Concept Analysis of Map Projection and Its Applications Based on Manifold Mapping Principle
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摘要:
从拓扑流形和高斯投影的历史渊源着手,基于流形映射原理阐述辨析了地图投影的概念原理。从黎曼流形的角度重新认识地球椭球面或球面,分析了椭球面或球面的非欧几何特征、与平面的拓扑关系(不可展性和不同胚性)及其对地图投影的影响。以地图投影的流形映射原理为基础,地图投影的基本矛盾(地球曲面与地图平面之间的矛盾)应该包括不可展和不同胚两个方面,其中不可展性是任何地图投影方式都不可避免地产生投影变形的数学原理所在,不同胚性则对投影函数的定义域和值域、奇异点特征产生影响。同时,流形映射原理在等角投影的定义、等角投影的充分必要条件分析等方面的应用研究进一步验证了相关论断的正确性和可行性。此项工作为从黎曼流形映射的角度研究地图投影学拓展了研究思路。
Abstract:ObjectivesAfter a concise statement of the historical origin of topological manifold and Gauss-Krüger projection, this paper expoundes and analyzes the principle of manifold mapping of cartographic projection.
MethodsThe Earth ellipsoid or sphere is redefined from the perspective of Riemannian manifold and the non-Euclidean geometric characteristics, and the topological relationship with plane and the influence on map projection are analyzed.
ResultsBased on the principle of manifold mapping, this paper considers that the basic contradiction of map projection (i.e. the contradiction between the earth surface and the map plane) should include two aspects, namely, un-developability and un-homeomorphism, which have impacts on distortions, domains and singular points of map projection, etc. Meanwhile, the correctness and feasibility of the authors' assertions about the principle of manifold mapping are further verified in the definition and the necessary and sufficient conditions of conformal map, etc.
ConclusionsThis work expands the research idea for studying map projection from the perspective of Riemannian manifold mapping.
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卫星重力测量是获取全球重力场数据的唯一直接手段,为全球气候与环境变化、大地测量、时空基准、导航与定位等研究提供不可或缺的重要基础数据。21世纪以来,欧美耗资数十亿美元,相继成功实施CHAMP(challenging minisatellite payload)、GRACE(gravity recovery and climate experiment)、GOCE(gravity field and steady⁃state ocean circulation explorer)、GRACE Follow⁃On重力卫星计划,获取了全球重力场数据,利用这些卫星计划所获取的数据,全世界科学家在大地测量、地球科学、全球气候与环境研究等领域取得了一系列丰富的研究成果[1-5]。2000年左右,中国开始卫星重力测量的系统研究,自主突破了其各项关键技术,于2021年发射了首组跟踪型重力测量卫星[6-7]。
高精度空间静电加速度计是卫星重力测量的主载荷之一,其功能是测量卫星受到的大气阻力、太阳光压等非保守力引起的加速度。空间静电加速度计具有分辨率高、量程小的特点,其系统原理框图如图1所示,主要由敏感探头(主要由金属检验质量块与周围的电容极板框架构成)、六自由度电容位移传感与静电反馈控制电路、读数电路等单元构成[8]。根据具体任务的需求,重力卫星中的空间静电加速度计测量分辨率一般需达到10-9~10-12 m/s2/Hz1/2量级,测量范围需达到10-4~10-6 m/s2量级。由于其测量范围远小于地面重力加速度,该加速度计性能检测与评估手段非常缺乏,且测试精度有限,在轨数据处理与评估规范更是空白。在中国开展高精度空间静电加速度计研究的初期,其性能测试方法是制约其研制水平的关键问题,并直接限制了中国重力卫星计划的开展。
国外迄今已发射的4组重力卫星的加速度计载荷全部由法国航空航天研究院(Office National d’ Etudes et de Recherches Aérospatiales, ONERA)研制,其地面性能测试均主要采用高压悬浮方案,即采用高压静电力平衡检验质量的重力,测试精度受地面振动影响,单台加速度计直接测试精度水平约为3×10-7 m/s2/Hz1/2,利用差分加速度计进行相关扣除处理后,评估水平可以达到1×10-8 m/s2/Hz1/2@0.1 Hz[9]。GRACE卫星加速度计在轨性能评估水平达到1×10-10 m/s2/Hz1/2 @0.1 Hz[10]。GOCE重力梯度卫星开展了其中加速度计的地面与在轨标定研究,加速度计分辨率在轨评估水平达到10-12 m/s2/Hz1/2量级。
自2000年起,中国面向卫星重力测量等需求开展了空间静电悬浮加速度计的研究。华中科技大学引力中心团队(以下简称团队)历经20余年,自主攻克了高精度敏感探头、高精度电容位移传感与静电反馈控制电路等关键技术,具备了自主研制高精度空间静电加速度计的能力。创新突破了高压悬浮、扭摆悬挂、自由落体等高精度空间静电加速度计测试方法与技术,分别针对空间静电加速度计不同状态、不同功能性能指标进行测试,并完成其性能的综合评估。其中高压悬浮测试主要针对工程样机整机状态下六自由度同步控制功能和水平轴向的分辨率性能测试,其竖直方向利用高电压产生的静电力平衡检验质量的重力,与在轨状态不同。扭摆悬挂用于在敏感探头检验质量处于扭丝悬挂状态下,对其水平轴向的分辨率进行高精度测试,其只能用于部分自由度的性能测试。自由落体实验用于工程样机整机在进入微重力状态初期短时间内六自由度同步控制功能测试,由于下落时间仅有数秒,无法对其分辨率性能进行检测。在此基础上,团队研制出具有自主知识产权的多套空间静电加速度计飞行产品,完成中国首组重力卫星[6-7]和“天琴一号”卫星[11-13]等4次飞行实验。此外,空间静电加速度计的地面测试方法研究也有力支撑了国家重大科技基础设施精密重力测量研究设施中的卫星重力测量体系惯性传感器测试相关装置的建设和验收[14]。
当前,国内外正在开展下一代卫星重力测量计划,中国正在开展“天琴二号”卫星研制。同时,空间静电加速度计也是空间引力波探测、空间等效原理检验、空间非牛顿引力实验检验等基础物理空间实验计划的关键技术,其分辨率需求也越来越高。因此,开展其性能测试方法、技术的研究,对于提高其研制水平、保证其应用效果具有重要意义。本文将对空间静电加速度计地面高压悬浮测试方法与技术、扭摆悬挂测试方法与技术及落塔实验中的测试方法与技术研究现状进行综述与总结,以期对后续进一步探索和完善其性能测试评估方法、提高其性能评估能力提供参考,促进空间静电加速度计在下一代卫星重力测量等计划中得到更多应用。
1 高压悬浮测试方法与技术
1.1 高压悬浮方法原理与技术
由于空间静电加速度计设计参数主要面向空间应用,在地面重力环境下静电控制电压无法提供足够静电力补偿重力,其检验质量将落在下方电容极板上,加速度计无法处于正常工作状态。高压悬浮测试方案是通过在检验质量上方电容极板施加数百伏至1 000 V左右的高电压,产生竖直向上的静电力,平衡检验质量受到的重力,将检验质量悬浮起来,其系统原理图如图2(a)所示。高压悬浮控制不仅需要实现检验质量进入悬浮控制状态,还需保证其控制具有较大的带宽、较高的稳定性和较低的噪声,而且还需考虑地面振动噪声的干扰。2013年,团队自主研发基于运放与三极管组合驱动的高压放大电路,攻克检验质量稳定起支和高压耦合噪声抑制等技术,悬浮执行机电压线性范围大于900 V,频率响应大于11 kHz,解决了稳定补偿检验质量重力的难题,研制出高压悬浮地面检测装置,率先在国内实现空间静电加速度计的高压悬浮测试。图2(b)、2(c)分别是高压悬浮装置实物图和加速度计噪声谱测试结果,测试水平达到4×10-8 m/s2/Hz1/2@0.1 Hz[15]。
高压悬浮测试方案除了竖直方向与在轨微重力工作状态有区别外,其余自由度可模拟加速度计在轨工作状态,因此可以针对加速度计工程样机整机状态开展高压悬浮测试,以检验其六自由度同步控制状态下水平自由度的各项性能。团队完成的高压悬浮测试方法与技术攻关研究,解决了空间静电加速度计地面性能测试的瓶颈技术,成功支撑了团队研制的空间静电加速度计系列飞行产品的环境模拟、系统级联调等功能与性能检测。
1.2 水平方向隔振技术与加速度计性能测试
静电加速度计高压悬浮测试方法中,地面环境振动噪声是限制加速度计测试水平的主要因素。团队在开展高压悬浮测试方法研究的同时,也对适用于空间静电加速度计高压悬浮测试的地面水平方向隔振技术开展了研究。2015年,研究发现一种倾斜摆装置具有对地面振动噪声的倾斜自补偿效应[16],发明并研制出基于平动⁃倾斜补偿原理的高压悬浮加速度计测试摆台,该摆台利用被测物体受外界扰动倾斜运动时自身所受的重力沿水平方向分力来抵消或补偿外界水平振动,从而实现水平方向隔振,在低频下有较好的隔振效果。该装置的原理、实物示例如图3(a)、3(b)所示。同时,研究发现被测加速度计在该摆台上放置的位置对于隔振率具有显著影响,通过调节该位置选择,进一步提高了隔振率,0.1 Hz附近摆台残余加速度噪声谱达到10-9 m/s2/Hz1/2量级[17]。随后,利用该摆台对用于星载静电重力梯度仪的高精度静电加速度计样机进行了高压悬浮测试,如图3(c)所示,其高灵敏轴分辨率测试水平在0.2 Hz处达到约3×10-9 m/s2/Hz1/2[18]。
面向高精度加速度计等惯性传感器性能测试对低频隔振技术的需求,团队研制了一种基于四线摆的水平低频主动隔振系统[19],其结构原理如图4(a)所示。该隔振系统以基于单摆原理的四线摆作为被动隔振部件,用4根平行的垂直钢丝悬挂光学平台,固有频率为0.4 Hz,光学平台上安装两个三轴微震仪进行速度传感,由4个音圈电机进行主动反馈控制。该隔振系统在水平方向具有良好的隔振性能,在0.4 Hz附近,振动噪声的隔振率可达40 dB左右,其性能主要受限于振动传感器的自噪声。近年来,团队进一步完善了基于微震仪传感的四线摆主动反馈控制隔振台的功能及其主动隔振控制算法,形成了以隔振为基础,集噪声本底测试、标度因数校准和分辨率标定为一体的综合测试装置,如图4(b)所示。隔振状态下,高压悬浮加速度计在该测试平台上测到的噪声本底曲线如图4(c)所示,噪声谱密度最低约2×10-9 m/s2/Hz1/2 @0.4 Hz[20]。
上述两种水平方向隔振装置为空间静电加速度计高压悬浮测试提供了更低扰动的实验条件,加速度计噪声谱的测试结果相比法国ONERA同等条件下的测试水平[21]提高约两个数量级。目前,加速度计高压悬浮测试水平主要受限于高压耦合噪声、隔振装置的隔振性能两方面。在抑制高压耦合噪声方面,后续可通过进一步改进高压悬浮测试技术,降低其高压噪声及其对水平轴的耦合效应;在隔振装置性能方面,可通过采用高精度传感器、多级组合隔振等方式来提高隔振性能。
2 扭摆悬挂测试方法与技术
国际上,面向空间引力波探测领域空间惯性参考传感器的地面测试,意大利特伦托大学等机构采用了扭丝悬挂检验质量的测试方法,但由于该方法对地面环境条件及扰动抑制技术要求极高,并未在空间静电加速度计测试领域得到广泛应用。为了能够在地面上实现对加速度计部分高灵敏轴性能的长时间测试,团队于2005年提出了针对空间静电加速度计的扭摆悬挂测试方法。
如图5(a)所示,采用高Q值悬丝悬挂检验质量,通过悬丝的张力平衡检验质量所受到的重力作用,同时利用悬丝在扭转自由度上的长周期、超低刚度特性,不仅能够在扭转自由度模拟检验质量的在轨自由悬浮工作状态,还能为空间静电加速度计分辨率的高精度地面直接检测提供新的方案。结合电容位移传感和静电反馈控制电路,提出了静电控制扭摆测量技术,通过静电反馈控制力使得检验质量时刻被控制于其平衡位置附近,在扭转自由度上模拟加速度计的在轨静电控制状态,实现了对其分辨率等性能进行高精度检测[22-23]。
为了在地面实现对加速度计两个自由度(RX自由度和Y/Z自由度)的联合性能测试,2010年,团队创新性地提出了二级静电控制扭摆测试方法[24-25],实验方案示意图如图5(b)所示。通过理论分析,二级扭摆对地面振动的传递函数幅频响应与在轨状态的对比如图5(c)所示,在0.1 Hz以下可等效模拟加速度计在轨工作状态。同时,理论分析发现,其对于地面振动噪声的抑制能力可达80 dB,进一步提高了地面上对空间静电加速度计性能指标的评估能力,利用该装置直接实现了对空间静电加速度计平动分辨率指标的评估,实测结果显示,基于二级静电控制扭摆装置,水平方向高灵敏轴分辨率地面检测水平达到约2×10-10 m/s2/Hz1/2 @10 mHz[24]。
为了更进一步地抑制地面振动噪声对加速度计地面测试的影响,在原有二级静电控制扭摆装置的基础上,2015年,团队又提出了二级静电控制扭摆与极板框架同步悬挂的地面测试装置。通过特定的极板框架悬挂设计,可使得极板框架与检验质量对地面振动有相似的响应传函,从而使得二者对地面振动噪声实现共模抑制[26],实验方案和测试结果如图6所示,加速度计分辨率性能的地面检测水平达到2×10-11 m/s2/Hz1/2@3 mHz[27]。此外,团队近年来通过扭秤悬挂双检验质量差分测量的方式,抑制两个检验质量处由地面振动等干扰引起的共模噪声,对加速度计分辨率的检测水平同样达到了约2×10-11 m/s2/Hz1/2(5~10 mHz频段)[28]。
采用上述多种方案的扭摆悬挂方法与装置,不仅补偿了检验质量所受重力,而且提供了水平方向准自由悬浮的状态,抑制了地面振动噪声等带来的干扰,为华中科技大学研制多个卫星任务的加速度计产品提供了地面测试的重要手段,解决了重力卫星空间静电加速度计分辨率等性能指标直接测试的世界性难题。
加速度计的扭摆悬挂测试水平主要受限于地面振动噪声、温度及其梯度分布、磁场、杂散电势等环境扰动影响,下一步研究的重点包括该测试装置的隔振研究、环境扰动测量评估与抑制方法研究等。
3 落塔测试方法与技术
空间静电加速度计地面测试依赖于如何克服地面重力对检验质量的影响。虽然国内外已发展了高压悬浮、扭摆悬挂测试方法与技术,可以在一定程度上模拟在轨微重力环境下空间静电加速度计的功能,并对其分辨率等核心性能进行测试,但上述测试方法中,空间静电加速度计的状态均与在轨状态存在差异,无法对加速度计飞行产品完整状态进行功能性能测试。
在地球表面附近,自由下落的物体可被认为处于失重状态。微重力落塔是一种传统的地基微重力实验设施,能够为科学实验装置提供短时准自由下落的微重力环境,在空间微重力科学相关领域具有广泛的应用。为开展微重力有关研究,国内外多个机构建设了微重力落塔装置。
空间静电加速度计作为典型的空间载荷,也同样可以用落塔装置开展其地面测试。与高压悬浮和扭摆悬挂测试方法相比,落塔测试方法避免了地面重力环境对加速度计测试的影响。法国ONERA为了检验空间静电加速度计工程产品的性能,对其研制的GRACE等重力卫星及等效原理检验MICROSCOPE卫星的加速度计产品,均在德国不莱梅大学应用空间及微重力中心落塔上进行了测试验证[29]。国外研究表明,不莱梅落塔的微重力扰动水平可达10-7g量级[30]。中国科学院力学研究所的国家微重力实验室落塔的微重力水平在10-5g量级[31]。虽然落塔的微重力水平存在一定不足,但可以利用其微重力环境进行空间静电加速度计整机状态下检验质量初始捕获控制阶段的性能测试,可有效反映加速度计在发射入轨后启动工作的初始阶段(数秒内)检验质量六自由度同步控制的基本功能。
团队在开展空间静电加速度计研究过程中,也同步开展了其自由下落实验测试方法研究,在早期主要开展了米级高度的短距离下落实验研究。2018年起,在精密重力测量国家重大科技基础设施的支持下,团队在武汉建设了一座真空微重力落塔装置,并在其上开展空间静电加速度计测试,通过地面微重力实验验证空间静电加速度计在轨六自由度控制参数。该真空落塔总体高度25 m,自由下落高度20 m,最大减速距离约2.8 m,有效自由落体时间2.0 s,落井内部真空度可优于10 Pa,微重力水平可达1×(10-5~10-7)g[32]。该装置结构如图7(a)、7(b)所示,主要由真空落井、落舱、落舱控制与监控单元3个部分组成。开展微重力实验时,将实验载荷安装在落舱中;落舱由电磁铁吸合固定在落井顶部;在落井中建立真空后,通过控制电磁铁释放落舱,落舱落入回收桶中,回收桶中的聚苯乙烯颗粒使落舱减速后用于回收。
微重力水平是落塔实验装置的关键性能指标之一,对空间静电加速度计等空间载荷的自由落体实验结果具有重要影响。为了准确评估精密重力测量国家重大科技基础设施落塔装置的微重力水平,团队建立了其落舱扰动力的物理模型,包括气动阻力、落舱间隙气压差、质心错位、旋转、磁场等扰动源。在落井真空度约为6.15 Pa时,该落塔的微重力水平在10-7g量级。采用簧片加速度计测量了落舱的微重力水平。首先利用精密转台标定了簧片加速度计的零偏,然后将其安装在落舱中,经自由落体测量,评估得到落塔的微重力水平约3.22×10-5g[32]。随后,将适
用于卫星重力测量的空间静电加速度计工程样机安装到落舱中开展了落塔实验。通过将检验质量的质心调整到与落舱的质心重合,抑制落舱微小转动对检验质量的影响,通过多次下落试验,验证了静电加速度计在释放后2 s内的六自由度捕获控制功能,其六自由度控制残差电压曲线如图7(c)所示,成功为空间静电加速度计的初始控制过程的控制性能测试评估提供了实验观测手段。
加速度计的落塔测试方法的测试水平主要受限于下落时间、落舱的微重力水平等影响,下一步研究的重点包括落舱环境扰动测量评估与抑制方法研究等。
4 结语
高精度空间静电加速度计是卫星重力测量等领域的关键载荷,由于地面重力等影响,其性能测试面临极大困难,开展高精度空间静电加速度计的性能测试方法研究是保障其研制水平和应用效能的重要工作。团队历时20多年的持续攻关研究,自主创新,攻克空间静电加速度计的高压悬浮测试方法和技术、扭摆悬挂测试方法和技术、落塔测试方法和技术,最终实现了空间静电加速度计性能测试的完备技术体系,支撑完成了多次航天飞行实验和应用。
利用高压悬浮测试方法和技术,实现其整机状态下检验质量长时间静电悬浮控制的功能性能测试,利用该方法及四线摆、倾斜补偿等两种高性能隔振系统,保证了其高灵敏轴分辨率性能地面测试水平达到3×10-9 m/s2/Hz1/2 @ 0.2 Hz,相比法国ONERA研制的同类加速度计产品高压悬浮测试水平提高约两个数量级。创新设计和研制的扭摆悬挂测试方法、技术和系列装置,实现了加速度计高灵敏轴本底噪声的高精度直接测试,检测水平达到约2×10-11 m/s2/Hz1/2(mHz频段),解决了重力卫星空间静电加速度计分辨率地面直接测试的世界性难题。利用20 m下落高度的真空落塔装置,开展了空间静电加速度计地面落塔实验测试方法研究,成功完成了适用于卫星重力测量的空间静电加速度计的落塔实验,在地面检测了其在微重力状态启动工作初期的六自由度控制性能。
从2013年至今,团队已先后针对试验五号卫星[33]、天舟一号货运飞船[34]、“天琴一号”卫星[11-13]和中国首组重力卫星等重大航天任务,开展了空间静电加速度计工程产品的完整、系统的地面性能测试,在该领域实现了对国外同类技术跟跑到并跑、部分领域领跑的转换。同时,上述方法和技术也是中国精密重力测量国家重大科技基础设施卫星重力测量体系中的高压悬浮测试装置、扭摆悬挂测试装置和自由落体测试装置的重要支撑,为保障该设施的建设与验收提供了重要参考。目前,本文所述测试方法与技术正在服务于“天琴二号”卫星高精度空间静电加速度计研制任务、空间引力波探测天琴计划及其超高精度空间惯性传感器的研制等任务。由于未来的重力测量卫星、空间引力波探测及其他空间科学实验对空间静电加速度计的要求越来越高,未来在空间静电加速度计性能测试研究中面临的挑战也越来越高,下一步需在高压悬浮技术与隔振系统研制、扭摆悬挂与地面环境扰动抑制、落塔测试方法及微重力水平提升、地面与在轨结合的加速度计测试标定方法等方面开展更多深入研究,同时探索其他能够有效开展空间静电加速度计性能测试与评估的方法与技术。
http://ch.whu.edu.cn/cn/article/doi/10.13203/j.whugis20230138 -
表 1 正轴墨卡托投影、Thompson投影和高斯投影的基本定义域
Table 1 Fundamental Regions of the Normal Mercator, Thompson and Gauss Projections
投影名称 基本定义域 正轴墨卡托投影 Thompson投影 高斯投影 -
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