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Volume 44 Issue 2
Feb.  2019
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ZHAO Jun, GUO Feixiao, LI Qi. Fisher-Score Algorithm of WTLS Estimation for PEIV Model[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2019, 44(2): 214-220. doi: 10.13203/j.whugis20170061
Citation: ZHAO Jun, GUO Feixiao, LI Qi. Fisher-Score Algorithm of WTLS Estimation for PEIV Model[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2019, 44(2): 214-220. doi: 10.13203/j.whugis20170061

Fisher-Score Algorithm of WTLS Estimation for PEIV Model

doi: 10.13203/j.whugis20170061
Funds:

Open Fund of State Key Laboratory of Geodesy and Earth's Dynamics SKLGED 2017-3-2-E

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  • Author Bio:

    ZHAO Jun, PhD, engineer, specializes in theory of surveying data processing and gravity theory. E-mail: zhaojun4368@163.com

  • Received Date: 2018-02-10
  • Publish Date: 2019-02-05
  • Considering the non-random elements and the same random elements in different locations of coefficient matrix, the partial errors-in-variables(PEIV) model is stricter than general EIV model. However, the existing weighted total least squares (WTLS) algorithm for PEIV model requires more iteration so that the computation efficiency is reduced. Making using of statistical properties of observations errors and coefficient matrix error, this paper deduces a new computational formula of WTLS estimation for PEIV model based on Fisher-Score algorithm. The numerical results show that the Fisher-Score algorithm takes less iterations and the computation efficiency is enormously promoted.
  • [1] Schaffrin B, Wieser A. On Weighted Total Least-Squares Adjustment for Linear Regression[J]. Journal of Geodesy, 2008, 82:415-421 doi:  10.1007/s00190-007-0190-9
    [2] Neitzel F. Generalization of Total Least-Squares on Example of Unweighted and Weighted 2D Similarity Transfromation[J]. Journal of Geodesy, 2010, 84:751-762 doi:  10.1007/s00190-010-0408-0
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    [4] Mahboub V. On Weighted Total Least-Squares for Geodetic Transformations[J]. Journal of Geodesy, 2012, 86:359-367 doi:  10.1007/s00190-011-0524-5
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    [8] 曾文宪.系数矩阵误差对EIV模型平差结果的影响分析研究[D].武汉: 武汉大学, 2013 http://cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-10486-1013210882.htm

    Zeng Wenxian. Effect of the Random Design Matrix on Adjustment of an EIV Model and Its Reliability Theory[D]. Wuhan: Wuhan University, 2013 http://cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-10486-1013210882.htm
    [9] 曾文宪, 方兴, 刘经南, 等.附有不等式约束的加权整体最小二乘算法[J].测绘学报, 2014, 43/(10):1013-1018 http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-CHXB201410005.htm

    Zeng Wenxian, Fang Xing, Liu Jingnan, et al. Weighted Total Least Squares Algorithm with Inequality Constraints[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2014, 43(10):1013-1018 http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-CHXB201410005.htm
    [10] Zeng W X, Liu J N, Yao Y B. On Partial Errors-in-Variables Models with Inequality Constraints of Parameters and Variables[J]. Journal of Geodesy, 2015, 89:111-119 doi:  10.1007/s00190-014-0775-z
    [11] Xu P L, Liu J N. Variance Components in Errors-in-Variables Models:Estimability, Stability and Bias Analysis[J]. Journal of Geodesy, 2014, 88:719-734 doi:  10.1007/s00190-014-0717-9
    [12] Xu P L, Liu J N, Zeng W X, et al. Effects of Errors-in-Variables on Weighted Least Squares Estimation[J]. Journal of Geodesy, 2014, 88:705-716 doi:  10.1007/s00190-014-0716-x
    [13] Wang L Y, Xu G X. Variance Component Estimation for Partial Errors-in-Variables Models[J]. Stuid Geophysica et Geodaetica, 2016, 60(1):35-55 doi:  10.1007/s11200-014-0975-2
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    [15] Zhao J, Gui Q M, Guo F X. L1 Norm Minimization in Partial Errors-in-Variables Model[J]. Acta Geodaetica et Geophysica, 2017, 52(3):389-406 doi:  10.1007/s40328-016-0178-0
    [16] 王松桂, 史建红, 尹素菊, 等.线性模型引论[M].北京:科学出版社, 2004

    Wang Songgui, Shi Jianhong, Ying Suju, et al. An Introduction of Linear Model[M]. Beijing:Science Press, 2004
    [17] Magnus J R, Neudecker H. Matrix Differential Calculus with Applications[M].3rd ed. England:John Wiley & Sons, 2007
    [18] 姚宜斌, 黄书华, 张良, 等.求解三维坐标转换参数的整体最小二乘新方法[J].武汉大学学报·信息科学版, 2015, 40(7):853-857 http://ch.whu.edu.cn/CN/abstract/abstract3288.shtml

    Yao Yibin, Huang Shuhua, Zhang Liang, et al. A New Method of TLS for Solving the Parameters of Three-dimensional Coordinate Transformation[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2015, 40(7):853-857 http://ch.whu.edu.cn/CN/abstract/abstract3288.shtml
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通讯作者: 陈斌, bchen63@163.com
  • 1. 

    沈阳化工大学材料科学与工程学院 沈阳 110142

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Fisher-Score Algorithm of WTLS Estimation for PEIV Model

doi: 10.13203/j.whugis20170061
Funds:

Open Fund of State Key Laboratory of Geodesy and Earth's Dynamics SKLGED 2017-3-2-E

  • Author Bio:

Abstract: Considering the non-random elements and the same random elements in different locations of coefficient matrix, the partial errors-in-variables(PEIV) model is stricter than general EIV model. However, the existing weighted total least squares (WTLS) algorithm for PEIV model requires more iteration so that the computation efficiency is reduced. Making using of statistical properties of observations errors and coefficient matrix error, this paper deduces a new computational formula of WTLS estimation for PEIV model based on Fisher-Score algorithm. The numerical results show that the Fisher-Score algorithm takes less iterations and the computation efficiency is enormously promoted.

ZHAO Jun, GUO Feixiao, LI Qi. Fisher-Score Algorithm of WTLS Estimation for PEIV Model[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2019, 44(2): 214-220. doi: 10.13203/j.whugis20170061
Citation: ZHAO Jun, GUO Feixiao, LI Qi. Fisher-Score Algorithm of WTLS Estimation for PEIV Model[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2019, 44(2): 214-220. doi: 10.13203/j.whugis20170061
  • 经典的Gauss-Markov(G-M)模型及其LS(least square)估计没有顾及到系数矩阵元素含随机误差因素的影响,在一些特殊场合,不能保证得到较优解,EIV (errors-in-variables)模型的整体最小二乘(total least squares, TLS)估计理论上更为严格。如文献[1]最早开展了直线拟合的加权TLS(weighted TLS, WTLS)平差理论研究,随后相关学者对WTLS估计方法进行了深入研究,以不同角度对相关算法进行了研究[2-6],但这些研究均以一般EIV模型为基础,没有顾及到测量实际中系数矩阵含非随机元素和不同位置含相同随机元素的结构化特征,因而文献[7]进一步提出了更一般的PEIV(Partial EIV)模型。针对PEIV模型,由相应的WTLS方法求得的未知参数估值更为严密。鉴于该模型更具一般性,因而获得了广泛关注,例如文献[8]研究PEIV模型的可靠性理论,主要以G-M理论为基础展开讨论; 文献[9-10]研究了含不等式约束的WTLS估计方法; 文献[11]研究了PEIV模型的方差分量的可估性问题。文献[12]研究了系数矩阵误差对PEIV模型WTLS估计的影响分析。文献[13]通过附有相对权比,提出了PEIV模型一种改进的方差分量估计方法;文献[14]提出了PEIV模型的一种两步迭代解法,但本质上与原算法等价;文献[15]提出了PEIV模型的L1范数最小化估计,以抵御观测值中和系数矩阵中的粗差。然而,大多数主要针对PEIV模型展开的扩展研究,而对WTLS估计算法关注相对较少。

    通过运用PEIV模型WTLS估计方法进行解算,发现其需较多次迭代计算,计算效率不高,易造成额外的计算负担。为了更好地满足测量数据的实际要求,进一步对PEIV模型的WTLS估计算法展开研究,具有重要的理论意义和较大的应用价值。

    在统计领域,Fisher-Score方法是一种计算非线性模型参数估计的迭代方法,具备快速收敛性和较强的稳定性[16]。针对PEIV模型,构造仅含未知参数X的非线性目标函数,运用观测值误差和系数矩阵误差的统计性质推导相应的计算公式和实施算法。并通过数值实验对上述算法进行验证。

  • PEIV模型[7]可表示为:

    式中,Ln×1观测向量;Xt×1未知参数向量;Inn×n单位矩阵;Δn×1随机误差向量;hnt×1已知向量;Bnt×s已知结构矩阵;a是系数矩阵A中不同随机元素所组成的s×1已知向量,s表示系数矩阵A中不同随机元素的个数;a为向量a的真值,e =aaA=invvec(h+Ba),invvec是一个将nt×1向量变换为n×t矩阵的函数[17]

    其中,σ2为未知的单位权方差。

    基于WTLS原理,构造如下目标函数:

    式(3)分别对aX求偏导,并令其为零,可得未知参数向量X和向量a的估值分别为:

    其中,$\mathit{\boldsymbol{h = }}\left[\begin{gathered} {\mathit{\boldsymbol{h}}_1} \hfill \\ {\mathit{\boldsymbol{h}}_2} \hfill \\ \vdots \hfill \\ {\mathit{\boldsymbol{h}}_t} \hfill \\ \end{gathered} \right], \mathit{\boldsymbol{B}} = \left[\begin{gathered} {\mathit{\boldsymbol{B}}_1} \hfill \\ {\mathit{\boldsymbol{B}}_2} \hfill \\ \vdots \hfill \\ {\mathit{\boldsymbol{B}}_t} \hfill \\ \end{gathered} \right]$, NhNBNhBNBh的第(i, j)个元素分别为:Nh(i, j)=hiTQΔ-1hj, ${\mathit{\boldsymbol{N}}_\mathit{\boldsymbol{B}}}\left( {i, j} \right) = {\hat {\bar a}^{\text{T}}}\mathit{\boldsymbol{B}}_i^{\text{T}}\mathit{\boldsymbol{Q}}_\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}^{-1}{\mathit{\boldsymbol{B}}_j}\mathit{\boldsymbol{\hat {\bar a}}}$, ${\mathit{\boldsymbol{N}}_{\mathit{\boldsymbol{hB}}}}\left( {i, j} \right) = \mathit{\boldsymbol{h}}_i^{\text{T}}Q_\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}^{-1}{\mathit{\boldsymbol{B}}_j}\mathit{\boldsymbol{\hat {\bar a}}}$, ${\mathit{\boldsymbol{N}}_{\mathit{\boldsymbol{Bh}}}}\left( {i, j} \right) = {\mathit{\boldsymbol{\hat {\bar a}}}^{\text{T}}}\mathit{\boldsymbol{B}}_i^{\text{T}}\mathit{\boldsymbol{Q}}_\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}^{-1}{\mathit{\boldsymbol{h}}_j}$, i, j=1, 2…t;${\mathit{\boldsymbol{S}}_\mathit{\boldsymbol{X}}} = \left( {{{\mathit{\boldsymbol{\hat X}}}^{\text{T}}} \otimes {\mathit{\boldsymbol{I}}_n}} \right)\mathit{\boldsymbol{B = }}\sum\limits_{i = 1}^t {{\mathit{\boldsymbol{B}}_i}{{\mathit{\boldsymbol{\hat X}}}_i}} $, ${\mathit{\boldsymbol{u}}_\mathit{\boldsymbol{h}}} = \left[\begin{gathered} \mathit{\boldsymbol{h}}_1^{\text{T}} \hfill \\ \mathit{\boldsymbol{h}}_2^{\text{T}} \hfill \\ \vdots \hfill \\ \mathit{\boldsymbol{h}}_t^{\text{T}} \hfill \\ \end{gathered} \right]\mathit{\boldsymbol{Q}}_\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}^{ -1}\mathit{\boldsymbol{L}}$,${\mathit{\boldsymbol{u}}_\mathit{\boldsymbol{B}}} = \left[\begin{gathered} {{\mathit{\boldsymbol{\hat {\bar a}}}}^{\text{T}}}\mathit{\boldsymbol{B}}_1^{\text{T}} \hfill \\ {{\mathit{\boldsymbol{\hat {\bar a}}}}^{\text{T}}}\mathit{\boldsymbol{B}}_2^{\text{T}} \hfill \\ \vdots \hfill \\ {{\mathit{\boldsymbol{\hat {\bar a}}}}^{\text{T}}}\mathit{\boldsymbol{B}}_t^{\text{T}} \hfill \\ \end{gathered} \right]\mathit{\boldsymbol{Q}}_\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}^{ -1}\mathit{\boldsymbol{L}}$。

  • 从式(4)和式(5)可以发现,上述公式是交替迭代计算$\mathit{\boldsymbol{\hat X}}$和$\mathit{\boldsymbol{\hat {\bar a}}}$,较易影响计算效率。在统计领域,Fisher-Score方法是一种计算非线性模型参数估计的迭代方法,具有快速收敛性和重要应用价值[8]。鉴于此,本文充分利用观测值误差和系数矩阵误差的统计性质,提出PEIV模型WTLS估计的Fisher-Score方法。

    对式(1)作如下变形:

    显然上式消掉了待估参数$\mathit{\boldsymbol{\bar a}}$,将其体现在系数矩阵A中,故下面仅讨论估计未知参数X即可。结合观测误差和系数矩阵误差的随机性质,有

    利用加权残差平方和最小原理以及式(7)和式(8),可构造如下非线性目标函数:

    这里协方差矩阵$\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\tilde \varSigma} }}$可看作总误差的协方差矩阵。将(10)式的两边关于X求偏导,得

    其中,XiX的第i个分量。

    应用矩阵微分等式[17]

    式中,l表示x的函数,则式(11)中$\frac{{\partial {{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\tilde \varSigma} }}}^{-1}}}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{X}}_j}}}$的具体表达式为:

    其中,${\mathit{\boldsymbol{\tilde h}}_j}$为第j个元素为1的单位向量,即${\mathit{\boldsymbol{\tilde h}}_j}$=[0…1…0]T。注意到式(14):

    令${\mathit{\boldsymbol{S}}_{{B_j}}} = \left( {{\mathit{\boldsymbol{X}}^{\text{T}}} \otimes {I_n}} \right)\mathit{\boldsymbol{B}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{e_a}}}{\mathit{\boldsymbol{B}}^{\text{T}}}\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde h}}}_j} \otimes {I_n}} \right)$,则式(11)可表示为:

    将目标函数ΩX求二阶偏导数,是在式(15)的基础上再对X求一阶偏导数。为简便起见,先对单个分量求导,设定AiA的第i列元素所组成的向量,则有:

    对式(16)中的第一项变形,得式(17)。而式(16)中的第二项的具体求解如式(18)所示。

    将式(17)、式(18)代入式(16)中,并进一步求其期望,得:

    其中,tr[]表示矩阵的迹。令${g_{ij}} = {\text{tr}}\left[{{{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\tilde \varSigma} }}}^{-1}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{S}}_{{B_j}}}{{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\tilde \varSigma} }}}^{-1}}\;{\mathit{\boldsymbol{S}}_{{B_i}}} + \mathit{\boldsymbol{S}}_{{B_j}}^{\text{T}}{{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\tilde \varSigma} }}}^{-1}}\;{\mathit{\boldsymbol{S}}_{{B_i}}} + {\mathit{\boldsymbol{S}}_{{B_i}}}{{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\tilde \varSigma} }}}^{ - 1}}\;{\mathit{\boldsymbol{S}}_{{B_j}}} + {\mathit{\boldsymbol{S}}_{{B_i}}}{{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\tilde \varSigma} }}}^{ - 1}}\;\mathit{\boldsymbol{S}}_{{B_j}}^{\text{T}} - \left( {\mathit{\boldsymbol{\tilde h}}_j^{\text{T}} \otimes {\mathit{\boldsymbol{I}}_n}} \right)\mathit{\boldsymbol{B}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{e_a}}}{\mathit{\boldsymbol{B}}^{\text{T}}}\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde h}}}_i} \otimes {\mathit{\boldsymbol{I}}_n}} \right)} \right)} \right]$,G=[gij],于是目标函数Ω关于X的二阶偏导数的期望为:

    按照Fisher-Score算法的原理,可得计算PEIV模型参数WTLS估计的迭代公式为:

    而计算PEIV模型WTLS估计的Fisher-Score方法的具体实施步骤设计如下。

    1) 给定初始值

    2) 对于任意i,计算STBjG

    3) 计算未知参数估值

    4) 如果$\left\| {{{\mathit{\boldsymbol{\hat X}}}^{\left( {i + 1} \right)}}-{{\mathit{\boldsymbol{\hat X}}}^{\left( i \right)}}} \right\| < \delta $,则迭代结束;否则转到步骤2)。

    算法的具体计算流程如图 1所示。

    Figure 1.  Flow Chart of Computing the WTLS Estimator for PEIV Model

  • 线性回归模型式为:

    式中,(x, y)为点坐标;exey为对应的误差;ξi(i=1, 2)为待估的拟合参数。采用文献[1]中的实验数据进行计算分析。在上述线性模型中,系数矩阵中含常数列[1…1…1]T,故含非随机元素。

    以Think pad E430(Intel Core i5 CPU, 2.50GHz)个人笔记本电脑和Matlab 7.0软件为实验平台,设定迭代终止条件中的阈值为δ=1×10-5,运用文献[7]中算法和本文算法可计算得到相应的拟合参数估值,其结果列于表 1。为了便于比较,将文献[1]的计算结果也列于表 1

    拟合参数 文献[1]结果 文献[7]算法 Fisher-Score算法
    ξ1 5.479 91 5.480 13 5.479 91
    ξ2 -0.480 53 -0.480 58 -0.480 53

    Table 1.  Estimate of the Fitting Parameters

    表 1的结果可知,本文算法得到的拟合参数估值与文献[1]的结果更加接近。主要原因在于文献[7]中算法过早收敛,导致不能得到更加真实和可靠的结果。为了消除随机因素的影响,将文献[7]算法和Fisher-Score算法在相同条件下重复计算了200次,然后取平均结果(平均计算时间和平均迭代次数)列于表 2

    算法 平均迭代次数 平均计算时间/s
    文献[7]算法 181 0.103 74
    Fisher-Score算法 6 0.010 92

    Table 2.  Mean Computation Time and Number of Iterations with Linear Fitting

    表 2的结果表明,本文算法仅6次迭代就满足收敛条件,具备快速收敛性,且低于文献[7]算法的181次。就平均计算时间而言,Fisher-Score算法的计算效率得到显著提升。

    残差平方和是评价算法优劣性的重要指标,故这里给出了文献[7]中算法和本文算法的残差平方和随迭代次数的变化趋势,如图 2所示。鉴于文献[7]算法的第一次迭代的残差平方和为LS残差平方和,其值相对较大,故没有给予展示。从图 2中展示结果可知,Fisher-Score方法的初始残差平方和较小,并且在1次迭代后,变化趋于平缓;而文献[7]算法的初始残差平方和较大,且需多次迭代才趋于平缓。这一结果充分体现了本文算法在计算效率方面的优越性。

    Figure 2.  Sum of Squared Residuals with Iterations for Reference [7] and Fisher-Score Algorithm in Linear Fitting

  • 考虑两坐标系的n个公共点(Xi, Yi, Zi)和(Xi, Yi, Zi), i=1, 2…n(n≥3),其中(Xi, Yi, Zi)和(Xi, Yi, Zi)分别为同一点在原坐标系和新坐标系的坐标,则3D坐标转换模型[18]表示为:

    为了对一般的WTLS估计方法进行分析,构造如下权阵:

    然后模拟服从正态分布N(0, σ2P-1)的随机误差,将其分别加入到5个点在两套坐标系中的坐标值中,得到新的观测值。显然在上述模型中,含非随机元素0和1以及不同位置含相同的随机元素如X

    该算例的实验平台同§3.1。表 3给出了由文献[7]算法和Fisher-Score算法得到的变换参数估值。表 3的结果说明由两种算法所得到的参数估值近似相等。为了消除随机因素的影响,在相同条件下,在计算机上运用上述算法计算坐标变换估值50次,然后统计其平均计算时间以及平均迭代次数,结果如表 4所示。

    变换参数 文献[7]算法 Fisher-Score算法
    x0 1.030 19 1.030 70
    y0 4.537 89 4.537 28
    z0 -7.777 64 -7.777 50
    μ -4.212 20 -4.212 19
    φ -0.617 50 -0.617 50
    ω 1.409 44 1.409 44
    κ -3.509 38 -3.509 362

    Table 3.  Estimate of Transformation Parameters with 3D Coordinate Transformation

    算法 平均迭代次数 平均计算时间/s
    文献[7]算法 375 1.150 66
    Fisher-Score算法 3 0.151 62

    Table 4.  Mean Computation Time and Number of Iterationswith Three-dimensional Coordinate Transformation

    表 4可以看出,文献[7]算法一次运算达到收敛需要迭代375次,而本文算法仅3次,具备快速收敛性。而两种算法50次计算的平均计算时间分别为1.150 66 s和0.151 62 s,即本文算法的计算时间仅为文献[7]算法的13%,计算效率得到了极大提升。文献[7]中算法和Fisher-Score算法的残差平方和随迭代次数的变化趋势如图 3所示,结论与线性拟合算例亦相同。

    Figure 3.  Sum of Squared Residuals with Iterations for Reference [7] and Fisher-Score Algorithm in 3D Coordinate Transformation

  • 1) 顾及系数矩阵含非随机元素和不同位置含相同随机元素的结构化特征,PEIV模型较一般的EIV模型,理论上更为严密。

    2) 考虑到现有计算PEIV模型WTLS估计的方法需多次迭代,进而影响计算效率。为此,本文结合PEIV模型的特征和随机误差的统计性质,构造了仅基于未知参数的非线性模型,利用加权残差平方和最小原理,推导了相应的计算公式,并设计了WTLS估计的Fisher-Score算法。

    3) 以线性拟合和三维坐标转换为例进行了数值实验,从平均迭代次数、平均计算时间和两种算法的残差平方和随迭代次数的变化图可知, Fisher-score算法迭代次数较少,计算效率得到了较大提升。因此,实际应用中应利用迭代次数少的Fisher-Score算法。

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