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北斗三号卫星观测信息高度角相关随机模型统计特性分析

边少锋 刘一 纪兵 周威

边少锋, 刘一, 纪兵, 周威. 北斗三号卫星观测信息高度角相关随机模型统计特性分析[J]. 武汉大学学报 ( 信息科学版), 2022, 47(10): 1615-1624. doi: 10.13203/j.whugis20220021
引用本文: 边少锋, 刘一, 纪兵, 周威. 北斗三号卫星观测信息高度角相关随机模型统计特性分析[J]. 武汉大学学报 ( 信息科学版), 2022, 47(10): 1615-1624. doi: 10.13203/j.whugis20220021
BIAN Shaofeng, LIU YI, JI Bing, ZHOU Wei. Analysis of Statistic Testing of Elevation-Dependent Stochastic Models of BDS-3 Satellite Observation[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2022, 47(10): 1615-1624. doi: 10.13203/j.whugis20220021
Citation: BIAN Shaofeng, LIU YI, JI Bing, ZHOU Wei. Analysis of Statistic Testing of Elevation-Dependent Stochastic Models of BDS-3 Satellite Observation[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2022, 47(10): 1615-1624. doi: 10.13203/j.whugis20220021

北斗三号卫星观测信息高度角相关随机模型统计特性分析

doi: 10.13203/j.whugis20220021
基金项目: 

国家自然科学基金 42174051

国家自然科学基金 41971416

国家自然科学基金 41874091

海军工程大学研究生创新基金 DQCXJJ2021004

海军工程大学研究生创新基金 DQCXJJ2021005

海军工程大学自主立项项目 2019055

详细信息
    作者简介:

    边少锋,博士,教授,主要研究方向为大地测量学。sfbian@sina.com

    通讯作者: 刘一,博士生。liuyinue@sina.cn
  • 中图分类号: P228.4

Analysis of Statistic Testing of Elevation-Dependent Stochastic Models of BDS-3 Satellite Observation

Funds: 

The National Natural Science Foundation of China 42174051

The National Natural Science Foundation of China 41971416

The National Natural Science Foundation of China 41874091

Graduate Innovation Foundation for Naval University of Engineering DQCXJJ2021004

Graduate Innovation Foundation for Naval University of Engineering DQCXJJ2021005

Independent Project of Naval University of Engineering 2019055

More Information
    Author Bio:

    BIAN Shaofeng, PhD, professor, majors in geodesy. E-mail: sfbian@sina.com

    Corresponding author: LIU Yi, PhD candidate. E-mail: liuyinue@sina.cn
  • 摘要: 观测信息随机模型在参数估计、质量控制和精度评定过程中具有重要作用,准确的观测信息随机模型是北斗精密定位的基础。首先,利用简化的Helmert方差分量估计方法估计北斗三号卫星观测信息精度,并拟合模型系数;然后,利用全局检验和ω检验对基于分段函数、正弦函数、余弦函数和指数函数的随机模型进行统计检验,分析随机模型统计特性;最后,利用精密单点定位(precise point positioning,PPP)检验各随机模型对定位性能的影响。实验结果表明,北斗三号卫星的伪距和载波相位观测值精度均与高度角相关,且观测类型不同,相关程度不同;基于指数函数的随机模型在拟合误差、全局检验和ω检验中均表现出最优的性能,全局检验浮点解和固定解的误警率仅为5.1%和4.9%,ω检验伪距和载波相位最大误警率分别为5.8%和6.8%,PPP收敛时间最短,定位精度最高。基于指数函数的随机模型能够准确描述北斗观测信息精度,提高北斗三号卫星精密定位结果的精度和可靠性。
  • 图  1  相位观测值精度与4种随机模型建模

    Figure  1.  Accuracy of Carrier Phase Observations and Modeling of Four Stochastic Models

    图  2  伪距观测值精度与4种随机模型建模

    Figure  2.  Accuracy of Code Observations and Modeling of Four Stochastic Models

    图  3  4种随机模型的浮点解全局检验

    Figure  3.  Overall Statistics of the Float Solutions for Four Stochastic Models

    图  4  4种随机模型的固定解全局检验

    Figure  4.  Overall Statistics of the Fixed Solutions for Four Stochastic Models

    图  5  4种随机模型下载波相位观测值ω检验

    Figure  5.  ω-test for All Types of Carrier Phase Observations with Four Stochastic Models

    图  6  4种随机模型下伪距观测值ω检验

    Figure  6.  ω-test for All Types of Pseudorange Observations with Four Stochastic Models

    图  7  4种随机模型PPP收敛时间

    Figure  7.  Convergence Time of PPP for Four Stochastic Models

    表  1  基线详细信息

    Table  1.   Details of Baselines

    基线 接收机 天线 距离/m 位置
    MG04-MG05 JAVAD TRE3 JAVRINGANT 69.479 8 104.02°W,30.68°N
    HG01-HG02 Unicore UB4B0 TRM 39105.00 0 114.24°E,30.58°N
    BJ01-BJ02 CHC P5 Harxon GPS1000 0 115.89°E,39.60°N
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    表  2  4种随机模型的拟合误差

    Table  2.   Modeling Errors of Four Stochastic Models

    基线 频点 相位/mm 伪距/m
    模型A 模型B 模型C 模型D 模型A 模型B 模型C 模型D
    MG04-MG05 B1I 19.628 4.464 34.014 4.564 0.303 0.126 0.386 0.029
    B3I 23.770 9.128 55.263 5.484 0.064 0.018 0.085 0.005
    B1C 17.835 6.364 45.534 3.687 0.125 0.042 0.161 0.015
    B2a 28.847 9.621 63.967 3.559 0.070 0.016 0.093 0.004
    HG01-HG02 B1I 0.117 0.058 0.022 0.018 0.020 0.016 0.013 0.012
    B3I 0.149 0.076 0.067 0.037 0.007 0.006 0.005 0.004
    B1C 0.170 0.078 0.243 0.039 0.195 0.171 0.329 0.048
    B2a 0.399 0.090 0.766 0.062 0.081 0.076 0.197 0.016
    BJ01-BJ02 B1I 0.103 0.052 0.108 0.013 0.029 0.012 0.011 0.011
    B3I 0.589 0.282 0.181 0.062 0.001 0.001 0.001 0.001
    B1C 0.141 0.033 0.259 0.007 0.013 0.009 0.004 0.003
    B2a 2.842 1.027 3.437 0.151 0.001 0.001 0.002 0.001
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    表  3  4种随机模型的全局检验均值和误警率

    Table  3.   Mean Overall Test and Probabilities of False Alarm Rate for Four Stochastic Models

    基线 解算模式 T均值 误警率/%
    模型A 模型B 模型C 模型D 模型A 模型B 模型C 模型D
    MG04-MG05 浮点解 1.13 0.96 0.92 1.01 17.5 6.9 10.9 3.9
    固定解 1.04 0.88 0.87 0.97 15.1 3.7 15.6 3.3
    HG01-HG02 浮点解 1.34 0.84 0.81 1.12 16.4 8.1 16.3 4.8
    固定解 1.62 0.88 0.86 1.08 16.2 7.9 15.4 4.2
    BJ01-BG02 浮点解 1.68 1.21 0.76 1.09 19.3 8.4 9.5 5.1
    固定解 1.53 1.16 0.83 1.10 19.1 8.3 10.1 4.9
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    表  4  4种随机模型的ω检验误警率

    Table  4.   False Alarm Rate of ω-test for Four Stochastic Models

    基线 频点 相位/% 伪距/%
    模型A 模型B 模型C 模型D 模型A 模型B 模型C 模型D
    MG04-MG05 B1I 2.8 2.2 3.2 2.1 6.1 6.3 8 5.4
    B3I 8.4 6.1 9.1 5.2 7.2 6.0 8.8 5.3
    B1C 4.6 3.3 5.6 2.9 5.9 6.0 8.3 5.1
    B2a 9.1 6.7 9.9 5.8 7.1 6.2 9.0 5.4
    HG01-HG02 B1I 8.9 4.0 5.4 3.5 6.3 5.4 6.2 2.2
    B3I 12.5 6.6 6.8 1.4 7.8 6.3 5.9 5.8
    B1C 6.2 4.8 5.7 4.5 6.2 7.1 7.3 4.3
    B2a 13.4 8.3 9.1 4.4 8.4 7.8 7.1 3.6
    BJ01-BJ02 B1I 4.3 5.4 6.2 4.1 10.1 6.2 13.2 5.8
    B3I 9.8 6.8 9.3 6.3 9.5 5.9 7.4 4.3
    B1C 7.8 5.7 6.7 3.9 11 7.3 6.2 5.0
    B2a 11.2 9.1 11.2 6.8 7.8 7.1 8.2 4.4
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    表  5  4种随机模型PPP定位精度

    Table  5.   Positioning Accuracy of PPP for Four Stochastic Models

    模型站点 定位精度/cm
    模型A 模型B 模型C 模型D
    MG04 7.37 6.58 6.98 6.35
    MG05 5.55 4.62 5.11 4.30
    HG01 5.25 5.80 6.21 4.91
    HG02 4.50 4.49 6.94 4.41
    BJ01 4.67 6.80 8.01 4.69
    BJ02 5.31 9.22 9.38 5.34
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出版历程
  • 收稿日期:  2022-04-02
  • 刊出日期:  2022-10-05

北斗三号卫星观测信息高度角相关随机模型统计特性分析

doi: 10.13203/j.whugis20220021
    基金项目:

    国家自然科学基金 42174051

    国家自然科学基金 41971416

    国家自然科学基金 41874091

    海军工程大学研究生创新基金 DQCXJJ2021004

    海军工程大学研究生创新基金 DQCXJJ2021005

    海军工程大学自主立项项目 2019055

    作者简介:

    边少锋,博士,教授,主要研究方向为大地测量学。sfbian@sina.com

    通讯作者: 刘一,博士生。liuyinue@sina.cn
  • 中图分类号: P228.4

摘要: 观测信息随机模型在参数估计、质量控制和精度评定过程中具有重要作用,准确的观测信息随机模型是北斗精密定位的基础。首先,利用简化的Helmert方差分量估计方法估计北斗三号卫星观测信息精度,并拟合模型系数;然后,利用全局检验和ω检验对基于分段函数、正弦函数、余弦函数和指数函数的随机模型进行统计检验,分析随机模型统计特性;最后,利用精密单点定位(precise point positioning,PPP)检验各随机模型对定位性能的影响。实验结果表明,北斗三号卫星的伪距和载波相位观测值精度均与高度角相关,且观测类型不同,相关程度不同;基于指数函数的随机模型在拟合误差、全局检验和ω检验中均表现出最优的性能,全局检验浮点解和固定解的误警率仅为5.1%和4.9%,ω检验伪距和载波相位最大误警率分别为5.8%和6.8%,PPP收敛时间最短,定位精度最高。基于指数函数的随机模型能够准确描述北斗观测信息精度,提高北斗三号卫星精密定位结果的精度和可靠性。

English Abstract

边少锋, 刘一, 纪兵, 周威. 北斗三号卫星观测信息高度角相关随机模型统计特性分析[J]. 武汉大学学报 ( 信息科学版), 2022, 47(10): 1615-1624. doi: 10.13203/j.whugis20220021
引用本文: 边少锋, 刘一, 纪兵, 周威. 北斗三号卫星观测信息高度角相关随机模型统计特性分析[J]. 武汉大学学报 ( 信息科学版), 2022, 47(10): 1615-1624. doi: 10.13203/j.whugis20220021
BIAN Shaofeng, LIU YI, JI Bing, ZHOU Wei. Analysis of Statistic Testing of Elevation-Dependent Stochastic Models of BDS-3 Satellite Observation[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2022, 47(10): 1615-1624. doi: 10.13203/j.whugis20220021
Citation: BIAN Shaofeng, LIU YI, JI Bing, ZHOU Wei. Analysis of Statistic Testing of Elevation-Dependent Stochastic Models of BDS-3 Satellite Observation[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2022, 47(10): 1615-1624. doi: 10.13203/j.whugis20220021
  • 观测信息随机模型描述了观测信息的精度及其相关关系,通常以方差-协方差矩阵的形式出现,在全球导航卫星系统(global navigation satellite system,GNSS)精密数据处理的参数估计、质量控制和精度评定等方面均有着重要的作用[1-3]。在精密定位过程中,准确的随机模型将对定位精度和可靠性的提升起到积极作用[4-7],因此,构造准确的观测信息随机模型是精密定位的基础。中国独立建设、自主运营的北斗卫星导航系统(BeiDou navigation satellite system,BDS)已经建成,向全球用户提供定位、导航和授时服务(positioning,navigation,and timing,PNT)[8],以BDS精密数据处理技术为核心的无人驾驶、移动物联网和智慧城市等高新技术应用得到广泛发展,日益增长的时空信息服务需求也对BDS的定位精度和可靠性提出了更高的要求[9],研究适用于BDS的观测信息随机模型,提高精密定位精度和可靠性,对于提升BDS应用水平具有重要的意义。

    当前,国内外许多学者针对GNSS观测信息随机模型进行了广泛而深入的研究,提出了基于信噪比和高度角的随机模型[10-11],其中基于高度角的随机模型应用较为广泛,主要有基于分段函数、正弦函数、余弦函数和指数函数的随机模型[12-14],模型参数根据经验或者拟合给出。针对观测值随机特性,文献[15]系统阐述了观测值随机模型在质量控制中的作用,评价了全球定位系统(global positioning system,GPS)观测信息的随机特性,给出了随机模型精化方法,提出了一种改进的SIGMA-Δ随机模型,提高了GPS单历元相对定位的精度和可靠性。针对随机模型统计特性;文献[16]利用双频GPS数据分析了基于常数、正弦函数和指数函数的随机模型对于统计检验的影响,指出GPS观测数据精度与高度角相关,且观测类型不同,相关程度不同;文献[17]在分析BDS混合星座观测值特性的基础上,提出混合星座随机模型,对地球静止轨道卫星采用基于信噪比的随机模型,对于倾斜地球同步轨道卫星和中圆地球轨道卫星采用基于高度角的随机模型,有效提高了BDS相对定位的模糊度固定率和定位精度;文献[18]利用中国境内测站观测的多星座数据解算BDS和GPS系统静态观测数据,对比分析BDS和GPS基线解算精度。

    当前GNSS观测信息随机模型的研究主要针对GPS观测值,而BDS观测信息随机模型的研究主要集中在北斗二号卫星,关于北斗三号卫星(BDS-3)观测信息随机模型的研究还相对较少,因此本文从BDS-3观测信息随机模型的统计特性出发,分析4种经典的基于高度角的随机模型对统计检验的影响,给出BDS-3适用的随机模型,从而提高BDS的定位精度和可靠性。

    • 高斯-马尔科夫模型公式为:

      $$ E\{\boldsymbol{y}\}=A \boldsymbol{x}, D\{\boldsymbol{y}\}=\boldsymbol{Q}_y $$ (1)

      式中,E·表示数学期望;D·表示方差;ym×1维观测值向量,m为观测值个数;xn×1维未知参数向量,n为未知参数个数;Am×n维设计矩阵,反映观测值与未知参数之间的几何关系或物理关系,是函数模型的具体体现;Qy是观测值的方差-协方差矩阵,反映了观测值的随机特性,是随机模型的具体体现。

      由最小二乘法得到未知参数估值x̂为:

      $$ \hat{\boldsymbol{x}}=\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Q}_{\boldsymbol{y}}^{-1} \boldsymbol{A}\right)^{-1} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Q}_{\boldsymbol{y}}^{-1} \boldsymbol{y} $$ (2)

      观测值残差估值ê为:

      ê=y-ŷ=I-PAy=PAy ((3))

      式中,ŷ=Ax̂为观测量y的估值;I为单位矩阵;PA=A(ATQy-1A)-1ATQy-1,称为投影算子。

      x̂ê的方差-协方差矩阵分别为:

      Qx̂=(ATQy-1A)-1 ((4))
      Qê=Qy-Qŷ=PAQy(PA)T ((5))

      当观测量无异常观测时,最小二乘解具有最优无偏性。全局检验通过检验单位权方差估值和理论值之间的差异来评价模型整体的准确度,全局检验统计量Tm-n的计算式为:

      Tm-n=êTQy-1êm-n ((6))

      在不存在异常观测时,Tm-n服从自由度为m-n的Fisher分布,即Tm-n~F(m-n,),给定置信水平α,如果Tm-n<F1-α(m-n,),则认为观测值中不含粗差,接受原假设,否则拒绝原假设。当单位权方差估值和理论值接近时,Tm-n的数学期望等于1。

      在全局检验检测到观测值中包含粗差观测时,为了准确定位粗差位置,利用ω检验[19-20]进行粗差定位,用于评价模型描述观测值观测误差的准确度,ω检验统计量ωi为:

      ωi=ciTQy-1êciTQy-1QêQy-1ci ((7))

      式中,cim×1维向量,第i行元素为1,其余元素均为0。ωi服从零均值正态分布,即ωi~N(0,1),给定置信水平α,确定置信区间,如果|ωi|<N(1-α)/2,则认为该观测值不是粗差,否则认为是粗差。

      由上述推导过程可知,对于参数估值精度而言,理论上任意的Qy均可得到统计意义上无偏的未知参数估值,但对于单次的观测,随机模型分配观测值权值,对估值的准确性具有重要的影响;对于精度评定而言,Qy作用于未知参数方差-协方差矩阵,对精度评定指标产生影响;对于质量控制而言,Qy的准确度作用于全局检验和ω检验的统计量,对定位结果可靠性产生影响。设β=Qŷ/Qy,则随机模型对估值精度、估值方差-协方差、全局检验和ω检验统计量估值与理论值的关系为:E{x̂}=x,EQx̂=βQx,ET̂m-n=βTm-n,Eω̂i=ωi/β

    • 利用单差相对定位模型估计观测值精度,可以保留观测精度和高度角的关系。当基线距离较小时,测站间的大气相关性较强,站间差分可以消除大气延迟误差以及卫星相关误差,假设两台接收机可同时观测m颗卫星,则观测方程为:

      ϕk,j=ρk+emδtϕk,j-λjaj+εϕk,j ((8))
      Pk,j=ρk+emδtPk,j+εPk,j ((9))

      式中,kj分别表示历元和频率;ϕk,jPk,j为单差相位和伪距观测值;ρk为站间卫地距之差;δtϕk,jδtPk,j为单差相位和伪距接收机钟差;emm维向量,元素均为1;λ为波长;a为单差模糊度,aj=aj1 aj2ajmTεϕk,jεPk,j为观测值噪声。

      由于式(8)和式(9)构成的设计矩阵秩亏,为消除秩亏,并恢复模糊度参数的整数特性,需要对上述观测方程重新参数化。选取高度角最高的1号卫星作为基准星,将其模糊度参数与钟差参数合并,重新参数化后的观测方程为:

      ϕk,j=ρk+emδt¯ϕk,j-λja¯j+εϕk,j ((10))

      式中,δt¯ϕk,j为重新参数化后的接收机钟差,包含接收机钟差误差和参考卫星模糊度参数,δt¯ϕk,j=δtϕk,j-λjaj1a¯j为重新参数化后的模糊度向量,a¯j=0,z¯jTT

      若短基线或零基线ρk为已知值,估计浮点模糊度并固定模糊度,则式(8)、式(9)可改写为:

      ϕ¯k,j=emδt¯ϕk,j+εϕk,j ((11))
      P¯k,j=emδt¯ϕk,j+εPk,j ((12))

      式中,ϕ¯k,j=ϕk,j-ρk,P¯k,j=Pk,j-ρk

    • 本文利用简化的Helmert方差分量估计方法估计观测信息精度[21]。短时间内卫星高度角变化较小,认为在一定时间内观测值方差相同,因此本文采用n历元估计一个方差的方法,取n=10n历元观测方程为:

      ϕ¯j=Inemδt¯j+εϕ¯j ((13))

      式中,为克罗内克积;Inn维单位矩阵;ϕ¯j=(ϕ¯j1)T (ϕ¯j2)T(ϕ¯jm)Tn历元m颗卫星的单差观测值,ϕ¯ji=ϕ¯1,ji ϕ¯2,jiϕ¯n,jiT为第i颗卫星n历元的单差观测值;δt¯j=δt¯1,ji δt¯2,jiδ¯tn,jiTn历元接收机钟差;εϕ¯j=(ε¯j1)T (ε¯j2)T,(ε¯jm)Tn历元m颗卫星的单差观测噪声,ε¯ji=ε¯1,ji ε¯2,jiε¯n,jiT为第i颗卫星n历元的单差观测噪声。

      假设卫星在n历元下方差不变,则其方差-协方差矩阵为:

      Qϕ¯j=2(InQϕj) ((14))

      式中,Qϕjn历元j频点m颗卫星的非差观测值方差,Qϕj=diag(σϕj1)2 (σϕj2)2(σϕjm)2,计算式为:

      σ̂ϕji=k=1n(ε̂ϕ¯k,ji)22nrji ((15))

      式中,ε̂ϕ¯k,ji为单差观测噪声;rji=(m-1)/m。该观测值精度对应的高度角为n历元平均高度角。

    • 在目前主流的GNSS数据处理软件中,PANDA采用分段的正弦函数构建随机模型(模型A[12],GAMIT采用正弦函数模型(模型B[13],Bernese采用余弦函数模型(模型C[14],文献[16]提出指数函数随机模型(模型D)。上述4种模型的精度计算式分别为:

      σA=a,E30a2sin E,E<30 ((16))
      σB=a+b/sin E ((17))
      σC=a+bcos E ((18))
      σD=a+bexp (-E/c) ((19))

      式中,σAσBσCσD分别为4种模型的观测值中误差;abc均为模型系数;E为高度角。

      本文采用3组基线的观测数据进行实验,每组基线的两台接收机为同品牌接收机,基线详细信息见表 1。数据采集时间为2021年年积日(day of year,DOY)第340~341天,采样间隔30 s,数据处理采用BDS-3 B1I、B3I、B1C和B2a 4个频点观测数据,截止高度角为10°。

      表 1  基线详细信息

      Table 1.  Details of Baselines

      基线 接收机 天线 距离/m 位置
      MG04-MG05 JAVAD TRE3 JAVRINGANT 69.479 8 104.02°W,30.68°N
      HG01-HG02 Unicore UB4B0 TRM 39105.00 0 114.24°E,30.58°N
      BJ01-BJ02 CHC P5 Harxon GPS1000 0 115.89°E,39.60°N
    • 利用2021年DOY 340观测数据,估计相位和伪距观测精度,并求解模型系数,相位和伪距观测精度以及4种模型的拟合曲线(限于篇幅,这里只展示MG04-MG05基线)如图 1图 2所示,拟合误差见表 2

      图  1  相位观测值精度与4种随机模型建模

      Figure 1.  Accuracy of Carrier Phase Observations and Modeling of Four Stochastic Models

      图  2  伪距观测值精度与4种随机模型建模

      Figure 2.  Accuracy of Code Observations and Modeling of Four Stochastic Models

      表 2  4种随机模型的拟合误差

      Table 2.  Modeling Errors of Four Stochastic Models

      基线 频点 相位/mm 伪距/m
      模型A 模型B 模型C 模型D 模型A 模型B 模型C 模型D
      MG04-MG05 B1I 19.628 4.464 34.014 4.564 0.303 0.126 0.386 0.029
      B3I 23.770 9.128 55.263 5.484 0.064 0.018 0.085 0.005
      B1C 17.835 6.364 45.534 3.687 0.125 0.042 0.161 0.015
      B2a 28.847 9.621 63.967 3.559 0.070 0.016 0.093 0.004
      HG01-HG02 B1I 0.117 0.058 0.022 0.018 0.020 0.016 0.013 0.012
      B3I 0.149 0.076 0.067 0.037 0.007 0.006 0.005 0.004
      B1C 0.170 0.078 0.243 0.039 0.195 0.171 0.329 0.048
      B2a 0.399 0.090 0.766 0.062 0.081 0.076 0.197 0.016
      BJ01-BJ02 B1I 0.103 0.052 0.108 0.013 0.029 0.012 0.011 0.011
      B3I 0.589 0.282 0.181 0.062 0.001 0.001 0.001 0.001
      B1C 0.141 0.033 0.259 0.007 0.013 0.009 0.004 0.003
      B2a 2.842 1.027 3.437 0.151 0.001 0.001 0.002 0.001

      图 1图 2可知,BDS-3的B1I、B3I、B1C和B2a 4个频点的相位和伪距观测值中误差均与高度角相关,但相关程度与频点和观测类型有关。BDS-3不同频点间相位观测值中误差与高度角的相关性差异较小,伪距观测值则差异较大,B1I和B1C频点的观测值中误差与高度角相关性较大,而B3I和B2a频点的相关性有所下降。B3I、B1C、B2a频点的相位观测值中误差在高度角大于30°时趋于稳定,B1I频点的相位观测值中误差则随高度角升高而减小,且减小速度逐渐放缓;4个频点的伪距观测值中误差均随着高度角升高而减小,且在高度角大于30°时减小速度逐渐放缓。

      4种模型在不同的高度角范围,描述观测信息精度的能力不同

      1)对于模型A,当高度角小于30°时,模型精度较为乐观,模型精度高于实测精度;当高度角大于30°时,模型精度稍显保守,实测精度大于模型精度,且随着高度角增大,模型与实测精度差异变大。

      2)对于模型B,对相位观测精度均能够较准确地刻画,对伪距观测值的B3I、B1C和B2a频点精度能够准确描述,但对B1I频点在低高度角时表现较差。当高度角在20°~30°时,模型对B3I、B1C和B2a载波相位观测精度处理略显保守,实测精度大于模型精度,在其余高度角区段,模型精度较为准确。

      3)对于模型C,当高度角大于60°时,对相位和伪距观测精度均能较准确地处理,但在其余高度角区段精度表现较差。以高度角20°为界,大高度角部分较保守,低高度角部分则较乐观。

      4)对于模型D,模型受3个参数调节,表现较为灵活,在可观测范围内,对BDS-3各频点观测信息精度均能够准确地处理。

      综上所述,BDS-3观测信息精度均与高度角相关,不同频点相同观测值相关程度不同,相同频点不同观测类型相关程度不同。基于指数函数的模型D对各类观测信息的拟合误差最小,B3I相位观测值拟合误差最大,为5.484 mm;B1C伪距观测值拟合误差最大,为0.048 m,表现出较好的观测信息精度描述性能。

    • 基于§4.1拟合的模型参数建立随机模型,利用2021年DOY 341的观测数据进行统计检验测试,线性化的观测方程为:

      yk=Bkbk-Aa¯+εyk ((20))

      式中,ykεyk分别为观测量和观测噪声,包括相位和伪距观测量以及观测噪声;bk为实数参数向量,包括位置参数和接收机钟差参数;Bk为其设计矩阵;a¯为整数参数向量,即模糊度参数;A为其设计矩阵。

      利用最小二乘法估计未知参数,得到未知参数浮点解a¯̂,b̂kT,其中a¯̂b̂k分别为整数参数和实数参数浮点解,方差-协方差矩阵为:

      Q=Qa¯̂a¯̂Qa¯̂b̂Qb̂a¯̂Qb̂b̂ ((21))

      利用最小二乘模糊度降低相关平差法(least squares ambiguity decorrelation adjustment,LAMBDA)进行模糊度固定,得到整数模糊度a¯̆,求得实数参数bk的固定解及其方差-协方差分别为:

      b̌k=b̂k-Qb̂a¯̂Qb̂b̂-1(a¯̂-a¯̆) ((22))
      Qb̆b̆=Qb̂b̂-Qb̂a¯̂Qb̂b̂-1Qa¯̂b̂ ((23))

      计算可得浮点解和固定解残差ε̂ykε̆yk用于统计检验。假设当前历元可观测卫星为m颗,频率数nf=4,则浮点解和固定解全局检验统计量T分别为:

      Tfloat=ε̂ykTQyk-1ε̂yk4m-7~F(4m-7,) ((24))
      Tfixed=ε̆ykTQyk-1ε̆yk8m-11~F(8m-11,) ((25))

      计算浮点解和固定解的全局检验统计量T,并给出置信水平95%情况下的临界值,检验结果分别如图 3图 4所示。由于已知观测值中不含粗差观测量,理论上T均小于临界值,大于临界值为误警,4钟模型的T均值和误警率见表 3

      图  3  4种随机模型的浮点解全局检验

      Figure 3.  Overall Statistics of the Float Solutions for Four Stochastic Models

      图  4  4种随机模型的固定解全局检验

      Figure 4.  Overall Statistics of the Fixed Solutions for Four Stochastic Models

      表 3  4种随机模型的全局检验均值和误警率

      Table 3.  Mean Overall Test and Probabilities of False Alarm Rate for Four Stochastic Models

      基线 解算模式 T均值 误警率/%
      模型A 模型B 模型C 模型D 模型A 模型B 模型C 模型D
      MG04-MG05 浮点解 1.13 0.96 0.92 1.01 17.5 6.9 10.9 3.9
      固定解 1.04 0.88 0.87 0.97 15.1 3.7 15.6 3.3
      HG01-HG02 浮点解 1.34 0.84 0.81 1.12 16.4 8.1 16.3 4.8
      固定解 1.62 0.88 0.86 1.08 16.2 7.9 15.4 4.2
      BJ01-BG02 浮点解 1.68 1.21 0.76 1.09 19.3 8.4 9.5 5.1
      固定解 1.53 1.16 0.83 1.10 19.1 8.3 10.1 4.9

      图 3图 4可以看出,全局检验浮点解误警率由低到高分别为模型D、模型B、模型C、模型A,固定解误警率由低到高分别为模型D、模型B、模型A、模型C。模型D整体表现最优,浮点解和固定解误警率均小于4%;模型A和模型C整体表现均较差,浮点解和固定解误警率均超过10%;模型C的各观测值模型拟合误差均大于模型A,但在浮点解全局检验中,误警率却小于模型A,这是由于模型A在处理高度角大于30°的BDS观测精度时,实测精度较模型精度高,β>1,计算的统计量大于真实的T值,因此表现出较高的误警率。以MG04-MG05基线为例,由表 3可知,模型D的浮点解和固定解T均值均接近1,差异分别为0.01和0.03;模型A浮点解T均值与1差异最大,达0.13;模型C固定解T均值与1差异最大,达0.13。

      综上,基于指数函数的随机模型浮点解和固定解全局检验表现最优,与模型拟合误差性能基本一致,在质量控制过程中,较小的误警率可降低计算消耗,准确的随机模型能有效降低误警率,实现快速精密定位。

    • 基于§4.2中的固定解观测残差,利用ω检验方法,进一步研究随机模型对卫星观测量的影响,ω检验值的计算式为:

      ωi=cyiTQy-1ε̆ciTQyk-1Qε̆ykQyk-1cy ((26))

      图 5图 6分别为BDS-3观测信息在4种随机模型下载波和伪距观测值的ω检验散点图。已知观测值中无异常观测,计算置信水平为0.95时的临界值,统计各频点观测值超出临界值的数量,计算误警率,结果见表 4

      图  5  4种随机模型下载波相位观测值ω检验

      Figure 5.  ω-test for All Types of Carrier Phase Observations with Four Stochastic Models

      图  6  4种随机模型下伪距观测值ω检验

      Figure 6.  ω-test for All Types of Pseudorange Observations with Four Stochastic Models

      表 4  4种随机模型的ω检验误警率

      Table 4.  False Alarm Rate of ω-test for Four Stochastic Models

      基线 频点 相位/% 伪距/%
      模型A 模型B 模型C 模型D 模型A 模型B 模型C 模型D
      MG04-MG05 B1I 2.8 2.2 3.2 2.1 6.1 6.3 8 5.4
      B3I 8.4 6.1 9.1 5.2 7.2 6.0 8.8 5.3
      B1C 4.6 3.3 5.6 2.9 5.9 6.0 8.3 5.1
      B2a 9.1 6.7 9.9 5.8 7.1 6.2 9.0 5.4
      HG01-HG02 B1I 8.9 4.0 5.4 3.5 6.3 5.4 6.2 2.2
      B3I 12.5 6.6 6.8 1.4 7.8 6.3 5.9 5.8
      B1C 6.2 4.8 5.7 4.5 6.2 7.1 7.3 4.3
      B2a 13.4 8.3 9.1 4.4 8.4 7.8 7.1 3.6
      BJ01-BJ02 B1I 4.3 5.4 6.2 4.1 10.1 6.2 13.2 5.8
      B3I 9.8 6.8 9.3 6.3 9.5 5.9 7.4 4.3
      B1C 7.8 5.7 6.7 3.9 11 7.3 6.2 5.0
      B2a 11.2 9.1 11.2 6.8 7.8 7.1 8.2 4.4

      图 5图 6可以看出,模型A在高度角大于30°时,相位和伪距均表现出ω检验统计量较小的现象,且随着高度角增大,统计量逐渐减小,这是由于在对应高度角部分,实测精度比模型给定精

      度高,β>1,ω检验统计量被缩小;模型B在高度角小于30°时,B2a载波相位观测值ω检验统计量

      被放大,这与§4.1中模型低高度角拟合精度表现一致;模型C在高度角小于30°时,相位和伪距的统计量均被放大,而在高度角大于30°、小于60°时则有所缩小,在大于60°时,检验量分布趋于平稳;模型D整体表现最优,只在高度角大于70°时,相位观测值ω检验统计量较小,精度处理稍显保守。由表 4中各观测值误警率可知,模型D整体表现最优,相位和伪距观测值误警率最高的均为B2a频点。

      综上,基于指数函数的随机模型在ω检验中表现最优,各类观测信息误警率均为最低,在质量控制过程中可较准确地定位粗差位置,提高定位可靠性。

    • 利用BDS-3四频非组合PPP定位模型对4种随机模型进行静态定位性能检验,取三维定位偏差均收敛至10 cm内的时间为收敛时间,收敛后定位误差均值为定位精度,结果见图 7表 5

      图  7  4种随机模型PPP收敛时间

      Figure 7.  Convergence Time of PPP for Four Stochastic Models

      表 5  4种随机模型PPP定位精度

      Table 5.  Positioning Accuracy of PPP for Four Stochastic Models

      模型站点 定位精度/cm
      模型A 模型B 模型C 模型D
      MG04 7.37 6.58 6.98 6.35
      MG05 5.55 4.62 5.11 4.30
      HG01 5.25 5.80 6.21 4.91
      HG02 4.50 4.49 6.94 4.41
      BJ01 4.67 6.80 8.01 4.69
      BJ02 5.31 9.22 9.38 5.34

      图 7表 4可知,随机模型对PPP的收敛时间影响较大,收敛时间由大到小依次为模型C、模型A、模型B、模型D,相同站点不同随机模型会导致收敛时间差异最大可达110 min;随机模型对定位结果有一定的影响,定位偏差由大到小依次为模型C、模型B、模型A、模型D

    • 本文利用BDS-3四频观测数据,对BDS观测值随机模型进行统计特性分析。首先,基于单历元单差定位模型估计观测值精度,分析了观测值精度和高度角的关系,并进行高度角随机模型建模,评估了4种经典随机模型描述BDS-3观测信息精度的性能;然后,利用相同站点不同时间的观测数据进行全局检验和ω检验,评价随机模型的统计特性;最后,利用四频非组合PPP对各模型的收敛时间和定位精度进行检验。本文主要结论如下:

      1)BDS-3各类观测信息精度均与高度角相关,不同频点相同观测值相关程度不同,相同频点不同观测类型相关程度不同,在精密数据处理时,应对不同频点、不同观测信息进行随机模型建模。

      2)在利用高度角相关的随机模型时,建议使用指数函数模型。基于指数函数的高度角观测信息随机模型在模型拟合误差、全局检验、ω检验以及PPP定位测试中均表现出最优的精度处理性能。

      3)不同的随机模型对PPP收敛时间和定位精度影响较大,当观测信息随机模型对观测精度处理较乐观时,导致检验量偏大,造成较高的误警率;而对观测精度处理较保守时,则致检验量偏小,导致较高的漏检率,准确的随机模型能够提高滤波器的估值精度,提升质量控制的准确度,因此,能够有效缩短PPP收敛时间,提高定位精度。

参考文献 (21)

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