低轨卫星星载GNSS接收机r和导航卫星s在频点j的相位和伪距观测方程为：

式中，${\rho }_r^s$是站星几何距离（单位：m）；$\mathrm{d}{t}_r$和$\mathrm{d}{t}^s$分别表示接收机钟差和卫星钟差（单位：m）；$c$表示光速（单位：m/s）；${\lambda }_j$为频率$j$观测值的波长（单位：m）；$B_{r,j}$和$B_j^s$分别表示接收机端和卫星端的相位偏差（单位：周）；$b_{r,j}$和$b_j^s$分别为接收机端和卫星端的伪距偏差（单位：s）；$N_{r,j}^s$为相位模糊度（单位：周）；$I_{r,j}^s$表示频率$j$观测值受到的电离层延迟（单位：m）；${\epsilon }_{r,j}^s$和${\omega }_{r,j}^s$分别为载波相位和伪距观测值的多路径误差和随机误差之和（单位：m）。

通常利用双频无电离层（ionosphere-free，IF）组合消除观测值中的一阶电离层延迟，其观测方程为：

式中，${\lambda }_{\mathrm{I}\mathrm{F}}$为IF组合波长；$B_{r,\mathrm{I}\mathrm{F}}$和$B_{\mathrm{I}\mathrm{F}}^s$分别表示IF组合的接收机端和卫星端相位偏差；$b_{r,\mathrm{I}\mathrm{F}}$和$b_{\mathrm{I}\mathrm{F}}^s$分别表示IF组合的接收机端和卫星端伪距偏差；$N_{r,\mathrm{I}\mathrm{F}}^s$为IF组合的相位模糊度；${\epsilon }_{r,\mathrm{I}\mathrm{F}}^s$和${\omega }_{r,\mathrm{I}\mathrm{F}}^s$分别为IF组合的载波相位和伪距观测值的多路径误差和随机误差之和。

在实际参数估计中，相位模糊度参数$N_{r,\mathrm{I}\mathrm{F}}^s$和相位偏差、伪距偏差耦合，而无法作为整数估计，这是因为：（1）相位偏差$B_{r,\mathrm{I}\mathrm{F}}$和$B_{\mathrm{I}\mathrm{F}}^s$与模糊度无法分离；（2）接收机端伪距偏差$b_{r,\mathrm{I}\mathrm{F}}$与接收机钟差$\mathrm{d}{t}_r$无法分离，被引入到相位观测方程中；（3）导航卫星钟差通常使用IGS发布的精密钟差产品改正，其包含卫星端伪距偏差$b_{\mathrm{I}\mathrm{F}}^s$的影响。

整数钟是吸收了卫星端相位偏差的钟差产品，也称为相位钟，可以辅助单接收机实现模糊度固定。整数钟的估计方法参见文献[11，19]。整数钟可以表示为$\mathrm{d}{\tilde{t}}_{\mathrm{I}\mathrm{F}}^s=\mathrm{d}{t}^s+{\lambda }_{\mathrm{I}\mathrm{F}}{B}_{\mathrm{I}\mathrm{F}}^s$，将其代入式（2）可得使用整数钟的星载GNSS观测方程：

其中，

从式（3）、（4）可以看出，由于使用了整数钟，伪距方程中多引入一个码相偏差${\widehat{\xi }}_r^s$，由于伪距观测值的权通常远小于相位观测值，其大部分会进入伪距残差之中。而相位观测方程中的卫星端相位偏差$B_{\mathrm{I}\mathrm{F}}^s$被消掉，卫星端伪距偏差$b_{\mathrm{I}\mathrm{F}}^s$也不再被引入，因此模糊度参数${\widehat{N}}_{r,\mathrm{I}\mathrm{F}}^s$将只受到接收机端的相位偏差$B_{r,\mathrm{I}\mathrm{F}}$和伪距偏差$b_{r,\mathrm{I}\mathrm{F}}$影响，可以将其合并为接收机端IF组合UPD（${\mu }_{r,\mathrm{I}\mathrm{F}}$）。在整周模糊度解算中，将IF组合（假设为频率1和频率2组合）相位模糊度${\widehat{N}}_{r,\mathrm{I}\mathrm{F}}^s$表示为宽巷（wide-lane，WL）和窄巷（narrow-lane，NL）模糊度的组合形式 ^[20]：

式中，$f_{\mathrm{1}}$和$f_{\mathrm{2}}$表示观测值频率；${\widehat{N}}_{r,\mathrm{W}\mathrm{L}}^s$为宽巷模糊度，由于${\lambda }_{\mathrm{N}\mathrm{L}}$为窄巷观测值波长，因此${\widehat{N}}_{r,\mathrm{1}}^s$也常被称为窄巷模糊度。

解算宽巷模糊度的整数值。宽巷模糊度一般通过平滑后的MW（Melbourne–Wübbena）组合观测值计算^[21-22]。卫星端宽巷UPD（${\mu }_{\mathrm{W}\mathrm{L}}^s$）一般和整数钟产品一起提供（如CNES/CLS整数钟产品将宽巷UPD写在文件头中），而接收机端宽巷UPD（${\mu }_{r,\mathrm{W}\mathrm{L}}$）可以通过星间单差（single‐difference，SD）的方式消掉，得到具有整数特性的星间SD宽巷模糊度。卫星s1和s2的SD宽巷模糊度$\mathrm{\Delta }{N}_{r,\mathrm{W}\mathrm{L}}^{s\mathrm{1},s\mathrm{2}}$可以表示为：

式中，${\widehat{N}}_{r,\mathrm{W}\mathrm{L}}^{s\mathrm{1}}$和${\widehat{N}}_{r,\mathrm{W}\mathrm{L}}^{s\mathrm{2}}$分别表示卫星s1和s2的宽巷模糊度；${\delta }_{\mathrm{W}\mathrm{L}}$为宽巷未模型化误差（如宽巷UPD产品的误差）。宽巷波长较长（86 cm）较容易从${\delta }_{\mathrm{W}\mathrm{L}}$中分离，因此$\mathrm{\Delta }{N}_{r,\mathrm{W}\mathrm{L}}^{s\mathrm{1},s\mathrm{2}}$可以采用取整法直接固定为整数。

将星间SD宽巷模糊度整数值$\mathrm{\Delta }{N}_{r,\mathrm{W}\mathrm{L}}^{s\mathrm{1},s\mathrm{2}}$和IF组合模糊度$\mathrm{\Delta }{\widehat{N}}_{r.\mathrm{I}\mathrm{F}}^{s\mathrm{1},s\mathrm{2}}$代入式（5）可以得到SD窄巷模糊度$\mathrm{\Delta }{\widehat{N}}_{r,\mathrm{1}}^{s\mathrm{1},s\mathrm{2}}$的表达式：

式中，$\mathrm{\Delta }{N}_{r,\mathrm{1}}^{s\mathrm{1},s\mathrm{2}}$和${\delta }_{\mathrm{I}\mathrm{F}}$分别表示星间SD窄巷模糊度整数值和未模型化误差。窄巷模糊度的固定同样采用取整法。得到SD宽巷和窄巷模糊度的整数值后，便能计算出整数解的IF组合SD模糊度。将下式：

作为虚拟观测方程并赋予较高的权叠加到法方程上，能实现模糊度固定解的定轨解算。

在后处理模式的固定解定轨过程中，首先，利用浮点解参数估计得到的模糊度估计值和方差信息，逐弧段将有共视时间的模糊度组成星间单差模糊度；然后，用上述方法依次解算宽巷和窄巷SD模糊度的整数值；最后，将模糊度约束信息代入到下次定轨参数估计中，得到固定解的轨道。

本文使用2019年的年积日（day of year，DOY）120天~180天的GRACE-FO卫星的星载数据来验证低轨卫星固定解定轨的效果。GRACE-FO1和GRACE-FO2（也称为GRACE‐C和GRACE-D）卫星发射于2018‐05‐22，其主要任务是重力场反演和海洋、大气环境监测。GRACE-FO双星一前一后飞行在近地点轨道高度483 km的近、极近圆轨道上，相距220 km。GRACE-FO卫星定轨策略如表 1所示。

GRACE-FO的Level 1B数据中包括了精密定轨所需的GNSS观测数据（GPS 1B产品）、卫星姿态文件（SCA 1B产品）、GNSS天线相位中心偏差（phase center offset，PCO）文件（VGO 1B产品）和SLR角反射器等效中心文件（VSL 1B产品），以上文件均可在ftp://isdcftp.gfz-potsdam.de/grace-fo/Level-1B/中下载。此外，本文利用残差法^[23]迭代4次估计了GRACE-FO卫星的GNSS天线相位变化（phase center variation，PCV），结果如图 1所示。

图  1  GRACE-C和GRACE-D卫星的PCV分布图

Figure 1.  Estimated PCV Map of GRACE-C and GRACE-D

GRACE-FO卫星的定轨使用星载GPS双频IF组合观测值，定轨弧长为30 h，观测采样间隔为10 s。对于简化动力学定轨，需要估计卫星初始状态参数和力模型参数，包括大气阻力尺度因子（每6 h）和轨道切向、法向的分段周期、分段常数经验力参数（每90 min），以及接收机钟差和模糊度参数。对于运动学定轨，只需要估计每个历元的卫星位置、接收机钟差和模糊度参数。

在模糊度固定中，将共视时间大于8 min的弧段组成星间单差模糊度，依次用取整法固定每个独立的星间单差宽巷/窄巷模糊度。其中对于宽巷模糊度，直接通过模糊度取整残差来判断，如果在0.25周之内认为成功固定；对于窄巷模糊度，通过文献[24]中介绍的假设检验方法判断是否成功固定，置信度设为99.9%，并通过0.20周的取整残差阈值和0.12周的标准差阈值辅助判断。

从模糊度残差分布、独立模糊度固定率及模糊度固定前后相位残差变化分析GRACE-FO卫星的模糊度固定效果。由式（6）、（7）可知，利用产品改正卫星端UPD并通过组成星间单差模糊度消除接收机端UPD后，SD宽巷和窄巷模糊度恢复了整数特性，但仍受到较小的未模型化误差影响，可以通过模糊度的残差（模糊度相对其最邻近整数值的偏差）来分析模糊度的固定效果。

图 2展示了2019年DOY140天GRACE‐C和GRACE‐D卫星的宽巷和窄巷模糊度。

图  2  GRACE-C和GRACE-D卫星2019年DOY140天宽巷和窄巷模糊度残差概率密度分布图

Figure 2.  WL and NL Residuals Probability Density Distributions of GRACE-C/D in DOY140, 2019

由图 2可以看到，简化动力学定轨和运动学定轨的模糊度残差分布基本一致。窄巷模糊度的残差比宽巷模糊度更集中在0附近，在±0.15内的残差比例达到91%~95%。

对于宽巷模糊度，取整法残差小于0.25周即认为成功固定，对于窄巷模糊度则通过假设检验的方法判断是否固定。图 3展示了2019年DOY120天~180天宽巷和窄巷模糊度固定率结果，即成功固定的宽巷/窄巷星间单差模糊度占全部独立星间单差模糊度的比例。

图  3  GRACE-C和GRACE-D卫星宽巷和窄巷模糊度固定率时间序列图

Figure 3.  Time Series of WL and NL Fixing Rates of GRACE-C/D

从图 3中可以看出，简化动力学定轨和运动学定轨的宽巷模糊度固定率都达到99%，窄巷模糊度的固定率前者平均为95%~96%，后者略低，为94%~95%。

固定模糊度可以显著增强观测模型的强度，并有效分离模糊度和其他相关参数及混入其中的相位误差，使得相位残差不可避免地增大^[17]，因此模糊度固定前后相位残差变化也可以评估固定解的效果。GRACE-C和GRACE-D卫星浮点解和固定解的相位残差平均值统计图见图 4。

图  4  GRACE-C和GRACE-D卫星浮点解和固定解的相位残差平均值统计图

Figure 4.  Average Phase Residuals of Ambiguity-Float and Ambiguity-Fixed Results of GRACE-C/D

从图 4可以看出，简化动力学定轨的相位残差为7 mm，相比运动学定轨的残差多1.6 mm，是由于运动学定轨估计每个历元的卫星位置参数，待估参数个数远多于简化动力学定轨。此外还发现，简化动力学定轨固定解相位残差增大了约0.5 mm，而运动学定轨增大了约0.6 mm。

笔者从轨道重叠弧段误差、与科学轨道（precise science orbit，PSO）产品互差、SLR检校及KBR检校来综合评估固定解对简化动力学轨道内符合精度和外符合精度的提升效果。轨道重叠弧段误差通常用来评估轨道的连续性与稳定性。本文估计的30 h定轨弧段为第1天21时至第3天3时，与相邻定轨弧段有6 h重叠，为避免边界误差的影响，取中间4 h的重叠轨道均方根误差（root mean square error，RMSE）为评估标准。

从图 5可以看出，浮点解轨道在切向、法向和径向的重叠轨道RMSE均为3~5 mm，而固定解轨道结果在3个方向都有明显提升，切向达到3 mm左右，法向优于1 mm，径向优于2 mm，其中法向的提升最显著，达到80%。

图  5  GRACE-C和GRACE-D卫星简化动力学轨道浮点解和固定解重叠弧段RMSE结果

Figure 5.  Overlap RMSE Values of Ambiguity-Float and Ambiguity-Fixed GRACE-C/D Reduced Dynamic Orbits

GRACE-FO的Level 1B高精度科学轨道产品定轨策略与GRACE相似，采用了一种基于GNSS地面参考网实现的单接收机模糊度固定方法，并通过调整随机加速度的时间序列描述未模型化摄动力^[28]，对比可以评估定轨的外符合精度。图 6展示了固定解和浮点解轨道与PSO产品的互差结果，可以发现，两颗卫星的结果一致性较好，浮点解在切向的误差在1.2 cm左右，法向和径向的误差在0.9~1.0 cm；固定解轨道在3个方向的误差均明显减小，达到0.4~0.6 cm，精度分别提升了50%、52%和43%。

图  6  GRACE-C和GRACE-D卫星简化动力学轨道浮点解和固定解与PSO产品互差结果

Figure 6.  Orbit Difference with PSOs of Ambiguity-Float and Ambiguity-Fixed GRACE-C/D Reduced Dynamic Orbits

SLR是一种独立的高精度卫星跟踪技术，通过比对GNSS解算的轨道和SLR测站的几何距离与SLR标准点测距数据（即SLR残差），可以有效评估轨道精度。本文选取了13个数据质量较好的国际激光测距服务组织^[29]（international laser ranging service，ILRS）测站对GRACE-C/D卫星的观测数据，分析它们的SLR残差结果。

从图 7的SLR残差序列可以看出，GRACE-C/D卫星的SLR残差在±5 cm内波动，SLR残差标准差（standard deviation，STD）固定解相比浮点解分别从15.9 mm和14.4 mm减小到了10.8 mm和11.0 mm，精度提升了32%和24%。为了更好地说明固定解对轨道精度的提升效果，表 2中列出了使用的13个ILRS测站的SLR标准点数量和残差统计结果。

图  7  GRACE-C和GRACE-D卫星简化动力学轨道浮点解和固定解的SLR残差时间序列

Figure 7.  Time Series of Ambiguity-Float and Ambiguity‐Fixed SLR Residuals of GRACE-C/D Reduced Dynamic Orbits

从表 2可以看出，固定解显著减小了测站的SLR残差STD，平均偏差也更接近0。GRACE-C/D星间的KBR信号精度达到毫米级，可以评估卫星的相对位置精度。从图 8可以看出，固定解对卫星编队的相对定轨精度明显提升，KBR残差从7.98 mm降低到2.87 mm，精度提升64%。

图  8  简化动力学轨道浮点解和固定解的KBR残差时间序列

Figure 8.  KBR Residuals Time Series of Ambiguity-Float and Ambiguity-Fixed Reduced Dynamic Orbits

运动学轨道历元间的卫星位置完全独立，不受力模型参数估计误差的影响，对重力场反演卫星具有重要意义^[30-31]。运动学轨道由于不受卫星力模型参数的约束，定轨精度和稳定性往往差于简化动力学轨道，可以与PSO产品互差和SLR检核结果评估运动学定轨精度。

SLR残差时间序列如图 9所示。由图 9可以看出，运动学定轨的SLR残差稳定性相比简化动力学结果较差，在±8 cm范围内波动。不过固定解精度相比于浮点解的残差STD依然从26 mm左右减小到了21 mm，精度提升幅度达到20%。

图  9  GRACE-C和GRACE-D卫星运动学轨道浮点解和固定解SLR残差时间序列

Figure 9.  Time Series of Ambiguity-Float and Ambiguity‐Fixed SLR Residuals of GRACE-C/D Kinematic Orbits

图 10展示了固定解和浮点解的运动学轨道与PSO产品的互差结果。由图 10可以看出，浮点解的切向、法向和径向误差分别为2.1 cm、1.6 cm和2.6 cm左右，而固定解在3个方向的误差减小到了1.3 cm、1.0 cm和2.1 cm左右，精度分别提升了38%、41%和18%。

图  10  GRACE-C和GRACE-D卫星运动学轨道浮点解和固定解与PSO产品互差结果

Figure 10.  Orbit Difference with PSOs of Ambiguity-Float and Ambiguity-Fixed GRACE-C/D Kinematic Orbits

本文介绍了基于星间单差模糊度固定的低轨卫星定轨原理、方法和策略。利用2019年DOY120天~180天的GRACE-FO星载数据，对比分析了固定解对简化动力学和运动学定轨的影响。在实验时段内，宽巷模糊度固定率达到99%，而窄巷固定率在95%左右。对于简化动力学定轨，固定解显著改善了轨道内符合精度，其中法向精度提升80%；外符合精度也有明显提升，SLR检核残差STD减小约30%；KBR检核结果进一步表明固定解还可以有效提升低轨卫星间相对轨道精度。对于几何法定轨，固定解轨道整体上可以提升20%~30%精度。随着卫星跟踪技术的不断发展及多频多系统星载GNSS接收机的应用，下一步的研究工作可以围绕多频多系统模糊度固定解的低轨卫星精密定轨开展。