利用频移法或时钟法（简称时频法）确定重力位，其精度水平主要取决于时钟本身的精度。自20世纪50年代原子钟诞生以来，时钟的精度和稳定度一直在不断提高，时频系统的精度大约以每10年左右提高一个量级的速度向前推进^[8]。国内外许多研究团队一直致力于光频标的研制并已取得重大突破，其中三个研究团队相互比对各自的光频标实现了10^-18~10^-19量级的稳定度^[9]。中国科学院精密测量科学与技术创新研究院继2012年研制出稳定度为8×10^-16量级的光钟之后，不断将稳定度提高到2.2×10^-17量级^[10]，近期已将稳定度提升至9×10^-18量级，而且研制出了同量级不确定度的可搬运的光钟。近几年，随着精密时钟制造工艺的成熟，精密光原子钟的精度不断提高，在地面实验室的精度已达到甚至优于1×10^-19[4]，这相当于利用时钟法或频移法单次测定重力位差（转化为等效高程）的精度优于1 mm量级。此外，同步光钟比对平均1 h达到了5×10^-19精度水平^[11]。欧洲科学家利用稳定度为5×10^-17的可移动光钟实施了光纤时频信号比对实验^[12]，得到的重力位差结果与采用经典方法得的测量值相差几十厘米，但验证引力红移的实验结果相对精度不高。

如果要在更高的精度水平上检验引力红移效应，需要从电磁波时频信号（如空间站光钟时频信号）观测值中提取出空-地间重力频移信息。空载电磁波频率信号除了携带重力频移信息之外，还包含多种误差源的影响，主要有多普勒频移、电离层和对流层影响、光钟或原子钟误差影响以及随机误差等。削弱或消除误差源的技术主要包括模型误差改正法、多普勒消除法^[13]、共视法^[14]、三频组合法^[15]、双频组合法^[16]。模型误差改正法直接利用误差模型估计干扰信号的影响，虽然方法简单，但误差模型本身精度较差。共视法基于两个测站共视同一空间载体发出的信号，采用差分技术有效削弱各项误差的影响，但随着共视站距离的增加，其误差影响也随之变大。多普勒消除法基于观测站和空间载体（如空间站）之间电磁波信号的双向传递，可消除一阶多普勒效应并在很大程度上削弱或消除电离层和对流层延迟效应，但需要观测站与空间载体之间相互传递信号。以上方法各有优缺点，需进一步根据各自误差改正的特点对误差模型进行改善、精化，提高误差改正模型精度。

高精度远程时频信号传递可提供两地之间的时间、频率比对，由此可提取两地之间的重力频移（引力红移）信息以及时钟运行速率差异信息。目前，随着全球导航卫星系统（global navigation satellite system，GNSS）的广泛应用，常用的时频信号传递比对方法有GNSS共视法和卫星双向时频传递法，其时间传递精度分别为纳秒和亚纳秒^[17]。ACES采用新型微波双向频率信号传递以及基于光脉冲的星-地激光时间传递技术进行时频信号比对，模拟实验结果表明，时间同步精度优于100 ps/d，频率传递稳定度为1×10^-16/d^[5，11]。但这两种方法仍不能满足空间站原子钟的性能测试评估对时频信号传递的要求。

GNSS共视原理是以导航卫星的星载钟时间作为公共参考源，相距遥远的两站同时观测相同的GNSS卫星，测定本地钟时间与卫星钟时间之差，通过比较两站的观测结果确定两站间的钟差。与单向授时法相比，GNSS共视法可有效地消除卫星钟钟差的影响，削弱卫星轨道误差和大气延迟的影响，从而显著提高远程时间传递的精度。根据所采用的观测值类型，可利用伪距观测值实现码共视比对或利用载波相位观测值实现共视比对。GNSS载波相位测量技术的观测精度远高于伪距观测精度，已被用于远程时间、频率比对。载波相位时频比对方法与传统的共视法原理相同，但对设备和环境的稳定性要求更严格，采用的观测数据更多（包括载波相位观测值），数据处理模型更复杂，对地面站-空间载体之间几何距离的改正也更精确，从而比对精度也更高。目前，GNSS载波相位时间传递技术已用于国际原子时（international atomic time，TAI）计算，其数据处理采用GNSS精密单点定位方法，由国际计量局（international bureau of weights and measures，BIPM）负责每月计算一次并对外发布^[18]。近年来，武汉大学时频地测研究团队在利用时频信号检验引力红移、测定重力位和海拔高方面取得了长足进展。基于ACES任务构建了三频组合模型^[7]，通过仿真实验可以确定，当原子钟长期稳定度为10^-16量级时，引力红移检验精度达到10^-6量级；基于CSS计划构建了顾及电离层高阶项的三频组合模型^[19]和双频改正模型^[16]，相关的仿真实验结果表明，引力红移检验精度可以达到10^-7量级；利用北京-武汉两地长期稳定度为5×10^-15的原子钟进行共视比对实验，初步验证了时频法测定重力位的有效性^[20]；采用GNSS载波相位时间传递技术，利用5天的数据，时频传递精度可达10^-16量级^[21]；采用卫星双向时频传递技术进行两地高差传递实验的精度为5.4 m^[22]。

近年发展起来的远程光纤时频传递新技术具有明显的优势，可实施远程两点之间的时频信号比对。国际上已有研究团队开展了高精度远程光纤时频传递研究，并且成功地进行了一系列通过光纤比对光频率的实验。研究表明，百千米光纤频率传递可实现秒稳定度10^-16量级、日稳定度10^-19量级^[23]；千千米光纤频率传递的秒稳定度和日稳定度分别达到10^-14量级和10^-17量级^[24]，频率比对精度在8 h内则实现了1×10^-19量级（传输距离142 km）。通过光纤频率信号传递比对可测定两点之间的重力位差，这是构建重力位基准网的有效手段，已得到大量实验证实^[25]。文献[26]利用两地相距940 km的干涉光纤链路及可移动光钟进行实验，可在厘米级精度水平上测定重力位；文献[27]通过仿真模拟日稳定度10^-19量级光钟的光纤频率传递实验，对相关模型进行了优化，理论上可达到1.5 cm的精度水平。通过光纤频率传递技术配合日稳定度10^-18量级的光钟，所达到的精度足以实现厘米级甚至毫米级重力位和海拔高的测量。

根据CSS与地面站之间微波链路的设置（两个上行频率信号和两个下行频率信号），采用三频组合法^[15]或双频组合法^[16]消除多普勒效应、电离层效应和对流层效应，从而确定空间站与地面站之间的引力位差。本文采用频率均为30.4 GHz的一个左旋上行信号和一个右旋下行信号，以武汉站为例，通过双频组合法进行模拟实验，检验引力红移的精度水平。

本文实验时段为2022-03-01T00：00—2022-03-02T00：00，为期1 d，轨道数据采用两行式轨道参数，图 1为CSS在地心地固坐标系中一天的轨迹，其中黑实线表示CSS与武汉的珞珈时频站（LTFS）可互视且有观测值的情形。利用EGM2008计算CSS的重力位（引力位）轨道精度约为几厘米，LTFS的重力位可通过水准测量联合重力测量完成，精度可达厘米级。

图  1  中国空间站在地心地固坐标系中一天的轨道

Figure 1.  Orbit of CSS in Earth Centered Earth Fix Coordinate in One Day

在模拟实验中需要考虑各种误差源，如时钟的不稳定度。本文设置空间站时钟的稳定度为$\mathrm{2}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{15}}/\sqrt[]{\tau }$（τ表示时长，单位为s），与CSS任务设计的稳定度一致；地面钟的稳定度较好，设定为$\mathrm{1}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{15}}/\sqrt[]{\tau }$，目前国际上的光原子钟已优于这个指标。根据原子钟的特性，采用不同的系数对调频白噪声、调频闪烁噪声、调相白噪声、调相闪烁噪声和随机游走噪声进行组合，采用Python中的AllanTools程序包，生成时钟频率误差序列，其总Allan偏差如图 2所示。

图  2  时钟频率稳定性的总Allan偏差

Figure 2.  Total Allan Deviation of Clock Frequency Stability

误差源中另一个重要因素是由大气引起的频移。本文采用国际GNSS服务（international GNSS service，IGS）发布的气象数据，利用GPT2映射函数估计信号的对流层频移；电离层频移则根据国际参考电离层模型计算，将大气模型的精度作为残差，加入频移观测来模拟。另外还考虑了其他误差源，如CSS的轨道误差、EGM2008模型误差、潮汐修正残差等。每项误差都按照高斯误差加上一个随机设置的系统偏移来模拟。各误差源及量级见表 1。

将计算得到的模拟观测频移值与真实频移值进行比较，全天4个时段的模拟观测频移与真实频移值之间存在残差，如图 3所示。由图 3可以看出，钟差影响达到了10^-15量级，对引力红移检验精度起决定性作用；相对论效应包括二阶多普勒频移和Shapiro效应，引起的频移为10^-16量级；对流层频移残差在10^-17量级，而电离层频移残差约在10^-20~10^-22量级，主要受上下行链路信号传播路径中总电子含量的影响，二者均随着高度角的增大和星地距离的减小而减小。

图  3  模拟观测值与真实频移值的残差^[16]

Figure 3.  Residuals Between Theoretical Prediction and Simulated Observation of Frequency Shifts^[16]

在一天的观测过程中，将地面站可以观测到空间站的时间分为4个时段，每次观测时长约为5 min。综合4个时段的频移数据，得到一天内的频移量为9.44×10^-17。根据重力频移关系，即引力红移效应，可计算出空间站和地面站之间的引力位差$\mathrm{\Delta }U:$

式中，$f_{\mathrm{0}}$为信号基准频率，取30.4 GHz；$\mathrm{\Delta }f$为引力位差引起的信号频移；c为真空中光速。

在模拟计算中，采用EGM2008计算空间站和地面站之间的引力位差，并将其作为真值。比较实验结果与对应的真值（模型值），由此可得到偏移参数α的量值为1.68×10^-7，计算式为：

式中，$\mathrm{\Delta }{U}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}}$为位差观测值；$\mathrm{\Delta }{U}_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{e}}$为位差真值。偏移参数α反映了检验引力红移的精度水平，但一次模拟实验的结果往往会受到偶然因素的影响。将上述同一天实验重复50次，进一步估计引力红移检验的精度，结果如图 4所示。统计分析表明，α=-1.1×10^-8±2.7×10^-7。

图  4  50次不同模拟实验的结果

Figure 4.  Results of 50 Simulation Experiments

提高原子钟频率稳定度或两地时钟之间的重力位差是提高引力红移检验精度的有效手段。时频科学和时频比对技术的迅猛发展为利用时频法测定重力位奠定了基础。本文通过对CSS搭载的高精度时频微波链路进行仿真实验，检验引力红移效应的精度水平可达10^-7量级，高于目前国际上最高检验精度1~2个量级^[19]。

原子钟的精度水平一直是制约高精度时频比对测定重力位的主要因素。20世纪90年代，原子钟精度只有10^-15~10^-14量级，采用时频法确定重力位相当于10~100 m高程精度，难以实用化。近年来原子钟的精度不断提高，已达到10^-19量级。结合中国的北斗导航卫星系统（提供北斗系统时频信号及星地双向传递和比对）和2022年CSS即将搭载的高精度时频信号系统（包括原子钟和空-地信号链路），不仅为更高精度的引力红移检验和重力位测定奠定了基础，而且有望解决全球高程基准统一难题，极大推进大地测量学、物理学、时频科学、卫星导航、航空航天等多学科的大交叉、大融合，孕育创新型研究成果。