A和B(图 6(b)中红色和蓝色方框)，将各区域每个时间段的轨迹高程做平均后相减，得到未经地形改正的高程变化规律，如图 7所示。
Figure 6. The Profiles along Track 96
Figure 7. The Height Changes of Areas A and B Without Topographic Correction
由图 7可以看出，A和B两个区域的高程在不考虑地形影响时，该时间段内均呈近似线性上升的趋势。由仿真实验的结论可知，一次函数算法能够获取该轨迹的高程变化。图 8即为Track 96利用现行一次函数模型得到经地形改正后的高程变化结果。基于此结果并结合本文§1中对冰下湖活动引起冰盖表面变化的分析发现，Academy12冰下湖在2003-10-2008-02间存在水的持续流动现象，到2008年2月冰盖表面高程上升最大约6 m。
Figure 8. The Height Changes of Subglacial Lake Academy12
经过CookE2冰下湖表面的ICESat重复轨迹Track 1325的剖面图如图 9(a)所示。对图 9(a)中截面的高程作差，得到的未经地形改正的高程变化情况如图 9(b)所示。图 9显示出在2003-10-2009-03期间的高程变化规律并不恒定且变化较剧烈，2006年10月前、后呈分段线性变化。
Figure 9. The Profiles and Uncorrected Height Changes of Track 1325
仿真实验中统计的高程变化模型在实验分析时间内均有恒定规律，对这种前后变化规律不一致的情况未做具体分析，因此在处理时首先仍尝试将数据代入模型整体解算，发现2006年10月以后高程剧烈变化对地形的解算造成较大的影响，得到的地形和实际非常不符。因2006年10月之前的ICESat测高数据量比较充足，故选取此数据进行了解算。图 10(a)和图 10(b)分别为所有数据和2006年10月之前的数据分别解算的其中一区域的地形。图 10(a)中的地形在垂直于ICESat轨迹方向梯度最大约有10 m，这与ICESat测高数据之间存在很大的偏差，而图 10(b)的地形比较符合实际情况。
Figure 10. The Calculated Topography
通过上述分析可知，为了获取准确的地形，2006年10月以后的数据不参与模型参数解算。先利用2003-10-2006-10期间的数据参与解算得到地形后，再将所有的测高数据代入式(2)得到高程变化结果(见图 11)。由结果发现，CookE2冰下湖在2006年10月后有大量的水快速向外排出，在2008年5月后趋于稳定，到2009年3月冰盖表面高程下降最大约70 m。
Figure 11. The Height Changes of Subglacial Lake CookE2
由Academy12和CookE2冰下湖高程变化分析可知，在保证有充足的ICESat测高数据的情况下，选取合适的数据利用现行一次函数重复轨迹算法能够有效地监测冰下湖的活动。冰下湖高程变化在ICESat数据时间段内整体呈连续恒定的变化规律时，现行一次函数算法是可行的；但是当高程变化规律在该时间段不恒定时，需要分析不同时间段内高程变化的大致规律，选取合适的ICESat数据时间段用以解算地形，从而保证得到正确的高程变化监测结果。
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本文介绍了利用卫星测高数据监测冰下湖活动的方法，并通过仿真实验探讨冰下湖不同活动情况下现行监测算法的适用性。经分析发现，对于ICESat测高数据，利用一次函数足以对冰下湖的活动进行解算。基于上述结论，利用该算法获取了Academy12和CookE2冰下湖随时间的活动特征。实验结果显示，Academy12和CookE2冰下湖的活动导致其冰盖表面分别产生最大约6 m的上升和最大约70 m的下降。此外，通过对两个冰下湖的实验分析发现，在使用重复轨迹算法前，需确定冰下湖的大致高程变化情况，以确保后续监测的可靠性。当冰下湖高程变化在测高数据时间段内整体呈恒定的变化规律时，利用全部数据和该算法是可行的；当高程变化规律在该时间段不恒定时，为保证得到正确的高程变化监测结果，需根据实际高程变化选取部分时间段的测高数据进行地形解算。
利用ICESat卫星测高技术能够有效监测冰下湖的活动，然而由于ICESat测高数据较少，其时间和空间覆盖范围均有限。此外，卫星测高得到的仅是冰盖表面的高程变化，并没有考虑冰下湖的活动在引起冰盖表面产生变化时，也会对冰流速造成一定的影响，因此得到的冰下湖变化的精度有待提高[24]。为了获取冰下湖精确的水量变化，研究其长期的变化规律及准确的边界范围，后续还需要结合更多的观测手段和数据来完成。
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