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对于水下载体而言，使用最广泛的组合导航定位方法是将惯性导航系统与多普勒导航系统进行融合[1-2], 然而此方法最大的问题是误差值会随着时间的增加而不断累积; 超短基线是一种声学定位系统[3-4], 具有定位精度不随时间增加而发散的特点。将以上3种导航技术适当的融合，不但可以取长补短提高定位精度，而且还可以提高系统的可靠性及容错性[5]。
分布式Kalman滤波[6]和联邦滤波[7-9]都可用于多传感器的信息融合，由于联邦滤波具有较高的容错能力，所以更加适合实时的导航数据融合。联邦滤波整体最优的条件是各局部滤波器和主滤波器输出量之间相互独立，此时融合导航解等价于线性最小方差递推融合。但是由于各滤波器的状态方程往往相同或相近，从而导致最终的融合解达不到最优。且联邦滤波算法建立在卡尔曼滤波的基础上，系统的数学模型和噪声统计特性与被研究对象的实际情况必然存在偏差，因此，仍采用传统的卡尔曼滤波容易导致滤波结果的发散。改进的方法包括两大类：一类是各种自适应方法。Sage-Husa自适应滤波算法利用观测数据估计系统的噪声统计特性和模型的参数[10], 滤波结果比较稳定，但属于次优滤波；抗差自适应滤波首先对各传感器观测信息进行抗差估计，然后再进行融合, 其主要目的是减弱观测信息中粗差和状态方程预报值扰动异常对融合导航解的影响[11]。另一类是通过加权的方法[12-13]，基于估计方差阵加权的滤波算法是直接对估计误差方差阵P(k/k-1)加权计算最佳状态估值[14-16]，这种方法只能在一定程度上改善融合导航解的精度和滤波结果的发散问题。
熵是信息论中量化信息量大小的指标，采用信息熵描述系统的不确定程度可以较少地掺入主观的成分，降低卡尔曼滤波对系统的数学模型和噪声统计特性的依赖。针对上述问题，本文提出了一种基于熵权重的导航信息融合新方法。首先研究超短基线定位系统、惯性导航系统和多普勒导航系统3种观测手段相融合的水下载体导航定位数学模型；其次利用信息论计算信息量大小的方法确定了各子滤波器输出量的权重；最后通过两组仿真实验将该方法与加权卡尔曼滤波算法进行比较。
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本文选用的水下导航设备包括捷联惯性导航系统(strapdown inertial navigation system, SINS)、超短基线定位系统(ultra-short baseline, USBL)和多普勒定位系统(Doppler velocity log, DVL), 它们具有抗干扰能力强和全天候特点。作为组合导航定位的参考系统，DVL和USBL分别提供载体的绝对速度和绝对位置，测量结果不随时间发散，可以作为辅助导航系统。图 1是水下组合导航系统的结构图，SINS分别与USBL和DVL构成局部滤波器，局部滤波器采用卡尔曼滤波方法，输出的结果通过主滤波器进行信息融合。这里USBL的观测值是载体在船体坐标系下的位置信息，需要转化为地理坐标系。
Figure 1. The Structure of Underwater Integrated Navigation System
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SINS误差模型为:
式中，δVE、δVN、δVU分别是E、N、U方向的速度误差；ΦE、ΦN、ΦU分别是E、N、U方向的失准角；δL、δλ、δh分别是纬度、经度、高度方向的位置误差；$\nabla $bx、$\nabla $by、$\nabla $bz分别是载体坐标系下X、Y、Z轴加速度计偏置；εbx、εby、εbz分别是X、Y、Z轴陀螺漂移。
SINS状态方程为：
式中, FSINS为状态转移矩阵; WSINS为SINS系统噪声。
局部滤波器1的观测值分别是惯性导航与超短基线经度、纬度、高度的差，量测方程为：
式中，ηL、ηλ、ηh分别为经度、纬度、高度方向上的观测噪声。
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DVL误差模型为：
式中，δVDx、δVDy、δVDz是载体坐标系X、Y、Z轴速度误差，可由一阶马尔科夫过程近似；δKDx、δKDy、δKDz为刻度系数误差，通常设为随机常数。
SINS/DVL状态方程为：
式中，FDVL是DVL误差模型的状态转移矩阵；WDVL为DVL系统噪声。
局部滤波器2的观测值是惯性导航与多普勒声呐测速仪在载体坐标系3轴方向上的速度差。量测方程为：
式中，VSE、VSN、VSU分别是SINS在E、N、U方向上的速度；VDE、VDN、VDU分别是DVL在E、N、U方向上的速度；cij是姿态矩阵cnb中的元素；ηE、ηN、ηU是E、N、U方向的观测噪声。
1.1. 联邦滤波器的设计
1.2. SINS/USBL状态方程和观测方程
1.3. SINS/DVL状态方程和观测方程
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卡尔曼滤波对状态参数的估计服从高斯分布，因此在组合导航系统具有多个局部滤波器时，将各局部滤波器的滤波结果作为一个高斯分量，组合成高斯混合模型(Gaussion mixture model，GMM)，用于描述组合导航定位系统[17-20]：
式中，$\mathit{\boldsymbol{\bar \theta }}$={μ1…μl, ε1…εl, α1…αl}为高斯混合模型的状态参数；P($\mathit{\boldsymbol{\hat X}}$k|$\mathit{\boldsymbol{\bar \theta }}$)表示在参数集为$\mathit{\boldsymbol{\bar \theta }}$的条件下状态估值$\mathit{\boldsymbol{\hat X}}$k的分布情况；l为局部滤波器的数量；αi为第i个高斯分量的权重，满足条件$\sum\limits_{i = 1}^l {{\alpha _i}} = 1$；N(μi, εi)是期望值为μi、方差为εi的高斯分布函数。
GMM模型权重的选取由信息论中描述信息量大小的方法确定，根据信息论的思想[21-22]，信息量的大小与不确定性存在相关性，即系统所包含的信息量越大，不确定性越高；反之，信息量越小则代表不确定性越低。定位的过程即是不断获取被测对象位置信息的过程。观测系统单次测量所获取的信息量越大，概率后验密度函数P(Xk|Y1, …, Yk)所包含的信息量越小，不确定性越小，系统的可靠性越高，定位精度越高；反之，如果测量系统获取的信息量小，则概率后验密度函数P(Xk|Y1, …, Yk)所包含的信息量就越大，不确定度也越大，系统的可靠性变低，定位的精度也变差。熵是信息论中量化信息量大小的指标，描述信息量大小的离散变量为：
插进信息量大小的连续随机变量为：
若p(x)的概率密度函数是连续的且服从高斯分布的，则将其代入式(8)得：
由式(9)可以得出，随机变量X为被积函数，而期望值μ只影响概率密度函数p(x)的位置，与函数的形状无关，所以不改变整体信息量的大小，因此，信息熵函数H(X)只与标准差σ有关，其关系如图 2所示。
Figure 2. The Relationship Between Information Entropy and Standard Deviation
为确定各高斯分量的权重，定义SH(Pi)为第i个高斯模型分量的熵积：
式中，σi为第i个高斯分量函数的标准差；H(Pi)为第i个高斯分量函数的熵值(见图 3)。
Figure 3. The Entropy Area
因为SH(Pi)值越小，代表观测系统的可靠性越高，为保持权重的选取与实际的情况相统一，将k时刻的第i个高斯分量权重计算的公式定义为：
式中，Z为归一化因子；l为局部滤波器的数量。
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状态空间模型与量测模型的卡尔曼滤波结果服从高斯分布，融合各个高斯分量，通过计算各高斯分量信息熵的值，量化各分量模型的可靠性程度，从而求取各分量的权重，最后利用所确定的高斯混合模型求取最佳的状态估值。具体过程如下：
1) 根据各局部滤波器的状态方程和观测方程计算状态估值${\mathit{\boldsymbol{\hat X}}_i}$与相应的误差协方差矩阵${\mathit{\boldsymbol{E}}_{\hat Xk}}$；
2) 采用式(9)计算各个高斯分量下k时刻的信息熵H(X)，利用H(X)及协方差矩阵${\mathit{\boldsymbol{E}}_{\hat Xk}}$中的位置参数的标准差值计算熵积SH(Pi)；
3) 将SH(Pi)代入式(11)计算k时刻高斯分量的权重αi，代入高斯混合模型求出载体位置的最佳估值；
4) 将最终的位置状态估值反馈回SINS参考系统作为下一时刻计算的基准；
5) 更新各局部滤波器的误差协方差矩阵：${\mathit{\boldsymbol{E}}_{\hat X_k^i}} = {\alpha _i}\sum\limits_{i = 1}^l {{\mathit{\boldsymbol{E}}_{\hat X_k^i}};} $；
6) 返回第1)步，重复以上步骤，直至计算终止。
2.1. 熵权高斯混合模型
2.2. 熵权高斯混合模型滤波算法
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为验证熵权高斯混合模型算法的有效性，通过仿真实验与加权卡尔曼融合算法进行比较。仿真实验设计在三维空间进行，水下载体为匀速运动，轨迹和高度变化分别如图 4、图 5所示，模拟水下载体在海洋环境下运动的纵摇幅度为9°，周期为10 s，横摇幅度为6°，周期为8 s，艏摇幅度为6°，周期为6 s，初始纬度为20°, 经度为40°, 高度为0°。采样周期为1 s，共采样5 000次。惯性导航的参数指标如下：加速度计常值偏置为80 μg，随机偏置为80 μg；陀螺仪常值漂移为8°/h，随机漂移为8°/h；母船位于初始位置，超短基线安装于母船船底，定位精度为1‰的斜距；多普勒声呐测速仪的X、Y轴方向测速误差为0.1 m/s，Z轴方向测速误差为0.2 m/s，刻度误差均为0.01；初始位置误差为0.1 m/s, 速度误差为0.01 m/s，姿态误差为0.01°。
Figure 4. Underwater Vehicle Trajectory
Figure 5. Height Position Variation
图 6、图 7是两种方法的位置融合导航解误差。由于超短基线的定位误差与距离有关，因此两种方法在E、N、U方向上的误差均随时间而增长。在历元3 500~5 000之间，加权卡尔曼方法的误差明显增加，部分误差超过10 m，熵权重方法的误差增加量明显小于前者，基本都在10 m之内。表 1是两种融合方法位置导航解误差的比较，可以看出基于熵权重方法的定位精度明显高于加权卡尔曼滤波方法。
Figure 6. Error of Integrated Navigation Outputs Based on Weighted Kalman Filter
Figure 7. Error of Integrated Navigation Outputs Based on Weighted Entropy
中误差 加权卡尔曼 熵权重 E方向位置 3.268 60 2.298 72 N方向位置 3.465 68 2.335 83 U方向位置 3.468 33 2.349 76 Table 1. Comparison of Standard Error/m
如果降低超短基线与多普勒声呐测速仪的测量精度，将超短基线的定位精度变为2‰的斜距，多普勒声呐测速仪的X、Y轴方向测速误差变为0.4 m/s，Z轴方向测速误差变为0.8 m/s，刻度误差保持0.01，同时状态方程中系统噪声为原来3倍。图 8、图 9分别为降低测量精度后两种方法的位置融合导航解误差，表 2是中误差的比较。
Figure 8. Error of Integrated Navigation Outputs Based on Weighted Kalman Filter After Reducing the Measurement Accuracy
Figure 9. Error of Integrated Navigation Outputs Based on Weighted Entropy After Reducing the Measurement Accuracy
中误差 加权卡尔曼 熵权重 E方向位置 6.538 34 3.967 20 N方向位置 6.931 46 4.250 13 U方向位置 6.953 17 4.367 82 Table 2. Comparison of Standard Error After Reducing the Measurement Accuracy/m
对比图 8、图 9可知，在3 500~5 000历元之间，熵权重方法的位置导航解误差基本在15 m以内，部分在15~20 m之间，而加权卡尔曼的方法超过15 m的历元较多，部分甚至超过20 m，表明熵权重的方法受观测噪声增加扰动的影响程度明显小于加权卡尔曼滤波。对比表 1、表 2可知，当测量精度降低时，加权卡尔曼滤波方法中误差平均增长了3.406 80 m，平均增长率为100%，熵权重方法中误差平均增长1.859 40 m，平均增长率为79%。由此可以得出如下结论：
1) 相同条件下，基于熵权重导航信息融合方法的定位精度高于加权卡尔曼滤波方法。
2) 基于SINS、DVL、USBL的组合导航定位方法，融合导航解的误差与USBL的观测距离有明显关系，观测距离增加会导致观测噪声的增加，引起USBL定位误差变大，联邦滤波结果发散。熵权重方法相比于加权卡尔曼方法计算出的滤波结果，发散程度明显要低。
3) 设备测量精度降低的情况下，熵权重方法的定位结果明显优于加权卡尔曼的方法，且滤波结果发散的程度增幅更小。
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针对状态方程和观测方程噪声增大易引起滤波发散的问题，本文提出了一种在高斯混合模型框架下基于熵权重的信息融合新方法。首先给出了水下载体组合导航系统的结构和各局部滤波器的状态方程和观测方程；然后通过建立信息量与不确定度之间的关系，从而量化各个测量系统的可靠性程度，定义熵积的概念和信息融合时各局部滤波器权重的计算方法；通过两组仿真实验表明，与加权卡尔曼滤波算法相比，熵权重方法的导航精度及稳定性都得到了提高，抑制卡尔曼滤波发散的能力也要强于加权卡尔曼滤波，且受设备测量精度的影响小于加权卡尔曼滤波，具有更强的鲁棒性。
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