等高线树不仅能有效表达等高线间的层次关系，且以隐含的方式顾及地性结构^[18]，是等高线拓扑关系表达最常用的方法^[14，19]。与无向等高线树相比，有向等高线树可以有效避免等高线拓扑数量重复累计及漏算等不足，而非闭合等高线拓扑检查、Voronoi多边形剖分及匹配闭合等预处理是建立有向等高线树的前提^[20]。

实际中等高线是连续、闭合的，然而，地图仅是现实世界的部分反映，导致等高线被图廓截断为非闭合等高线，因此，需进行非闭合等高线拓扑检查、匹配及闭合等预处理。

以正向地貌图 1（a）为例，非闭合等高线预处理基本思路如图 2所示。通过图 2可知，非闭合等高线预处理主要包括：（1）基于Voronoi多边形^[16]等高线邻接关系^[17]矩阵R的构建；（2）依据高程值（H（L_i））、邻接矩阵（R_（i，j））非闭合主干及子等高线的匹配；（3）匹配后的非闭合等高线按匹配字段（ID_1）融合。

图  1  非闭合等高线匹配及其等高线树模型

Figure 1.  Matching of Unclosed Contours and Its Corresponding Contour Tree

图  2  非闭合等高线闭合处理流程图

Figure 2.  Closed Processing Flowchart of Non-closed Contours

建立有向等高线树的实质^[21]是等高线结点在等高线树中所处层次的确定及结点间有向边连接方式的判断。针对正向地貌，从根结点向叶结点等高线高程值等差排列、逐渐递增，高程值相等的等高线结点所处层次相同，主等高线结点所处层次k=max{ID_1}+1-{ID_1}；负向地貌则相反。因此，依据闭合等高线高程及其邻接关系可确定等高线结点在有向等高线树中所处层次及有向边连接方式。

以正向地貌为例，已知两条等高线相邻，（1）若H（L_i） > H（L_i+1），则L_i+1为双亲结点，处于等高线树的第i层，L_i为孩子结点，处于第i+1层，建立L_i+1指向L_i结点的有向边；相反，建立L_i指向L_i+1结点的有向边；（2）若H（L_i）=H（L_i+1），则L_i+1与L_i互为亲兄弟结点，位于等高线树的同一层次，无需建立有向边；负向地貌则相反。若标签结点为分枝子树的根结点，对分枝子树操作与树干相同，直至遍历所有标签结点。若标签根结点有多个孩子结点，为避免有向边交叉，每遍历一次，第k层结点需不断调整在动态链表中的存储位置，未遍历结点交换存储位置、后移。

等高线在抽稀、合并等综合过程中，随比例尺减小，拓扑关系不断发生改变；而等高线拓扑关系的定量表达是探究多尺度等高线拓扑指标随尺度变化定量变化规律的前提。

等高线拓扑关系主要有3种：邻接、包含及相离。设比例尺为S₁的等高线对应有向等高线树结点总数为M，L_i（i=1，2…M）为当前结点，根结点至叶结点等高线树层次分别为0，1，2…k…N，第k（k≤N）层等高线结点总数为P_k（P_k≤M），则拓扑邻接、包含及相离关系定量表达如下。

1）拓扑包含

有向等高线树的同一棵子树，结点L_i与其祖先结点或子孙结点间均为拓扑包含。为避免重复累计，仅考虑同一棵子树中结点L_i与其祖先结点间的包含关系，则结点L_i拓扑包含总数由其在有向等高线树中所处的层次k决定。比例尺为S₁的等高线拓扑包含总数$T_{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}}^{S_{\mathrm{1}}}$为：

以图 1（b）中L₆结点为例，结点L₆与其祖先结点{L₈，L₉…L₂₆}之间均为拓扑包含关系，则包含结点L₆的等高线条数等于结点L₆在有向等高线树中所处的层次k（k=19）；依此类推，可知图 1（b）对应等高线拓扑包含总数为271。

2）拓扑邻接

有向等高线树中，拓扑邻接关系存在于双亲-孩子结点及亲兄弟结点之间，即结点L_i拓扑邻接总数（K_i）取决于其孩子（$N_i^{\mathrm{孩}\mathrm{子}}$）及亲兄弟（$N_i^{\mathrm{亲}\mathrm{兄}\mathrm{弟}}$）结点个数，则结点总数为M、比例尺为S₁的等高线拓扑邻接总数$T_{\mathrm{N}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}}^{S_{\mathrm{1}}}$为：

为避免重复累计，式（2）中亲兄弟结点间的邻接关系仅累计1次，如图 1（b）所示，结点{L₅，L₆，L₇}互为亲兄弟，L₅与L₆拓扑相邻，L₆与L₅亦拓扑相邻，则研究仅考虑L₅与L₆间的拓扑邻接关系，因此，结点{L₅，L₆，L₇}对应拓扑邻接总数分别为{2，1，0}。图 1（b）中除L₈有3个孩子结点，其余结点的孩子结点数均为1。因此，图 1（b）对应的拓扑邻接总数为35。

3）拓扑相离

除具有包含、邻接关系外的等高线之间的不相邻关系称为拓扑相离^[13]。有向等高线树的同一棵子树，除结点L_i与其双亲、亲兄弟及孩子结点间为拓扑邻接关系外，结点L_i与其他结点间均为拓扑相离关系；不同子树间，除结点L_i与其亲兄弟结点拓扑邻接外，结点L_i与其他结点间均为拓扑相离关系，包括该子树结点L_i与其他子树的堂兄弟及子孙结点之间。综上可知，等高线拓扑邻接与拓扑相离关系互为补集。因此，通过邻接关系可间接定量表达等高线间拓扑相离总数。设有向等高线树结点不重复两两组合数为${\mathrm{C}}_M^{\mathrm{2}}$，比例尺为S₁的等高线拓扑相离总数$T_{S\mathrm{e}\mathrm{p}}^{S_{\mathrm{1}}}$为：

以图 1（b）结点L₇为例，结点L₇与其双亲结点L₈间为拓扑包含关系，结点L₇与亲兄弟结点{L₅，L₆}及其孩子结点间为拓扑邻接关系，结点L₇与其他有向等高线子树中的结点如L₂、L₀间均为拓扑相离。图 1（b）中，结点总数M=31，拓扑邻接总数为35，则等高线拓扑相离总数为430。

综上可知，等高线拓扑邻接、包含及相离关系彼此交叉、互补，部分结点间拓扑关系仅需累计一次，如亲兄弟结点间的邻接关系；部分结点间的拓扑关系需重复累计多次，如除双亲-孩子结点外，同一颗子树的祖先-子孙结点间包含与相离关系并存，而该子树的祖先与其他子树的子孙结点间仅为相离关系。因此，比例尺为S₁的等高线对应拓扑关系总数$T_{T\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{o}}^{S_{\mathrm{1}}}$为：

即深度为25的有向等高线树（图 1（b）），拓扑关系总数为736。

通过§2.1分析可知，与等高线拓扑定量表达相关的拓扑指标主要包括闭合等高线条数、等高线树深度、拓扑总数及拓扑邻接总数等。

1）相邻尺度拓扑指标比

相邻尺度拓扑指标比描述了综合前后拓扑指标的变化，计算公式为：

式中，$G_i{}_{S_{\mathrm{1}}}^{S_{\mathrm{2}}}\in [\mathrm{1},+\mathrm{\infty })$为综合前后相邻尺度拓扑指标比；$G_i^{S_{\mathrm{1}}}\mathrm{、}{G}_i^{S_{\mathrm{2}}}$分别为综合前后比例尺S₁、S₂对应等高线的第i个拓扑指标。若拓扑指标为树的深度（Depth）^[22]，则$G_{{}_{\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}}}^{S_i}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{\mathrm{树}\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{层}\mathrm{次}\right\}+\mathrm{1}=N+\mathrm{1}$。

2）多尺度等高线拓扑相似度

多尺度等高线拓扑相似度描述了多尺度等高线拓扑总数随尺度变化的定量变化，其度量公式为^[2]：

式中，$T^{S_{\mathrm{1}}}\mathrm{、}{T}^{S_{\mathrm{2}}}$分别为比例尺S₁的等高线综合为比例尺S₂等高线对应综合前后拓扑指标总数；$T_j^{S_{\mathrm{1}}}\mathrm{、}{T}_j^{S_{\mathrm{2}}}$分别为S₁、S₂对应第j类拓扑关系总数；t=3；$\mathrm{S}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_{S_{\mathrm{1}}}^{S_{\mathrm{2}}}\in \left(\mathrm{0,\; 1}\right]$，与尺度变化（C）^[3]负相关。

地貌类型划分标准多样化^[23]，按高程及起伏特征，地貌类型可划分为高山、中山、平原等，进一步可划分为陇南山地、黄土高原及河西走廊平原等地貌类型^[24]。实验以相同图幅范围（5 km×5 km）高山、中山、平原地貌60组多尺度矢量等高线数据集为基础数据源，包括1∶5 000、1∶1万、1∶5万、1∶10万及1∶25万祁连山地、陇南山地高山地貌多尺度等高线簇26组（包括陇南切割高山地貌17组，祁连山地9组），陇东、陇中黄土高原、甘南高原中山地貌多尺度等高线簇22组（包括陇中黄土高原14组，甘南高原4组，陇东黄土高原4组）及河西走廊平原、陇中河谷冲积平原地貌多尺度等高线12组（包括河西走廊平原9组，陇中冲积平原3组），多尺度矢量等高线数据来源于国家基础地理信息中心。

等高线树构建方法的可靠性是拓扑关系正确定量表达的前提。图 1（a）非闭合主干及分枝等高线的高程及编码匹配表如表1、2所示。

通过表1、2可知，图 1（a）中65条非闭合等高线，经匹配、闭合处理为30条闭合等高线，包括24条主干等高线（表 1）、5条子树Ⅰ分枝等高线及1条子树Ⅱ分枝等高线（表 2）。以图 1（a）为例，本文方法构建的有向等高线树模型（图 1（b））与已有无向等高线树构建方法^[16-17]构建结果完全一致，即有向等高线树构建方法合理、可靠。

标准差从平均概况衡量一组统计数据与平均值的离散程度，变异系数表示统计数据的相对波动程度^[25]，不同地貌类型多尺度拓扑指标离散及波动程度如表 3所示。

通过表 3可知：（1）横向来看，同一比例尺各拓扑指标标准差及变异系数均呈高山 > 中山 > 平原的变化趋势，即从高山→中山→平原地貌，各拓扑指标与其平均值的离散程度逐渐减小，指标值越集中；但其相对波动程度高山大于中山及平原地貌；同一比例尺不同拓扑指标的变异系数呈拓扑总数的变异系数最大，等高线树深度次之。（2）纵向来看，随着比例尺的不断减小，同一地貌类型各拓扑指标值的标准差亦逐渐减小；高山、中山地貌的变异系数逐渐增大，而平原地貌相对稳定；随比例尺的减小，拓扑包含、相离及邻接数的相对波动程度逐渐增大。

以上分析进一步验证了“等高距是地形与比例尺的综合体现^[26]，两者共同决定了等高线拓扑数量的差异”的结论。因此，研究主要从比例尺、地貌类型两个维度探究等高线拓扑指标变化趋势，前者是本文研究的重点。

相同或不同地貌类型相邻比例尺等高线拓扑指标变化趋势如图 3所示。图 3表明：（1）同一地貌、相邻比例尺等高线条数比、等高线树深度比与相邻比例尺等高距比值基本一致；但因地形破碎度、坡度陡缓等不同，导致不同拓扑指标比值并非为某一固定常数，而在相邻比例尺等高距比附近波动。随相邻比例尺尺度变化的增大，各拓扑指标比值的波动性增大，当等高线由1∶10万综合为1∶25万时，其波动程度最大（图 3中绿色折线）。（2）同一地貌类型相邻比例尺等高线的等高距比值越大，对应拓扑总数比值越大，如图 3（b）中，中山地貌相邻比例尺等高距比值分别为{1，4，2，2.5}时，对应等高线拓扑总数比均值分别为{1，17，5，8}，但拓扑总数比值与相邻比例尺等高线的尺度变化或等高距比值间无特定比例关系，且同一地貌、相邻等高距比值相同的等高线，拓扑总数比差异显著，如高山地貌（图 3（a））等高线分别由等高距为10 m的1∶1万等高线综合为等高距为20 m的1∶5万等高线、由等高距为20 m的1∶5万等高线综合为等高距为40 m的1∶10万地形图时，等高距比均为2，但相邻比例尺等高线拓扑总数比均值分别为4、5。

图  3  相邻尺度等高线树深度比、闭合等高线条数比及拓扑总数比关系

Figure 3.  Contour Tree Depth, Closed Contour Number and Topology Number Ration of Adjacent Scale

通过§3.3.1分析可知，与相邻比例尺等高线树深度比、闭合等高线条数比不同，相邻比例尺等高线拓扑总数比与相邻比例尺等高距比或尺度变化间无特定比例关系。因此，本文进一步深入探究多尺度等高线拓扑总数，即拓扑相似度随尺度变化的变化规律（见图 4）。

图  4  多尺度拓扑指标比随尺度变化的变化规律

Figure 4.  Multi-scale Topological Index Ratio Changes with Map Scale Change

通过图 4可知：（1）同一地貌类型，若综合前后等高距不变，拓扑指标比值趋近于1，如实验选取的4组中山地貌等高线由1∶5 000综合为1∶1万，综合前后等高距均为5 m，等高线条数比、等高线树深度比、拓扑相似度分别为{0.929 4，0.985 3，0.872 8}、{1，1，1}、{0.988 1，0.986 3，1}及{1，1，0.966 9}。（2）同一地貌类型、尺度变化相同的不同样本，各拓扑指标比值基本一致，均在其均值附近波动，如当尺度变化C=10时，高山地貌等高线拓扑相似度主要在0.05附近波动（见图 4）；不同地貌类型、尺度变化相同的等高线，等高线条数比、拓扑相似度均较接近，如C=10时，高山、中山、平原地貌等高线树深度比均值分别为0.231 2、0.245 1、0.222 7，即不同地貌类型的等高线树深度比均在0.2附近波动。（3）随尺度变化的增大，各拓扑指标的比值均逐渐减小，但各拓扑指标比值与尺度变化之间定量函数关系未知。基于此，本文进一步探讨了不同地貌类型多尺度等高线拓扑相似度与尺度变化之间的定量函数关系，为基于多尺度空间相似关系等高线地图全自动综合的实现提供了契机。不同地貌类型多尺度等高线拓扑相似度统计表如表 4所示。

通过表 4可知，随尺度变化的增大，等高线拓扑相似度标准差逐渐减小，变异系数逐渐增大，即随着尺度变化的增大，拓扑相似度与其平均值的差距逐渐减小，但多尺度拓扑相似度间的相对波动逐渐增大。

符合“等高线拓扑相似度随尺度变化的增大逐渐减小”变化趋势的函数包括幂函数、指数函数、对数函数、线性函数及二次函数，尽管二次函数存在单调递减区间，但尺度变化取值范围内其并非单调，可排除。不同地貌类型多尺度等高线拓扑相似度与尺度变化间定量函数关系拟合结果如图 5所示。图5（a）、5（b）、5（c）表明，幂函数y=ax^-b（a > 0，b > 0）是拟合同一地貌类型等高线拓扑相似度与尺度变化间定量关系的最佳函数，R²≥0.938 5；且当C∈（0，10]时，等高线的拓扑相似度减小速率较快；当C > 10时，其变化速率趋于平缓；由图 5（d）可知，不同地貌类型等高线拓扑相似度与尺度变化之间的定量关系可以用同一个幂函数定量表达。为验证多尺度等高线拓扑相似性定量函数关系的可靠性，本文进一步研究了样本量对幂函数拟合精度及系数的影响，如图 6所示。

图  5  多尺度等高线拓扑相似度随尺度变化的变化

Figure 5.  Topology Similarity Variation of Multi-scale Contour with Map Scale Change

图  6  样本量对幂函数拟合函数精度及系数的影响

Figure 6.  Influence of Sampling Number on the Fitting Accuracy and Coefficients of Power Function

通过图 6（a）可知，不同地貌类型多尺度等高线拓扑相似度与尺度变化间定量关系幂函数的拟合精度R² > 0.95，且随样本量的增加，其拟合精度不断减小，当样本量增加到200左右，其拟合精度R²收敛于0.961 2，拟合系数a、b分别收敛于6.047 2、-2.104（图6（b）、6（c））。综上可知，幂函数y=6.047 2x^-2.104（R²=0.961 2）是定量表达不同地貌类型多尺度等高线拓扑相似度与尺度变化间定量关系的最佳函数，该结论论证了基于多尺度空间相似关系等高线全自动综合实现的合理性及可能性。

本文以不同地貌类型1∶5 000、1∶1万、1∶5万、1∶10万、1∶25万多尺度等高线数据为基础数据源，通过建立有向等高线树，提出并构建了一种等高线拓扑关系定量表达模型，从尺度、地貌类型两个维度探究了等高线拓扑指标及其随尺度变化的定量变化规律。试验结果表明：比例尺与地貌类型共同导致同一比例尺、相同或不同地貌类型等高线的拓扑指标差异显著；同一地貌相邻比例尺等高线的等高线条数比、等高线树深度比与相邻比例尺等高距的比值基本一致，该结论与人们的空间认知、推理基本一致。幂函数是表达多尺度等高线拓扑指标与尺度变化间定量关系的最佳函数，且不同地貌类型的多尺度等高线拓扑相似度与尺度变化间的定量关系可用同一个幂函数定量表达，该结论丰富了空间关系理论，为基于多尺度等高线空间相似关系等高线全自动综合的实现提供了基础支撑。

本文目前处于多尺度等高线拓扑相似关系研究，后续将开展多尺度等高线几何及结构形态相似等方面的研究工作，以完成多尺度等高线空间相似性定量表达，以期实现基于多尺度空间相似关系等高线综合的自动化。