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目前, 变形监测的主要手段是基于点位的差分GPS或全站仪技术[1]。虽然这些手段可以得到精度较高的变形监测结果, 但只能实现较少点的监测; 同时在监测之前, 变形区域是未知的, 因此很难通过几个点就能确定整体的变形状况。而地面三维激光扫描技术能够采集监测区域高分辨率点云, 利用密集点云可以实现地面监测区域的细节描述[2]。因此, 目前三维激光扫描技术是最具有发展前景的变形监测及滑坡监测技术[3]。
国内外学者对三维激光扫描技术的变形监测原理进行了研究, 主要有基于点和面的监测。基于点的监测主要是通过设置人为标靶来实现, 对标靶进行扫描并提取标靶中心的三维坐标来实现点的变形监测[4], 该方法已经应用于岩石滑落的监测中[5]。另外, 通过提取跨海大桥的特征点来实现对跨海大桥的监测, 并将监测结果与测量机器人的结果进行对比分析, 结果显示误差不超过0.5 mm, 从而验证了三维激光扫描技术应用于点位变形监测的可行性[6]。基于面的监测主要是通过对比分析数字高程模型(digital elevation model, DEM)的变形状况来确定变形[7]。国内学者也对其进行了研究, 如毕俊等利用隧道内壁的点云数据进行断面分析, 从而获得了隧道的收敛变形[8]; 谢谟文等将三维激光扫描技术应用于滑坡表面监测, 并将监测结果与GIS平台结合起来, 实现了对边坡稳定性的评价[9]。
虽然这些方法可以简单实现, 但仍然存在着限制。首先, DEM重建会对小的变形不敏感; 其次, 由于在DEM重建过程中存在误差, DEM对比分析结果不一定是变形产生的, 从而造成了错误的变形判断[5]。有学者指出, 点云误差和配准误差造成的DEM误差达到了厘米级[10]。因此, 点云误差和配准误差[11]可能会覆盖掉实际变形。针对此, 需要研究配准误差和点云对变形监测的影响, 并利用误差熵实现对变形可监测指标的确定。主要步骤包括:①测距、测角及配准误差点位误差熵的建立; ②考虑相邻误差熵相互影响下点云误差空间的计算; ③根据点云误差熵确定点云中每个点的实际误差空间; ④变形可监测指标的构建。本文通过实验和野外滑坡监测确定了该指标的可靠性。
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三维激光扫描获取的是测距ρ、水平角θ和垂直角φ。目标物的坐标为:
设σρ2、σθ2和σφ2是激光束入射角为0时的测距及测角方差, 通过仪器厂商给出的参数可以得到, 而在扫描过程中, 激光束与目标物不可能完全垂直, 两者之间构成入射角α[12]:
式中, V为激光束向量; n为法向量。
任意入射角下的测距方差σ′ρ2与入射角为0时的测距方差σρ2之间的关系为[13]:
假设ρ、φ和θ是相互独立的观测量, 则测距、水平角和垂直角的协方差矩阵为:
利用误差传播规律得到Pcar的协方差矩阵为:
式中,
理论上激光束沿着光斑中心, 但实际上激光束在光斑中服从高斯分布特性, 激光点受光斑影响在光斑中的点位误差标准差为[14]:
式中,{Lx, Ly, Lz}和{lx, ly, lz}分别是激光光斑长半轴和短半轴在x、y、z轴上的投影。
由光斑引起的点位误差协方差为:
由以上分析可知, 激光点位误差不仅有测距、测角误差引起的, 也有光斑引起的, 因此激光点位误差协方差为:
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点云配准公式为:
式中, Pg=[xg yg zg]T是激光点在全局坐标系中的坐标; Tig=[Δx Δy Δz]T是坐标转换的平移向量; Rig是含有旋转角的旋转向量。
根据误差传播规律, 得到全局坐标系下激光点Pg的协方差矩阵:
式中, CPg=diag{σΔx2, σΔy2, σΔz2, σα12, σα22, σα32}是3个旋转角(α1、α2、α3)和3个平移量(Δx、Δy、Δz)的协方差矩阵; JPig是雅克比矩阵,
式中, xg、yg、zg是关于Δx、Δy、Δz、α1、α2、α3的函数形式, 可通过式(10)得到。
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如果点位误差不服从正态分布, 则无法用误差椭球表达, 同时误差椭球的尺度参数没有最佳确定方案。针对此, 引入误差熵模型[15], 激光点的概率密度函数为:
式中, pe为点位误差向量。将式(13)化为标准形式为:
根据信息熵定义[16], 得到激光点位信息熵:
则点位误差熵为:
由式(16)可知, 误差熵系数为[17]:
误差熵椭球的长半轴在u、v、w方向上的投影长度分别为2.564 $\sqrt {{\lambda _1}} $、2.564 $\sqrt {{\lambda _2}} $和2.564 $\sqrt {{\lambda _3}} $。点位落在误差熵椭球中的概率为91.3 %, 意味着误差熵椭球基本上包含了所有的误差信息。
1.1. 点位误差模型
1.2. 配准后的点位误差
1.3. 误差熵模型
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相邻误差熵在u方向存在交集, 则:
式中, d是扫描间隔; ai、bi、ci分别为u、v、w方向的误差熵椭球的长半轴长度, 可以表示为ai=2.564 $\sqrt {{\lambda _1}} $, bi=2.564 $\sqrt {{\lambda _2}} $, ci=2.564 $\sqrt {{\lambda _3}} $。
利用相邻误差熵重叠区域计算公式, 得到相邻误差熵交集大小为:
式中,
假设有m行n列扫描点, u方向重叠区域数有(n-1)m个, 则交集区域误差熵大小为:
不考虑相邻误差熵交集的影响, 点云误差熵大小为:
因此, 实际点云误差熵大小可以表示为:
假设u、v和w方向的误差熵长半轴分别为a′i、b′i和c′i, 则实际点云误差熵可以表示为:
假设η为两种误差熵长半轴大小的缩放系数, 则有:
实际点云误差熵为:
由式(22)和式(26), 得到:
从而有:
a′i是误差熵长半轴的最长值, 即激光点位误差不可能超过该值, 从而可将该值作为变形可监测指标。
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利用大小为0.4 m×0.5 m的平面板模拟变形来验证提出的变形可监测指标的可行性。使用的扫描仪为RIEGL-VZ400, 该扫描仪的方位角、垂直角及测距精度分别为0.008°、0.002°和2 mm。平面板被架设在变形模拟器上, 如图 1所示, 经过测量得到平面板的平整度为0.2 mm。
Figure 1. Simulating Deformation Appliance
对不同距离和不同入射角下的变形进行分析, 得到模拟变形大小为2~10 mm, 如图 2所示。
Figure 2. Deformation of Different Distances and Different Incidence Angles
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利用本文方法计算不同距离和不同入射角情况下采集的点云误差熵, 结果如图 3所示。
Figure 3. Point Cloud Error Entropy
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利用本文方法计算得到变形可监测指标, 如图 4所示。
Figure 4. Deformation Monitoring Indicators
由图 4(a)可知, 随着距离从20 m以相同步长增加到80 m, 变形可监测指标基本上也以相同的间隔在增加。由图 4(b)可知, 入射角从5°增加到55°, 变形可监测指标增长得比较缓慢; 而从55°增加到75°, 变形可监测指标增长得较快, 造成这种现象的原因是入射角越大, 激光返回的信号越弱, 点的密度会降低[12]。
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本文利用最邻近点搜索算法来实现三维激光扫描点云变化的提取[18], 将提取的点云坐标变化量与点云误差限差作对比分析, 确定点云坐标变化量大于点云误差限差的点数, 并将这些点作为实际变形的点, 同时计算所提取变形的点占整个点云的百分比, 如图 5所示。
Figure 5. Ratios of Extracted Deformation for All Trials with Different Distances
由图 5可知, 当距离为20 m时, 只有当变形量达到3 mm时, 提取的变形点数占整个点云数的比重才能超过70%;而当距离为40 m、60 m、80 m时, 变形量应分别达到4 mm、5 mm、6 mm。该结果与图 4(a)相对应, 从而验证了本文方法在不同距离下计算的变形可监测指标的正确性。
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不同入射角下提取的变形点数占比如图 6所示。由图 6可知, 当入射角为5°时, 只有当变形量达到4 mm时, 提取的变形点数占整个点云数的比重才能超过70%;由此可以得到入射角为15°、25°、35°和45°时的变形可监测指标分别为5 mm、5 mm、6 mm和6 mm, 该结果与图 4(b)相对应, 从而验证了本文方法在不同入射角下计算的变形可监测指标的准确性。而当入射角为55°、65°和75°时, 无法确定变形量使其提取的变形点数占整个点云数的比重超过70%, 造成该现象的原因是当入射角大于55°时, 激光点反射产生了大量的噪声, 从而掩盖了变形。
Figure 6. Ratios of Extracted Deformation for All Trials with Different Incidence Angles
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利用三维激光扫描仪对某个小型滑坡进行扫描, 扫描时间分别为2016年10月10日和2016年12月1日, 距离为40 m, 如图 7所示。
Figure 7. Slope Scene
为了验证本文计算的变形可监测指标的准确性, 对2016年10月10日的边坡进行两次重复扫描, 确定在没有变形下的点云坐标变化量, 如图 8所示。
Figure 8. Error Comparison of Repeatedly Scanned Point Clouds
由图 8可知, 没有变形时, 点云误差最大值为0.014 0 m。为了比较准确地计算变形可监测指标, 将扫描区域分为4个区域, 并利用本文方法计算每个区域的变形可监测指标, 如表 1所示。
项目 区域编号 1 2 3 4 变形可监测指标/m 0.013 9 0.013 4 0.014 1 0.013 2 Table 1. Deformation Monitoring Indicators
将表 1的变形可监测指标与图 8作对比分析, 发现不同区域的变形可监测指标的最大值与图 8的点云误差极大值基本上是对应的, 从而验证了本文方法计算的变形可监测指标的准确性。
2016年12月1日, 在相同控制点设置相同的扫描参数对该滑坡进行第2次扫描, 并计算其相对于2016年10月10日的点云坐标变化量, 如图 9所示。图 9中的箭头表示滑坡方向, 主要是从右上方向左下方滑落。
Figure 9. Variation of Point Clouds Between Oct.10, 2016 and Dec.1, 2016
由图 9可以发现, 边坡发生滑坡的地方主要有5个区域, 如图 9中的椭圆和圆形区域, 而矩形区域则是人为造成的一个滑坡。滑坡最大值为0.383 9 m, 主要集中在边坡的顶部, 造成该现象的原因是顶部受雨侵蚀及破坏力较大。而边坡中间区域的空洞相对于图 8有减小的迹象, 主要是左边的空洞有所填补, 造成这种现象的原因是:图 8中边坡中间区域有比较高的岩土挡住了激光射线, 从而造成了空洞现象; 而在图 9中, 岩土受到雨水的冲蚀, 发生了坍塌, 激光射线一部分照射到背面, 使得空洞区域变小。由图 9中右下角标尺的矩形区域可以看出, 矩形区域的滑坡大小主要集中在0.035 m左右, 而实际的滑坡大小近似为0.050 m; 而由表 1计算的变形可监测指标可知, 实际的滑坡大小和提取的滑坡大小相差了大概一个变形可监测指标, 即如果变形量只有变形可监测指标的大小时, 则无法实现准确的滑坡提取。
3.1. 数据采集
3.2. 数据处理
3.2.1. 点云误差熵的计算
3.2.2. 变形可监测指标的确定
3.3. 数据分析
3.3.1. 不同距离下点云变形提取占比分析
3.3.2. 不同入射角下点云变形提取占比分析
3.4. 滑坡实例分析
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本文在分析三维激光扫描测距、测角及配准误差的基础上, 首先构建了激光点位误差熵模型, 并根据相邻误差椭球交集的影响, 得到相邻误差熵模型, 从而得到了整个点云的误差熵模型。然后分析了变形可监测指标和误差熵之间的关系, 确定了三维激光扫描变形可监测指标大小, 利用不同距离及入射角下的平板变形实验, 通过计算变形提取的占比率验证了该指标的准确性。最后将该方法应用于某个滑坡的提取中, 并通过计算不同时期的点云坐标变化量, 确定了发生滑坡的主要区域, 并解释了造成滑坡的原因。
本文提出的点云变形可监测指标可为地面激光扫描及机载激光扫描进行变形监测提供指导, 保证点云变化的提取能够真实反映变形量, 有利于确定变形提取的可靠性。
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