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GPS系统自建成以来，一直在导航定位中占据着重要地位。近年来，多GNSS(global navigation satellite system)星座的出现为卫星导航定位的应用提供了更多的卫星资源，增加了多余观测, 并丰富了卫星的几何结构，有助于导航定位性能的提升。多系统GNSS联合观测可以为用户带来诸多优势，如增加可见卫星的数目；提高定位的精度；提高定位结果的可靠性；提高生产效率。北斗卫星导航系统(BeiDou navigation satellite system，BDS)是中国目前正在实施、自主研发、独立运行的全球卫星导航定位系统，和美国的GPS、俄罗斯的GLONASS和欧盟的Galileo并称为全球4大GNSS系统[1]。
近年来, 已有一些学者对组合PPP(precise point positioning)进行了研究, 其中大部分是基于GPS/GLONASS或GPS/GLONASS/Galileo的组合PPP，侧重点各有不同[2-6]；也有一些学者研究过基于GPS和BDS的组合PPP，但侧重点往往是GPS，而本文更侧重于研究北斗对于BDS/GPS组合定位的贡献[7-10]。另外，目前BDS的建设已完成了第二步，现正处于第三步——全球组网的实施阶段。最近几年正是北斗卫星密集发射的阶段，因此有必要经常监测、评价与分析北斗卫星的性能[11]。鉴于此，本文开展基于BDS与GPS的组合PPP研究，以期能够为北斗的应用推广提供参考。
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以GPS单系统为例，接收机和卫星之间的无电离层伪距和相位的PPP观测方程可以写为[12]：
式中，G代表GPS；PG、LG分别是伪距和相位的无电离层组合观测值；ρG是几何距离；c是光速；dtrG是接收机钟差；dtGs是卫星钟差；brG、BrG分别是接收机伪距和相位硬件时延偏差；bGs、BGs分别是卫星伪距和相位硬件时延偏差；NG是模糊度参数；TG是对流层倾斜路径延迟；ζG、εG分别是伪距和相位观测值的噪声。相位缠绕、固体潮、大洋负荷、相对论效应、地球自转等已经根据相应的模型进行了改正，为了简洁, 没有在公式中列出。
伪距硬件时延偏差brG、bGs会被接收机和卫星钟差c(dtrG－dtGs)吸收；相位硬件时延偏差BrG、BGs和卫星有关，而且在短时间内是比较稳定的，因此会被整周模糊度参数吸收[13]。由于采用了精密卫星轨道和钟差，所以无电离层组合伪距和相位的PPP观测方程可以写为[14]：
式中，dtrG、NG分别是重新定义后的接收机钟差和模糊度参数，其表达式为：
BDS伪距和相位观测方程与GPS类似，故BDS/GPS组合系统的无电离层伪距与相位的PPP观测方程可以表达为：
式中，角标G和C分别代表GPS和BDS卫星; 倾斜对流层延迟可表述为：
式中，Td、Tw分别为天顶对流层干延迟和天顶对流层湿延迟；fd、fw分别为干延迟映射函数和湿延迟映射函数。T的干延迟部分通常用经验模型来改正，湿延迟部分通常作为参数来估计。
在组合系统定位中，需要估计系统间偏差(inter-system bias，ISB)。若以GPS作为参考系统，ISB可以写为：
其中，
结合式(5)和式(6)，BDS/GPS组合系统的无电离层组合PPP观测方程可以写为：
式(8)即为组合系统定位的数学模型。
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由于北斗系统正处于持续建设之中，为了验证近期北斗系统整体定位的效果，本次实验数据采用MGEX(Multi-GNSS Experiment)网所采集到的BDS和GPS观测时段为2016-01-01—2016-01-20(共20 d)的数据，且本文旨在研究BDS/GPS PPP，而MGEX网中有许多测站接收不到北斗观测数据或者接收到的观测数据时间段较短，因此选择了分布在亚太地区及其周围的9个测站来进行BDS/GPS PPP研究。所有测站均配备了能同时接收BDS B1/B2和GPS L1/L2双频数据的接收机。所选测站分布如图 1所示。
Figure 1. Geographic Distribution of BDS/GPS Stations Used in the Data Analysis
本文采用自编软件进行BDS/GPS PPP解算。将国际GNSS服务(International GNSS Service，IGS)分析中心得到的最终结果作为真值与本文解算得到的结果进行比较。前期数据预处理采用Turbo-Edit方法进行周跳探测。BDS和GPS卫星的坐标都隶属于ITRF2008参考框架。误差改正部分考虑了与卫星相关的误差改正、与传播路径相关的误差改正以及与接收机相关的误差改正。天线相位中心改正文件使用的是IGS08.ATX。由于没有发布北斗卫星的天线相位中心偏差(phase center offset，PCO)和天线相位中心变化(phase center variation，PCV)改正，因此本文北斗的PCO改正采用ESA(European Space Agency)推荐值，而PCV部分不进行改正[15]。更为具体的解算策略如表 1所示。
项目 处理策略 观测值 无电离层组合观测值 采样间隔 30 s 卫星截止高度角 10° 卫星轨道 GFZ精密星历 卫星钟差 GFZ精密钟差 卫星相位中心 GPS：IGS08.ATX；BDS：ESA推荐值 相位中心变化 只改GPS 相位缠绕 模型改正 固体潮 IERS Conventions 2010 大洋负荷 IERS Conventions 2010 极移 IERS Conventions 2010 相对论效应 IERS Conventions 2010 电离层延迟 消电离层组合 对流层延迟 Saastamoinen模型+随机游走 接收机坐标 静态:作为常数估计；动态：随机游走 接收机钟差 随机游走 模糊度 估计 Table 1. Models and Data Processing Strategies of PPP
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在进行静态PPP时，本文采用两种方案来验证BDS/GPS PPP的性能。
方案1 基于单个测站，分别利用BDS、GPS、BDS/GPS这3种数据来解算该测站的坐标。将全天所有历元的解算结果与IGS的发布值进行比较分析。
方案2 在亚太地区选择9个能同时接收BDS和GPS数据的测站，分别利用BDS、GPS和BDS/GPS这3类数据计算测站的坐标，得到每个测站20 d的平均值，进而评价BDS、GPS和BDS/GPS这3种定位模式的性能。
截至目前，北斗卫星主要覆盖在亚太地区，因此本文首先利用jfng测站2016年1月1日的数据进行静态解算。该站位于武汉市，处于中国中部地区，能全天接收BDS和GPS数据，便于进行BDS/GPS PPP解算。将解算的结果与IGS发布的值作比较，得到解算结果的偏差，按照3种定位模式分别绘制E(东)、N(北)、U(高)方向的偏差，如图 2所示。卫星数量以及空间位置精度衰减因子(position dilution of precision，PDOP)值如图 3所示。
Figure 2. Result of the Static PPP of Three Systems at jfng Station
Figure 3. Satellite Numbers and PDOP Values of Three Systems at jfng Station
从图 2中可以看出，在水平方向上，BDS/GPS PPP解算结果的收敛时间与GPS PPP结果基本一致；但在定位结果收敛过程中，BDS/GPS PPP解算的结果迅速向真实值方向收敛；这两种模式下的解算结果在收敛时间上要明显优于BDS PPP的结果，减少了约一半的时间，且BDS/GPS、GPS、BDS这3种定位模式的解算结果在收敛后的精度基本一致。而在高程方向上，BDS/GPS的收敛时间优于GPS，GPS优于BDS；BDS/GPS和GPS收敛后的精度大致相同，可以达到2 cm之内，都要高于BDS系统的收敛精度(BDS收敛后的精度在3 cm之内)。
从图 3可以看出，BDS/GPS组合系统的卫星数量分别是单系统的两倍左右，BDS卫星数量要略高于GPS系统，因为在中国区域上空一直可以看到5颗GEO卫星。BDS/GPS组合系统的PDOP值最小，说明组合系统的空间结构优于单系统。虽然BDS卫星数量要略高于GPS卫星数量，但GPS系统的PDOP值要小于单BDS系统，说明GPS卫星的空间结构优于单BDS系统，这是由北斗系统的5颗GEO卫星并不是均匀分布在空中而是排列在赤道上空所造成的。
图 4给出了单BDS和单GPS卫星的残差图。从图 4可以看出，BDS无电离层组合伪距残差基本小于4 m，相位残差基本小于3 cm；GPS无电离层组合伪距残差基本小于3 m，相位残差基本小于3 cm。BDS和GPS卫星的伪距和相位残差都是均匀分布，这也说明自编软件的自洽性比较好。BDS卫星无电离层组合后的伪距残差要明显大于GPS卫星残差；BDS卫星无电离层组合后的相位残差和GPS卫星残差基本相当。这可能是由于BDS卫星的多路径效应比较严重，没有很好地消除所致，也是导致BDS的定位精度不如GPS的原因之一。
Figure 4. Residuals of Carrier and Pseudorange Ionosphere-Free Combination for BDS and GPS
另外，为了更加全面地分析BDS/GPS PPP的定位精度，本文还解算了3种模式下9个测站20 d的均方根误差(root mean square error，RMSE)的平均值(见图 5), 以及3种模式下E、N、U方向上20 d的平均RMSE值(见表 2)。
Figure 5. Average RMSE of the 9 Stations Within 20 Days
系统 E N U BDS 4.35 3.01 6.40 GPS 1.21 0.48 1.79 BDS/GPS 1.21 0.50 1.87 Table 2. Average RMSE of Three Systems Within 20 Days in the Directions of E, N, U/cm
从图 5和表 2中可以看出，3种定位模式中，N方向的精度最好，E方向精度次之，U方向精度最差。BDS PPP精度比GPS PPP精度要差，一方面是因为目前BDS跟踪站数量比较少且分布不均匀，导致计算得到的BDS精密星历和精密钟差比GPS的精度低；另一方面是因为BDS卫星没有精确的PCO和PCV改正信息，给滤波解算模型中带入了相比单GPS更大的噪声，造成解算的结果比单GPS系统的精度稍差。BDS/GPS PPP在E方向上的RMSE与GPS相当，均为1.21 cm；而在N方向上和U方向上均比单GPS系统要差。一方面是由于BDS观测值质量比GPS差，使得BDS定位精度较差，导致组合后的定位精度和GPS单系统基本相当；另一方面是由于组合定位存在一些系统间的误差没有消除所致。
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因为动态PPP没有可靠的外部坐标作为参考，所以本文采用静态模拟动态的实验。另外，由于静态观测数据质量一般比动态数据要好, 观测值中有较少的周跳，而且静态实验接收机位置固定不动，比较容易估计天顶对流层延迟，所以模拟动态实验反映的是PPP软件的最佳精度。与静态PPP不同，在动态PPP数据处理时，测站模型化为白噪声，即每个历元估计一组位置参数，其余参数估计策略与表 1一致。对BDS/GPS、BDS、GPS这3种定位模式分别进行动态处理，计算定位结果偏差，如图 6所示。
Figure 6. Result of the Kinematic PPP of Three Systems at jfng Station
通过对BDS/GPS组合、单BDS和单GPS这3种模式的动态解算结果偏差图进行对比分析，可以发现，BDS/GPS组合系统和单GPS系统在水平方向的外符合精度均优于5 cm，高程方向均优于8 cm；而BDS水平方向的外符合精度优于10 cm，高程方向优于15 cm。在水平和高程两个方向上，BDS/GPS组合系统的收敛速度和稳定性均优于单GPS和单BDS系统，单GPS系统的收敛速度和稳定性又均优于单BDS系统。BDS/GPS组合系统收敛后的精度和单GPS系统基本相当，但均优于单BDS系统。对于单GPS而言，在解算结果的收敛过程中，坐标存在着比BDS/GPS组合更快速的抖动和不稳定性，说明BDS的加入对解算结果的收敛有一定的改善作用。3种模式的定位结果均存在一定的抖动，尤其是BDS抖动比较频繁，原因是由于解算采用动态模式，每个历元解算中获取初值的途径不同，卡尔曼滤波算法对状态的估计机制以及对噪声的处理机制也不相同。
另外，为了验证3种模式的收敛速度，本文统计了亚太地区9个测站在3种定位模式情况下20 d的水平和高程方向上的收敛情况(见图 7)。本文对收敛时间的规定是：从开始解算的历元找起，如果某一历元的平面偏差小于10 cm，高程方向偏差小于15 cm，并且从这一历元往后的连续20个历元的平均偏差也满足此要求，则从定位起始历元到该历元所需的观测时间即为收敛时间[16]。从图 7中可以看出，单BDS系统的定位结果在E、N、U方向上分别有41.62%、24.14%、32.95%的收敛时间在120 min以上，说明BDS需要的收敛时间较长。单GPS系统的定位结果在E、N、U方向上分别有34.68%、76.30%、47.40%的收敛时间在20 min之内。相比于单BDS系统和单GPS系统，BDS/GPS组合系统的定位结果在E、N、U方向上分别有58.38%、90.17%、69.94%的收敛时间在20 min之内。可以看出，组合系统的收敛时间要明显小于单系统的收敛时间，这是组合系统的一个非常明显的优势，尤其是相对于单BDS系统。这是因为组合系统有更多的卫星数，空间结构较好, 而且有更多的观测值冗余量，从而可以缩短收敛时间。
Figure 7. Statistics of Convergence Time of the Three Systems Within 20 Days
3.1. 静态PPP
3.2. 动态PPP
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随着中国BDS系统以及欧盟Galileo系统的逐步建设完成，未来多系统组合定位是不可阻挡的趋势。鉴于此, 本文研究了基于BDS/GPS组合系统的精密单点定位。通过大量的实验数据分析可知, 无论是在静态还是动态情况下，BDS/GPS组合系统可以大大缩短收敛时间，尤其是相对于BDS单系统；BDS/GPS组合系统的定位精度与单GPS系统精度基本相当，但均优于单BDS系统；组合系统的卫星数量是单系统的两倍左右，优化了卫星的空间结构，因此组合系统相对于单系统可以提高定位的稳定性；在动态情况下，组合系统的优势更为明显。
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