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参数估计是指通过建立观测数据和未知参数之间的数学模型，求得未知参数统计意义上的最优解[1]。近年来，变量含误差（errors-in-variables, EIV）模型参数估计的总体最小二乘（total least squares, TLS）算法可以同时顾及系数矩阵和观测向量的误差，得到了广泛的应用，成为测量数据处理领域的热点研究[2-5]。文献[6]在引入总体最小二乘平差准则的基础上，推导了总体最小二乘的迭代算法。文献[7-8]对总体最小二乘的性质、算法和应用等方面进行了综述和展望；对于系数矩阵中存在常数元素列的EIV模型，通常可采用最小二乘-总体最小二乘（least squares-total least squares, LS-TLS)[9]算法进行求解，但对于常数元素在系数矩阵中零散分布的情况，该算法不再适用。
针对各种类型的EIV模型系数矩阵，从函数模型角度，需要构造更加普适的函数模型，处理常数元素和重复出现的随机元素，进行参数求解。文献[10]将系数矩阵中随机元素和常数元素分离，提出了部分变量含误差（partial errors-invariables, PEIV）模型，采用自由极值法导出了基于该模型的加权总体最小二乘（weighted total least squares, WTLS）算法。文献[11]指出文献[10]算法复杂、收敛速度较慢以及计算效率低，处理海量数据时会对整个平差过程造成影响，推导了求解系数矩阵随机元素的另一种算法。尽管文献[11]能直观求解系数矩阵随机元素的改正量，且一定程度上提高了算法的效率，但对于从事测绘技术的生产人员同样存在公式复杂、不易于编程使用等问题。文献[12]将PEIV模型的TLS平差转化为LS平差，运用两次间接平差方法，给出了参数估计新算法，该算法更易于测绘人员理解及编程实现，且迭代次数更少。文献[13]将PEIV模型改写后进行线性化，推导了PEIV模型的最小二乘（least squares, LS）算法，该算法迭代格式简单，且结果等价于已有算法。文献[14]推导了PEIV模型参数估计新公式，较文献[10]和文献[11]在计算效率上有较大的提升。目前的PEIV模型参数估计算法已十分丰富[15-19]，各个算法之间具有等价性，差别在于算法的迭代次数、收敛效率、公式复杂度和编程难易程度等。
纵观TLS估计的研究成果，大都侧重讨论算法，而算法的研究建立在准确、合理的随机模型基础上。文献[20]提出一种基于PEIV模型的方差分量估计迭代算法，可以得到观测向量和系数矩阵随机元素合理的方差分量，并有效地提高参数估值的精度。文献[21]针对方差分量估计得到负方差的不合理现象，提出了PEIV模型的非负最小二乘算法，有效地抑制了负方差的出现。文献[22]考虑到PEIV模型方差分量估计中参数的有偏性，构造了PEIV模型的非线性表达形式，使用二阶近似函数算法估计了偏差。文献[23]利用近似非线性函数概率密度分布的算法研究了PEIV模型方差分量估计中的精度评定问题。尽管PEIV随机模型的估计具有重要意义，但目前已有的成果较少，如何结合PEIV模型的优点，有效地进行方差分量估计，仍需进一步深入研究。
本文在列举现有PEIV函数模型及参数估计算法、随机模型估计的基础上，分析PEIV模型相较于EIV模型的优势；总结国内外具有代表性的PEIV模型参数估计算法和方差分量估计算法，分析各个算法的适用性和优缺点；从单位权方差估计和参数估值协方差矩阵计算两个方面分析PEIV模型精度评定的研究现状，列举几种测绘数据处理的代表性算法。考虑到目前PEIV模型在附有不等式约束、相关观测、抗差估计、系统误差处理和病态问题这5个扩展算法方面已有丰富研究，综述了PEIV模型扩展算法的研究现状；并用经典算例展示PEIV模型在大地测量数据处理中的实际应用。
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文献[10]提出了PEIV模型，其函数模型如下：
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {y = \left( {{\mathit{\boldsymbol{\beta }}^{\rm{T}}} \otimes {\mathit{\boldsymbol{I}}_n}} \right)(\mathit{\boldsymbol{h}} + \mathit{\boldsymbol{B\bar a}}) + {\mathit{\boldsymbol{e}}_y}}\\ {\mathit{\boldsymbol{a}} = \mathit{\boldsymbol{\bar a}} + {\mathit{\boldsymbol{e}}_a}}\\ {{\mathop{\rm vec}\nolimits} (\mathit{\boldsymbol{\bar A}}) = \mathit{\boldsymbol{h}} + \mathit{\boldsymbol{B\bar a}}} \end{array}} \right. $$ (1) 式中各符号的具体解释见文献[10]。
随机模型如下：
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\mathit{\boldsymbol{D}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{y}}}} \right) = \sigma _0^2{\mathit{\boldsymbol{W}}^{ - 1}}}\\ {\mathit{\boldsymbol{D}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{a}}}} \right) = \sigma _0^2{\mathit{\boldsymbol{\omega }}^{ - 1}}}\\ {{\mathop{\rm cov}} \left( {{\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{y}}},{\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{a}}}} \right) = 0} \end{array}} \right. $$ (2) 式中，σ02为单位权方差；W为n维观测向量的权阵；ω为t维随机误差的权阵。
PEIV模型的基本思想是将系数矩阵向量化形式vec(A)分成两部分[24]：第一部分h是由vec(A) 中非随机元素构成的向量；第二部分Ba是由vec(A)中随机元素构成的向量，其中a仅为待估计的系数矩阵中的随机元素，B是由常数构成的a的系数矩阵。PEIV模型更具有一般性，构造方式更有规律，主要优点为：（1）该模型是EIV模型更为一般的表达形式，涵盖了一般WTLS算法需要处理的各种情况；（2）对待估计量采用了分离的估计算法，尤其在系数矩阵非随机量个数较多时待估量大大减少，提高了每次迭代的估计效率；（3）方便了后续TLS估值的精度评定。
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在实际情况中，观测得到的数据可能是含有未知参数的某种函数，因此用于描述函数模型的系数矩阵中也含有随机误差[25]。自PEIV模型提出以来，众多学者对其参数估计算法进行了深入的研究，PEIV模型的适用范围十分广泛，例如工程测量中求解拟合直线的截距和斜率[26]；二维仿射变换中，求解转换参数和平移参数[27]; WGS84系统坐标转换为局部坐标的求解；三维坐标变换中七参数的求解；研究系数矩阵中随机元素对应变参数反演的影响[28]；全球定位系统（global positioning system, GPS）高程拟合中，拟合参数的求解[29]；全球导航卫星系统（global navigation satellite system, GNSS）姿态参数估值模型中，姿态参数的求解[30]。上述应用中，使用PEIV模型可使构造形式更有规律，系数矩阵非随机量个数较多时，待估量将大大减少，提高了每次迭代的估计效率，减少了计算时间，并利于后续的精度评定工作。
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文献[10]将WTLS准则应用于PEIV模型，得到目标函数如下：
$$ \begin{array}{l} \min :S(\mathit{\boldsymbol{\bar a}},\mathit{\boldsymbol{\beta }}) = {(\mathit{\boldsymbol{\bar a}} - \mathit{\boldsymbol{a}})^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{Q}}_\mathit{\boldsymbol{a}}^{ - 1}(\mathit{\boldsymbol{\bar a}} - \mathit{\boldsymbol{a}}) + \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\left[ {\left( {{\mathit{\boldsymbol{\beta }}^{\rm{T}}} \otimes {\mathit{\boldsymbol{I}}_n}} \right)(\mathit{\boldsymbol{h}} + \mathit{\boldsymbol{B\bar a}}) - \mathit{\boldsymbol{y}}} \right]^{\rm{T}}} \cdot \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \mathit{\boldsymbol{Q}}_y^{ - 1}\left[ {\left( {{\mathit{\boldsymbol{\beta }}^{\rm{T}}} \otimes {\mathit{\boldsymbol{I}}_n}} \right)(\mathit{\boldsymbol{h}} + \mathit{\boldsymbol{B\bar a}}) - \mathit{\boldsymbol{y}}} \right] \end{array} $$ (3) 式中，Qy为观测向量的协因数；Qa为随机误差向量的协因数阵；其他符号的含义与式（1）一致。
将式（3）分别对向量a和参数β求偏导，并令其为0，整理得到估值${\boldsymbol{\hat{\bar{a}}}} $和$ \hat {\boldsymbol{\beta}}$分别为：
$$ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{\hat {\bar a}}} = S(\mathit{\boldsymbol{\bar a}},\mathit{\boldsymbol{\beta }}) = {\left( {\mathit{\boldsymbol{Q}}_\mathit{\boldsymbol{a}}^{ - 1} + S_\mathit{\boldsymbol{\beta }}^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{Q}}_\mathit{\boldsymbol{y}}^{ - 1}{S_\mathit{\boldsymbol{\beta }}}} \right)^{ - 1}} \cdot \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left[ {\mathit{\boldsymbol{Q}}_\mathit{\boldsymbol{a}}^{ - 1}\mathit{\boldsymbol{a}} - S_\mathit{\boldsymbol{\beta }}^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{Q}}_\mathit{\boldsymbol{y}}^{ - 1}\left( {\sum\limits_{i = 1}^m {{h_i}} {{\mathit{\boldsymbol{\hat \beta }}}_i}} \right) + S_\mathit{\boldsymbol{\beta }}^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{Q}}_\mathit{\boldsymbol{y}}^{ - 1}\mathit{\boldsymbol{y}}} \right] \end{array} $$ (4) $$ \mathit{\boldsymbol{\hat \beta }} = {\left( {{\mathit{\boldsymbol{N}}_\mathit{\boldsymbol{h}}} + {\mathit{\boldsymbol{N}}_\mathit{\boldsymbol{B}}} + {\mathit{\boldsymbol{N}}_{\mathit{\boldsymbol{hB}}}} + {\mathit{\boldsymbol{N}}_{\mathit{\boldsymbol{Bh}}}}} \right)^{ - 1}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{u}}_\mathit{\boldsymbol{h}}} + {\mathit{\boldsymbol{u}}_\mathit{\boldsymbol{B}}}} \right) $$ (5) 式中，各符号的含义见文献[10]。
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文献[11]在文献[10]的基础上推导求解系数矩阵随机元素的另一种算法，目标函数为：
$$ \begin{array}{c} \min :S(\mathit{\boldsymbol{\bar a}},\mathit{\boldsymbol{\beta }}) = {(\mathit{\boldsymbol{\bar a}} - \mathit{\boldsymbol{a}})^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{Q}}_\mathit{\boldsymbol{a}}^{ - 1}(\mathit{\boldsymbol{\bar a}} - \mathit{\boldsymbol{a}}) + \\ {(\mathit{\boldsymbol{\bar A\beta }} - \mathit{\boldsymbol{y}})^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{Q}}_\mathit{\boldsymbol{y}}^{ - 1}(\mathit{\boldsymbol{\bar A\beta }} - \mathit{\boldsymbol{y}}) \end{array} $$ (6) 利用矩阵反演公式，文献[11]给出了参数β的估值计算公式为：
$$ \mathit{\boldsymbol{\hat \beta }} = {\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\hat {\bar A}}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{Q}}_\mathit{\boldsymbol{y}}^{ - 1}\mathit{\boldsymbol{\hat {\bar A}}}} \right)^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{\hat {\bar A}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{Q}}_\mathit{\boldsymbol{y}}^{ - 1}\mathit{\boldsymbol{y}} $$ (7) 通过推导得到了系数矩阵随机元素a的估值为：
$$ \mathit{\boldsymbol{\hat {\bar a}}} = \mathit{\boldsymbol{a}} + {\mathit{\boldsymbol{Q}}_\mathit{\boldsymbol{a}}}\mathit{\boldsymbol{S}}_\mathit{\boldsymbol{\beta }}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{E}}^{ - 1}}(\mathit{\boldsymbol{y}} - \mathit{\boldsymbol{A\hat \beta }}) $$ (8) 式中，$ {\boldsymbol{E}}={\boldsymbol{Q_{y}}}+ {\boldsymbol{S}}_{{\pmb{\beta}}} {\boldsymbol{Q_{a}}} {\boldsymbol{S}}_{{\pmb{\beta}}}^{\mathrm{T}} $。
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将式（1）中的第一式展开并移项，对第二式系数矩阵中随机元素的真值a添加单位矩阵系数，联立后得到PEIV模型的新形式为[12]:
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\mathit{\boldsymbol{y}} - \left( {{\mathit{\boldsymbol{\beta }}^{\rm{T}}} \otimes {\mathit{\boldsymbol{I}}_n}} \right)\mathit{\boldsymbol{h}} = \left( {{\mathit{\boldsymbol{\beta }}^{\rm{T}}} \otimes {\mathit{\boldsymbol{I}}_n}} \right)\mathit{\boldsymbol{B}} \cdot \mathit{\boldsymbol{\bar a}} + {\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{y}}}}\\ {\mathit{\boldsymbol{a}} = {\mathit{\boldsymbol{I}}_t} \cdot \mathit{\boldsymbol{\bar a}} + {\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{a}}}} \end{array}} \right. $$ (9) 将式（9）改写为：
$$ \mathit{\boldsymbol{L}} = \mathit{\boldsymbol{C}} \cdot \mathit{\boldsymbol{\bar a}} + \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }} $$ (10) 式中，$ {\boldsymbol{L}}=\left[\begin{array}{c} {\boldsymbol{y}}-\left({\pmb{\beta}}^{\mathrm{T}} \otimes {\boldsymbol{I}}_{n}\right) {\boldsymbol{h}} \\ {\boldsymbol{a}} \end{array}\right] ; {\boldsymbol{C}}=\left[\begin{array}{c} \left({\pmb{\beta}}^{\mathrm{T}} \otimes {\boldsymbol{I}}_{n}\right) {\boldsymbol{B}} \\ {\boldsymbol{I}}_{t} \end{array}\right] ; {\mathit{{\pmb{\Delta}}}}=\left[\begin{array}{l} {\boldsymbol{e_{y}}} \\ {\boldsymbol{e_{a}}} \end{array}\right] $。
文献[12]将a作为参数进行平差求解。按照间接平差算法，得到a的估值$ {\boldsymbol{\hat{\bar{a}}}} $：
$$ \mathit{\boldsymbol{\hat {\bar a}}} = {\left( {{\mathit{\boldsymbol{C}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{C}}} \right)^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{C}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{L}} $$ (11) 式中，$ {\boldsymbol{Q}}=\left[\begin{array}{cc} {\boldsymbol{Q_{y}}} & 0 \\ 0 & {\boldsymbol{Q_{a}}} \end{array}\right] $。
参数β的估值$ \hat {\boldsymbol{\beta}} $为：
$$ \mathit{\boldsymbol{\hat \beta }} = {\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\hat A}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{Q}}_\mathit{\boldsymbol{y}}^{ - 1}\mathit{\boldsymbol{\hat A}}} \right)^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{\hat A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{Q}}_\mathit{\boldsymbol{y}}^{ - 1}\mathit{\boldsymbol{y}} $$ (12) -
文献[12]指出式（9)~(12）在求解$ \hat {\boldsymbol{\beta}} $的过程中，收敛速度较慢，给出相应的改进算法，本文将其命名为算法2。
将式（10）中的L和C代入式（11），运用矩阵反演公式推导出下式：
$$ \mathit{\boldsymbol{\hat AQ}}_1^{ - 1}(\mathit{\boldsymbol{y}} - \mathit{\boldsymbol{A\hat \beta }}) = 0 $$ (13) 式中，$ \boldsymbol{Q}_{1}=\boldsymbol{Q}_{{\boldsymbol{y}}}+\left(\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \otimes {\boldsymbol{I}}_{n}\right) {\boldsymbol{B}} \boldsymbol{Q}_{{\boldsymbol{a}}} B^{\mathrm{T}}\left(\beta^{\mathrm{T}} \otimes {\boldsymbol{I}}_{n}\right) $。
将式（13）展开并移项，得到参数估$ \hat {\boldsymbol{\beta}} $的最小二乘解形式：
$$ \mathit{\boldsymbol{\hat \beta }} = {\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\hat A}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{Q}}_1^{ - 1}\mathit{\boldsymbol{\hat A}}} \right)^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{\hat A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{Q}}_1^{ - 1}\mathit{\boldsymbol{\bar y}} $$ (14) 式中，$ \bar{{\boldsymbol{y}}}={\boldsymbol{y}}-\hat{{\boldsymbol{E}}}_{{\boldsymbol{A}}} \hat{{\boldsymbol{\beta}}} $。
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针对文献[10]算法相对复杂、不易于理解和使用、收敛速度较慢、计算效率较低等问题，文献[13]对式（1）的前两式进行移项，得到下式：
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{y}}} = \mathit{\boldsymbol{y}} - \left( {{\mathit{\boldsymbol{\beta }}^{\rm{T}}} \otimes {\mathit{\boldsymbol{I}}_n}} \right)(\mathit{\boldsymbol{h}} + \mathit{\boldsymbol{B\bar a}})}\\ {{\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{a}}} = \mathit{\boldsymbol{a}} - \mathit{\boldsymbol{\bar a}}} \end{array}} \right. $$ (15) 由于式（15）是关于a和β的非线性函数，因此可将式（15）于$ {\boldsymbol{\beta}}={\boldsymbol{\beta}}^{0}+\Delta {\boldsymbol{\beta }}\text { 和 } \bar{{\boldsymbol{a}}}=\bar{{\boldsymbol{a}}}^{0}+\Delta \bar{{\boldsymbol{a}}} $处线性化，进一步简写为：
$$ {\mathit{\boldsymbol{V}}^\prime } = {\mathit{\boldsymbol{A}}^\prime }\mathit{\boldsymbol{X}} - {\mathit{\boldsymbol{L}}^\prime } $$ (16) 具体化简和推导过程见文献[13]。
与文献[12]的思路一致，文献[13]同样将PEIV模型（式（1））转化为了经典的最小二乘间接平差模型（式（16））。
参数X的估值为：
$$ \mathit{\boldsymbol{\hat X}} = {\left( {{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\prime {\rm{T}}}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^\prime }} \right)^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\prime {\rm{T}}}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{L}}^\prime } $$ (17) 由式（17）得到$ \Delta \bar{{\boldsymbol{a}}} $和Δβ，进一步计算a和β的估值。
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使用文献[10]与文献[11]的算法进行参数的WTLS求解需要多次迭代，在考虑计算效率的情况下，这两种算法均不适用于大数据量的处理。为此，文献[14]提出一种改进的参数估计公式和相应的迭代算法：
$$ \begin{array}{l} \mathit{\Phi } = \mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{y}}^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{Q}}_\mathit{\boldsymbol{y}}^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{y}}} + \mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{a}}^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{Q}}_\mathit{\boldsymbol{a}}^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{a}}} + 2\mathit{\boldsymbol{\lambda }}_2^{\rm{T}}\left( {\mathit{\boldsymbol{a}} - \mathit{\boldsymbol{\bar a}} - {\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{a}}}} \right) + \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 2\mathit{\boldsymbol{\lambda }}_1^{\rm{T}}\left[ {\mathit{\boldsymbol{y}} - \left( {{\mathit{\boldsymbol{\beta }}^{\rm{T}}} \otimes {\mathit{\boldsymbol{I}}_n}} \right) \times (\mathit{\boldsymbol{h}} + \mathit{\boldsymbol{B\bar a}}) - {\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{y}}}} \right] \end{array} $$ (18) 式中，λ1和λ2分别为拉格朗日乘子。
式（18）分别对向量ea、ey、a、β、λ1、λ2求偏导，并令其为0，整理得到参数β的估值为：
$$ \mathit{\boldsymbol{\hat \beta }} = {\left( {\mathit{\boldsymbol{\bar AQ}}_\mathit{\boldsymbol{y}}^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varSigma} }}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{A}}} \right)^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{\bar AQ}}_\mathit{\boldsymbol{y}}^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varSigma} }}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{y}} $$ (19) 式中，$ {\mathit{{\pmb{\Sigma}}}}={\boldsymbol{I}}_{n}+S_{{\boldsymbol{\beta}}} \boldsymbol{Q}_{{\boldsymbol{a}}} {\boldsymbol{S}}_{{\boldsymbol{\beta}}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Q}_{{\boldsymbol{y}}}^{-1} $。
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本文列举了5种PEIV模型参数估计算法，并简要分析了每种算法的推导思路和计算公式，这5种参数估计算法涵盖了PEIV模型的参数估计算法，具有一定的代表性。
每种算法的特性及优缺点如下：（1）文献[10]使用的自由极值法是最早的PEIV模型参数估计算法之一，但该算法相对复杂，迭代次数过高，迭代速度慢，对于数据量较大的问题适用性不强；（2）文献[11]推导了PEIV模型参数估计的替代公式算法，当系数矩阵中独立随机元素的个数显著大于观测值的个数时，文献[11]的算法更有效，替代公式法在一定程度上提高了算法的效率，但是对从事测绘技术的生产人员同样存在公式复杂、不易于编程使用等问题；（3）文献[12]利用两次间接平差法将TLS问题转化为最小二乘问题，易于测绘从业人员的理解和编程，但其中的算法1迭代次数过多，收敛速度较慢；算法2迭代次数少，收敛速度快；（4）文献[13]的非线性最小二乘法易于编程实现，但缺乏对计算效率和收敛性的研究；（5）文献[14]的拉格朗日函数法相比自由极值法和替代公式法，在计算效率上有较大的提升，但缺乏对收敛性的证明。
综上可知，PEIV模型的参数估计算法的研究主要围绕着简化计算公式、易于编程实现和提高计算效率，从事测绘数据处理工作的人员可以根据具体的问题，选择适合的算法。
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真实反映PEIV模型参数估值的精度，对完善精度评定理论有重要的意义。目前，PEIV模型的参数估计理论较为完备，但精度评定及统计特性的研究未引起足够的重视，研究成果较少。本文将PEIV模型的精度评定分为单位权方差估计及参数估值的协方差矩阵两个方面进行概括和阐述。
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PEIV模型单位权方差的估计算法主要包括偏差改正的单位权方差估计、附有不等式约束的单位权方差估计、附有权修正因子的单位权方差估计和一般的单位权方差估计算法。
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文献[10]以非线性最小二乘估值偏差公式为基础，推导了展开至二阶的未知参数估值和观测量改正数的偏差改正公式，然后用经过偏差改正的观测量改正数计算经过偏差改正的单位权方差估值$\hat σ $c2，计算式为：
$$ \hat \sigma _c^2 = \frac{{\mathit{\boldsymbol{r}}_{ac}^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{Q}}_a^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{r}}_{ac}} + \mathit{\boldsymbol{r}}_{yc}^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{Q}}_y^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{r}}_{yc}}}}{{n - m}} $$ (20) 式中，rac为系数矩阵中随机元素偏差改正的改正值；ryc为观测量偏差改正的改正值。
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文献[31]将不等式约束的PEIV模型转化为等式约束PEIV模型，给出单位权方差估值$ \hat σ $IC2为：
$$ \hat \sigma _{IC}^2 = \frac{{{{\mathit{\boldsymbol{\hat e}}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{\hat e}}}}{{n - m + p}} $$ (21) 式中，p为将不等式约束转化为等式约束后，约束矩阵的行数。
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文献[20]利用权修正因子，调整观测量和系数矩阵随机元素对于平差计算的贡献，对观测量和系数矩阵随机元素的残差平方和分别增加权修正因子，得到的单位权方差估值$ \hat σ $γ2为：
$$ \hat \sigma _\gamma ^2 = \frac{{{\gamma _1}\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{y}}^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{Q}}_\mathit{\boldsymbol{y}}^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{y}}} + {\gamma _2}\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{a}}^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{Q}}_\mathit{\boldsymbol{a}}^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{a}}}}}{{n - m}} $$ (22) 式中，γ1为观测量的权修正因子；γ2为系数矩阵随机元素的权修正因子。
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文献[12]通过推导将PEIV模型改写为经典的间接平差模型，误差方程计算式为：
$$ \mathit{\boldsymbol{V}} = \mathit{\boldsymbol{C}} \cdot \mathit{\boldsymbol{\hat a}} - \mathit{\boldsymbol{L}} $$ (23) 相应的单位权方差估值如下：
$$ \sigma _0^2 = \frac{{{\mathit{\boldsymbol{V}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{V}}}}{{n - m}} $$ (24) 式中，各符号定义与本文的§2.3一致。
式（20）是PEIV模型单位权方差的有偏估计，也是最常用的估计算法。
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PEIV模型参数估值的协方差矩阵主要分为一阶近似协方差矩阵和二阶近似协方差矩阵，其中本文将二阶近似协方差矩阵分为近似函数表达法和近似非线性函数概率密度分布的算法。
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对线性化后的PEIV模型运用协方差传播律，根据最小二乘原理得到模型参数估值一阶近似协方差矩阵的计算式为[10]:
$$ D(\mathit{\boldsymbol{\hat \beta }}) = \sigma _0^2\left( {{\mathit{\boldsymbol{N}}_{11}} - {\mathit{\boldsymbol{N}}_{21}}\mathit{\boldsymbol{N}}_{22}^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{N}}_{21}}} \right) $$ (25) 式中，各符号的含义见文献[10]。
在式（25）的基础上，对N11、N21和N22分别加入权修正因子，得到：
$$ D(\mathit{\boldsymbol{\hat \beta }}) = \sigma _0^2\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\dot N}}}_{11}} - {{\mathit{\boldsymbol{\dot N}}}_{21}}\mathit{\boldsymbol{\dot N}}_{22}^{ - 1}{{\mathit{\boldsymbol{\dot N}}}_{21}}} \right) $$ (26) 式中，$ \dot{\boldsymbol{N}}_{11}, \dot{\boldsymbol{N}}_{21} \text { 和 } \dot{\boldsymbol{N}}_{22} $分别为对N11、N21和N22加入权修正因子后的值。
不同于文献[10]的算法，文献[13]推导的一阶近似协方差阵计算式为：
$$ D(\mathit{\boldsymbol{\hat \beta }}) = \sigma _0^2{\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\hat A}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{Q}}_1^{ - 1}\mathit{\boldsymbol{\hat A}}} \right)^{ - 1}} $$ (27) 式中，Q1=Qy+(βT⊗In) BQaB(βT⊗In)。
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PEIV模型属于非线性模型，式（25)~(27）均依据协因数传播律求得一阶精度的参数估值协方差矩阵。随着测绘高新技术的飞速发展，人们对观测数据的处理及精度评定的要求越来越高，一阶精度的参数估值协方差矩阵显然难以满足需求[32]。对PEIV的参数估值进行精度评定，获取二阶精度的协方差矩阵，对PEIV模型的精度评定具有重要的理论与实际意义。
TLS或WTLS算法同时顾及了观测量误差以及系数矩阵中随机元素的误差，因此PEIV模型（式（1））是参数估值以及随机元素的非线性函数[10]，文献[22]将PEIV模型写为非线性形式：
$$ \mathit{\boldsymbol{e}} = f(\mathit{\boldsymbol{x}}) - \mathit{\boldsymbol{l}} $$ (28) 式中符号具体形式见文献[22]。
令x的估值为$ \hat {\boldsymbol{x}}={\boldsymbol{x}}+ {\rm{d}} {\boldsymbol{x}} $，并将估值$ \hat {\boldsymbol{x}} $与非线性函数$ f(\hat {\boldsymbol{x}} ) $分别在x处使用泰勒级数展开至二阶项，得到：
$$ f(\mathit{\boldsymbol{\hat x}}) = f(\mathit{\boldsymbol{x}}) + {\mathit{\boldsymbol{J}}_\mathit{\boldsymbol{x}}}\mathit{\boldsymbol{}}{\rm{d}}\mathit{\boldsymbol{x}} + {\mathit{\boldsymbol{G}}_\mathit{\boldsymbol{x}}}/2 $$ (29) $$ \mathit{\boldsymbol{\hat x}} = \mathit{\boldsymbol{x}} + {\mathit{\boldsymbol{J}}_\mathit{\boldsymbol{e}}}\mathit{\boldsymbol{e}} + {\mathit{\boldsymbol{G}}_\mathit{\boldsymbol{e}}}/2 $$ (30) 式中，Jx为非线性函数f(x)在x初值处的Jacobian矩阵；Je为x对于向量l的Jacobian矩阵；Gx为x有关的矩阵；Ge为e有关的矩阵。
依据协因数传播律，经过推导给出了PEIV模型中估值$ \hat {\boldsymbol{x}} $的二阶近似协方差矩阵如下[22]:
$$ \mathit{\boldsymbol{D}}(\mathit{\boldsymbol{\hat x}}) = {\mathit{\boldsymbol{J}}_\mathit{\boldsymbol{e}}}\mathit{\boldsymbol{D}}(\mathit{\boldsymbol{e}})\mathit{\boldsymbol{J}}_\mathit{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}} + {\mathit{\boldsymbol{H}}_\mathit{\boldsymbol{E}}}[\mathit{\boldsymbol{D}}(\mathit{\boldsymbol{e}}) \otimes \mathit{\boldsymbol{D}}(\mathit{\boldsymbol{e}})]\mathit{\boldsymbol{H}}_\mathit{\boldsymbol{E}}^{\rm{T}}/2 $$ (31) 式中，D(e)为误差向量e的协方差矩阵；HE为Hessian矩阵。
由于$ D(\hat{{\boldsymbol{x}}})=\left[\begin{array}{cc} D(\hat{{\boldsymbol{\beta}}}) & 0 \\ 0 & D(\hat{{\boldsymbol{a}}}) \end{array}\right] $，可由式（31）求出PEIV模型参数估值$ \hat {\boldsymbol{\beta}} $的二阶近似协方差矩阵$ {\boldsymbol{D}}(\hat {\boldsymbol{\beta}} ) $。
在研究非线性函数精度评定的理论算法中，除了基于泰勒级数展开的二阶近似函数表达法，还有通过近似非线性函数概率密度分布的算法，该类算法经证明同样可以达到二阶精度[33-37]。文献[38]使用比例无迹变换（scaled unscented transformation, SUT）法研究了附有不等式约束PEIV模型参数估值的协方差矩阵计算。PEIV模型的非线性造成参数估计算法均需要迭代求解参数估值，而已有文献忽略了迭代过程中包括参数估值、观测量和系数矩阵随机元素等随机量之间的非线性关系，取最后一步迭代值，只能求得一阶近似协方差矩阵。本文将文献[38]的PEIV模型参数估值二阶近似协方差矩阵的SUT法总结如下：
1）在PEIV模型参数估计的整个迭代过程中，参数估值与观测量和系数矩阵中随机元素的非线性关系可以表示为：
$$ \mathit{\boldsymbol{\hat \beta }} = \varphi (\mathit{\boldsymbol{l}}) $$ (32) 式中，l与式（28）中的l含义相同；φ()为非线性函数。
2）通过比例对称采样策略构建2t+1个列向量li:
$$ {\mathit{\boldsymbol{l}}_i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\mathit{\boldsymbol{\bar l}},i = 0}\\ {\mathit{\boldsymbol{\bar l}} + {{\left( {\sqrt {t + \gamma } \sqrt {{\mathit{\boldsymbol{D}}_\mathit{\boldsymbol{l}}}} } \right)}_i},i = 1,2 \cdots t}\\ {\mathit{\boldsymbol{\bar l}} - {{\left( {\sqrt {t + \gamma } \sqrt {{\mathit{\boldsymbol{D}}_\mathit{\boldsymbol{l}}}} } \right)}_i},i = t + 1,t + 2 \cdots 2t} \end{array}} \right. $$ (33) 式中，各符号的含义见文献[38]。
3）计算列向量li经过PEIV非线性迭代后的2t+1个样本值$ \boldsymbol{v}_{i}^{\hat{{\boldsymbol{\beta}}}} $：
$$ \mathit{\boldsymbol{v}}_i^{\mathit{\boldsymbol{\hat \beta }}} = \varphi \left( {{\mathit{\boldsymbol{l}}_i}} \right),i = 0,1,2 \cdots 2t $$ (34) 4）通过样本值加权计算参数估值二阶近似协方差阵$ {\boldsymbol{D}}( \hat \beta ) $：
$$ \mathit{\boldsymbol{D}}(\mathit{\boldsymbol{\hat \beta }}) = \sum\limits_{i = 0}^{2t} {\mathit{\boldsymbol{W}}_i^c} \left( {\mathit{\boldsymbol{v}}_i^{\mathit{\boldsymbol{\hat \beta }}} - \mathit{\boldsymbol{\hat \beta }}} \right){\left( {\mathit{\boldsymbol{v}}_i^{\mathit{\boldsymbol{\hat \beta }}} - \mathit{\boldsymbol{\hat \beta }}} \right)^{\rm{T}}} $$ (35) 式中，Wic为每个样本值$ \boldsymbol{v}_{i}^{\hat{{\boldsymbol{\beta}}}} $对应的权。
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对TLS和WTLS算法的进一步分析发现，在平差前，随机模型要已知验前方差才能准确地给观测数据定权；若已知的随机模型不准确，则无法正确反映观测数据对参数估计的贡献，在这种情况下，采用任何一种算法得到的未知参数估值都是不合理的。文献[39]也指出，在实际测量数据处理问题中，观测向量和系数矩阵元素往往来自不同的观测和平差，验前方差都不能准确已知，此时验前权阵的确定和分配往往并不合理。本节主要介绍和分析PEIV模型中随机模型的方差分量估计算法。
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针对PEIV模型的随机模型不准确进行相关研究，通过引入权修正因子，调整观测量和系数矩阵随机元素对于平差计算的贡献，文献[20]利用Helmert方差估计法，推导了观测量方差分量$ \hat{\sigma}_{{\boldsymbol{y}}}^{2} $和系数矩阵随机元素的方差分量$ \hat{\sigma}_{{\boldsymbol{a}}}^{2} $的计算公式：
$$ \hat \sigma _\mathit{\boldsymbol{y}}^2 = \hat \sigma _1^2/{\gamma _1} $$ (36) $$ \hat \sigma _\mathit{\boldsymbol{a}}^2 = \hat \sigma _2^2/{\gamma _2} $$ (37) 式中，γ1和γ2与式（22）相同，可迭代求得；$ \hat{\sigma}_{{\rm{1}}}^{2} $表示观测量的先验方差因子；$ \hat{\sigma}_{{\rm{2}}}^{2} $表示系数矩阵随机元素的先验方差因子。
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针对PEIV模型方差分量估计出现负方差这一不合理现象，文献[21]使用最小二乘方差分量估计算法，并对LS准则增加附有约束，得到如下准则：
$$ \begin{array}{c} \mathit{\boldsymbol{F}} = \mathop {\min }\limits_{F \ge 0} \left\| {{\mathit{\boldsymbol{A}}_{\mathit{\boldsymbol{vh}}}}\mathit{\boldsymbol{F}} - {\mathit{\boldsymbol{y}}_{\mathit{\boldsymbol{vh}}}}} \right\|_{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\mathit{\boldsymbol{vh}}}^{ - 1}}^2 = \\ \mathop {\min }\limits_{F \ge 0} \left[ {\frac{1}{2}{\mathit{\boldsymbol{F}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{MF}} - {{\left( {\mathit{\boldsymbol{A}}_{\mathit{\boldsymbol{vh}}}^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\mathit{\boldsymbol{vh}}}^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{y}}_{\mathit{\boldsymbol{vh}}}}} \right)}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{F}}} \right] \end{array} $$ (38) 式中，符号F、Avh、yvh、M和Qvh的含义见文献[21]。
在Karush-Kuhn-Tucker(KKT）条件下，构造的拉格朗日函数计算式为：
$$ \mathit{\Phi }(\mathit{\boldsymbol{F}},\mathit{\boldsymbol{u}}) = \frac{1}{2}{\mathit{\boldsymbol{F}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{MF}} - {\left( {\mathit{\boldsymbol{A}}_{\mathit{\boldsymbol{vh}}}^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\mathit{\boldsymbol{vh}}}^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{y}}_{\mathit{\boldsymbol{vh}}}}} \right)^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{F}} - {\mathit{\boldsymbol{u}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{F}} $$ (39) 式中，u为拉格朗日乘子。
对式（39）求偏导得到：
$$ \mathit{\boldsymbol{u}} = \mathit{\boldsymbol{MF}} - \mathit{\boldsymbol{A}}_{\mathit{\boldsymbol{vh}}}^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\mathit{\boldsymbol{vh}}}^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{y}}_{\mathit{\boldsymbol{vh}}}} $$ (40) 通过公式推导得到了方差分量估值$ \hat σ $k2:
$$ \hat{\sigma}_{k}^{2}=\max \left(0, \hat{\sigma}_{k}^{2}-\frac{u_{k}}{n_{k k}}\right) $$ (41) PEIV模型非负最小二乘方差分量估计算法针对观测量和系数矩阵随机元素出现负方差分量的情况，使用非负最小二乘理论，有效地解决了出现负方差这一不合理现象，是对PEIV模型的重要补充[21, 24]。
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PEIV模型方差估计的迭代解法中，参数估值偏差会对方差分量的估计产生偏差[24]。针对此问题，文献[22]给出了PEIV模型参数估计迭代过程中随机元素的偏差，进一步得到了随机元素偏差改正的值，求得偏差改正的方差分量估值[22]:
$$ \sigma _{bc}^2 = \mathit{\boldsymbol{N}}_{bc}^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{L}}_{bc}} $$ (42) 式中，Nbc为偏差改正的法矩阵；Lbc为偏差改正的随机元素组成的列向量。
偏差改正的方差分量估计算法效果与PEIV模型中的系数矩阵误差的大小、模型非线性强度有关。当系数矩阵随机元素误差较大、模型非线性强时，参数估值的偏差较大，进而引起方差分量估值有较大的偏差，此时进行偏差改正的效果明显。
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PEIV模型的扩展算法主要包括：附有不等式约束的PEIV模型参数估计[31, 38, 40-41]、PEIV模型的抗差估计[42]、相关观测PEIV模型的求解算法[43-44]、PEIV模型系统误差的处理算法[45]和病态PEIV模型的精度评定[46]。
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当参数具有先验信息时，使用不等式约束的PEIV模型可以得到更为准确的参数估值，附有不等式约束的PEIV模型可以表示为：
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\mathit{\boldsymbol{y}} = \left( {{\mathit{\boldsymbol{\beta }}^{\rm{T}}} \otimes {\mathit{\boldsymbol{I}}_n}} \right)(\mathit{\boldsymbol{h}} + \mathit{\boldsymbol{B\bar a}}) + {\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{y}}}}\\ {\mathit{\boldsymbol{a}} = \mathit{\boldsymbol{\bar a}} + {\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{a}}}}\\ {\mathit{\boldsymbol{G\beta }} \ge \mathit{\boldsymbol{w}}} \end{array}} \right. $$ (43) 式中，G为不等式约束方程的系数矩阵；w为常数向量。
对于附有不等式约束的PEIV模型，常用的算法是将平差准则与不等式约束函数联立，进而将附有不等式约束模型（式（43））转化为一般的附有不等式约束最优化问题。
文献[43]使用WHP(Wilson-Han-Powell）拟牛顿修正解法进行参数估计，该算法比文献[45]算法迭代次数更少，计算效率更高。
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在进行观测时，存在于观测量或系数矩阵随机元素中的粗差会使得参数估值不准确，文献[42]结合L1范数最小化算法，提出了一种可以抵抗PEIV模型中粗差干扰的参数估计算法，其目标函数为：
$$ \min :\mathit{\boldsymbol{p}}_{{\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{y}}}}^{\rm{T}}\left| {{\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{y}}}} \right| + \mathit{\boldsymbol{p}}_{{\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{a}}}}^{\rm{T}}\left| {{\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{a}}}} \right| $$ (44) 式中，pey为观测值权阵的对角线元素；pea为系数矩阵随机元素权阵的对角线元素。
L1范数最小化算法可以有效地抵御粗差的影响，但该算法计算量较大，不适用于大数据量的处理。
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针对已有PEIV模型的参数估计算法未顾及观测量与系数矩阵随机元素之间的相关性，文献[43]推导了观测量与系数矩阵随机元素协因数矩阵为非零矩阵的参数估计算法，顾及观测量与系数矩阵随机元素之间的相关性，平差准则如下：
$$ \min :{\mathit{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{e}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{y}}^{\rm{T}}}&{\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{a}}^{\rm{T}}} \end{array}} \right]{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{Q}}_\mathit{\boldsymbol{y}}}}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\mathit{\boldsymbol{ya}}}}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\mathit{\boldsymbol{ay}}}}}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_\mathit{\boldsymbol{a}}}} \end{array}} \right]^{ - 1}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{y}}}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{a}}}} \end{array}} \right] $$ (45) 构造的拉格朗日函数为：
$$ \begin{array}{l} \mathit{\Phi } = {\mathit{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{e}} + \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 2{\lambda ^{\rm{T}}}\left( {\mathit{\boldsymbol{y}} - \left( {{\mathit{\boldsymbol{\beta }}^{\rm{T}}} \otimes {\mathit{\boldsymbol{I}}_n}} \right)(\mathit{\boldsymbol{h}} + {\bf{Ba}}) + {\mathit{\boldsymbol{C}}_2}\mathit{\boldsymbol{e}}} \right) \end{array} $$ (46) 式中，$ {\boldsymbol{C}}_{2}=\left[{\boldsymbol{I}}_{n}-\left({\boldsymbol{\beta}}^{\mathrm{T}} \otimes {\boldsymbol{I}}_{n}\right) {\boldsymbol{B}}\right] {\boldsymbol{C}}_{1} ; {\boldsymbol{C}}_{1} \cdot {\boldsymbol{e}}=\left[\begin{array}{l} {\boldsymbol{e_{y}}} \\ {\boldsymbol{e_{a}}} \end{array}\right] $。
对式（46）中的随机元素求偏导为令其等于0，最终得到参数估值的计算式为：
$$ \mathit{\boldsymbol{\hat \beta }} = {\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\hat A}}}^{\rm{T}}}{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{C}}_2}\mathit{\boldsymbol{QC}}_2^{\rm{T}}} \right)}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{A}}} \right)^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{\hat A}}^{\rm{T}}}{\left( {{\mathit{\boldsymbol{C}}_2}\mathit{\boldsymbol{QC}}_2^{\rm{T}}} \right)^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{y}} $$ (47) 该算法是更为一般的求解算法，试验结果表明该算法在参数估计上与已有算法等价，但收敛速度更快。文献[44]提出了通用PEIV模型，该算法本质上与文献[43]相同，推导相应的参数估计算法。
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系统误差往往很难避免，其对观测结果的影响具有累积效应，不加处理必然导致模型参数估值的偏差和失真，扭曲PEIV模型的平差结果，对WTLS参数估计造成不利影响。
当观测值和系数矩阵随机元素同时含有系统误差时，PEIV模型将改写为：
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\mathit{\boldsymbol{y}} = \left( {{\mathit{\boldsymbol{\beta }}^{\rm{T}}} \otimes {\mathit{\boldsymbol{I}}_n}} \right)\left( {\mathit{\boldsymbol{h}} + \mathit{\boldsymbol{B\bar a}} - \mathit{\boldsymbol{B}}{\mathit{\boldsymbol{S}}_\mathit{\boldsymbol{a}}}} \right) + {\mathit{\boldsymbol{S}}_\mathit{\boldsymbol{y}}} + {\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{y}}}}\\ {\mathit{\boldsymbol{a}} = \mathit{\boldsymbol{\bar a}} + {\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{a}}}} \end{array}} \right. $$ (48) 式中，Sy和Sa分别为观测值和系数矩阵随机元素中的系统误差。
文献[45]研究了尺度比参数附加系统误差的PEIV模型参数估计算法，利用拉格朗日极值法推导了参数估计公式，该算法在一定程度上可以减小系统误差对参数估值的影响，但当观测量中添加的系统误差不合理时，该算法得到的参数估值比不考虑系统误差的WTLS算法参数估值更差。
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病态问题广泛存在于测量数据处理领域，如大地测量反演[46-47]、航空重力向下延拓[48]等方面。当系数矩阵病态时，将会引起解的极大扰动，造成解的均方误差较大，参数估值偏离真值。文献[46]针对PEIV模型系数矩阵出现病态的情况，引入虚拟观测值，虚拟观测方程为：
$$ {\mathit{\boldsymbol{y}}_2} = {\mathit{\boldsymbol{A}}_2}\mathit{\boldsymbol{\beta }} + {\mathit{\boldsymbol{e}}_2} $$ (49) 式中，y2为虚拟观测值；A2为虚拟观测的系数矩阵；e2为虚拟观测的误差向量。
此时PEIV模型的函数模型转化为：
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\mathit{\boldsymbol{y}} = \left( {{\mathit{\boldsymbol{\beta }}^{\rm{T}}} \otimes {\mathit{\boldsymbol{I}}_n}} \right)(\mathit{\boldsymbol{h}} + \mathit{\boldsymbol{B\bar a}}) + {\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{y}}}}\\ {\mathit{\boldsymbol{a}} = \mathit{\boldsymbol{\bar a}} + {\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{a}}}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{y}}_2} = {\mathit{\boldsymbol{A}}_2}\mathit{\boldsymbol{\beta }} + {\mathit{\boldsymbol{e}}_2}} \end{array}} \right. $$ (50) 构造拉格朗日函数为：
$$ \mathit{\Phi } = {\mathit{\boldsymbol{\dot e}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{\dot e}} + 2{\mathit{\boldsymbol{\lambda }}^{\rm{T}}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{y}}_3} - {\mathit{\boldsymbol{A}}_3}\mathit{\boldsymbol{\beta }} + {\mathit{\boldsymbol{C}}_3}\mathit{\boldsymbol{\dot e}}} \right) $$ (51) 式中，$ {\boldsymbol{y}}_{3}=\left[\begin{array}{l} {\boldsymbol{y}} \\ {\boldsymbol{y}}_{2} \end{array}\right], {\boldsymbol{C}}_{3}=\left[\begin{array}{ccc} {\boldsymbol{I}}_{n} & -\left({\boldsymbol{\beta}}^{\mathrm{T}} \otimes {\boldsymbol{I}}_{n}\right) {\boldsymbol{B}} & 0 \\ 0 & 0 & {\boldsymbol{I}}_{m} \end{array}\right] , {\boldsymbol{A}}_{3}=\left[\begin{array}{l} {\boldsymbol{A }}\\ {\boldsymbol{A}}_{2} \end{array}\right] $。
对式（41）求偏导并令其为0，整理后得到参数估值的表达式为：
$$ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{\hat \beta }} = {\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\hat A}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{Q}}_1^{ - 1}\mathit{\boldsymbol{\hat A}} + \mathit{\boldsymbol{A}}_2^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{\mathit{\boldsymbol{e}}_2}}^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{A}}_2}} \right)^{ - 1}}\\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {{{\mathit{\boldsymbol{\hat A}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{Q}}_1^{ - 1}\mathit{\boldsymbol{\hat y}} + \mathit{\boldsymbol{A}}_2^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{\mathit{\boldsymbol{e}}_2}}^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{y}}_2}} \right) \end{array} $$ (52) 式中，$ \boldsymbol{Q}_{1}=\boldsymbol{Q}_{y}+\left(\hat{\boldsymbol{\beta}}^{\mathrm{T}} \otimes \boldsymbol{I}_{n}\right) {\boldsymbol{B}} \boldsymbol{Q}_{a} {\boldsymbol{B}}^{\mathrm{T}}\left(\hat{\boldsymbol{\beta}} \otimes \boldsymbol{I}_{n}\right) $。
该算法通过将虚拟观测方程与病态方程联立，可以有效减弱病态性的影响，继承了PEIV的优势，可以广泛应用于病态PEIV模型的参数估计中。
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平差过程中必须保证常数元素不进行改正、重复出现的随机元素改正数相同，PEIV模型可以很好地处理以下3类情况：（1）系数矩阵由常数元素列和随机元素列组成，如直线拟合、变异函数、大坝变形监测回归分析、GPS水准多项式拟合以及GPS伪距单点定位等模型；（2）系数矩阵全部由随机元素组成，且随机元素重复出现，如自回归模型等；（3）系数矩阵由常数元素（0或1等）和重复出现的随机元素组成，且随机元素与常数元素零星散布于系数矩阵，如坐标转换、地壳应变参数反演等模型。
以上3类情况对应的经典测绘数据处理算例分别为拟合模型、自回归模型和坐标转换模型。本部分介绍PEIV模型在实际测绘中的应用算例，并着重分析PEIV模型在处理这些问题中的效果，为测绘数据处理人员提供参考，进一步推动PEIV模型的发展。
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拟合参数的求解是测绘数据处理中常见问题，其中具有代表性的算例为直线拟合和GPS高程拟合。直线拟合方程为：
$$ y_{i}=\beta_{1} x_{i}+\beta_{2} $$ (53) 式中，xi和yi分别为坐标点的横坐标与纵坐标；β1和β2为拟合参数。式（53）的PEIV模型为前文中提到的式（1），矩阵h和B的形式根据具体算例而构造。
GPS高程拟合模型用来描述坐标点与高程异常值之间的关系，计算式为：
$$ l_{i}=a_{0}+a_{1} x_{i}+a_{2} y_{i}+a_{3} x_{i}^{2}+a_{4} x_{i} y_{i}+a_{5} y_{i}^{2} $$ (54) 式中，li为高程异常值；xi和yi分别为坐标点的横坐标与纵坐标。式（54）的PEIV模型同样为式（1），矩阵h和B的形式不再详细列出。
分析发现，在直线拟合以及GPS高程拟合中，系数矩阵由常数列和随机元素组成，EIV模型会对常数元素添加改正数，而使用PEIV模型参数估计算法平差过程中可以保证常数元素不进行改正，有效地减少待估量的个数，提高计算效率。
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自回归模型通过建立观测数据之间的动态关系，可以有效地预测未来数据，从而了解数据特性及趋势，在测绘数据处理中具有广泛应用，例如时间序列就是一种典型的自回归模型。
p阶自回归模型的方程为：
$$ \left\{\begin{array}{c} Y_{p+1}=\varphi_{1} Y_{p}+\varphi_{2} Y_{p-1}+\cdots+\varphi_{p} Y_{1} \\ Y_{p+2}=\varphi_{1} Y_{p+1}+\varphi_{2} Y_{p}+\cdots+\varphi_{p} Y_{2} \\ \vdots \\ Y_{n}=\varphi_{1} Y_{n-1}+\varphi_{2} Y_{n-2}+\cdots+\varphi_{p} Y_{n-p} \end{array}\right. $$ (55) 式中，p为自回归阶数；Yi为序列观测值；φi为自回归参数。
不难发现式（55）中系数矩阵元素均为随机量，且随机元素重复出现。通过对算例进行分析可知，传统的Gauss-Markov模型无法处理系数矩阵含有随机误差的情况；EIV模型虽然可以处理观测量和系数矩阵均含有随机误差的情况，但无法保证重复的随机元素添加相同的改正数；PEIV模型对待估量采取分离估计的方式，使自回归模型中重复的随机元素具有相同的改正数，推动了TLS理论的发展。
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坐标转换是将空间实体的位置由一个坐标系统转换到另一个坐标系统的处理方式，在国防建设、工程测量和施工放样等测绘生产实践具有重要应用。例如三维坐标变换可以将WGS84系统坐标转换为局部坐标。本文以二维坐标转换为例，列出PEIV模型在坐标转换中的应用。
二维坐标转换方程为：
$$ \left[\begin{array}{c} X_{i} \\ Y_{i} \end{array}\right] \approx s\left[\begin{array}{cc} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{i} \\ y_{i} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{l} c_{1} \\ c_{2} \end{array}\right] $$ (56) 式中，α为旋转角度；s为尺度参数；c1和c2为平移参数；(xi, yi)为原始坐标；(Xi, Yi)为目标坐标。
本文仅列出坐标转换中的二维坐标转换算例，实际上，在二维仿射变换与三维坐标转换中，系数矩阵中也呈现相同的结构特征，即系数矩阵元素中既有随机元素也有固定元素，随机元素重复出现，且固定元素与随机元素零散分布。针对此种情况，需要保证固定元素不改正，重复的随机元素改正数相同。
综上可知，PEIV模型理论和算法在大地测量数据处理中具有广泛的应用，是EIV模型更一般的表达形式，当系数矩阵呈结构性特征时，PEIV模型在理论推导方面更加简便，是对现代测量数据处理理论及应用的进一步完善和发展。
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近年来，基于EIV模型的WTLS算法在测绘数据处理领域得到了广泛的应用，相比EIV模型，PEIV模型具有待估量更少和利于后续精度评定等优点，是更具一般性的平差模型，近十年来得到了长足的发展。
PEIV模型的参数估计理论包括基于自由极值的参数估计算法、改进目标函数的算法、将模型变换为最小二乘间接平差形式的算法、对观测量和系数矩阵随机元素赋予不同权比的算法等。尽管PEIV模型参数估值的结果与其他WTLS等价，但各种算法在公式推导和解算效率上有所差别。
PEIV模型的单位权估计发展出与其他TLS和WTLS算法等价的有偏估计算法、偏差改正的单位权估计算法、附有不等式约束的模型单位权估计算法和赋予权修正因子的估计算法等。对于参数估值的协方差矩阵计算也由一阶近似表达式算法发展为二阶近似表示算法和基于采样算法的二阶协方差矩阵计算算法。众学者对于方差分量估计算法的应用，极大程度地改善了PEIV随机模型不准确的问题。诸如附有不等式约束、抗差估计、相关观测、系统误差处理和系数矩阵病态等PEIV模型的扩展研究，也丰富了PEIV模型的相关理论。
后续研究的重点工作包括：（1）提出更易于测绘人员理解和编程的PEIV参数估计算法，并将算法应用于大数据处理；（2）利用采样算法对单位权方差、参数估值、观测量和系数矩阵随机元素改正数等平差值进行偏差改正；（3）推导更高阶的参数估值协方差矩阵计算公式。
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摘要: 部分变量含误差(partial errors-in-variables, PEIV)模型是变量含误差(errors-in-variables, EIV)模型的更一般形式, 因其适用性强等优势, 近十年来被广泛应用于全球导航卫星系统(global navigation satellite system, GNSS)数据处理、坐标转换、变形监测和数据拟合等测量数据处理中。概述了PEIV模型的发展过程, 从PEIV模型参数估计算法、精度评定、随机模型估计、扩展算法和数据处理应用5个核心问题进行综述和分析。对PEIV模型的应用进行了展望, 指出有待进一步研究的问题, 旨在进一步推动测绘数据处理的发展, 并为读者提供参考和建议。Abstract:
Objectives Partial errors-in-variables(PEIV) model is a more general form of errors in variables(EIV) model. It has been widely used in the data processing of global navigation satellite system(GNSS), coordinate conversion, deformation monitoring and data fitting in the past ten years. Methods First, the development history of PEIV model is reviewed. Then, five core problems of PEIV model are summarized and analyzed, including parameter estimation algorithm, precision estimation, random model estimation, expansion algorithm and data processing application. Finally, the applications of PEIV model are outlined. Results We point out three questions for further research, including how to process big data by PEIV parameter estimation method, how to correct the bias of weighted total least squares(WTLS) adjustment by sampling method, and how to derive the formula of higher order parameter estimation covariance matrix are. Conclusions This review paper aims to further promote the development of surveying and mapping data processing and provide readers with suggestions and references. -
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