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甚长基线干涉测量(very long baseline interferometry，VLBI)是用以构建多技术地球参考架的重要手段之一[1-3]。VLBI天线参考点(reference point，RP)坐标不仅可利用多条在射电源方向上所投影的基线时延通过反向交会求得[4]，也可通过在单站开展本地测量而得到，然而RP作为虚拟点并不可直接测量，需要通过观测与天线随动的靶标点(target point，TP)，采用一定的归心算法或称为间接方法(indirect method，IM)[4-12]来测定，其原理是通过构建TP点位、天线定向以及RP点位间的几何关系，将RP坐标与天线结构参数(如轴线偏差、主动轴和被动轴倾角等)作为待估参数求解，并用靶标点点位(观测量)的拟后残差来评估参考点的精度。
座架式VLBI天线的水平钢轨经长年运行后，驱动轮与钢轨不断磨损(特别是拼接钢轨，其接缝有逐年变宽趋势)，同时考虑地基沉降等原因，会直接影响天线指向、观测质量以及固定在天线上的TP坐标观测结果。水平钢轨形变改正模型曾用以修正天线指向，如Condon[13]构建的钢轨形变模型将100 m格林班克天线方位指向方差减小了27%；美国喷气推进实验室通过在深空站天线DSS25/26/34/55不同位置处固定多台倾斜仪，测定了每座天线的钢轨水准补偿表以改正其指向，以DSS25天线为例，其俯仰指向误差由52 as减小到11 as[14]；利用天线轨道模型修正模型，乌鲁木齐南山25 m天线指向拟后残差从30 as减小到10 as内[15]。综上所述，钢轨形变模型在天线指向修正中的应用是广泛而有效的，然而，针对本地测量中天线参考点的归心解算，目前钢轨形变改正的应用却是有限的。已有文献[16-17]曾开展过天线重力形变和热形变对RP点位测定影响的研究，但天线水平钢轨形变对测定RP的影响一直未深入研究，现有IM模型均认为水平钢轨形变仅包括了水平钢轨面的整体倾斜，然而天线钢轨形变表现复杂，仅用简单的倾斜形变来描述会导致归心测量观测的靶标坐标残差中出现系统差，这必然会影响到归心点位。对此，本文针对应用广泛的四轮座架式方位俯仰型天线进行专题研究，首次提出水平钢轨残余形变改正，开展了钢轨残余形变建模、TP理论坐标改正以及水平钢轨形变反演等工作。
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水平钢轨表面高程形变H可划分为钢轨面整体倾斜Hw和残余形变Ha两部分。前者导致天线方位轴在站心系中指向某一偏离天顶的固定方向，该效应在现有归心解算模型中已有考虑，即通过估计方位轴东西向倾角α和北南向倾角β来确定天线方位轴指向(见§3)。方位轴倾角与钢轨面整体倾斜的关系可表示为：
式中，A表示天线方位角；ζ为天线俯仰轴相距水平钢轨面的高度；ρ为圆形水平钢轨半径；L为参考点到天线主面边缘的间距。因定义方位轴倾角所采用的参考原点不同，本文引入系数L/(L+ζ)表示分别以钢轨圆心和参考点为原点所计算的天线方位轴倾角的比例。残余形变指水平钢轨形变扣除整体倾斜形变所剩余的形变。钢轨面整体倾斜会导致天线方位轴在站心系中指向某固定方向，而残余形变引起的方位轴指向变化是复杂的，并不能用两个参数来简单表示。
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2011年8月，针对乌鲁木齐南山25 m VLBI天线，分别开展了本地靶标坐标测量与水平钢轨水准测量。
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本文归心测量靶标算例来自文献[18]，文中列出了用以归心解算的靶标在局部控制网(local control network，LCN)中的坐标。在测定靶标坐标时，天线驱动采用了传统的停走模式。前期LCN布设施测、靶标交会测量、水准测量等详细过程可见文献[19-20]，实验中共观测了两组靶标，其信息统计见表 1。TP在天线上的对应的固定位置以及在LCN中的分布示意见图 1。
项目 第1组 第2组 靶标名称 Tc1~Tc5 Ta、Tb 靶标数目 5 2 方位定向/(°) 0, 15, 30…360 10, 70, 130…310 方位步进/(°) 15 60 俯仰定向/(°) 88 10, 20, 30…80, 88 俯仰步进/(°) - 10或8 TP观测量数目 125 108 TP分量(1σ/mm) 1.0, 1.0, 1.7 0.3, 0.3, 0.2 Table 1. Statistics of Observed Targets
Figure 1. Fixed Positions and Distribution of All Targets
如表 1所示，南山站天线俯仰角限位为88°，因此从俯仰80°~88°的步进间隔为8°。在第1组靶标观测时，天线俯仰固定在88°，方位步进间隔为15°，天线背架上共固定了5个靶标，考虑在起始位置处作了一次闭合测量，因此共产生125个靶标坐标观测量。第1组靶标点侧重于求解天线方位轴，第2组靶标点则可直接用于求取参考点坐标。为进一步提高解算精度，两组靶标点全部作为观测量用于归心解算。
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本文所用钢轨水准测量数据来自文献[15]。利用该水准数据对§3.1所提的TP理论位置作水平钢轨残余形变改正。如图 2(a)所示，通过精密水准测量所测得钢轨不平的极差为1.2 mm，采用未考虑钢轨残余形变的IM模型(见§3.1)可求得天线方位轴东西向倾角α和北南向倾角β的估值，可利用式(1)进一步推出钢轨整体倾斜所引起的高程变化，如图 2(b)所示。尽管图 2(b)中曲线与图 2(a)中实测结果有一定吻合，但当两者作差后(见图 2(c)中实线)，钢轨残余形变的极差达到了1.4 mm，该极差已大于图 2(a)中钢轨总形变。为对基于不同方位下的TP作钢轨残余形变改正，此处采用二阶傅里叶级数拟合该曲线(见图 2(c)中点线)，用于插值求取不同方位处天线滚轮所对应的高程。
Figure 2. Global Tilt and Residual Deformation of Steel-Track
2.1. 靶标点观测数据
2.2. 钢轨形变测量数据
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IM用以构建RP点位、天线定向以及TP点位间的关系。未采取钢轨形变改正的靶标理论位置Pcalc采用下式[6]计算：
式中，Prp是参考点的先验位置；OA和OE分别是起始方位角和起始俯仰角；α与β为式(1)中所述方位轴倾角；γ表示俯仰轴倾角；Ptel为靶标的初始位置，可由[b a 0]T来表示；AO表示轴线偏差矢量；Rx表示天线坐标系中分别绕X、Y和Z轴转动的天线旋转矩阵，可详见文献[6]。
式(2)的输入量天线对应的方位俯仰角为A与E。其精度采用σA=σE=±0.005°(天线设计指标)，平差过程参见文献[21]。
尽管观测第一组靶标时，天线并未做俯仰变化，此时不可能解算出参考点点位，但在观测第二组靶标时，天线做了俯仰变化，如果将两组靶标坐标作综合平差，法方程矩阵并不会产生奇异。此外，为减小其他误差影响，可将天线重力形变参数化，该方法本质是从台站高中分离出随俯仰角存在正弦关系变化的部分；为减少天线热形变对RP点位测定的影响，在归心解算时，将与靶标位置相关的参数设为局部参数，并做了分段拟合。
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由前文可知，水平钢轨面整体倾斜形变已由IM中两个方位轴倾斜参数α和β表示(或吸收)，因此TP点位的钢轨形变改正仅需考虑残余形变。其建模过程如下：
用半径为ρ的圆来表示水平钢轨，其残余形变η与方位角A相关，A的取值范围为0~2π。4个滚轮组位于钢轨上方与钢轨面接触，用以驱动天线改变方位，各滚轮组仅占约6°方位，因此可将其简化为4个点。相邻滚轮组以90°方位间隔环形分布。当天线方位角为0°(指北)时，第一个滚轮组的方位角为π/4，则对应任意方位角A，每个滚轮组下方的钢轨残余形变高程表示为η(ξi), i=1, 2, 3, 4，其中ξi=A+(2i-1)π/4。如图 2所示，天线钢轨残余形变Ha的值可用实测钢轨形变扣掉钢轨整体倾斜形变而求得，即:
图 2(a)中的水平钢轨高程测量数据所用方位采样间隔为5°，对应的扣除钢轨整体形变所得残余形变的采样间隔也是5°，本文采用了二阶傅里叶级数来内插任意方位上的钢轨的残余形变Ha，图 2(c)中所示利用二阶傅里叶级数拟合钢轨残余形变的拟后残差中误差为0.1 mm，这个值与测定钢轨高程时所用的Ni002A数字水准仪测量精度相当。
钢轨残余形变引起的天线座架及TP位置偏移可以用旋转矩阵Rtotal来表示，该旋转矩阵以RP为原点建立，改正对象为TP坐标。Rtotal由三个小角旋转矩阵相乘得到，即
如图 3所示，小角Δx、Δy与Δz是由4组滚轮组间高程的微小差异而引起的，前两者引起天线座架倾斜，第三者引起天线挠度形变，三者计算公式[13]分别为：
Figure 3. Antenna Rotation Matrix Based on Small Angles
式中，ζ为天线俯仰轴相对水平钢轨的高。
可将式(4)分解为一个单位矩阵和一个改正矩阵Rc，其中Rc为：
同时，靶标在天线坐标系中的理论位置可以简要表示为:
式中，OA表示初始方位角，定义为地平东方向到本地控制坐标系x方向间夹角。由于实测的水平钢轨水准数据是相对北方向测定的，因此为了改正靶标在本地控制系中的理论位置，在钢轨残余形变改正时，OA前应加入负号；γ表示天线俯仰轴与方位轴的不正交度。对本地控制坐标系中的理论TP坐标引入的水平钢轨残余形变改正量Pt为：
钢轨残余形变改正过程即将Pt加到式(2)中的Pcalc上，以精化靶标理论位置。
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既然水平钢轨形变会影响到天线指向和靶标点位，那么同样可以从所测靶标点位中反演出钢轨不平度。不同于§3.2中利用二阶傅里叶级数对钢轨残余形变作插值后再作TP改正，本小节在TP理论位置中并不加入实测的钢轨残余形变改正，而是将钢轨残余形变参数化，并连同其他参数，包括RP坐标、轴线倾角等，一并将其从TP坐标信息中估计出来。过程如下：
若水平钢轨残余形变可由周期为2π的二阶傅里叶级数来拟合，可表示为：
由于天线的整体倾斜和扭曲仅由各个滚轮间的相对钢轨残余形变来反映，因此式(9)中的常数项b0可以忽略。对钢轨残余形变开展参数化，将参数a1、b1、a2与b2作为全局参数来估计：
其中矢量∂F/∂a1表示为：
其余偏导量可类比推得。
这样二阶傅里叶级数4个系数的估值可同方位轴倾角同时解出，则钢轨不平度估值He表示为：
其中，$ {\hat H_w}$与${\hat H_a}(A) $可通过式(1)并利用上述估值而计算得出。
3.1. 归心解算模型
3.2. 钢轨残余形变改正模型
3.3. 水平钢轨残余形变估算模型
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图 4中的靶标拟后残差分别由下述模型计算：
Figure 4. Post-Residuals to Observations of 7 Targets Fitted by 3 Different IMs
模型A：传统IM模型；
模型B：水平钢轨残余形变改正模型；
模型C：水平钢轨残余形变估算模型。
除模型C多解算了4个傅里叶级数系数外，3类模型的其他解算参数数目均相同。其中Ta、Tb、Tc1~Tc5表示7个不同位置的靶标，x、y、z表示靶标在LCN中的坐标分量。
由图 4中可见，模型B、C相较模型A，7个TP点位分量的拟后残差显著减小，靶标点位残差中误差平均分别提高了50.1%和65.3%。为了进一步说明模型B、模型C的有效性，此处给出E、N、U坐标系中Tc1~Tc5共5个靶标未加入钢轨残余形变改正时的残差，并与钢轨残余形变改正模型所计算的改正量作对比，如图 5所示，其中红、绿、蓝、黄和黑分别表示Tc1~Tc5靶标。钢轨残余形变改正可以很好地解释仅用传统IM模型所得残差中的系统性效应。由于在拟合钢轨不规则形变时采用的是二阶傅里叶级数，尽管其拟合精度与钢轨高程实测精度已相当，但钢轨形变中较为尖锐的部分并不能完全被该级数反映，因此结合§3.2钢轨残余形变改正模型，可知不能被拟合的部分在靶标坐标x和y分量上应该有90°的相位差，图 5中x分量在方位约40°、80°、120°与y分量在方位约130°、170°、330°上确实存在90°的相位差，由此表明模型与改正的不符合的部分是由于二阶傅里叶级数模型的拟合误差引起的。同时，对于本例，局部控制坐标系相对地平坐标存在约38°的方位零点差，这些原因共同导致TP点位残差在局部控制坐标系y分量上的投影要大于x分量上的投影。
Figure 5. Component Residuals (Dots) Without Steel-Track Residual Deformation Correction and Corrections (Lines) Calculated by Steel-Track Residual Deformation
表 2中给出了采用3种模型所解算的参考点在本地控制坐标系中的坐标分量，括号中的值为其对应的1σ精度，模型A、模型B和模型C所求参考点点位的一致性约0.3 mm，说明在引入钢轨残余形变改正或钢轨残余形变估计模型后，归心解算的RP点位并未有显著偏移，同时TP点位的测定精度提高了约30%，归心模型的拟合优度χ2/dof也有相应提高。
模型 Δx/mm Δy/mm Δz/mm $\frac{{{\chi ^2}}}{{{\mathop{\rm dof}\nolimits} }} $ A -0.09(0.09) -0.11(0.11) 0.07(0.18) 6.9 B -0.23(0.07) 0.11(0.08) -0.08(0.15) 4.4 C 0(0.07) 0(0.07) 0(0.13) 3.5 注：表中所给值为各模型所解算参考点坐标与(63 365.95, -12 396.01, 8 695.44)mm的差值 Table 2. RP Coordinates (1 σ Precision) and Goodness of Fit Based on the Different IMs and Corrections
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通过开展协方差分析表明，如图 6所示，模型C所解算的钢轨残余形变参数估值(式(9)中的$\hat{a}_{1}、\hat{b}_{1}、\hat{a}_{2} $与$\hat{b}_{2} $)独立于方位轴倾角($\hat \alpha $和$ \hat \beta $)等参数(参数间相关性为0)，这说明了钢轨残余形变估计可独立于钢轨整体形变估计，同时也表明了对残余形变开展建模的可靠性。图 7为实测与反演的钢轨形变对比图，两者间的高程零点差已由两者间的平均偏差而改正，在有着1.2 mm极差的钢轨不平度上，两者的符合度为0.28 mm。该结果验证了利用本地测量TP坐标观测量反演钢轨形变不平度的有效性。值得注意的是，反演钢轨不平度的前提是开展TP坐标观测时，天线在方位上需有足够密集的定向，本文所用数据采用的天线方位步进采样为5°。
Figure 6. Correlations Among Estimates in Model C
Figure 7. Comparison Between Inversion and Real Steel-Track Unevenness
4.1. 钢轨残余形变改正和估算模型的贡献
4.2. 钢轨不平度的反演
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本文针对四轮座架式方位俯仰型VLBI天线，对天线水平钢轨形变展开分析，并首次构建了钢轨残余形变改正模型，通过利用实测本地归心靶标测量数据与天线水平钢轨水准数据，分析了钢轨残余形变模型对靶标点位与参考点点位及精度的影响。结果表明，钢轨残余形变改正模型与估算模型不仅可以很好解释天线靶标拟后残差中的系统性效应，而且可将参考点点位精度以及归心模型的拟合优度提高约30%。这对实现亚毫米级的VLBI参考点运动监测具有重要意义。此外，还可利用钢轨残余形变估算模型，结合归心测量靶标观测数据反演四轮座架式天线的钢轨形变，该方法尤其可用于水平钢轨被遮挡或不便开展水准测量的天线，这对提高天线观测效率以及天线后期维护保养具有一定的参考意义。
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