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摘要: 结合我国北斗导航卫星系统的特点，通过对三频数据进行线性最优组合来有效探测和修复各类周跳。应用了5种线性几何无关组合并基于三步法进行周跳探测。对于探测到的不同周跳，通过特定的三频载波相位线性组合进行有效的分辨和修复，最后基于北斗三频实测数据，针对不同电离层延迟变化水平，分别就1 s、15 s、30 s不同采样间隔下的周跳探测和修复能力进行了验证，取得了较优的结果。Abstract: In this paper, we got the optimal linear combinations which can effectively detect and repair all types of cycle slips considering the characteristics of BeiDou Navigation Satellite System(BDS). In the detection process, five geometry-free linear combinations were applied based on a three-step cycle slip detection process. For different sorts of cycle slips, specific frequency carrier phase linear combinations are used for repairs. Finally, based on Beidou triple-frequency data with different levels of ionospheric delay variation under different sampling intervals of 1 s, 15 s, 30 s respectively, the ability of cycle slip detection and repairs were verified. The results were optimum.
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周跳探测和修复是GNSS数据处理的重要组成部分，周跳探测与修复算法在数据处理过程中不断完善与应用[1]。目前载波相位精密导航定位中的周跳探测方法主要有码相组合法、电离层残差法、多普勒积分法以及历元间差分法[2, 3]等。北斗导航卫星系统在体制上的最大创新在于率先实现了三频数据的播发。相比双频数据，三频数据能够形成更多更优的线性组合，其等效波长更长，观测噪声和电离层影响也更小，这些优良组合为周跳探测与修复提供了更多选择和帮助。
文献[2]提出了一种实时算法，用来探测和修复三频GNSS数据中的周跳值，并将该算法应用于单点定位数据处理中。文献[3]提出了一种利用两个电离层无关线性组合以及LAMBDA算法对周跳备选值进行搜索的算法，并结合GPS三频实测数据进行周跳探测与修复。文献[4]通过北斗三频载波相位无几何组合探测和修复周跳，修复方法较为复杂。文献[5]将载波观测量和伪距观测量进行了组合，但探测效果受伪距噪声的影响，且这两种方法都未能充分考虑不同的历元间电离层延迟变化水平。文献[6-11]分别就多频条件下周跳探测与修复、模糊度解算等问题进行了研究。
本文充分考虑了历元间电离层延迟变化的影响，基于北斗三频非差数据提出了一种实时探测、修复周跳的算法，探测过程中应用了5种线性几何无关组合，基于三步法进行周跳探测。
1 北斗基本观测量及观测方程
北斗导航卫星可同时播发3个频率的导航信号,分别是B1(1 561.098 MHz)、B2(1 207.14 MHz)、B3(1 268.520 MHz)。在历元t时刻，北斗非差载波和伪距观测方程的数学模型如下：
(1) 式中，i=1,2,3，代表三个频率;Pi和Li为对应频率fi的伪距观测值和载波相位观测量；εp和εL对应伪距观测量和载波观测量的观测噪声，包括多径效应的影响；D代表非弥散延迟，可理解为信号在钟差和对流层延迟条件下的传播距离；I为对应f1频点的电离层延迟，通过计算系数k1i=(f1/fi)2得到；Bi为非零初始相位和整周载波相位模糊度Ni的和，fi频点上的初始载波相位模糊度通常为非整数值。
周跳探测和修复可以看成是探求含有噪声的规则采样下平滑信号时间序列的非连续性。本文中处理的时间序列是载波观测值L1、L2、L3和伪距观测值P1、P2、P3的线性组合。对于北斗导航卫星系统，本文中载波观测值的观测噪声为理想的σL1=σL2=σL3=0.002 m，而伪距观测值的观测噪声σP1=σP2=0.2 m[5]，σP3=0.04 m[7]，整周周跳值表示为δN1、δN2、δN3。
2 周跳探测
本文的周跳探测部分基于载波和伪距观测值分以下三步构造了5种线性组合：① 伪距和载波观测量进行线性组合探测“大周跳”，即远大于观测噪声的周跳值；② 载波线性组合探测“小周跳”；③ 构造基于载波观测量的线性组合对前两步未探测到的周跳组合进行探测。
2.1 大周跳
步骤①中，载波和伪距观测量线性组合的约束条件为组合噪声最小及几何无关。其方程为：
(2) 式中，i=1,2,3;aii=1;bi1=bi2=－1/27;bi3=－25/27。组合系数可以通过约束条件(3) 得：
(3) 依据误差传播定律，观测量Yi的标准差σYi为7 cm量级，为了避免将未模型化的误差放大，设系数aii=1。将式(1) 代入式(2) 可知，Yi可表示为初始模糊度参数、电离层延迟项以及观测噪声三者之和。其中，电离层延迟项可以表示为：
(4) 式中，i=1,2,3;Mi分别取-2.50、-3.17、-3.02;K1i=f12/fi2;K11=1,K12=1.672 4,K13=1.514 5。式(2) 中线性组合的优点在于三个载波上的周跳不会叠加和混淆，因此，一个载波上的周跳不会受到另一载波上的周跳补偿和干扰。将相邻两个历元的观测量Yi组差得到ΔYi。需要注意的是，ΔYi可看作是均值为δNiλi的随机变量，其方差取决于组合观测量噪声标准差σYi和历元间电离层延迟变化量的方差。
本文对两组北斗三频数据进行了分析，数据采集地点为郑州，采集时间为2012年12月28日，观测时长分别为3 h和2 h，其电离层延迟变化统计信息见表 1。
从表 1可以看出，即使对于30 s采样间隔，电离层延迟变化的标准差仍小于1 cm，因此，假定观测噪声与时间无关，且电离层变化量ΔI是与观测噪声无关的随机量，其均值为零，标准差σΔI=1 cm，则ΔYi的方差可为：
表 1 电离层延迟变化统计Table 1. Statistics of Ionospheric Delay Variation采样间隔/s 数据集1/m 数据集2/m 标准差 最大值 标准差 最大值 1 0.003 0.015 0.003 0.017 15 0.005 0.027 0.006 0.030 30 0.006 0.037 0.007 0.041 
(5) 根据式(5) 计算得到σΔYi≈6 cm，i=1,2,3。周跳探测的门限值设定为4σΔYi。假定ΔYi服从正态分布，均值为δNiλi，假设H0:δNi=0被拒绝，即探测到周跳存在：
(6) 对应置信水平α=P(|Z|>4) =0.006%，可得周跳探测“误警”的可能性非常小。当H0被接受时，并不表示不存在周跳。当存在周跳δNi而探测不到的概率即“漏探”的可能性为:
(7) 组合观测量Y1、Y2、Y3上存在的周跳δN1、δN2、δN3的取值范围设为1~10，并假定漏探的概率β＜0.01%，得到三个频点上不能有效探测到的周跳值为|δNi|=1,2(i=1,2,3) ，我们将这几种周跳称为“小周跳”，探测方法在§2.2中阐述。
2.2 小周跳
为了能探测到“小周跳”，需进一步降低组合观测值噪声。这里仅采用载波观测值构造几何无关和电离层无关组合，其数学模型如下：
(8) 式中，a41=－2.348；a42=－7.652；a43=10。组合系数可以通过以下约束条件得到：
(9) 由于组合观测量Y4是电离层无关的，因此，假定其观测噪声是时间无关的，则ΔY4的方差σΔY42=2σY42。假定ΔY4服从正态分布，假设：H0:δN1=δN2=δN3=0被拒绝，即探测到周跳存在： ΔY4(t)=|Y4(t)－Y4(t－1) |>4σΔY4≈14.4 cm，置信水平为α=0.006%。
对所有的小周跳组合进行探测，可得到不能被探测的周跳组合有(1,1,1) 、(-1，-1，-1) 、(2,2,2) 以及(-2，-2，-2) ，对于这4种特定的周跳组合，其探测方法将在§2.3中阐述。需要说明的是，这里只是对小周跳进行探测，至于周跳存在于哪一个频点以及如何修复，需要通过构造新的观测量进行分辨和修复。对于大周跳和特定的周跳组合的情况也是如此。
2.3 特定周跳组合
为了能够探测到上述的几种特定的周跳组合，构造如下观测量：
(10) 式中，a51=1；a52=－0.62；a53=－0.38。组合系数可以通过以下约束条件得到：
(11) 式中，σΔY52=2σY52+M5ΔI2σ2； σY52=a512σL12+a522σL22+a532σL32； M5=a51+K12a52+K13a53；观测量的噪声水平为2.5 mm。因此，即使对于周跳组合(1,1,1) 产生的8 cm水平的跳变，当相邻历元间电离层延迟变化小于7 cm时，上述的所有特定周跳组合都能探测到；而在稳定的电离层环境下，7 cm水平的电离层延迟变化是很罕见的。为更加精确，假定σΔY5≈7 mm，且ΔY5服从正态分布，假设H0:δN=0被拒绝，即周跳被探测到：
(12) 对应的置信水平为α=0.006%。
3 周跳修复
一旦探测到某一历元存在周跳，就要确定周跳的大小，即每个载波上整周周跳的数值大小。本文通过载波相位线性组合确定周跳大小。周跳概略值计算如下：
(13) 通过比较载波波长与ΔYi的噪声水平可知，周跳值δNi=δi+δni，且δni=－1,0,1。为确定周跳大小，这里考虑组合观测量Y5(t)，将其在相邻历元间作差得到：
(14) 建立目标函数：
(15) 计算得到使得目标函数最小的周跳组合。为了增加目标函数的稳健性，构造如下的约束条件：
(16) 式中，δn1,δm1=－1,0,1且(δn1,δn2,δn3)≠(δm1,δm2,δm3)。将所有的组合代入式(16) 进行验证，不能满足式(16) 的组合见表 2。
表 2 不能满足式(16) 的组合Table 2. Combinations not Meet Formula(16) Requirementδn1 δn2 δn3 δm1 δm2 δm3 -1 -1 -1 1 1 0 -1 -1 0 0 1 -1 -1 -1 0 1 1 1 -1 -1 1 0 1 0 0 -1 0 1 1 -1 0 -1 1 1 1 0 0 1 -1 -1 -1 0 0 1 0 -1 -1 1 1 1 -1 0 -1 0 1 1 0 -1 -1 -1 1 1 0 0 -1 1 1 1 1 -1 -1 0 表 2中所有的组合情况，按照(δn1－δm1,δn2－δm2,δn3－δm3)进行分类可以得到(1,2,-1) 、(2,1,1) 、(-1,2,1) 、(2,2,1) 4种情况,其中(δn1－δm1,δn2－δm2,δn3－δm3)与(δm1－δn1,δm2－δn2,δm3－δn3)算作同一类。以(1,2,-1) 为例得到d6(t)=|a61λ1+2a62λ2－a63λ3|，构造组合观测量：
(17) 式中，a61=1；a62=－0.584；a63=－0.416。组合系数通过以下约束条件得到：
(18) 式中，
(19) 组合观测量Y6几何无关且将两组周跳组合之间的差异与观测噪声的比值最大化。目标函数为：
(20) 类似地，对于(2,1,1) 、(-1,2,1) 、(2,2,1) ，可以用相同的方法分别构造观测量Y7、Y8、Y9：
(21) 式中，
(22) 4 试验分析
为验证本文方法的可行性，采用§2中提及的北斗三频实测数据进行分析，在无周跳存在的历元人为加入设定的周跳组合，然后按照本文的方法进行周跳探测和修复。试验进行前，已通过数据分析测得电离层环境较为稳定，因此电离层延迟变化水平仅与数据采样间隔有关，将采样间隔分别设定为1 s、15 s、30 s，试验结果列于表 3。
表 3 北斗三频实测数据Table 3. Beidou Data with Sampling Intervals:1 s,15 s,30 s采样间隔/s 设定历元 设定周跳 估计历元 估计周跳 周跳类型 历元间差值 1 2 (1,1,1) 2 (1,1,1) 特定 ΔY5=－0.051 152 (2,2,2) 152 (2,2,2) 特定 ΔY5=－0.102 332 (1,0,1) 332 (1,0,1) 小 ΔY4=1.923 332 (0,0,1) 332 (0,0,1) 小 ΔY4=2.374 332 (3,3,2) 332 (3,3,2) 大 ΔY1=0.520,ΔY2=0.691,ΔY3=0.419 332 (1,2,1) 332 (1,2,1) 小 ΔY4=－1.878 332 (-2,-1,-1) 332 (-2,-1,-1) 小 ΔY4=0.449 500 (5,4,3) 500 (5,4,3) 大 ΔY1=0.904,ΔY2=0.939,ΔY3=0.655 15 570 (1,1,1) 570 (1,1,1) 特定 ΔY5=－0.056 570 (2,2,2) 570 (2,2,2) 特定 ΔY5=－0.108 570 (1,0,1) 570 (1,0,1) 小 ΔY4=1.954 570 (0,0,1) 570 (0,0,1) 小 ΔY4=2.405 570 (3,3,2) 570 (3,3,2) 大 ΔY1=0.550,ΔY2=0.722,ΔY3=0.453 570 (1,2,1) 570 (1,2,1) 小 ΔY4=－1.847 570 (-2,-1,-1) 570 (-2,-1,-1) 小 ΔY4=0.481 570 (5,4,3) 570 (5,4,3) 大 ΔY1=0.934,ΔY2=0.970,ΔY3=0.689 30 580 (1,1,1) 580 (1,1,1) 特定 ΔY5=－0.059 580 (2,2,2) 580 (2,2,2) 特定 ΔY5=－0.111 580 (1,0,1) 580 (1,0,1) 小 ΔY4=1.905 580 (0,0,1) 580 (0,0,1) 小 ΔY4=2.356 580 (3,3,2) 580 (3,3,2) 大 ΔY1=0.467,ΔY2=0.645,ΔY3=0.369 580 (1,2,1) 580 (1,2,1) 小 ΔY4=－1.896 580 (-2,-1,1) 580 (-2,-1,-1) 小 ΔY4=0.431 580 (5,4,3) 580 (5,4,3) 大 ΔY1=0.851,ΔY2=0.892,ΔY3=0.606 5 结 语
本文方法在充分考虑电离层延迟变化水平的前提下，假设载波观测值的观测噪声为理想的σL1=σL2=σL3=0.002 m，而伪距观测值的观测噪声为σP1=σP2=0.2 m，σP3=0.04 m，对北斗三频数据进行了最优线性组合，针对不同类型的周跳，得到相应的最优组合。
在实测数据无周跳历元的情况下，人为加入设定的周跳值，并进行实验分析，结果表明该方法能够探测到设定的各种类型的周跳，可有效应用于北斗三频非差数据周跳实时探测和修复。此外，针对“误探”、“漏探”的情况，在理论上进行了假设、检验，且实验中并没有出现“误探”、“漏探”。需要指出的是，本文结论是基于实验数据电离层环境稳定的情况得出的，对于活跃的电离层环境，还有待进一步研究改进。
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表 1 电离层延迟变化统计
Table 1 Statistics of Ionospheric Delay Variation
采样间隔/s 数据集1/m 数据集2/m 标准差 最大值 标准差 最大值 1 0.003 0.015 0.003 0.017 15 0.005 0.027 0.006 0.030 30 0.006 0.037 0.007 0.041 
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表 2 不能满足式(16) 的组合
Table 2 Combinations not Meet Formula(16) Requirement
δn1 δn2 δn3 δm1 δm2 δm3 -1 -1 -1 1 1 0 -1 -1 0 0 1 -1 -1 -1 0 1 1 1 -1 -1 1 0 1 0 0 -1 0 1 1 -1 0 -1 1 1 1 0 0 1 -1 -1 -1 0 0 1 0 -1 -1 1 1 1 -1 0 -1 0 1 1 0 -1 -1 -1 1 1 0 0 -1 1 1 1 1 -1 -1 0
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表 3 北斗三频实测数据
Table 3 Beidou Data with Sampling Intervals:1 s,15 s,30 s
采样间隔/s 设定历元 设定周跳 估计历元 估计周跳 周跳类型 历元间差值 1 2 (1,1,1) 2 (1,1,1) 特定 ΔY5=－0.051 152 (2,2,2) 152 (2,2,2) 特定 ΔY5=－0.102 332 (1,0,1) 332 (1,0,1) 小 ΔY4=1.923 332 (0,0,1) 332 (0,0,1) 小 ΔY4=2.374 332 (3,3,2) 332 (3,3,2) 大 ΔY1=0.520,ΔY2=0.691,ΔY3=0.419 332 (1,2,1) 332 (1,2,1) 小 ΔY4=－1.878 332 (-2,-1,-1) 332 (-2,-1,-1) 小 ΔY4=0.449 500 (5,4,3) 500 (5,4,3) 大 ΔY1=0.904,ΔY2=0.939,ΔY3=0.655 15 570 (1,1,1) 570 (1,1,1) 特定 ΔY5=－0.056 570 (2,2,2) 570 (2,2,2) 特定 ΔY5=－0.108 570 (1,0,1) 570 (1,0,1) 小 ΔY4=1.954 570 (0,0,1) 570 (0,0,1) 小 ΔY4=2.405 570 (3,3,2) 570 (3,3,2) 大 ΔY1=0.550,ΔY2=0.722,ΔY3=0.453 570 (1,2,1) 570 (1,2,1) 小 ΔY4=－1.847 570 (-2,-1,-1) 570 (-2,-1,-1) 小 ΔY4=0.481 570 (5,4,3) 570 (5,4,3) 大 ΔY1=0.934,ΔY2=0.970,ΔY3=0.689 30 580 (1,1,1) 580 (1,1,1) 特定 ΔY5=－0.059 580 (2,2,2) 580 (2,2,2) 特定 ΔY5=－0.111 580 (1,0,1) 580 (1,0,1) 小 ΔY4=1.905 580 (0,0,1) 580 (0,0,1) 小 ΔY4=2.356 580 (3,3,2) 580 (3,3,2) 大 ΔY1=0.467,ΔY2=0.645,ΔY3=0.369 580 (1,2,1) 580 (1,2,1) 小 ΔY4=－1.896 580 (-2,-1,1) 580 (-2,-1,-1) 小 ΔY4=0.431 580 (5,4,3) 580 (5,4,3) 大 ΔY1=0.851,ΔY2=0.892,ΔY3=0.606
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