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近年来, 国产测图卫星(如资源三号(ZY-3)、天绘一号)的成功发射和广泛应用为中国乃至全球1:50 000比例尺的测图应用提供了可靠的影像源保障。不同尺度的测图应用对影像数据源的几何精度、空间分辨率、光谱分辨率、时间分辨率以及立体形式等都有相应的指标要求，其中几何精度是决定卫星影像质量及其测图应用能力最关键的指标。开展卫星影像几何精度理论分析，既是开展卫星应用的基础保障性工作，也可以为测图卫星研制过程中技术指标的设计和制定提供参考依据。
国内外众多机构和学者对当前主流的高分辨率遥感卫星影像开展了大量的几何精度研究和验证工作[1-9]。如Tang等对资源三号卫星影像开展了不同程度的精度研究工作，分析和验证了在轨几何检校、不同区域网平差方式或不同几何成像模型等对卫星影像几何精度的影响[7]; 王任享等提出了无控制条件下的卫星影像高程误差估算模型，研究了姿态和轨道误差对前方交会高程精度的影响[8]; 胡莘等主要考虑了姿态、轨道误差的影响，初步研究了三线阵立体测绘卫星影像无控精度估算方法[9]。
本文针对推扫式光学卫星的几何成像特性，较为全面地分析了影响影像几何精度的主要误差源及误差传播模型，开展了立体测图卫星影像几何精度的定量分析和推导，设计并提出了不同控制条件下的推扫式立体卫星影像平面和高程精度估算模型和方法。
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文献[10-11]的研究表明，影响推扫式卫星影像几何定位精度的主要因素包括时间误差、姿态测量误差、轨道测量误差和相机内部误差等4个方面。这些误差的系统误差中，部分是由相关星上设备(如相机、姿轨测量设备等)的安装误差所导致，为了后续误差分析的便利，本文将其单独考虑，即星上设备安装误差。
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卫星轨道的沿轨向误差ΔX和垂轨向误差ΔY将分别造成地面沿轨向等效平移误差ΔpgpsX//和垂轨向等效平移误差ΔpgpsY⊥：
在高空轨道上，各种摄动力量级较小且连续作用于卫星上，因此同轨前后视立体影像上各自的轨道误差在量级和方向上可认为基本一致，将不会改变立体影像的交会角度，因此垂轨向和沿轨向轨道误差引起的立体像对高程误差可以忽略。
轨道径向误差ΔZ将导致地面垂轨向产生平移误差ΔpgpsZ⊥和沿轨向产生平移误差ΔpgpsZ//：
式中，ω为卫星滚动角；ψ为探元视场角；φ为卫星俯仰角；φ1为相机在俯仰向的倾斜角度(包括前后视相机角度)。同时, ΔZ还将造成等效的地面高程定位误差ΔhgpsZ：
综上所述，卫星轨道误差造成的影像平面定位误差σporbit和同轨前后视立体影像高程定位误差σhorbit分别为：
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1) 姿态俯仰角误差
俯仰角是绕卫星横轴旋转的角度，其误差Δφ将造成地面沿轨向平移误差Δppitch//：
式中，H为轨道高度；φ0为包括前后视相机与正视相机夹角在内的相机俯仰角度。
前后视立体影像上俯仰角误差所造成的前方交会高程误差如图 1所示。
Figure 1. Influence of Pitch Angle Error to the Height Accuracy of Along-Track Stereo Image
图 1(a)中，S1和S2分别是前后视影像获取时刻的相机位置；B为基线；φ0为前后视相机交会光线与正视方向夹角；Δφ1和Δφ2分别是前后视影像姿态俯仰角误差；A表示没有俯仰角误差的正确交会位置；A1为假设前视影像的Δφ1为0，将Δφ1影响纳入到后视影像的俯仰角误差中，即受到Δφ2－Δφ1影响的交会点位置；A2表示受到Δφ1+Δφ2影响的交会点位置。则A1的高程误差Δh′ pitch为[8]：
如图 1(b)所示，当Δφ2－Δφ1为0时，俯仰角误差仅造成了A和A1之间的平移误差，并未改变其高程值，即Δh′ pitch=0。
由于Δφ1和Δφ2相互独立，俯仰角误差Δφ导致的前后视立体影像高程误差Δhpitch如下：
2) 姿态滚动角误差
滚动角是绕卫星飞行方向旋转的角度，其误差Δω对影像平面定位精度的影响机理与姿态俯仰角误差是一致的，将导致影像在垂轨向的平面定位误差Δproll⊥为：
式中，ω0为卫星滚动角和探元视场角之和。
由于卫星可能产生的最大滚动角误差对同轨立体影像交会角的影响极小，因此其导致的前后视立体影像高程误差可以忽略。
3) 姿态偏航角误差
偏航角误差Δκ将导致影像产生沿轨向平移误差Δpyaw//和垂轨向平移误差Δpyaw⊥：
式中，Y为影像幅宽。
偏航角误差Δκ导致的前后视立体影像高程误差Δhyaw为[8]：
综上所述，姿态误差造成的影像平面定位误差σpattitude和同轨前后视立体影像高程定位误差σhattitude分别为：
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卫星每一行影像成像时，均会记录影像行的成像时间，在测定离散的卫星姿态和轨道数据时，也会记录相应的时间(简称姿态时间和轨道时间)。时间误差的影响过程极为复杂，表现如下：①当3类时间不同步时，采用影像行成像时间获取外方位元素时，将无法获取对应的真实姿态和轨道数据，等效于引入了额外的姿态和轨道数据误差。②为了应用需要，将卫星姿态数据从惯性坐标系转换到地固坐标系过程中，需要使用姿态时间和轨道时间，若两者的时间不同步，将会引入颇为复杂的额外姿态数据误差。③时间误差中还可能包括积分时间跳变，除了导致影像沿轨方向的分辨率变化外，还可能在外方位元素插值时引入高频分量。其中，①中所述情况对影像几何精度影响最大，由于主要国产测图卫星的时间同步精度较高(如ZY-3卫星时间同步精度可达到20 μs)，因此时间误差对影像几何精度的总体影响非常小。为了简化分析，本文主要分析和推导①中所述时间误差的影响。
1) 影像行时间误差
影像行成像时间误差Δtcamera将造成影像在沿轨向产生平移误差ΔpTcamera//：
式中，V为卫星飞行速度。
其造成的同轨前后视立体影像的高程误差ΔhTcamera为：
2) 轨道时间误差
轨道时间误差Δtorbit将引入额外的轨道数据误差。为了简化分析，假设在一个极短的时间段内，轨道运动为匀速直线运动，此时Δtorbit将导致轨道沿轨向误差ΔXTorbit为：
参照§1.1轨道误差影响定量分析公式，可以获取ΔXTorbit造成的影像平面沿轨向定位误差ΔpTorbit//；同理ΔXTorbit对前后视立体影像的高程误差也可以忽略。
3) 姿态时间误差
当卫星姿态处于一个持续的变化过程时，姿态时间误差Δtattitude将会引入额外的姿态数据误差，在一个较短时间段内, 姿态在俯仰、滚动和偏航3个方向的变化可认为是匀速变化，变化速度即为姿态的稳定度数值。则姿态时间误差引入的姿态俯仰角误差ΔφTattitude、滚动角误差ΔωTattitude和偏航角误差ΔκTattitude分别为：
式中，Vpitch、Vroll、Vyaw分别为姿态在俯仰、滚动和偏航方向的稳定度。
参照§1.2姿态误差影响定量分析公式，可以获取ΔφTattitude造成的影像沿轨向平面定位误差ΔpTpitch//和前后视立体影像高程误差ΔhTpitch；ΔωTattitude造成的影像垂轨向平面定位误差ΔpTroll⊥，同理其对前后视立体影像高程精度影响也可以忽略；以及ΔκTattitude造成的影像沿轨向最大平面定位误差ΔpTyaw//、垂轨向最大平面定位误差ΔpTyaw⊥和前后视立体影像高程误差ΔhTyaw。
综上所述，时间误差造成的影像平面定位误差σptime和同轨前后视立体影像高程定位误差σhtime分别为：
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相机内部各类误差在沿轨向的综合影响效果等效为探元在焦平面上沿轨向的平移误差Δxlens，其将引起探元指向角在沿轨方向的误差Δφlens为：
式中，xlens为理想无误差条件下CCD探元在焦平面沿轨向安装位置与像主点的距离，在推扫式相机中，一般情况下其值为0；f为相机焦距。
Δφlens对影像几何定位精度的影响效果和姿态俯仰角误差相似，将其代入式(6)和式(8)，即可得到内方位元素沿轨向误差导致的影像平面定位误差Δplens_pitch//和前后视立体像对高程误差Δhlens_pitch。
相机内部各类误差在垂轨向的综合影响效果可以等效为探元在焦平面上垂轨向的平移误差Δylens，其将引起探元指向角在垂轨向的最大误差Δωlens为：
式中，ylens为理想无误差条件下CCD探元在焦平面上垂轨向的安装位置与像主点的距离。
Δωlens对影像几何定位精度的影响效果和姿态滚动角误差相似，将其代入式(9)可以得到其造成的影像平面定位误差Δplens_roll⊥; 与姿态滚动角误差的影响类似，Δωlens对前后视立体像对高程精度的影响也可以忽略。
综上所述，相机内部误差造成的影像平面定位误差σpcamera和同轨前后视立体影像高程定位误差σhcamera分别为：
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设备(此处设备是将星上所有设备视作一个统一整体考虑, 下同)安装误差包括安装平移误差和角度误差，从影响效果而言，安装平移误差等效于轨道误差，安装角度误差等效于姿态误差。
国产测图卫星的相机视场角不大，高空成像时，线元素误差与角元素误差对几何定位精度的影响具有等效性，因此可将安装平移误差等效为安装角度误差，统一采用安装角度误差来描述设备安装误差[12]。参照§1.2卫星姿态误差分析方法，设备安装误差也可以分解为俯仰向、滚动向和偏航向的安装角度误差，并最终可以获取星上设备安装误差造成的影像平面定位误差σpinstall和同轨前后视立体影像高程定位误差σhinstall。
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由于各类误差系独立传播，因此卫星影像在平面的总体几何误差σpRAWimage是上述各类误差对平面几何精度影响的综合结果：
同理，卫星影像同轨前后视立体像对高程定位误差σhRAWimage是各类误差对前后视立体影像高程定位精度影响的综合结果：
1.1. 轨道误差影响定量分析
1.2. 姿态误差影响定量分析
1.3. 时间误差影响定量分析
1.4. 相机内部误差影响定量分析
1.5. 设备安装误差影响定量分析
1.6. 所有误差综合影响定量分析
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本文分别针对ZY-3卫星正视全色影像和同轨前后视立体影像开展平面精度和高程精度实验。
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ZY-3卫星影像在业务化生产过程中，定期开展在轨几何检校，其中相机内方位元素的标定精度达到0.25像元(1σ，σ为标准方差)，星上设备安装角度的标定精度达到0.8″(1σ)[13-14]。ZY-3卫星提供两种精度的外方位元素，分别是星上实时测量并随影像下传的轨道和姿态数据(简称预轨数据和预姿数据)以及地面事后处理的高精度定轨和定姿数据(简称精轨数据和精姿数据)。其中，预轨数据在沿轨、垂轨、径向3个方向的精度均优于5 m(1σ)，精轨数据在沿轨、垂轨、径向3个方向的精度均优于0.1 m[15]；预姿数据在俯仰、滚动、航偏方向的精度均为2.0″(1σ)，精姿数据在俯仰、滚动、偏航方向的精度均为1″(1σ)[16]。
采用在轨几何检校成果和不同姿态及轨道数据生产的传感器校正影像在无控条件下的理论几何精度估算结果如表 1所示。
误差类型 误差源 几何误差(1σ)/m 误差项 误差值(1σ) 平面 高程 轨道 精轨沿轨、垂轨和径向 0.1 m 0.14 0.25 预轨沿轨、垂轨和径向 5 m 7.08 5 姿态 精轨俯仰、滚动和偏航 1″ 3.47 0.20~4.53 预轨俯仰、滚动和偏航 2.0″ 6.93 0.40~9.07 相机 指向角俯仰
指向角滚动0.21″
0.21″0.72 0~0.95 时间 成像时间
轨道时间
姿态时间20 μs
20 μs
20 μs0.23 0.25 设备安装 安装角俯仰
安装角滚动
安装角偏航0.8″
0.8″
0.8″2.78 0.16~3.62 综合误差 采用精姿和精轨 4.51 0.44~5.89 采用预姿和预轨 10.32 5.03~11.02 采用精姿和预轨 8.39 5.02~7.72 采用预姿和精轨 7.51 0.56~9.82 Table 1. Estimated Accuracy of Imagery Without Ground Control Points (GCPs)
表 1计算过程中所用的卫星参数具体如下：轨道高度505 km，卫星运行速度7.9 km/s，姿态稳定度5×10-4 °/s(三轴，3σ)，影像幅宽52 km，相机焦距1 700 mm，正视相机CCD探元尺寸0.007 mm，前后视相机CCD探元尺寸0.01 mm。其中，相机误差是利用几何检校后相机内方位元素的标定精度(0.25像素)，采用式(20)和式(21)推算而来。
估算的理论精度表明, 在无控制点条件下，使用精姿和精轨数据生产的传感器校正影像平面精度达到了4.51 m，符合中国1:10 000比例尺基础地理信息产品的平面精度要求；而立体影像高程精度的最差值优于5.89 m，基本可以满足我国1:50 000比例尺基础地理信息产品在丘陵、山地和高山地的高程精度要求。
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星上设备安装误差属于系统性误差，姿态和轨道测量误差虽然从长时段来看表现出随机性，但在短时间段内(标准景成像时间内)主要表现为系统性误差，这些误差均可以被控制点吸收。而相机内部误差、时间误差由于会出现高阶畸变或时变特征，通常难以利用地面控制点消除，成为影响带控制点定位精度的主要因素。有控条件下的传感器校正影像理论几何精度估算结果如表 2所示(计算过程中，所用卫星参数与表 1相同)。
误差类型 误差源 几何误差(1σ)/m 误差项 误差值(1σ) 平面 高程 相机 指向角俯仰
指向角滚动0.21″
0.21″0.72 0~0.95 时间 成像时间
轨道时间
姿态时间20 μs
20 μs
20 μs0.23 0.25 综合误差 - 0.77 0.25~0.98 Table 2. Estimated Accuracy of Imagery with GCPs
估算的理论精度表明, 在有控制点条件下，传感器校正影像平面精度达到了0.77 m，符合中国1:10 000比例尺基础地理信息产品的平面精度要求；高程精度最差值达到了0.98 m，符合中国1:25 000比例尺基础地理信息产品的高程精度要求，也满足中国1:10 000比例尺基础地理信息产品在丘陵、山地和高山地的高程精度要求。
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选定湖北省全境(面积18.59万km2)作为实验区域，其间地形起伏的海拔为20~3 105 m。将收集到的实验区域内的180个外业GPS点作为检查资料，其平面和高程精度均优于0.2 m。实验影像选用2012年3月(卫星发射初期)至2014年12月期间获取的620对ZY-3卫星传感器的校正三线阵立体影像，影像附带有理函数模型，前、正、后视影像的分辨率分别为3.5 m、2.1 m、3.5 m。实验影像生产过程中使用了与成像时间最近的几何检校成果补偿各类系统误差。受各种因素影响，2013年2月之前的影像生产中采用了预姿和预轨数据作为外方位元素，2013年2月之后的影像生产中采用了预姿和精轨数据作为外方位元素。GPS点在实验影像上的像点坐标由人工刺点获取，像点量测精度优于0.5像元。实验区域、实验影像和GPS点的地理分布如图 2所示。
Figure 2. Experimental Area, Images and Distribution of GPS Points
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将所有GPS点作为检查点，根据检查点的大地坐标，利用正视影像的有理函数模型计算出检查点在实验影像上的像素坐标，并与人工刺点获取的检查点在实验影像上的像方量测坐标进行比较，即可获取正视影像的平面精度。根据人工刺点获得的检查点在前后视立体影像上的像方量测坐标，采用基于有理函数模型的空间前方交会方法计算检查点的物方交会地面坐标，并与检查点的真实地面坐标进行比较，即可获取前后视立体影像的前方交会精度。
由于2013年2月之前和之后生产的影像采用了不同的外方位元素，分别统计该时间点之前和之后生产的正视影像的平面精度和前后视立体影像的高程精度，如表 3所示。
影像获取时间 采用轨道 采用姿态 平面误差/m 高程误差/m 中误差 最大误差 中误差 最大误差 2013年2月之前 预轨 预姿 17.33 40.87 8.35 20.50 2013年2月之后 精轨 预姿 7.99 35.42 6.40 17.38 Table 3. Image Geometric Accuracy Without GCPs
通过与估算的理论精度进行对比可知，采用精轨和预姿数据作为外方位元素时，传感器校正影像的实验精度和理论精度基本吻合。而采用预轨和预姿作为外方位元素时，影像的实验高程精度在理论高程精度的合理范围之内，但实验平面精度却低于理论平面精度，主要是由于卫星发射初期的在轨测试受到了影像地面处理系统还处于改进完善阶段的影响。总体而言，实验结果证明了无控制点条件下的理论精度估算均具有一定的合理性和正确性。
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将实验影像构建区域网，每个立体像对上至少均匀布设100个连接点，同时较为均匀地布设20个控制点，将剩余的GPS点作为检查点，开展稀少控制点条件下的大范围区域网平差实验。平差结果中，平面中误差为2.49 m, 最大误差为5.72 m; 高程中误差为1.65 m, 最大误差为4.56 m。检查点的残差图如图 3所示。
Figure 3. Residuals of Block Adjustment with High-Precision Scarce GCPs
实验精度比估算的理论精度偏低，主要原因可能是由于仅采用了稀少控制点，影像中除了表 3列举的系统误差外，可能还存在一些其他非系统性误差和刺点误差。假设控制点在影像上的量测误差ΔM为0.3个像素，则其导致的平面误差dpM和高程误差dhM分别为：
理论平面误差应为1.82 m(即0.77 m +1.05 m)，理论高程误差应为1.42~2.15 m。此时，实验精度和理论精度基本吻合，证明了有控制点条件下的理论精度估算也具有一定的合理性和正确性。
此外，需要特别说明的是，目前国产测图卫星(如资源三号、天绘一号等)拥有极为相似的成像机理(如采用线阵推扫成像、采用GPS和星敏设备获取外方位元素)，且其地面影像处理技术和方法也较为相近。因而从理论上讲，国产测图卫星影像的误差传递模型是相似的，本文虽然仅采用了ZY-3卫星影像开展验证实验，但实验结果仍具有足够的代表性。
2.1. ZY-3卫星影像理论精度估算
2.1.1. 无控制点几何精度估算
2.1.2. 有控制点几何精度估算
2.2. ZY-3卫星影像实际精度验证
2.2.1. 实验区域和实验数据
2.2.2. 无控制点几何精度实验
2.2.3. 稀少控制点条件下的几何精度实验
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本文从推扫式光学卫星成像过程中内外方位元素误差对卫星影像平面和高程几何精度的影响机理出发，定量推导了主要误差源对影像几何精度的影响方式和程度，设计了推扫式光学卫星影像几何定位理论精度的定量分析方法和公式。以ZY-3卫星为实验对象，估算了无控制点和有控制点条件下的传感器校正影像的几何理论精度，并以湖北省全境的大样本影像进行精度实验验证，结果表明本文提出的推扫式光学卫星影像的几何精度定量分析方法具有正确性，适用于光学测图卫星影像几何精度的定量估算。为了简化分析，各类主要误差对影像几何定位精度的影响在文中被认为是相互独立的，即各类误差在误差分析过程中可以视为独立传播误差，后续将继续深入研究不同误差之间的相互影响和作用，进一步完善现有模型的科学性。
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