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中国北斗导航定位系统(BeiDou navigation satellite system，BDS)是一个以全球定位服务为目的并对亚太地区重点增强的系统[1]。现有研究表明, 与GPS相比, BDS存在伪距码偏差，该偏差会导致Melbourne-Wübbena(MW)组合观测值的稳定性下降，从而使BDS系统的模糊度难以有效固定[2-6]。国内外多位学者对BDS卫星伪距码偏差进行了研究[7-8]。Wanninger等通过分析多个测站、不同类型的接收机观测数据，得到了IGSO(inclined geosynchronous orbit)/MEO(medium earth orbit)卫星与高度角及频率相关的伪距码偏差改正模型[9]。该模型基于两步法实现：①对所有观测弧段分别估计伪距码偏差改正值，由于各弧段包含不同的模糊度参数，其估计量难以处于同一基准；②通过增加基准获得最终的模型参数[10]。实现过程中，为将不同弧段的估计值统一到同一基准，需增加所有弧段估计的各颗卫星伪距码偏差均值为零这一约束，而该约束难以保证所有弧段精确对齐，且当出现新发射或失效的卫星时，基准会发生变化, 从而引入建模误差。此外，不同BDS卫星即使处于同一类卫星轨道，其伪距码偏差由于硬件设备及环境的差异仍存在不一致性，而现有方法未对此加以考虑。
针对此，本文提出一种基于历元间差分的一步建模方法。该方法既可准确消去未知的模糊度参数，又能依据高度角、建模历元数分别确定不同历元、不同测站的观测值权重，从而提高建模结果的可靠性。考虑到每颗IGSO/MEO卫星所处状态的差异性，建立了每颗卫星的改正模型。利用广东省连续运行卫星定位服务系统(continuously operating reference station network of Guangdong province，GDCORS)10个未参与建模测站的实测三频数据，通过与现有模型的改正效果进行对比，验证了本文方法的正确性和结果的有效性。
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码观测值的部分特性可由码观测值和相位观测值的线性组合反映。其中，多路径(multipath，MP)组合、MW组合是用于分析卫星各频率伪距码偏差特性以及验证模型改正效果的两种常用的组合观测值。
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MP观测值由单频伪距码观测值P(单位为m)和双频相位观测值φ(单位为周)组成。记i、j、k为不同频率，λi、λj、λk为不同频率对应的波长，$ \widetilde N $、bis、br、mMP、δMP分别为模糊度、卫星端伪距码偏差、接收机端伪距码偏差、MP观测值的多路径和观测噪声, 则MP组合观测值的具体表达式为：
式中，mijk为根据不同频率波长计算得到的系数,
实际应用中，通常选取i=j或i=k。基于式(1)，以国际GNSS服务(International GNSS Service, IGS)全球观测网GMSD站跟踪的C10卫星为例，图 1显示了2014年第72天(即年积日为72)的MP1观测值随卫星高度角变化的时序图，采样间隔为30 s。可知，BDS的MP1值存在系统性偏差，且该偏差与高度角相关。
Figure 1. Variations of MP1 Observations with Corresponding Elevation Angles on Time Domain of C10 Satellite
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由式(1)可知，MP观测值中包含模糊度参数、卫星端伪距码偏差、接收机端伪距码偏差、MP组合观测值的多路径和观测噪声。Wanninger等指出，不同接收机类型对卫星端伪距码偏差无影响[9]，且本文所选建模数据均源自IGS测站，观测环境良好，接收机端伪距码偏差及多路径在本文建模中予以忽略，因此只需通过历元间差分准确消除公共的模糊度参数，即可直接进行建模。记MPi(t0)为t0时刻、频率为i(i=1, 2, 3)的MP组合观测值，该时刻对应的卫星高度角为x(t0)，多项式模型系数记为am(m=1, 2, 3)，则此时的卫星端伪距码偏差与t0时刻对应的卫星高度角之间的函数关系为：
同理，卫星端伪距码偏差与tp(p=1, 2…n)时刻对应的卫星高度角之间的函数关系为：
选取t0时刻为参考历元，若tp时刻相位观测值未发生周跳，则与参考历元作差可得：
作差后，消去公共的模糊度参数，忽略接收机端伪距码偏差及观测噪声，式(5)左端仅保留不同高度角对应的卫星端伪距码偏差之差bis(tp-t0)，可由式(1)计算得到; 式(5)右端的高度角x(tp)、x(t0)均可由测站坐标和卫星位置计算得到，因此只需估计伪距码偏差改正模型系数am(m=1, 2, 3)。若某历元发生周跳，则变换该历元为参考历元，后续历元依上述方法处理。记W为权重，E为高度角，则依高度角的定权策略为：
对IGSO/MEO同类型卫星整体建模时，将式(5)对应的同类型卫星观测方程按照式(6)定权，并进行法方程叠加综合解算待估参数。同理，逐卫星建模时，则对各颗卫星进行法方程叠加求解待估参数。本文所述一步法有效规避了基准选择问题，通过历元间差分可精确消除模糊度参数。同时，在进行法方程叠加求解待估参数时，同一测站的不同历元观测值依据高度角定权，不同测站则根据参与解算的观测值个数体现其权重。
1.1. BDS卫星伪距码偏差特性
1.2. 一步法建模原理
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为验证一步法建模方法的正确性，本文选取两组测试数据进行建模，并采用一组未参与建模数据进行验证分析。
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图 2为本文采用的全部测站分布图。Data1采用与Wanninger等[9]进行建模时相同的观测数据，测站为图 2中的红色标记+蓝色标记, 时段为2014年第070~079天、160~169天; Data2的观测时长为Da-ta1的3倍, 测站为图 2中的红色标记+蓝色标记, 时段为2014年第070~099天、160~169天。
Figure 2. Distribution of Ground Tracking Stations Used to Model
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为验证所建模型的有效性，选取未参与建模的GDCORS内10个测站，2015年年积日为315~324的实测数据进行验证，测站分布如图 3所示。
Figure 3. Distribution of Ground Tracking Stations Used to Validate
2.1. 建模数据
2.2. 验证数据
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本文从3个方面验证IGSO/MEO卫星伪距码偏差建模结果的有效性。
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利用Data1，基于一步法进行IGSO/MEO卫星整体建模的改正模型系数如表 1所示, B1、B2、B3为BDS的3种频率。
系数 IGSO MEO B1 B2 B3 B1 B2 B3 a1 1.19 0.53 0.98 0.53 0.07 -0.05 a2 -0.95 0.23 -0.92 0.23 0.87 0.33 a3 0.40 -0.16 0.40 0.15 -0.28 0.02 Table 1. Correction Models for IGSO/MEO Satellite Group with One-Step Method/m
以2 h以上连续观测弧段的MW值的平均值作为真值，计算各测站每颗卫星在10°高度角区间内的MW值的标准差(standard deviation，STD)，并统计10个测站的均值。记本文一步法建模改正效果为Ai(i=12, 23, 13)，两步法建模改正效果为Bi(i=12, 23, 13)，i表示由B1与B2、B2与B3、B1与B3构建的MW组合观测值。
图 4为采用Data1的一步法和两步法建模改正效果对比图。由图 4可知，一步法模型的改正效果明显优于两步法。一步法相对于现有的两步法改正模型，对MW值的稳定性平均提高约19.24%，在50°~60°高度角区间内最大提高约35%。
Figure 4. Comparison of Models Correction Effect of One-Step and Two-Step Methods Using Data1
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利用Data1对每颗IGSO/MEO卫星分别建立改正模型，各颗卫星的改正模型系数如表 2所示。
频率 系数 卫星号 C06 C07 C08 C09 C10 C11 C12 C13 C14 a1 1.53 2.15 0.29 1.25 1.02 1.19 0.79 0.28 -0.10 B1 a2 -1.45 -2.44 -0.20 -1.06 -0.62 -1.01 0.22 0.62 0.97 a3 0.61 0.99 0.15 0.51 0.27 0.73 0.05 -0.06 -0.03 a1 0.15 0.53 -0.12 1.25 1.16 0.08 0.38 0.27 -0.29 B2 a2 0.84 -0.10 0.54 -0.09 -0.78 0.49 0.45 0.85 1.17 a3 -0.41 -0.02 -0.12 -0.18 0.28 -0.03 -0.10 -0.36 -0.31 a1 0.27 0.37 -0.23 0.91 1.45 0.15 -0.65 0.04 0.18 B3 a2 -0.30 0.27 1.34 -1.52 -1.29 0.15 1.33 0.35 -0.27 a3 0.22 -0.18 -0.64 0.88 0.39 0.09 -0.48 -0.003 0.25 Table 2. Elevation-Dependent Correction Models for Each IGSO/MEO Satellite with One-Step Method/m
图 5显示了各颗IGSO/MEO卫星及同类型卫星整体的伪距码偏差改正模型曲线，黑色趋势线为整体建模结果。由图 5可知，不同IGSO卫星(C06、C07、C08、C09、C10)的伪距码偏差改正模型存在差异，不同频率的差异量也不一致，单颗卫星与同类型卫星统一模型也存在明显差异；而不同MEO卫星(C11、C12、C13、C14)间的差异相对较小。
Figure 5. Models Curves of Each Satellite and the Group One Using Data1
图 6为每10°高度角区间上各颗IGSO/MEO卫星模型及同类型卫星整体模型改正伪距观测值后MW12/MW23组合观测值的STD。图 7为IGSO/MEO卫星单星建模相对于整体结果MW12的提升比例。其中, C13卫星在测试时段内未能正常工作。
Figure 6. Comparison of Models Correction Effect of Each IGSO/MEO Satellite and the Group One Using Data1
Figure 7. STD Improvement Proportions of MW Observations with Each Satellite Model Relative to IGSO/MEO Satellite Group with One-Step Method
由图 6可知，采用单星建模后, 各颗IGSO卫星MW值的稳定度相对于采用整体统一改正模型均得到了提高。当分别采用本文一步建模方法的单星改正模型参数以及现有离散模型的改正参数，由各颗卫星MW观测值的STD对比结果可知，利用表 2提供的最终精化改正模型后，所有IGSO/MEO卫星的MW观测值的STD可平均提高约23.88%，其中C08卫星尤为显著，提高比例可达32.26%。
由图 7可见，所有IGSO卫星在0°~90°高度角区间平均提高了11.12%。其中，C08卫星尤为显著，平均提高了14.64%；C10卫星在0°~10°高度角区间提高了约13.21%；C06卫星在0°~20°及80°~90°高度角区间提高了12.64%；其余各颗卫星在不同高度角区间的提升比例均在5%左右。MEO卫星的改善效果有限，平均提高了3.12%，最大提高了7.16%。
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为分析参与建模数据量对结果的影响，增加两倍观测时长(Data2)，采用本文一步法对逐颗IGSO/MEO卫星建模，并与§3.2单星改正模型对比。图 8给出了增加建模数据前后IGSO/MEO单颗卫星改正后MW12值的STD统计值之差。
Figure 8. Comparison of Models Correction Effect of Each IGSO/MEO Satellite Using Data1 and Data2 with One-Step Method
由图 8可知，Data2相对于Data1的建模结果而言，IGSO部分卫星MW值的STD有了0.01 m的改善，最大仅减小了0.03 m，平均改善率为0.5%；MEO各卫星MW值的STD则最大减小了0.01 m。鉴于伪距码观测值的精度，厘米级的差异基本不会对利用MW值解算模糊度造成影响，因此认为建模数据由Data1增加到Data2，模型改正效果有限。由此可见，利用数据Data1和Data2进行建模的结果均较为可靠，无需进一步增加参与建模的数据量。
3.1. 一步法建模较两步法的性能改善
3.2. 单卫星建模较同类型卫星整体建模的性能改善
3.3. 参与建模数据量对建模结果的影响
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基于IGSO和MEO卫星伪距码偏差特性，针对现有分弧段拟合后多弧段平均的两步建模方法中存在的模糊度消除策略不精确问题，本文提出了一种基于历元间差分的一步建模法。模型验证结果表明，采用本文最终的精化改正模型，所有IGSO/MEO卫星的MW值的稳定性平均提高了23.88%，C08卫星的改善效果最为显著，提高比例可达32.26%。此外，增加两倍观测时长的数据参与建模，IGSO卫星的STD平均仅改善了0.5%，而MEO卫星则基本不变，因此认为本文建模结果可靠，无需为提高伪距码偏差建模精度而进一步增加参与建模的数据量。
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