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数字高程模型（digital elevation model，DEM）是对地形地貌的数字化表达，其应用分析具有强烈的尺度依赖性。DEM数据分析中的尺度问题一直以来是相关领域的研究重点。根据DEM的建模流程，有学者将其尺度划分为地理尺度、采样尺度、结构尺度、分析尺度和表达尺度5种类别[1]。本文将DEM研究中的尺度规定为在单位地理空间内表达信息的详细程度，在此尺度定义下，DEM的尺度效应体现在两个方面：（1）DEM数据中的信息是不同尺度地形地貌特征的混合，表现出不同的空间自相关性。要从DEM数据中得出更多结构化的地理信息，必须对其进行尺度上的分离。（2）DEM观测或分析的结果会随着尺度改变[2]。
多尺度DEM数据的派生方法按照处理对象不同可以分为3类：
1）结构法。结构法面向地理实体，以地形的特征与结构为基础，结合DEM数据的语义进行化简，如文献[3-5]。此类方法化简效果好，可根据应用场景精确控制化简效果，但需要有专业知识支撑，并且地形特征的智能提取算法不够成熟，提取过程依赖先验知识[6]，该类方法的迁移性以及效率较差。
2）数值法。数值法面向地理数据，以数据的普遍特征与规律为基础，对格网DEM的面元进行无差别的处理。数值法忽略了DEM数据在语义上所隐含的地形特征（如山脊、谷地等），效果相比结构法较差，但处理效率高、迁移性好，如常用的最邻近采样法、双线性插值法、立方卷积法等相关重采样方法以及文献[7]等。
3）频谱法。频谱法作为一种改进的数值方法，也得到了越来越多的关注[8-9]。该类方法结合了以上两类方法的优势，旨在自动化化简过程中增强DEM的地形语义信息，认为实空间的各种尺度特征在频谱中都有对应的表达，即频谱中低频部分代表着实空间中区域性大尺度上的信息，高频部分代表实空间中局部性小尺度的信息，以此将地形数值与地形语义建立联系。
在频谱法DEM化简研究中，小波分析是最为典型的代表。小波分析可以快速进行高低频的分离，相比数值法有较好的化简效果，但其还存在一些不足之处。以文献[10]中的方法为例：（1）小波基函数ψ（t）的选择是不确定的；（2）小波分析可化简的尺度有限。小波分析法只能通过一次次的迭代对尺度函数φ（t）进行分裂而达到尺度提升的目的，无法实现连续尺度变换。
相比根据频率阈值进行截断，能量谱的取值范围更广，用能量谱实现低通滤波可以实现DEM更细粒度的尺度化简。对于能量谱的计算和分析，傅里叶方法相比小波分析理论更为成熟。因此，本文提出了一种基于傅里叶能量谱密度的DEM多尺度表达方法，该方法通过增强能量谱所对应的地形语义特征，对DEM格网不同地形信息有差别地进行数值处理，更好地实现“舍次取主”的DEM多尺度表达。
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傅里叶级数表明，任何一个周期为T的连续函数都可以表达为一系列正弦波和余弦波的叠加，其每一项的系数称为傅里叶系数。根据欧拉公式将傅里叶系数转化为复数，即可求得对应频率位置的振幅、相位角等信息，频谱是频率的分布曲线。
近年来，一维傅里叶方法经常被用在矢量数据的分析与表达中[11-13]。DEM格网数据是一种典型的栅格数据，其存储与表达形式类似图像，可以使用二维离散傅里叶变换求得其频谱。但在DEM的多尺度表达中，仅根据频谱与实空间的定性特征不能建立科学的多尺度的DEM表达模型。本文在分析DEM格网数据的尺度与其傅里叶频谱关系的基础上，赋予频谱以语义和尺度特征，建立以能量谱密度为阈值的DEM多尺度表达模型。
模型实现的具体算法流程如图 1所示，其主要步骤为：（1）对原始DEM数据进行二维离散傅里叶变换，在能量谱中计算其“能量-频谱”特征参数α、β；（2）根据原始比例尺与所需比例尺求取能量阈值；（3）通过对应阈值的低通滤波处理与二维傅里叶逆变换得到所需尺度的DEM数据。
图 1 算法流程图
Figure 1. Algorithm Flowchart
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对于离散周期函数，可以使用离散傅里叶变换算法求解，实际运用中采用快速傅里叶变换（fast Fourier transform，FFT）。
$$ F\left(u, v\right)=\sum\limits_{x=0}^{M}\sum\limits_{y=0}^{N}f\left(x, y\right){\mathrm{e}}^{-2\mathrm{\pi }\mathrm{i}\left(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N}\right)} $$ (1) 式中，F为频域分布函数；f为时空域分布函数；M、N分别为图像的宽与长；x、y分别为时空域内的位置坐标；u、v分别为频谱在行、列方向的频率分量大小[14]。
二维傅里叶变换在数学上属于可分离变换，即二维傅里叶变换可以通过两次一维傅里叶变换来实现。DEM格网数据作为典型的栅格数据，可以使用二维傅里叶变换来获得其频率信息。频率k表示信号在单位时间内波出现的次数，在空间域中称为波数[15]，可理解为一个周期内的变化次数。在DEM数据中，频率k在空间域表征像素变化的剧烈程度，转换到频域中，表现为各个频率位置上的振幅大小。二维离散傅里叶变换结果中，频率位置向量由行、列两个方向的频率分量u、v合成：
$$ k=u\mathrm{i}+v\mathrm{j} $$ (2) 因为离散傅里叶变换是针对周期函数的变换，所以在计算时，将DEM数据的两个方向的整幅平移进行周期化，取一个周期的计算结果进行研究即可。
如图 2所示，DEM二维离散傅里叶变换（实际计算中采用二维FFT——FFT2）的结果为周期函数，为了方便研究，经常会对二维离散傅里叶变换的处理结果进行平移操作，使得在研究周期内频谱中的零频分量位于频域中心。根据二维图像的频域特征[16]，在研究的周期内，DEM数据在频域具有以下特征：
图 2 周期化DEM格网数据在空间域与频域的展示
Figure 2. Periodic DEM Grid Data in Spatial and Frequency Domains
1）如图 3所示，频域中心为低频位置，越往外的位置越高频，相同频段内的信息基本呈环形分布，越低频的位置振幅越高，越高频的位置振幅越低，并且表现出长尾效应；
图 3 DEM数据频域对数等值线图
Figure 3. Contour Map of DEM in Frequency Domain After log Transformation
2）低频信息代表原空间域的区域大尺度信息，高频信息代表原空间域的局部小尺度信息，如图 4所示，频率越高的信息代表的地形越小，并且原始DEM为不同频段数据的叠加。
图 4 原始DEM数据为不同频段数据的叠加
Figure 4. DEM Data Is the Superposition of Data in Different Frequency Bands
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DEM格网数据可以看作是延伸空间上有限持续的脉冲信号，按照信号的分类，属于能量有限信号。根据Parseval定理[14]可知，信号在时域或空间域中的总能量等于其在频域中的总能量。小波变换与傅里叶变换都是满足Parseval定理的变换，因此两种变换后得到的数据总能量等价。
在傅里叶变换中，频域中振幅谱的平方称为能量谱，因为表示的是单位频带内的能量大小，用E表示。能量谱密度的求解方法有两种[15]：（1）先求信号自相关函数，再进行傅里叶变换；（2）先进行傅里叶变换，再对其幅值取平方。
$$ E=\int \int f{\left(x, y\right)}^{2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int \int |F\left(u, v\right){|}^{2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v $$ (3) $$ \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}u\mathrm{d}v}={\left|F(u, v)\right|}^{2}={R}^{2}+{I}^{2} $$ (4) 式中，R、I分别是实部与虚部，计算中采用复变量的模长。式（3）为二维傅里叶变换的Parseval定理，给出了信号能量谱在不同空间的计算方式；式（4）为能量谱密度的计算方式。
能量谱密度表示单位频率位置上的能量大小，在实际计算时经过欧拉公式变换采用复数表示。自然情况下，栅格图像的能量谱数据是一种典型的重尾分布数据集，符合分布规律，在频率域表现为[15]：
$$ E={\mathrm{e}}^{\alpha }{k}^{-\beta } $$ (5) 其中，E为所有频率为k处的功率谱的累计能量；α、β为参数，β > 0。对其两边求对数可得：
$$ \mathrm{l}\mathrm{n}E=-\beta \mathrm{l}\mathrm{n}k+\alpha $$ (6) 分析可得能量E与频率k存在对数线性关系，因此可以通过线性拟合来求得参数α和β，从而确立频谱与能量谱的定量关系。
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地理信息中的尺度常指研究某一物体或现象时所采用的时间或空间单位，同时又可以指某一个现象或过程在单位空间或时间上发生的次数。有学者将尺度的内涵归结为3要素：广度、粒度与间隙度[17]。尺度的不同层面表现见图 5。
图 5 尺度的不同层面表现
Figure 5. Different Aspects of Scale
在此意义上，语义信息、比例尺1∶M与频率k皆是尺度λ这个抽象概念在不同层面上的具体实现。在空间域中，尺度λ在粒度层面实现为比例尺1∶M。尺度λ可以用图上每单位距离代表的实际距离来计算；同样，尺度可以在间隙度层面实现为采样率，即在空间单位上的变化次数，体现在频率域中就是频率k。因此，比例尺1∶M、频率k以及相应尺度上地理实体的语义在内核上是统一的。
比例尺的计算公式为图中实际距离Smap与空间实际距离Sreal的比值：
$$ 1:M = {S_{{\rm{map}}}}:{S_{{\rm{real}}}} $$ (7) 在比例尺为1∶M的图上，单位距离内可以放置的网格数N等于：
$$ N=\frac{1}{{R}_{M}} $$ (8) 式中，RM为比例尺为1∶M时网格的水平分辨率，即该比例尺下，每个网格代表的距离，并且RM与比例尺分母M成正比；N为图上每单位长度所包含的网格数量。对于两个比例尺，满足：
$$ \frac{{N}_{1}}{{N}_{2}}=\frac{{R}_{{M}_{2}}}{{R}_{{M}_{1}}}=\frac{{M}_{2}}{{M}_{1}} $$ (9) 对于频率k，在二维的DEM数据中可用二维采样率来表示，即每单位面积内的格网数量，可得频率k与比例尺分母M的定量关系：
$$ \frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}={\left(\frac{{N}_{1}}{{N}_{2}}\right)}^{2}={\left(\frac{{M}_{2}}{{M}_{1}}\right)}^{2} $$ (10) 在DEM尺度提升的过程中，设M0为理论最大尺度比例尺的分母，即在单位空间内只进行一次采样，此时频率k为最小值1；当频率取最大值kmax时，无细节信息删除，单位空间内包含数据范围的所有网格，因此kmax等于数据的最大格网数。添加两个边界条件约束后，可得任意比例尺1∶M下的频率k换算关系为：
$$ {\left(\frac{{M}_{0}}{M}\right)}^{2}=\frac{{k}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{k} $$ (11) -
DEM格网数据在尺度变换中没有其余信息的混入，只能从原数据化简为更大尺度的数据，可以采用低通滤波对其进行变换。低通滤波的关键在于阈值的选取，信号在空间域的卷积转换到频域为乘积，但若简单地以频率k进行阈值截断，会出现以下影响：
1）频域截断边界会在逆变换中造成明显的“振铃效应”[16]。
2）DEM格网数据本身就是矩形截断的数据，截断数据在周期延拓时会形成明显的不连续边界，受“吉布斯效应”的影响[16]，这会使频域生成明显高于周围数值的“亮十字”。
3）频率k的取值范围有限，并且粒度较大，化简结果的尺度间连续性较差。
基于以上原因，直接以频率k截断会对结果产生明显的影响。由于频率k与能量谱密度E具有统计上的对数线性关系，可以采用能量谱密度E作为阈值设计低通滤波。根据式（5）、式（11），可以得到化简阈值$ {E}_{M} $：
$$ {E}_{M}=\frac{{\mathrm{e}}^{\alpha }({k}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\left(\frac{M}{{M}_{0}}\right)}^{2}{)}^{-\beta -1}}{2\mathrm{\pi }} $$ (12) 在比例尺分母等于M时，截断能量谱密度为$ {E}_{M} $。则在能量谱密度中，单位频率位置上，能量高于$ {E}_{M} $的部分为低频部分，需要保留；能量低于$ {E}_{M} $的部分为高频部分，置为零，从而实现基于能量谱密度的低通滤波。
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实验所使用的DEM数据源为美国国家航空航天局对地观测卫星Terra测绘所得的先进星载热发射和反射辐射仪全球数字高程模型（advanced spaceborne thermal emission and reflection radiometer global digital elevation model，ASTER-GDEM）数据，空间分辨率为30 m（见图 6）。实验区域选自中国西南部的某山地地区，高程最高值为4 258 m，最低值为1 180 m，原数据由1 000×1 000个像素点构成，覆盖面积约900 km2。
图 6 原始DEM数据
Figure 6. Original DEM Data
根据文献[16]，分辨率30 m的DEM数据，其数据原始比例尺相当于1∶50 000。根据式（7），实验范围在图上达到60 cm×60 cm时才能满足原始比例尺的表达。本文中图片均进行了缩小展示，并非实际比例尺。
实验环境采用Matlab 2018b，等高线在ArcGIS 10.6中绘制。通过二维离散傅里叶变换转换到频域，并且根据振幅求出其能量谱密度。在能量谱密度中，除中心频率为0的直流分量外，对同频率的能量数据分别进行累加，用累计能量E（k）与频率k的对数进行拟合，得到如图 7所示的直线。其中，参数β为1.960 1，α为39.466 0。拟合函数的回归系数R2为0.983 1，表明拟合结果良好。
图 7 对数拟合图
Figure 7. Fitting Result After Logarithmic Transformation
原始比例尺为1∶50 000，分别求1∶125 000、1∶250 000、1∶500 000比例尺下的DEM格网数据。为便于对比观察不同尺度下的制图综合效果，可从DEM派生出等高线进行地形特征展示，本文实验对不同比例尺均使用固定等高距200 m进行等高线的绘制，如图 8所示。
图 8 典型区域多尺度等高线表达
Figure 8. Multi-scale Contour Lines of Typical Regions
为了方便对比观察，对图 8所示的1∶50 000与1∶500 000的等高线结果进行叠置分析，效果如图 9所示。通过等高线放样观察，可以明显看出，随着比例尺的增加，小谷地和小山脊的信息在尺度的增大中也被逐渐削弱，等高线在各尺度中表现为被不同程度地“拉直”。该模型在DEM的多尺度表达中具有良好的效果。
图 9 1∶50 000与1∶500 000等高线叠加图与典型区域等高线变化信息
Figure 9. Overlap of 1∶50 000 and 1∶500 000 Contours and Change of Contours in Representative Region
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格网DEM尺度变换常用最邻近采样、双线性插值、立方卷积等方法[10]。通过对4种方法派生所得的各比例尺DEM数据进行高程值统计分布[18]以及坡形分析[18]对比，定量分析本文方法的实验效果。
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表 1是各种方法派生的各比例尺地形高程统计数据。由结果可以看出，各方法都能在尺度提升中基本保证原始高程的均值与标准差。相比最邻近采样法、双线性插值法、立方卷积法，本方法处理所得各尺度的地形高程平均值都更加接近原始数据。随着尺度提升，本文方法所得地形标准差逐步缩小，其余3种方法产生的地形标准差有所扩大但较为稳定。相比原始地形的标准差，本文方法在各尺度的变化幅度小。从统计意义上讲，本文方法在高程上具有更好的变换效果。
表 1 不同方法高程统计数据
Table 1. Elevation Statistics for Different Methods
统计指标 比例尺 本文方法 最邻近采样法 双线性插值法 立方卷积法 高程平均值/m 1∶50 000 2 410.476 2 410.476 2 410.476 2 410.476 1∶125 000 2 410.475 2 399.564 2 399.570 2 399.605 1∶250 000 2 410.481 2 399.553 2 399.553 2 399.581 1∶500 000 2 410.509 2 399.605 2 399.611 2 399.648 高程标准差/m 1∶50 000 630.360 5 630.360 5 630.360 5 630.360 5 1∶125 000 630.277 9 650.061 7 650.026 7 650.074 3 1∶250 000 629.549 3 650.067 6 650.067 6 650.082 2 1∶500 000 624.929 4 649.929 0 650.064 0 650.127 9 -
坡形是地形的一项重要特征，DEM化简会减缓坡度，但应尽可能保持原始坡形。以1∶250 000的派生数据为例，对各方法处理结果通过曲率的正负求得坡形的凹凸。统计凹、凸、平3种坡形所占的比例，观察各方法相比于原始数据的坡形分布变化。
由表 2可知，在各方法的化简过程中，由于地形有效信息减少，凸坡与凹坡的数量都会有所减少，平坡数量会增加。与3种常用方法相比，虽然本文方法中凸坡的变化略大，但是从整体上看，还是更好地保证了原始的坡形分布。
表 2 各方法1:250 000坡形分布变化统计/%
Table 2. 1∶250 000 Slope Shape Distribution Change/%
不同方法 坡形分布变化 凸形坡 平面坡 凹形坡 本文方法 －0.65 0.71 －0.06 最邻近采样法 －0.56 1.55 －0.99 双线性插值法 －0.56 1.55 －0.99 立方卷积法 －0.61 1.63 －1.02 -
本文针对DEM数据的多尺度表达问题，提出基于傅里叶能量谱密度阈值的滤波算法，构建了DEM数据的多尺度表达模型。实验结果表明，该模型可以有效表达不同尺度要求下的DEM数据。
通过等高线放样定性观察可知，该方法各尺度都达到了“舍次取主”的化简效果。相比最邻近采样法、双线性插值法、立方卷积法这3种常用的化简方法，本文方法在处理过程中通过能量谱密度增强了DEM数据中的地形语义信息。高程统计值、坡形变化定量分析表明，本文方法与常用的化简方法在统计意义上具有相近的效果，在结构意义上也能更好地达到对原始地形结构“削弱但不破坏”的效果。
本文方法针对DEM数据进行全局综合，可迁移到任意DEM格网数据。核心步骤为傅里叶变换，由FFT对其算法性能进行优化，尤其对于方形的二维数据，FFT2性能更佳，时间复杂度为O（n2lgn）。相比小波分析，本文方法可以得到更加连续、可控的尺度变换。
本文方法还存在一些使用条件的约束：
1）本文所提及的能量谱密度规律只在自然地形下使用，人工因素如建筑物等，会影响能量谱密度的分布特征，破坏能量谱密度与地形语义信息的相关性；
2）“吉布斯效应”与“振铃效应”的影响效果与图像尺寸有关，对于边界截断显著的较小尺寸DEM数据，等高线会在边界处出现压缩现象，以上两种效应不可忽略。后续可尝试使用离散余弦变换等偶对称变换来减轻边界截断问题带来的影响。
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摘要: 针对数字高程模型（digital elevation model，DEM）数据的多尺度表达问题，根据DEM格网数据在能量谱密度中“低频-高能-大尺度”的对应关系，在化简中关联地形语义特征，构建了DEM数据的多尺度表达模型。实验结果表明，该模型可以实时动态派生不同尺度下的DEM数据，通过等高线放样观察发现，该模型派生的DEM数据满足地形表达、空间认知和制图综合中的“保留主要地形特征、舍弃次要地形特征”的基本原则。与常用的DEM化简方法进行高程值统计以及坡形变化的定量对比分析，结果表明该方法在统计意义与结构意义上都具有较好的效果。Abstract:
Objectives The accurate and fast multi-scale representation of digital elevation model (DEM) is the key basis for its multi-scale application. We aim to propose an automated and high-quality multi-scale representation method for DEM. Methods We construct a model of DEM data for multi-scale representation, according to the corresponding relationship of "low-frequency - high-energy - large scale" in energy spectral density, and relate topographic semantic features in simplification. Results The result shows that this model can dynamically derive DEM data at different scales. The figure of contour lines derived from this model can meet the basic principle of "retaining main topographic features and abandoning secondary topographic features"in topographic expression, spatial cognition and cartographic generalization. Quantificationally compared with traditional DEM simplification methods in elevation and slope shape, this method shows similar or better effect in statistical and structural significance. Conclusions The model based on the Fourier energy spectrum can effectively express DEM data with different scale requirements. -
Key words:
- DEM /
- multi-scale representation /
- Fourier transform /
- energy spectral density
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图 2 周期化DEM格网数据在空间域与频域的展示
Figure 2. Periodic DEM Grid Data in Spatial and Frequency Domains
图 3 DEM数据频域对数等值线图
Figure 3. Contour Map of DEM in Frequency Domain After log Transformation
图 4 原始DEM数据为不同频段数据的叠加
Figure 4. DEM Data Is the Superposition of Data in Different Frequency Bands
图 9 1∶50 000与1∶500 000等高线叠加图与典型区域等高线变化信息
Figure 9. Overlap of 1∶50 000 and 1∶500 000 Contours and Change of Contours in Representative Region
表 1 不同方法高程统计数据
Table 1. Elevation Statistics for Different Methods
统计指标 比例尺 本文方法 最邻近采样法 双线性插值法 立方卷积法 高程平均值/m 1∶50 000 2 410.476 2 410.476 2 410.476 2 410.476 1∶125 000 2 410.475 2 399.564 2 399.570 2 399.605 1∶250 000 2 410.481 2 399.553 2 399.553 2 399.581 1∶500 000 2 410.509 2 399.605 2 399.611 2 399.648 高程标准差/m 1∶50 000 630.360 5 630.360 5 630.360 5 630.360 5 1∶125 000 630.277 9 650.061 7 650.026 7 650.074 3 1∶250 000 629.549 3 650.067 6 650.067 6 650.082 2 1∶500 000 624.929 4 649.929 0 650.064 0 650.127 9 
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表 2 各方法1:250 000坡形分布变化统计/%
Table 2. 1∶250 000 Slope Shape Distribution Change/%
不同方法 坡形分布变化 凸形坡 平面坡 凹形坡 本文方法 －0.65 0.71 －0.06 最邻近采样法 －0.56 1.55 －0.99 双线性插值法 －0.56 1.55 －0.99 立方卷积法 －0.61 1.63 －1.02
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