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地球表面观测到的重力位场是地表及地下不同尺度和不同深度地质体的位场的叠加，为了对感兴趣的地质体异常进行进一步的处理、分析和解释，需要对地表观测到的重力位场进行区域-剩余异常的分离[1-2]。
重力位场的区域-剩余异常分离一直是地球物理学中的研究热点问题，很多学者分别基于不同的解算方法对该问题进行了深入的分析和研究，这些方法主要包括空间域的加权平均及迭代算法[3-4]、基于频域的Wiener滤波方法[5]、二维离散小波变换及功率谱方法[6]、稳健的多项式拟合算法[7]以及如快速傅里叶变换及向上延拓滤波、滑动平均法、最小曲率及克里格插值和去除全球重力位模型等多种方法[8-9]。
然而，目前大多数位场分离算法仅对位场数据进行一次分离，分离的区域-剩余位场的垂向深度信息也没有进行定量的说明。为了获得不同深度的重力位场分离信息，本文提出了基于滑动窗口的二维多项式拟合算法进行重力位场的区域-剩余异常分离，同时考虑到不同观测点信息对不同深度区域异常的贡献大小不同，利用格网距离(到中心点)倒数的定权规则对窗口内的参与计算点进行加权处理，数值结果表明了算法的有效性。
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地表观测的重力位场可简化为深部地质构造产生的区域重力异常(大而平缓)和浅部地质结构产生的局部重力异常(小而突出)的叠加效应，在一定区域范围内，可以将区域场异常沿测线方向和对应垂向看作是线性变化的[2]，因此有：
式中，GMeasure、GRegion、GResidual分别表示观测重力异常、区域场异常和剩余重力异常；i=1, 2…N, j=1, 2…M；N、M分别是研究区域相应坐标轴方向上的观测点数量。
一般位场分离方法得到的区域-剩余异常分别对应哪个深度上的地质构造异常还是一个较难准确回答的问题。文献[4]根据大量模型试验和实际资料的应用效果分析，认为计算半径r得到的区域位场可近似地代表深度r以上的地层产生的重力场。进一步扩展思路，利用低阶二维多项式对滑动窗口内的观测点数据进行拟合，整个研究区域内的解算结果代表深度为滑动窗口尺寸大小的地层产生的重力区域场，进而剩余位场就是观测重力位场与计算区域位场的差值。基于不同尺寸的滑动窗口解算得到的位场的差值，就表示特定深度地层在观测面上产生的位场值。本文选用的二维低阶拟合多项式[7]是双线性鞍状函数(bilinear saddle function)，表示为：
式中，A1、A2、A3、A4是拟合系数；P(xi, yi)是根据坐标(xi, yj)拟合得到的值。
为了区分滑动窗口内不同的观测点值对区域场的贡献大小，对二维多项式拟合后的各计算点值(非中心点)进行加权处理，权函数定义如下：
式中，dx、dy分别为观测点距离中心点的经向和纬向距离；Δ是观测数据的数据间隔；α、β是经验参数，用来控制滑动窗口内中心点与周围点的权重分配。
中心点权值为1与周围点权值总和的差值。则该窗口内位于中心点坐标上的区域值表示为：
式中，上标“1”表示第一次解算出的区域场值，对区域场进行迭代计算，直至满足终止条件：
式中，ε表示第k+1次迭代和第k次迭代差值的阈值，整个研究区域计算完成后的位场数据即为滑动窗口尺寸深度的区域位场异常。
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本节通过构建组合模型数据来验证算法的有效性。在10 km×10 km的范围内，在垂向-0.5~-0.3 km的深度空间，布设了8个尺寸相同的矩形棱柱体，每个矩形棱柱体的大小为0.2 km×0.2 km×0.2 km，记为浅层模型；同时，在垂向-1.4~-1.0 km的深度空间，布设了体积较大的4个相同尺寸的矩形棱柱体，每个矩形棱柱体的大小为0.4 km×0.4 km×0.4 km，记为深层模型。模型相关信息见图 1和表 1。
Figure 1. A Schematic Diagram of the Spatial Distribution of the Assembled Model
深度范围/km 矩形棱柱尺寸/km 模型质心坐标(x, y, z)/km 模型密度差/kg·m-3 浅层模型 [-0.5，-0.3] 0.2×0.2×0.2 (2.0, 2.0, -0.4), (2.0, 8.0, -0.4),
(3.0, 3.0, -0.4), (3.0, 7.0, -0.4),
(7.0, 3.0, -0.4), (7.0, 7.0, -0.4),
(8.0, 2.0, -0.4), (8.0, 8.0, -0.4)1 000 深层模型 [-1.4，-1.0] 0.4×0.4×0.4 (2.0, 5.0, -1.2), (5.0, 2.0, -1.2),
(5.0, 8.0, -1.2), (8.0, 5.0, -1.2)1 500 Table 1. The Parameters Information of the Assembled Model
图 1中左上方只给出上下两层矩形棱柱的埋深信息，未显示出所有矩形棱柱体的分布；右下方是组合矩形棱柱体的深度剖面图，黑色截面表示离观察者距离近于灰色截面的矩形棱柱体。
构建的组合模型在观测表面(H=0)上的重力位场结果见图 2，重力位场的数据呈格网分布，数据间隔Δ=0.1 km。
Figure 2. The 2D Gravity Field Distribution of the Assembled Model on the Observation Surface
利用前面介绍的滑动窗口多项式拟合算法对图 2的组合模型重力位场进行不同深度的区域-剩余异常分离：分别选择窗口尺寸大小(对应分离深度)为0.6 km、0.7 km和0.8 km进行计算，相应结果见图 3, 图 3(a)和3(d)分别是深度为-0.6 km以上和-0.6 km以下的地层在观测面上的重力异常，同理, 图 3(b)和3(e)、图 3(c)和3(f)则对应深度分别为-0.7 km、-0.8 km的上地层及下地层在观测面上的重力异常。
Figure 3. The Results of the Separated Field of the Assembled Model
从图 3中可以看到，分离结果较好地区分了浅层模型与深层模型在观测面上的位场分布，对比图 2，发现不同深度的模型组合会对分离结果产生相互干扰，但这并不影响对应分离深度层上模型位场的突出效果，同时在平面位置也与我们构建的组合模型相一致。不同深度上模型位场对分离结果的相互干扰是由于在不同的分离深度上同时包含了各模型组的重力位场效应，离模型越远，位场效应衰减，从而影响变小。
为了验证算法的稳健性和实用效果，利用澳大利亚Kauring航空重力测量试验场实测重力垂向梯度数据进行位场的区域-剩余异常分离。Kauring试验场重力位场及位置见图 4(图例表示重力梯度值Gr,单位为E, 1E=10-9·s-2)，这里选择的分离深度分别为150 m、250 m、350 m和450 m，对应的区域场及剩余场异常结果见图 5。
Figure 4. Distribution and Location of the Surveyed Gravity Field
Figure 5. The Results of the Separated Field of the Surveyed Gravity Field
图 5(a)和5(e)分别对应分离深度为150 m的剩余场和区域场结果，同理5(b)和5(f)、5(c)和5(g)及5(d)和5(h)对应了分离深度分别为250 m、350 m和450 m时的剩余场和区域场异常。结合图 4可以看到，在研究区域的中上部有一明显的正异常，这说明在该区域地下某深度对应着与周围密度差为正的异常物质，从图 5的剩余场分离结果可以看出，该异常物质的下边界深度约集中在地下350 m左右(图 5(c))，因为当分离深度为450 m时，分离的区域场异常(图 5(h))已经无法突出显示该异常物质的位场信号了，这与文献[10]得到的结论是一致的(基于不同方法得到该异常物质深度约为360 m)，从而验证了本文提出的算法的实用效果。
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本文基于滑动窗口的二维多项式拟合算法对重力位场进行区域-剩余异常分离，同时考虑到窗口内不同观测点对区域场异常的贡献大小不同，提出了距离(窗口内观测点到计算中心点)倒数的定权规则，模型试验结果验证了算法的有效性。同时基于澳大利亚Kauring航空重力测量试验场实测重力垂向梯度数据进行位场的区域-剩余异常分离，分离结果与该区域已有研究成果充分契合，给出了研究区域密度差为正的异常物质的下界面深度，进而说明了本文算法的实用效果。
但是就目前来说，利用多项式拟合算法进行位场分离时，无论是本文提出的算法还是已有的研究成果，都是建立在多项式曲面能够对区域场信号进行充分有效拟合的基础上，实际在某些复杂地质构造区域，剩余场与区域场并没有一定的区分，需作进一步研究。
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