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合成孔径雷达(synthetic aperture radar，SAR)以其全天时、全天候、不受天气影响的独特优势，受到了众多学者的高度重视，并发展成为一种获取地面目标位置信息的重要技术手段[1]。利用SAR影像获取地面目标位置信息的主要途径包括SAR影像单像定位、SAR影像立体定位、SAR影像区域网平差、干涉SAR(interferometry SAR, InSAR)技术、差分干涉(differential interferometry SAR, D-InSAR)技术、永久散射体干涉测量技术以及SAR层析技术等[2-5]。这些方法对SAR影像定向参数的精度都有一定的要求，因此，SAR影像定向不仅是立体定位的重要步骤，也是包括SAR影像几何纠正、区域网平差等处理手段的重要前提。
然而，SAR侧视成像使得影像上会出现叠掩和阴影，相干成像又必然导致斑点噪声，这些特点增大了像点坐标粗差出现的概率，降低定向精度，并最终影响地面目标的定位精度。当前SAR影像摄影测量领域中有关粗差定位的研究主要集中在SAR影像匹配与InSAR获取的数字高程模型(digital elevation model, DEM)的地理编码方面，而在SAR影像定向参数解算、区域网平差等其他方面，有关粗差的研究较少。研究的方法主要有抗差估计[6]、基于假设检验的粗差探测法[7-8]以及根据切比雪夫定理剔除(μ－4σ, μ+4σ)之外的值[9]。以上这些方法仅能够降低粗差对计算结果的影响，并不能够估计出粗差的大小，并且，当观测量中有多于1个粗差时，基于假设检验的粗差探测方法难以奏效[10]。
本文针对SAR影像定向中的像点坐标粗差探测问题，进行了粗差检定方法的研究，以期能够准确估计出像点粗差的大小，提高SAR影像的定向精度以及后续处理的精度。首先推导了像点坐标粗差对误差方程的影响，然后借鉴文献[10]提出的粗差的拟准检定法，设计了SAR影像定向的粗差检定流程，并分别基于模拟和实测的机载SAR影像数据进行了一系列实验，验证了本文方法的正确性和有效性。
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SAR影像定向模型采用经典的距离-多普勒模型，包括距离方程和多普勒方程，表达式为：
式中，(X, Y, Z)表示地面点在物方坐标系中的三维坐标；RS表示地面点(X, Y, Z)对应的斜距；My表示为SAR影像的斜距向采样间隔；D表示近距延迟；y表示SAR影像的斜距向像点坐标；f表示天线相位中心的多普勒频移；(XS, YS, ZS)、(VX, VY, VZ)分别表示SAR天线相位中心在物方坐标系中的位置矢量和速度矢量，可由初始时刻的位置矢量(XS0, YS0, ZS0)和速度矢量(VX0, VY0, VZ0)以及时间T获得：
式中，x表示SAR影像的方位向像点坐标；K表示方位向各行间的时间间隔，规定初始时刻为0。
SAR影像定向即是解算参数(XS0, YS0, ZS0, VX0, VY0, VZ0, D, f)的过程。由于式(1)是关于定向参数的非线性方程，因此，需要根据泰勒公式进行线性化，得到误差方程式：
式中，V、A、${\mathit{\boldsymbol{\hat X}}_0}$、L、P分别为误差方程的残差、系数矩阵、定向参数的改正数向量、误差方程的观测量向量和权矩阵。当存在多于4个地面控制点时，利用其对应的像点坐标和SAR系统参数通过迭代解算即可求出定向参数。
为推导像点坐标的粗差对误差方程的影响，假设某像点坐标粗差为(Δx, Δ y)，对应的误差方程的观测量为L′，不含粗差时的观测量为L，则粗差对L的影响可以用ΔL =L′－L= [ΔL1 ΔL2]T来表示，其中，
由式(4)可知，两个方向的像点粗差对误差方程的影响各不相同，距离方程和多普勒方程受到的影响各不相同，这对于粗差检定方法的设计具有启示作用。一方面，不宜把所有的方程放在一起进行粗差探测；另一方面，若已经求出观测量L的粗差ΔL，可以通过解算非线性方程组(4)，求出像点坐标粗差(Δ x, Δ y)。
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首先介绍粗差的拟准检定法[10-12]，然后具体讨论机载SAR影像定向的粗差检定方法和流程。式(3)对应的观测方程为：
式中，A为m×n维系数矩阵；X0为m维待估参数的真值向量；L为n维观测向量；Δ为真误差向量。由n阶单位阵I和投影矩阵J=A(ATPA)－1ATP可以得到平差因子阵R，且满足：
这是一个秩亏方程，求解需要附加约束条件。
设选出了r个拟准观测，且r>m，在式(6)的基础上附加“拟准观测的真误差的范数极小”，即‖ Δr‖2=min，可以求得真误差估值$\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\hat \varDelta} }}$的确定解。当观测值中含有粗差时，正确选择拟准观测，求得的真误差估值呈现明显的分群，即某些真误差明显偏大，这就为辨识和定位粗差提供了可靠的依据，根据一定的标准判定离群真误差(明显偏大的真误差)对应的观测含有粗差[10]。
现假设找到了b个粗差Gb，得到b个n维单位向量ej=(0…0 1 0…0)T，j=1…b，第j个观测有粗差对应第j个分量为1，其余为0。令Cb=(e1…eb)，粗差的估值为${\mathit{\boldsymbol{\hat C}}_b}$，则含有粗差的观测方程为：
利用最小二乘法，可从式(7)中求出粗差的估值[10]：
拟准检定法的关键在于拟准观测的选定，参照该方法，本文设计了针对SAR影像定向的粗差拟准检定方法，并基于大量的实验总结了一套拟准观测的选择策略，具体流程如图 1所示，大致可分为以下3部分，即预平差、计算像点坐标粗差和解算SAR影像定向参数。
Figure 1. The Quasi-Accurate Detection Process for SAR Image Positioning
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与一般的定向参数解算过程不同，每一次迭代解算都对观测值做一次评估。为此，计算出平差因子阵R之后，分别计算${a_i} = - {r_{ii}}{l_i}, {b_i} = - \sum\limits_{i \ne j}^{} {{r_{ij}}{l_j}} $，${\lambda _i} = 1/{r_{ii}}, \lambda {m_i} = \left( {\sum\limits_{i = 0}^n {{\lambda _j} - {\lambda _i}} } \right)/(n - 1)$，其中rii、rij为R的元素；标准化残差${\mu _i} = {v_i}/\left( {{{\hat \sigma }_0}\sqrt {{r_{ii}}} } \right)$，其中${{\hat \sigma }_0} = {\rm{me}}{{\rm{d}}_j}\left| {{v_j}} \right|\left( {j = 1 \cdots n} \right)$。将满足下列任何一个条件的观测量归为非拟准观测[10]，即可能含有粗差的观测，并保存。
① abi=| ai| －| bi| >3med| ai|或者|ai |和|bi| >3med| ai|；
② λi>1.5λmi；
③ 标准化残差从大到小排序之后的前n0=ngα个，其中ng为控制点的个数，α为粗差出现的概率，一般取1%~10%[10]，注意对标准化残差进行排序的时候要把距离方程和多普勒方程分开分别进行，这是由误差方程的特点决定的。
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对预平差中保存下来的非拟准观测进行统计，根据出现的次数进行排序，出现的次数越多，可疑性越高。具体步骤为：
1) 初步选出n0个最可能的非拟准观测，将其他的观测认定为拟准观测，解算真误差。
2) 查看上一步解算出的真误差是否分群，如不分群，返回第1)步，增加非拟准观测的数量，重新选择拟准观测；如分群，则进行下一步。
3) 认为离群真误差对应的观测值为非拟准观测，重新选定拟准观测，解算真误差。
4) 查看之前两次解算的真误差是否小于一定的阈值，如不小于，则返回第1)步；如果小于一定的阈值，则确定离群真误差对应的观测含有粗差，进行下一步。
5) 解算误差方程的观测量对应的粗差。假设某一像点(x, y)对应的误差方程的观测量含有粗差ΔLC= [ΔL1 ΔL2]T，则解算式(4)，即可求出该点所含有的粗差(Δx, Δy)。
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利用§2.2解算出的像点坐标粗差改正初始的像点坐标值，然后，迭代解解定向参数。
2.1. 预平差
2.2. 计算像点坐标的粗差
2.3. 解算SAR影像定向参数
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测量平差中一般认为大于3倍中误差的误差是粗差，然而，实测数据的中误差无法事先得知，粗差的位置和大小也很难确定。一般需要通过后续处理的精度来评估数据质量。因此，首先设计了一组模拟实验来验证本文方法的有效性；然后，基于实测数据，分别采用最小二乘解法和本文方法进行了SAR影像定向和立体定位实验，进而通过立体定位的精度间接地评估定向参数的解算精度。
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为了分析方便，此处假定多普勒中心频移为0，此时式(1)即为F.Leberl公式。给定SAR系统参数，利用F.Leberl公式，由一组像点坐标及对应地面点的高程(x, y, Z)，可以解算对应地面点的平面坐标(X, Y)。数据模拟中采用的定向参数分别为：XS0=0；YS0=0；ZS0=3 200 m；VX0=0.001 m/像素；VY0=0.3 m/像素；VZ0=0；D=2 627 m。
在点1和点3上分别添加不同大小的粗差，对应的实验分别记为实验1.1、1.2和1.3，模拟粗差大小和检定结果如表 1所示。另外，为了对比本文方法和最小二乘(least square, LS)方法的解算精度，分别计算了两种解法的单位权方差和定向参数解算值的绝对误差。实验结果如表 2所示。
粗差位置 粗差方向 实验1.1 实验1.2 实验1.3 模拟粗差 检定结果 模拟粗差 检定结果 模拟粗差 检定结果 点1 方位向 -4.00 -3.99 -14.00 -13.93 -24.00 -23.82 距离向 3.00 2.93 13.00 13.24 23.00 24.03 点3 方位向 6.00 5.93 16.00 15.88 26.00 25.78 距离向 -8.00 -8.07 -18.00 -18.52 -28.00 -29.53 Table 1. Gross Error Detection Results for Airborne SAR Image Orientation with Simulated Data/像素
比较指标 实验1.1 实验1.2 实验1.3 LS方法 本文方法 LS方法 本文方法 LS方法 本文方法 单位权中误差 σ 2.58 5.37×10-2 7.10 1.46×10-1 1.17×10 4.24×10-1 参数解算绝对误差 XS0/m 1.26×10 3.85×10-1 5.47×10 1.42 1.05×102 3.97 YS0/m 4.18 6.10×10-2 1.11×10 1.48×10-1 1.78×10 6.46×10-1 ZS0/m 1.82×10 5.89×10-1 7.06×10 1.96 1.32×102 5.28 VX0/m·像素-1 1.47×10-5 2.15×10-6 1.08×10-4 3.24×10-7 2.04×10-4 6.09×10-6 VY0/m·像素-1 2.32×10-4 6.16×10-6 6.80×10-4 1.05×10-5 1.12×10-3 1.94×10-6 VZ0/m·像素-1 3.66×10-4 5.31×10-6 1.04×10-3 1.98×10-5 1.72×10-3 7.86×10-6 D/m 2.09×10 7.03×10-1 8.62×10 2.35 1.64×102 6.37 Table 2. Precision Analysis of Airborne SAR Image Orientation with Simulated Data
分析表 1和表 2可知，对于不同大小、不同方向的像点粗差，本文设计的SAR影像定向粗差检定方法都能够准确检测出粗差的位置，并解算出粗差的大小，解算精度在一个像素以内。和最小二乘方法相比，本文方法能够明显提高SAR影像的定向精度。这说明本文方法是准确可行的。
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选用文献[2]中的一对立体像对作为实验数据，左片控制点11个，右片控制点13个，左右两片的连接点6个。由于参数的真值无法获知，为了比较本文方法与最小二乘方法的优劣，利用解算出的定向参数进行了立体交会，得到连接点地面坐标的解算值，把连接点地面坐标的残差作为SAR影像定向精度的评价指标。根据模拟粗差的大小，本节的实验分别记为实验2.1、2.2和2.3。在左右两张影像的第1、3个点上分别添加不同大小的模拟粗差，模拟粗差及检定结果如表 3所示。
粗差位置 粗差方向 实验2.1 实验2.2 实验2.3 模拟粗差 解算结果 模拟粗差 解算结果 模拟粗差 解算结果 像对左片 点L_1 方位向 -4.00 -1.22 -14.00 -11.56 -24.00 -22.41 距离向 3.00 -11.06 13.00 -1.06 23.00 -31.63 点L_3 方位向 6.00 4.83 16.00 14.52 26.00 25.52 距离向 -8.00 -3.78 -18.00 -14.67 -28.00 -45.53 像对右片 点R_1 方位向 -4.00 -4.26 -14.00 -13.98 -24.00 -24.51 距离向 3.00 6.72 13.00 14.79 23.00 26.30 点R_3 方位向 6.00 7.95 16.00 18.53 26.00 29.11 距离向 -8.00 -10.19 -18.00 -20.25 -28.00 -30.96 Table 3. Gross Error Detection Results for Airborne SAR Image Orientation with Real Data/像素
分析表 3可知，本文的方法能够检测出粗差的位置，并计算出粗差的大小，但并不精确，个别点上粗差的解算结果和模拟值相差很大。进一步的实验和分析发现，这是原始数据的误差造成的，SAR影像像点坐标量测值难免存在误差，且误差的大小和位置未知，一些点的误差可能较大，不再是偶然误差，而是较小的粗差。当含粗差的观测值较多时，各个观测值相互影响，容易出现掩盖和湮没现象[13-16]，导致粗差定位失败。
为了验证上述分析，需要考察原始数据的精度。首先，利用不加模拟粗差的数据，分别采用本文方法和最小二乘方法进行SAR影像定向，然后，利用解算的定向参数进行立体定位，记为实验2.0。检定结果显示，左右像片分别有2个、4个点上存在不等大小的粗差，这初步验证了上面的分析。实验2.0、2.1、2.2、2.3的立体定位结果分别如表 4、表 5所示。分析表 4、表 5可知：
对比指标 实验2.0 实验2.1 LS方法 本文方法 LS方法 本文方法 ΔX ΔY ΔZ ΔX ΔY ΔZ ΔX ΔY ΔZ ΔX ΔY ΔZ 6个连接点的残差 1.33 0.16 0.69 0.35 0.04 -0.01 1.37 0 0.93 0.03 0.01 -0.23 -0.96 -0.02 -0.68 0.28 0 0.44 -1.94 -0.43 -1.73 0.30 0.15 0.49 -1.52 -0.59 -1.98 -0.47 -0.41 -0.68 -1.29 -0.07 -2.17 -0.34 -0.43 -0.68 -0.45 0.34 -0.46 -0.33 -0.02 -0.33 -1.15 0.74 -1.77 -0.36 0.02 -0.36 -0.19 0.35 -0.16 -0.73 0.05 -0.74 -0.63 0.31 -1.07 -0.18 0.07 0.09 0.39 0.32 -0.05 0.13 0.29 -0.38 -0.49 0.64 -1.74 0.24 0.37 0.02 中误差 0.95 0.34 0.92 0.43 0.21 0.49 1.24 0.46 1.63 0.27 0.24 0.39 Table 4. Precision Analysis of Stereo-positioning with Airborne SAR Images (1)/m
对比指标 实验2.2 实验2.3 LS方法 本文方法 LS方法 本文方法 ΔX ΔY ΔZ ΔX ΔY ΔZ ΔX ΔY ΔZ ΔX ΔY ΔZ 6个连接点的残差 1.59 -0.50 1.33 0.42 -0.11 0.30 1.96 -1.01 1.84 -0.17 0.13 -0.29 -3.53 -1.29 -3.53 -0.07 0.17 -0.09 -5.16 -2.13 -5.37 0.10 -0.06 0.29 -0.62 0.94 -2.29 -0.04 -0.59 -0.17 0.22 1.97 -2.26 -0.85 -0.57 -1.19 -2.07 1.48 -3.76 0 0.33 0.34 -2.90 2.21 -5.67 0.80 0.24 1.12 -1.55 0.25 -2.65 -0.43 0.07 -0.39 -2.62 0.21 -4.41 -0.04 0.32 0.17 -2.07 1.23 -4.52 0.10 0.32 -0.25 -3.75 1.81 -7.46 -0.22 0.22 -0.56 中误差 2.09 1.05 3.19 0.25 0.32 0.28 3.16 1.71 4.91 0.49 0.30 0.73 Table 5. Precision Analysis of Stereo-positioning with Airborne SAR Images(2)/m
1) 对于原始数据，即实验2.0，本文方法明显优于最小二乘法，这说明原始数据的确含有粗差。与此同时，对比实验2.0和实验2.1，当同样采用本文的方法时，添加了模拟粗差的数据的立体定位精度反而比原始数据高，这是因为原始数据中的误差并不全是偶然误差，也有一些小粗差，加上模拟粗差之后，原本的小粗差反而能够更好地探测出来，这再次验证了之前关于原始数据的分析。
2) 不经过粗差检定，直接利用原始数据进行SAR影像参数解算和立体定位会损失精度，并且像点坐标粗差越大，对参数解算的影响越大。因此，在进行SAR影像定位之前，应该剔除原始数据中的粗差。
3) 本文设计的SAR影像定向方法能够有效地探测出像点粗差的位置，并计算出粗差的大小，进而明显提高SAR影像定向参数的解算精度和立体定位精度。
3.1. 基于模拟数据的粗差检定
3.2. 基于实测数据的粗差检定
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本文在推导了SAR影像定向中像点坐标粗差对误差方程影响的基础上，分析了像点坐标粗差探测难点；依据粗差的拟准检定法，针对SAR影像定向，设计了粗差拟准检定的流程，首次将粗差的拟准检定法运用到机载SAR影像定向中。实验结果表明，该方法能够准确探测出多个粗差的位置，并估计出粗差的大小，进而明显提高SAR影像定向参数的解算精度以及后续的立体定位精度。这对于修复受粗差影响的像点数据具有重要意义，尤其是在控制数据不足的情况下。
研究发现，即便是对于较小的粗差，本文方法仍然具有一定的效果，但是当粗差较小且个数较多时，平差中存在掩盖和淹没现象，这一直是粗差探测领域的难点之一，也是下一步的研究重点。
随着遥感数据处理进入大数据时代，数据采集趋向于自动化和快速化，这在一定程度上增大了粗差出现的概率；另一方面，人们对测量结果的准确性和精度要求越来越高。因此，进一步研究粗差拟准检定法及其他粗差检定方法在SAR影像区域网平差中的应用，具有重要的现实意义。
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