留言板

尊敬的读者、作者、审稿人, 关于本刊的投稿、审稿、编辑和出版的任何问题, 您可以本页添加留言。我们将尽快给您答复。谢谢您的支持!

姓名
邮箱
手机号码
标题
留言内容
验证码

通用EIV平差模型的线性化估计算法

曾文宪 刘泽邦 方兴 李玉兵

曾文宪, 刘泽邦, 方兴, 李玉兵. 通用EIV平差模型的线性化估计算法[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2021, 46(9): 1284-1290. doi: 10.13203/j.whugis20200243
引用本文: 曾文宪, 刘泽邦, 方兴, 李玉兵. 通用EIV平差模型的线性化估计算法[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2021, 46(9): 1284-1290. doi: 10.13203/j.whugis20200243
ZENG Wen-xian, LIU Ze-bang, FANG Xing, LI Yubing. Linearization Estimation Algorithm for Universal EIV Adjustment Model[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2021, 46(9): 1284-1290. doi: 10.13203/j.whugis20200243
Citation: ZENG Wen-xian, LIU Ze-bang, FANG Xing, LI Yubing. Linearization Estimation Algorithm for Universal EIV Adjustment Model[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2021, 46(9): 1284-1290. doi: 10.13203/j.whugis20200243

通用EIV平差模型的线性化估计算法

doi: 10.13203/j.whugis20200243
基金项目: 

国家自然科学基金 41674002

国家自然科学基金 41774009

湖北省自然科学基金 2018CFB578

详细信息

Linearization Estimation Algorithm for Universal EIV Adjustment Model

Funds: 

The National Natural Science Foundation of China 41674002

The National Natural Science Foundation of China 41774009

the Natural Science Foundation of Hubei Province 2018CFB578

More Information
    Author Bio:

    ZENG Wenxian, PhD, associate professor, specializes in theory and method of surveying data processing. E-mail: wxzeng@sgg.whu.edu.cn

    Corresponding author: LIU Zebang, master. E-mail: lzb13142350585@163.com
  • 摘要: 通用变量含误差(errors-in-variables, EIV)模型将EIV模型扩展至最一般化的形式, 其加权整体最小二乘算法(weighted total least squares, WTLS)同时顾及观测向量、观测向量的系数矩阵和参数向量的系数矩阵中的随机误差。将通用EIV函数模型展开, 将二阶项纳入模型的常数项, 从而将非线性的通用EIV模型表示为线性的高斯-赫尔默特模型, 推导出通用EIV模型的线性化整体最小二乘(linearized total least squares, LTLS)算法和近似精度估计公式。通过模拟数据和实例评估分析可知, LTLS算法与通用EIV模型的WTLS算法估计结果一致, 验证了算法的正确性和可行性。当模型含大量估计量时, 通用EIV模型的LTLS算法显著提升了计算效率, 收敛速度更快。
  • 图  1  1 000组实验数据的LTLS参数解与参数真值偏差统计图

    Figure  1.  Statistical Graph of Deviations Between Truth Values and Parameter Values Soluted by LTLS in 1 000 Experiments

    图  2  1 000组实验数据的WTLS参数解与参数真值偏差统计图

    Figure  2.  Statistical Graph of Deviations Between Truth Values and Parameter Values Soluted by WTLS in 1 000 Experiments

    图  3  摄影测量实例图

    Figure  3.  Diagram of the Photogrammetry Example in This Paper

    表  1  参数解及其方差估计值

    Table  1.   Parameter Values and Mean Square Deviations

    算法 参数解 中误差
    $ \hat {\boldsymbol{X}} _1 $ $ \hat {\boldsymbol{X}} _2 $ $ σ _{\hat{\boldsymbol{X}}_1} $ $ σ_ {\hat{\boldsymbol{X}}_2} $
    LTLS算法 5.012 551 9.994 964 0.039 9 0.051 9
    WTLS算法 5.012 551 9.994 964 0.039 9 0.051 9
    下载: 导出CSV

    表  2  1000组实验的参数解均值和协因数阵

    Table  2.   Average Parameter Values and Co⁃variance Matrix in 1 000 Experiments

    算法 参数解均值 协因数阵
    $ {\rm{avg}} ( \hat{\boldsymbol{X}}_1) $ $ {\rm{avg}} ( \hat{\boldsymbol{X}}_2) $ $ {\boldsymbol{Q }}( \hat{\boldsymbol{X}} ) $ $ \bar{ \boldsymbol{Q }}( \hat{\boldsymbol{X}} ) $
    LTLS算法 5.009 427 9.998 257 0.004 3 −0.005 1 0.004 2 −0.004 9
    −0.005 1 0.007 3 −0.004 9 0.007 2
    WTLS算法 5.009 427 9.998 257 0.004 3 −0.005 1 0.004 2 −0.004 9
    −0.005 1 0.007 3 −0.004 9 0.007 2
    下载: 导出CSV

    表  3  LTLS算法和WTLS算法计算效率的比较

    Table  3.   Comparison of Computational Efficiency Between LTLS Algorithm and WTLS Algorithm

    待估量数量 NLTLS NWTLS tLTLS tWTLS 减少比例/%
    10 5.18 4.5 0.224 ms 0.191 ms
    100 5.04 6.36 0.681 ms 0.724 ms 5.9
    1 000 5 6.75 0.033 s 0.044 s 25.0
    10 000 5 7.5 2.681 s 3.909 s 31.4
    下载: 导出CSV

    表  4  距离观测值及其中误差

    Table  4.   Distance Observations and Standard Deviations

    统计项 l1/mm l2/mm l3/mm l4/mm l5/mm l6/mm y1/m y2/m
    观测值 14.1 16.6 6.1 7.1 22.1 26.3 10.0 8.0
    中误差 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.05 0.05
    下载: 导出CSV

    表  5  P1和点P2的坐标估值/m

    Table  5.   Coordinate Estimates of P1 and P2 /m

    算法 坐标估值
    $ \hat x_1 $ $ \hat x_2 $ $ \hat x_3 $ $ \hat x_4 $
    LTLS算法 6.995 056 5 49.715 632 6.981 465 5 41.968 315 9
    WTLS算法 6.995 056 5 49.715 632 6.981 465 5 41.968 315 9
    下载: 导出CSV

    表  6  距离观测值估值

    Table  6.   Estimation of Distance Observations

    算法 $ \hat l_1 $/mm $ \hat l_2 $/mm $ \hat l_3 $/mm $ \hat l_4 $/mm $ \hat l_5 $5/mm $ \hat l_6 $/mm $ \hat y_1 $/m $ \hat y_2 $/m
    LTLS算法 14.070 1 16.635 1 6.032 4 7.178 4 22.137 7 26.256 7 9.994 1 8.006 8
    WTLS算法 14.070 1 16.635 1 6.032 4 7.178 4 22.137 7 26.256 7 9.994 1 8.006 8
    下载: 导出CSV
  • [1] 武汉大学测绘学院测量平差学科组. 误差理论与测量平差基础[M]. 3版. 武汉: 武汉大学出版社, 2014

    Survey Adjustment Discipline Group, School of Surveying and Mapping, Wuhan University. Error Theory and Foundation of Surveying Adjustment[M]. Wuhan: Wuhan University Press, 2014
    [2] Fisher G W, Huffel S V, Vandewalle J. The Total Least Squares Problem: Computational Aspects and Analysis[J]. Mathematics of Computation, 1992, 59 (200): 724 doi:  10.2307/2153088
    [3] Adcock R J. Note on the Method of Least Squares[J]. The Analyst, 1877, 4 (6): 183 doi:  10.2307/2635777
    [4] Golub G H, van Loan C F. An Analysis of the Total Least Squares Problem[J]. SIAM Journal on Numerical Analysis, 1980, 17 (6): 883-893 doi:  10.1137/0717073
    [5] 刘经南, 曾文宪, 徐培亮. 整体最小二乘估计的研究进展[J]. 武汉大学学报·信息科学版, 2013, 38 (5): 505-512 http://ch.whu.edu.cn/article/id/2641

    Liu Jingnan, Zeng Wenxian, Xu Peiliang. Overview of Total Least Squares Methods[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2013, 38 (5): 505-512 http://ch.whu.edu.cn/article/id/2641
    [6] Shen Y Z, Li B F, Chen Y. An Iterative Solution of Weighted Total Least-Squares Adjustment[J]. Journal of Geodesy, 2011, 85 (4): 229-238 doi:  10.1007/s00190-010-0431-1
    [7] Fang X. Weighted Total Least Squares: Necessary and Sufficient Conditions, Fixed and Random Parameters[J]. Journal of Geodesy, 2013, 87(8): 733-749 doi:  10.1007/s00190-013-0643-2
    [8] Mahboub V. On Weighted Total Least-Squares for Geodetic Transformations[J]. Journal of Geodesy, 2012, 86 (5): 359-367 doi:  10.1007/s00190-011-0524-5
    [9] Fang X. A Structured and Constrained Total LeastSquares Solution with Cross-Covariances[J]. Studia Geophysica et Geodaetica, 2014, 58 (1): 1-16 doi:  10.1007/s11200-012-0671-z
    [10] Fang X. On Non-Combinatorial Weighted Total Least Squares with Inequality Constraints[J]. Journal of Geodesy, 2014, 88 (8): 805-816 doi:  10.1007/s00190-014-0723-y
    [11] Fang X. Weighted Total Least-Squares with Constraints: A Universal Formula for Geodetic Symmetrical Transformations[J]. Journal of Geodesy, 2015, 89 (5): 459-469 doi:  10.1007/s00190-015-0790-8
    [12] Zeng W X, Liu J N, Yao Y B. On Partial Errors-inVariables Models with Inequality Constraints of Parameters and Variables[J]. Journal of Geodesy, 2015, 89 (2): 111-119 doi:  10.1007/s00190-014-0775-z
    [13] Fang X, Zeng W X, Zhou Y J, et al. On the Total Least Median of Squares Adjustment for the Pattern Recognition in Point Clouds[J]. Measurement, 2020, 160: 107794 doi:  10.1016/j.measurement.2020.107794
    [14] Xu P L, Liu J N, Shi C. Total Least Squares Adjustment in Partial Errors-in-Variables Models: Algorithm and Statistical Analysis[J]. Journal of Geodesy, 2012, 86 (8): 661-675 doi:  10.1007/s00190-012-0552-9
    [15] 汪奇生, 杨根新. PEIV模型参数估计新算法[J]. 测绘科学技术学报, 2016, 33(4): 341-345 doi:  10.3969/j.issn.1673-6338.2016.04.003

    Wang Qisheng, Yang Genxin. A New Algorithm of Parameter Estimation for PEIV Model[J]. Journal of Geomatics Science and Technology, 2016, 33 (4): 341-345 doi:  10.3969/j.issn.1673-6338.2016.04.003
    [16] 曾文宪, 方兴, 刘经南, 等. 通用EIV平差模型及其加权整体最小二乘估计[J]. 测绘学报, 2016, 45(8): 890-894 https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-CHXB201608003.htm

    Zeng Wenxian, Fang Xing, Liu Jingnan, et al. Weighted Total Least Squares of Universal EIV Adjustment Model[J]. Acta Geodaetica et Cartogra phica Sinica, 2016, 45(8): 890-894 https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-CHXB201608003.htm
    [17] Amiri-Simkooei A R, Mortazavi S, Asgari J. Weighted Total Least Squares Applied to Mixed Observation Model[J]. Survey Review, 2016, 48 (349): 278-286 doi:  10.1179/1752270615Y.0000000031
    [18] 曾文宪, 陶本藻. 三维坐标转换的非线性模型[J]. 武汉大学学报·信息科学版, 2003, 28 (5): 566-568 http://ch.whu.edu.cn/article/id/4861

    Zeng Wenxian, Tao Benzao. Non-Linear Adjustment Model of Three-Dimensional Coordinate Transformation[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2003, 28(5): 566-568 http://ch.whu.edu.cn/article/id/4861
    [19] 曾文宪. 系数矩阵误差对EIV模型平差结果的影响研究[D]. 武汉: 武汉大学, 2013

    Zeng Wenxian. Effect of the Random Design Matrix on Adjustment of an EIV Model and Its Reliability Theory[D]. Wuhan: Wuhan University, 2013
  • [1] 谢建, 龙四春, 周璀.  不等式约束PEIV模型的经典最小二乘方法 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2021, 46(9): 1291-1297. doi: 10.13203/j.whugis20190196
    [2] 谢建, 龙四春, 周璀.  不等式约束PEIV模型的最优性条件及SQP算法 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2020, 45(7): 1002-1007. doi: 10.13203/j.whugis20180297
    [3] 王乐洋, 赵英文.  非线性平差精度评定的自适应蒙特卡罗法 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2019, 44(2): 206-213, 220. doi: 10.13203/j.whugis20170064
    [4] 刘超, 王彬, 赵兴旺, 余学祥.  三维坐标转换的高斯-赫尔默特模型及其抗差解法 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2018, 43(9): 1320-1327. doi: 10.13203/j.whugis20160348
    [5] 姚宜斌, 黄书华, 张良, 胡羽丰, 李国平.  求解三维坐标转换参数的整体最小二乘新方法 ! . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2015, 40(7): 853-857. doi: 10.13203/j.whugis20130302
    [6] 魏二虎, 殷志祥, 李广文, 李智强.  虚拟观测值法在三维坐标转换中的应用研究 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2014, 39(2): 152-156. doi: 10.13203/j.whugis20120648
    [7] 姚宜斌, 孔建.  顾及设计矩阵随机误差的最小二乘组合新解法 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2014, 39(9): 1028-1032. doi: 10.13203/j.whugis20130030
    [8] 姚宜斌, 黄书华, 孔建, 何军泉.  空间直线拟合的整体最小二乘算法 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2014, 39(5): 571-574. doi: 10.13203/j.whugis20120104
    [9] 姚宜斌, 黄书华, 陈家君.  求解自回归模型参数的整体最小二乘新方法 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2014, 39(12): 1463-1466.
    [10] 姚宜斌, 黄承猛, 李程春, 孔建.  一种适用于大角度的三维坐标转换参数求解算法 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2012, 37(3): 253-256.
    [11] 邱卫宁, 齐公玉, 田丰瑞.  整体最小二乘求解线性模型的改进算法 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2010, 35(6): 708-710.
    [12] 游为, 范东明, 傅淑娟.  同伦函数与填充函数相结合的非线性最小二乘平差模型 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2010, 35(2): 185-188.
    [13] 孔建, 姚宜斌, 吴寒.  整体最小二乘的迭代解法 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2010, 35(6): 711-714.
    [14] 鲁铁定, 陶本藻, 周世健.  基于整体最小二乘法的线性回归建模和解法 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2008, 33(5): 504-507.
    [15] 宁伟, 陶华学, 卿熙宏.  广义非线性最小二乘测量参数平差的快速差分迭代解算 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2005, 30(7): 617-620.
    [16] 张勤, 陶本藻.  基于同伦法的非线性最小二乘平差统一模型 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2004, 29(8): 708-710.
    [17] 陶本藻, 张勤.  GPS非线性数据处理的同伦最小二乘模型 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2003, 28(S1): 115-118.
    [18] 陶本藻.  形变反演模型的非线性平差 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2001, 26(6): 504-508.
    [19] 白亿同.  非线性最小二乘平差迭代解法的收敛性 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 1991, 16(2): 92-95.
    [20] 白亿同.  从黎曼流形的观点看非线性最小二乘平差 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 1991, 16(4): 78-84.
  • 加载中
图(3) / 表(6)
计量
  • 文章访问数:  588
  • HTML全文浏览量:  156
  • PDF下载量:  79
  • 被引次数: 0
出版历程
  • 收稿日期:  2020-05-24
  • 刊出日期:  2021-09-18

通用EIV平差模型的线性化估计算法

doi: 10.13203/j.whugis20200243
    基金项目:

    国家自然科学基金 41674002

    国家自然科学基金 41774009

    湖北省自然科学基金 2018CFB578

    作者简介:

    曾文宪, 博士, 副教授, 主要从事测量数据处理理论与应用的研究。wxzeng@sgg.whu.edu.cn

    通讯作者: 刘泽邦, 硕士。lzb13142350585@163.com
  • 中图分类号: P207

摘要: 通用变量含误差(errors-in-variables, EIV)模型将EIV模型扩展至最一般化的形式, 其加权整体最小二乘算法(weighted total least squares, WTLS)同时顾及观测向量、观测向量的系数矩阵和参数向量的系数矩阵中的随机误差。将通用EIV函数模型展开, 将二阶项纳入模型的常数项, 从而将非线性的通用EIV模型表示为线性的高斯-赫尔默特模型, 推导出通用EIV模型的线性化整体最小二乘(linearized total least squares, LTLS)算法和近似精度估计公式。通过模拟数据和实例评估分析可知, LTLS算法与通用EIV模型的WTLS算法估计结果一致, 验证了算法的正确性和可行性。当模型含大量估计量时, 通用EIV模型的LTLS算法显著提升了计算效率, 收敛速度更快。

English Abstract

曾文宪, 刘泽邦, 方兴, 李玉兵. 通用EIV平差模型的线性化估计算法[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2021, 46(9): 1284-1290. doi: 10.13203/j.whugis20200243
引用本文: 曾文宪, 刘泽邦, 方兴, 李玉兵. 通用EIV平差模型的线性化估计算法[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2021, 46(9): 1284-1290. doi: 10.13203/j.whugis20200243
ZENG Wen-xian, LIU Ze-bang, FANG Xing, LI Yubing. Linearization Estimation Algorithm for Universal EIV Adjustment Model[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2021, 46(9): 1284-1290. doi: 10.13203/j.whugis20200243
Citation: ZENG Wen-xian, LIU Ze-bang, FANG Xing, LI Yubing. Linearization Estimation Algorithm for Universal EIV Adjustment Model[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2021, 46(9): 1284-1290. doi: 10.13203/j.whugis20200243
  • 经典平差模型和最小二乘估计理论[1]在大地测量等众多科学研究和工程领域中应用广泛,其中,高斯-马尔科夫模型(Gauss-Markov model, GMM)最为常用,而高斯-赫尔默特模型(GaussHelmert model, GHM)可视为经典平差模型的一般通用形式。在实际应用中,坐标转换、回归模型、数字地面模型和大地测量反演等平差模型的系数矩阵包含随机的观测误差,从而使得GMM扩展为随机系数矩阵的变量含误差(errors-invariables, EIV)模型[2]。文献[3]提出同时顾及观测向量和系数矩阵中随机误差的整体最小二乘(total least squares, TLS)估计算法。TLS的非线性特征导致其受制于计算机技术的发展,直至20世纪80年代,文献[4]将TLS引入数值分析领域并提出奇异值分解算法,TLS才开始广泛应用于各专业领域并取得丰富的研究成果。文献[2]中对TLS进行了改进和扩展;文献[5]从TLS的算法、统计特性和可靠性研究等方面综述了TLS方法的研究进展。当误差相关且精度不等时,采用加权整体最小二乘估计(weighted total least squares, WTLS)方法进行求解。文献[6]研究了基于高斯-牛顿迭代法的WTLS算法,该算法假设权矩阵为特殊情况,得到的解在形式上与最小二乘(least squares, LS)解相同;文献[7]研究了在任意权矩阵的一般情况下的WTLS算法;文献[8]研究了特殊结构下WTLS算法的迭代方法并将其应用于实际场景;文献[9-12]研究了附有等式和不等式约束情况下的WTLS算法;文献[13]研究了稳健WTLS算法。

    通过对EIV模型的形式进行变换,文献[14]提出部分EIV(partial EIV, PEIV)模型,提高了系数矩阵仅含部分随机量情况下的计算效率。文献[15]对PEIV模型进行线性化,推导了PEIV模型的LS算法。文献[16-17]从模型的一般性出发,将EIV模型扩展至通用EIV模型,将经典平差的GHM中观测向量的系数矩阵和参数向量的系数矩阵由固定矩阵推广为随机矩阵,涵括随机系数矩阵的各类情况,同时推导了通用EIV模型在任意权矩阵情况下的一般性WTLS算法。

    通用EIV模型的非线性使得该算法在估计量较多时计算量大。本文利用非线性平差原理,将通用EIV模型展开后的二阶项纳入平差方程的常数项,从而将其转化为GHM形式,推导出通用EIV模型的线性化整体最小二乘(linearized total least squares, LTLS)算法。相较于WTLS算法,LTLS算法提高了通用EIV模型的计算效率,当参数向量初始值与最优值相差较大时,提升了迭代收敛速度。

    • GHM的形式为:

      $$ \mathit{\boldsymbol{A}}\left( {\mathit{\boldsymbol{y}} + {\mathit{\boldsymbol{v}}_\mathit{\boldsymbol{y}}}} \right) + \mathit{\boldsymbol{BX}} + \mathit{\boldsymbol{w}} = \mathit{\boldsymbol{0}} $$ (1)

      式中,yvy分别为n×1维观测值向量和观测值改正数向量;Xu×1维参数向量;A为观测值向量对应的f×n维系数矩阵;B为参数向量对应的f×u维系数矩阵;wf×1维常数向量;在经典平差函数模型的定义中,AB均不含随机误差,为固定矩阵。

      当参数向量的系数矩阵B含随机误差时,GHM(式(1))扩展为经典EIV模型。当观测值向量的系数矩阵A和参数向量的系数矩阵B均含随机误差时,GHM(式(1))扩展为通用EIV平差模型[16]:

      $$ \left( {\mathit{\boldsymbol{A}} + {\mathit{\boldsymbol{V}}_\mathit{\boldsymbol{A}}}} \right)\left( {\mathit{\boldsymbol{y}} + {\mathit{\boldsymbol{v}}_\mathit{\boldsymbol{y}}}} \right) + \left( {\mathit{\boldsymbol{B}} + {\mathit{\boldsymbol{V}}_\mathit{\boldsymbol{B}}}} \right)\mathit{\boldsymbol{X}} + \mathit{\boldsymbol{w}} = \mathit{\boldsymbol{0}} $$ (2)

      式中,AVA分别为观测值向量对应的f×n维系数矩阵及其改正数矩阵;BVB分别为参数向量对应的f×u维系数矩阵及其改正数矩阵。由于ABy均为随机矩阵,则通用EIV的随机模型为:

      $$ \mathit{\boldsymbol{L}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathop{\rm vec}\nolimits} (\mathit{\boldsymbol{A}})}\\ {{\mathop{\rm vec}\nolimits} (\mathit{\boldsymbol{B}})}\\ \mathit{\boldsymbol{y}} \end{array}} \right],\mathit{\boldsymbol{v}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathop{\rm vec}\nolimits} \left( {{\mathit{\boldsymbol{V}}_\mathit{\boldsymbol{A}}}} \right)}\\ {{\mathop{\rm vec}\nolimits} \left( {{\mathit{\boldsymbol{V}}_\mathit{\boldsymbol{B}}}} \right)}\\ {{\mathit{\boldsymbol{v}}_\mathit{\boldsymbol{y}}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\mathit{\boldsymbol{v}}_\mathit{\boldsymbol{A}}}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{v}}_\mathit{\boldsymbol{B}}}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{v}}_\mathit{\boldsymbol{y}}}} \end{array}} \right] $$ (3)
      $$ \mathit{\boldsymbol{D}}(\mathit{\boldsymbol{L}}) = \delta _0^2{\mathit{\boldsymbol{P}}^{ - 1}} = \delta _0^2\mathit{\boldsymbol{Q}} = \delta _0^2\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{Q}}_\mathit{\boldsymbol{A}}}}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\mathit{\boldsymbol{AB}}}}}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\mathit{\boldsymbol{Ay}}}}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\mathit{\boldsymbol{BA}}}}}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_\mathit{\boldsymbol{B}}}}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\mathit{\boldsymbol{By}}}}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\mathit{\boldsymbol{yA}}}}}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\mathit{\boldsymbol{yB}}}}}&{{\mathit{\boldsymbol{Q}}_\mathit{\boldsymbol{y}}}} \end{array}} \right] $$ (4)

      式中,vec(.)表示将矩阵按列向量化;Lv分别为观测数据的k×1维观测值向量及其改正数向量,包括ABy中所有观测值及其改正数,其中k=fn+fu+n; PQD(L)分别为L的权矩阵、协因数矩阵和方差协方差矩阵;δ02为单位权方差。

    • 根据TLS准则,通用EIV平差模型的求解可转化为最优化估计问题[16]:

      $$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\min {\mathit{\boldsymbol{v}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{Pv}}}\\ {s.t.{\rm{ }}\left( {\mathit{\boldsymbol{A}} + {\mathit{\boldsymbol{V}}_\mathit{\boldsymbol{A}}}} \right)\left( {\mathit{\boldsymbol{y}} + {\mathit{\boldsymbol{v}}_\mathit{\boldsymbol{y}}}} \right) + \left( {\mathit{\boldsymbol{B}} + {\mathit{\boldsymbol{V}}_\mathit{\boldsymbol{B}}}} \right)\mathit{\boldsymbol{X}} + \mathit{\boldsymbol{w}} = \mathit{\boldsymbol{0}}} \end{array}} \right. $$ (5)

      相应目标函数为:

      $$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\Phi }(\mathit{\boldsymbol{r}},\mathit{\boldsymbol{\lambda }},\mathit{\boldsymbol{X}}) = {\mathit{\boldsymbol{v}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{Pv}} + 2{\mathit{\boldsymbol{\lambda }}^{\rm{T}}}\left( {\mathit{\boldsymbol{Ay}} + \mathit{\boldsymbol{A}}{\mathit{\boldsymbol{v}}_\mathit{\boldsymbol{y}}} + } \right.}\\ {\left. {{\mathit{\boldsymbol{V}}_\mathit{\boldsymbol{A}}}\mathit{\boldsymbol{y}} + {\mathit{\boldsymbol{V}}_\mathit{\boldsymbol{A}}}{\mathit{\boldsymbol{v}}_\mathit{\boldsymbol{y}}} + \mathit{\boldsymbol{BX}} + {\mathit{\boldsymbol{V}}_\mathit{\boldsymbol{B}}}\mathit{\boldsymbol{X}} + \mathit{\boldsymbol{w}}} \right)} \end{array} $$ (6)

      将目标函数对估计量分别求偏导并令其等于0,得到非线性方程组:

      $$ \frac{{\partial \mathit{\Phi }}}{{\partial \mathit{\boldsymbol{\hat X}}}} = 2\left( {{\mathit{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\hat \lambda }} + \mathit{\boldsymbol{\hat V}}_\mathit{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{\hat \lambda }}} \right) = \mathit{\boldsymbol{0}} $$ (7)
      $$ \frac{{\partial \mathit{\Phi }}}{{\partial \mathit{\boldsymbol{\hat v}}}} = 2\left( {\mathit{\boldsymbol{P\hat v}} + {{\mathit{\boldsymbol{\hat C}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\hat \lambda }}} \right) = \mathit{\boldsymbol{0}} $$ (8)
      $$ \frac{{\partial \mathit{\Phi }}}{{\partial \mathit{\boldsymbol{\hat \lambda }}}} = 2(\mathit{\boldsymbol{Ay}} + \mathit{\boldsymbol{B\hat X}} + \mathit{\boldsymbol{\hat C\hat v}} + \mathit{\boldsymbol{w}}) = \mathit{\boldsymbol{0}} $$ (9)

      式中,$ {\boldsymbol{C}}=\left[{\boldsymbol{y}}^{\mathrm{T}} \otimes {\boldsymbol{I}}_{f} \boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \otimes {\boldsymbol{I}}_{f} A+\boldsymbol{V}_{{\boldsymbol{A}}}\right] ; \hat{{\boldsymbol{v}}}, \hat{\boldsymbol{X}} $分别为观测值向量和参数向量的估计值。

      根据式(7)~式(9)可导出:

      $$ \mathit{\boldsymbol{\hat v}} = - \mathit{\boldsymbol{Q}}{\mathit{\boldsymbol{\hat C}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\hat Q}}_\mathit{\boldsymbol{C}}^{ - 1}(\mathit{\boldsymbol{Ay}} + \mathit{\boldsymbol{B\hat X}} + \mathit{\boldsymbol{w}}) $$ (10)
      $$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{\hat X}} = - {{\left[ {\left( {{\mathit{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}} + \mathit{\boldsymbol{\hat V}}_\mathit{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}} \right)\mathit{\boldsymbol{\hat Q}}_\mathit{\boldsymbol{C}}^{ - 1}\mathit{\boldsymbol{B}}} \right]}^{ - 1}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}} + } \right.}\\ {\left. {\mathit{\boldsymbol{\hat V}}_\mathit{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}} \right)\mathit{\boldsymbol{\hat Q}}_\mathit{\boldsymbol{C}}^{ - 1}(\mathit{\boldsymbol{Ay}} + \mathit{\boldsymbol{w}})} \end{array} $$ (11)

      式中,$ \hat{\boldsymbol{Q}}_{C}=\hat{\boldsymbol{C}} \boldsymbol{Q} \hat{\boldsymbol{C}}^{\mathrm{T}} $。

      以式(2)的LS解作为初始值,根据式(10)和式(11)进行迭代计算可得通用EIV模型的WTLS最优解。

    • 通用EIV模型是非线性模型,观测值矩阵和系数矩阵均为随机量,WTLS算法的计算量随着待估量个数增多将迅速增加。将式(2)展开,利用非线性函数平差原理[18]将二阶项作为模型误差纳入方程的常数项,从而将通用EIV模型转化为线性的GHM,推导出通用EIV模型的LTLS算法。

      X=X0+x,将式(2)展开得:

      $$ \begin{array}{c} \left( {{\mathit{\boldsymbol{V}}_\mathit{\boldsymbol{A}}}\mathit{\boldsymbol{y}} + {\mathit{\boldsymbol{V}}_\mathit{\boldsymbol{B}}}{\mathit{\boldsymbol{X}}_0} + \mathit{\boldsymbol{A}}{\mathit{\boldsymbol{v}}_\mathit{\boldsymbol{y}}}} \right) + \mathit{\boldsymbol{Bx}} + (\mathit{\boldsymbol{w}} + \mathit{\boldsymbol{Ay}} + \\ \left. {\mathit{\boldsymbol{B}}{\mathit{\boldsymbol{X}}_0} + {\mathit{\boldsymbol{V}}_\mathit{\boldsymbol{A}}}{\mathit{\boldsymbol{v}}_\mathit{\boldsymbol{y}}} + {\mathit{\boldsymbol{V}}_\mathit{\boldsymbol{B}}}\mathit{\boldsymbol{x}}} \right) = \mathit{\boldsymbol{0}} \end{array} $$ (12)

      式(12)可表示为:

      $$ \begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {\left( {{\mathit{\boldsymbol{y}}^{\rm{T}}} \otimes {\mathit{\boldsymbol{I}}_\mathit{\boldsymbol{f}}}} \right){\mathop{\rm vec}\nolimits} \left( {{\mathit{\boldsymbol{V}}_\mathit{\boldsymbol{A}}}} \right) + \left( {\mathit{\boldsymbol{X}}_0^{\rm{T}} \otimes {\mathit{\boldsymbol{I}}_\mathit{\boldsymbol{f}}}} \right){\mathop{\rm vec}\nolimits} \left( {{\mathit{\boldsymbol{V}}_\mathit{\boldsymbol{B}}}} \right) + \mathit{\boldsymbol{A}}{\mathit{\boldsymbol{v}}_\mathit{\boldsymbol{y}}}} \right] + }\\ {\mathit{\boldsymbol{Bx}} + \left( {\mathit{\boldsymbol{w}} + \mathit{\boldsymbol{Ay}} + \mathit{\boldsymbol{B}}{\mathit{\boldsymbol{X}}_0} + {\mathit{\boldsymbol{V}}_\mathit{\boldsymbol{A}}}{\mathit{\boldsymbol{v}}_\mathit{\boldsymbol{y}}} + {\mathit{\boldsymbol{V}}_\mathit{\boldsymbol{B}}}\mathit{\boldsymbol{x}}} \right) = \mathit{\boldsymbol{0}}} \end{array} $$ (13)

      则通用EIV模型的线性化形式为:

      $$ {\mathit{\boldsymbol{A}}_\mathit{\boldsymbol{l}}}{\mathit{\boldsymbol{v}}_\mathit{\boldsymbol{l}}} + \mathit{\boldsymbol{Bx}} + {\mathit{\boldsymbol{w}}_\mathit{\boldsymbol{l}}} = \mathit{\boldsymbol{0}} $$ (14)

      式中,$ {\boldsymbol{A}}_{{\boldsymbol{l}}}=\left[\begin{array}{llll} {\boldsymbol{y}}^{\mathrm{T}} \otimes {\boldsymbol{I_{f}}} & \boldsymbol{X}_{0}^{\mathrm{T}} & \otimes {\boldsymbol{I_{f}}} & {\boldsymbol{A}} \end{array}\right] ; \ {\boldsymbol{v_{l}}}= \left[\begin{array}{c} \operatorname{vec}\left(\boldsymbol{V}_{{\boldsymbol{A}}}\right) \\ \operatorname{vec}\left(\boldsymbol{V}_{{\boldsymbol{B}}}\right) \\ \boldsymbol{v}_{{\boldsymbol{y}}} \end{array}\right] ; \boldsymbol{w}_{{\boldsymbol{l}}}=\boldsymbol{w}+\boldsymbol{Ay} + {\boldsymbol{B}} \boldsymbol{X}_{0}+\boldsymbol{V}_{{\boldsymbol{A}}} \boldsymbol{v}_{{\boldsymbol{y}}}+\boldsymbol{V}_{{\boldsymbol{B}}} {\boldsymbol{x}}$为常数项,即将式(2)按泰勒展开略去的二阶项VAvy+VBx作为模型误差纳入常数项。

      由式(14)可知,线性化后的通用EIV模型与GHM形式一致,可使用最小二乘法得到观测值向量和参数向量:

      $$ \mathit{\boldsymbol{\hat x}} = - \mathit{\boldsymbol{\hat N}}_{\mathit{\boldsymbol{bb}}}^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\hat N}}_{\mathit{\boldsymbol{aa}}}^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{w}}_\mathit{\boldsymbol{l}}} $$ (15)
      $$ {{\mathit{\boldsymbol{\hat v}}}_\mathit{\boldsymbol{l}}} = - \mathit{\boldsymbol{Q}}{{\mathit{\boldsymbol{\hat A}}}_\mathit{\boldsymbol{l}}}\mathit{\boldsymbol{\hat N}}_{\mathit{\boldsymbol{aa}}}^{ - 1}\left( {\mathit{\boldsymbol{B\hat x}} + {\mathit{\boldsymbol{w}}_\mathit{\boldsymbol{l}}}} \right) $$ (16)

      式中,$ \boldsymbol{N}_{{\boldsymbol{a a}}}=\boldsymbol{A}_{{\boldsymbol{l}}} \boldsymbol{Q} \boldsymbol{A}_{{\boldsymbol{l}}}^{\mathrm{T}} ; \boldsymbol{N}_{{\boldsymbol{b b}}}= {\boldsymbol{B}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{N}_{{\boldsymbol{a a}}}^{-1} {\boldsymbol{B}} $; Q为观测值向量的协因数矩阵。

      通用EIV模型的LTLS算法步骤如下:

      1)将实际模型表示为式(2),将观测数据代入得到ABy矩阵,并给出观测值数据的协因数阵Q,包括观测值向量Qy、观测值向量系数矩阵QA、参数向量系数矩阵QB

      2)计算通用EIV模型的LS解作为初始参数解:$ \hat{\boldsymbol{X}}^{0}=-\left({\boldsymbol{B}}^{\mathrm{T}}\left({\boldsymbol{A }}\boldsymbol{Q}_{{\boldsymbol{y}}} {\boldsymbol{A}}^{\mathrm{T}}\right)^{-1} {\boldsymbol{B}}\right)^{-1} {\boldsymbol{B}}^{\mathrm{T}}\left({\boldsymbol{A}} \boldsymbol{Q}_{{\boldsymbol{y}}} {\boldsymbol{A}}^{\mathrm{T}}\right)^{-1} · ({\boldsymbol{A y}}+{\boldsymbol{w}})$, 观测值向量改正数初始值取0。

      3)根据式(15)和式(16)进行迭代计算,每次迭代将上一次估计值作为初始值代入新的迭代过程,直至前后两次估计值之差小于设定阈值。

      GHM按泰勒级数展开仅包含常数项、一阶项(二阶及以上项全部为零),将二阶项纳入线性化后的常数项,该方法极大地减弱了线性化引起的模型误差。因此,在同样以LS解作为初值的情况下,GHM线性化的LTLS解与WTLS解的收敛性一致。此外,根据文献[19]中EIV模型LS解偏差的研究结果,在当前测量技术手段和观测精度条件下,以有偏的LS解作为初值,能够保证TLS迭代计算收敛,除非出现极特殊情况导致LS初始解严重偏离最优值。

      参考GHM,式(2)的LTLS算法估计结果的精度计算式为:

      $$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\hat \delta _0^2 = \mathit{\boldsymbol{v}}_\mathit{\boldsymbol{l}}^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{P}}{\mathit{\boldsymbol{v}}_\mathit{\boldsymbol{l}}}/\mathit{r}}\\ {\mathit{\boldsymbol{Q}}(\mathit{\boldsymbol{\hat x}}) = {{\left( {{\mathit{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{A}}_\mathit{\boldsymbol{l}}}\mathit{\boldsymbol{QA}}_\mathit{\boldsymbol{l}}^{\rm{T}}} \right)}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{B}}} \right)}^{ - 1}}}\\ {\mathit{\boldsymbol{Q}}(\mathit{\boldsymbol{\hat L}}) = \mathit{\boldsymbol{Q}} - \mathit{\boldsymbol{QA}}_\mathit{\boldsymbol{l}}^{\rm{T}}\left( {\mathit{\boldsymbol{N}}_\mathit{\boldsymbol{A}}^{ - 1}\left( {\mathit{\boldsymbol{I}} - \mathit{\boldsymbol{B}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\mathit{\boldsymbol{\hat x}}}}{\mathit{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{N}}_\mathit{\boldsymbol{A}}^{ - 1}} \right){\mathit{\boldsymbol{A}}_\mathit{\boldsymbol{l}}}\mathit{\boldsymbol{Q}}} \right)}\\ {\mathit{\boldsymbol{D}}(\mathit{\boldsymbol{\hat x}}) = \hat \delta _0^2\mathit{\boldsymbol{Q}}(\mathit{\boldsymbol{\hat x}})}\\ {\mathit{\boldsymbol{D}}(\mathit{\boldsymbol{\hat L}}) = \hat \delta _0^2\mathit{\boldsymbol{Q}}(\mathit{\boldsymbol{\hat L}})} \end{array}} \right. $$ (17)

      式中,多余观测数r=n-t; n为观测值个数;t为必要观测值个数;r与GHM的多余观测数相同;$ \boldsymbol{N}_{{\boldsymbol{A}}}=\boldsymbol{A}_{{\boldsymbol{l}}} \boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A}_{{\boldsymbol{l}}}^{\mathrm{T}} $。

    • 按照LTLS算法步骤设计实验,比较LTLS算法与WTLS算法的计算结果,验证LTLS算法的正确性、高效性和可行性。实验1设计模拟数据,比较分析单组实验结果和1 000组实验统计结果,验证LTLS算法的正确性;实验2在待估计量数目取不同量级时,比较两种算法的计算时间,验证LTLS算法的高效性;实验3通过实例验证LTLS算法的可行性。

    • 在通用EIV模型(式(2))中,设置参数真值X=[5 10]T,系数矩阵AB中随机量的中误差分别设为0.01和0.02,观测向量y的中误差设为0.03。ABy和常数向量w的模拟数据如下:

      $$ \mathit{\boldsymbol{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {12.469}&{11.096}&{15.872}&{11.725}\\ {8.883}&{10.291}&{2.929}&{3.666}\\ {12.321}&{1.109}&{6.392}&{15.809}\\ {3.551}&{12.104}&{3.867}&{1.257} \end{array}} \right], $$
      $$ \mathit{\boldsymbol{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {10.410}&{17.544}\\ {18.033}&{15.171}\\ {18.631}&{15.855}\\ {15.671}&{11.878} \end{array}} \right], $$
      $$ \mathit{\boldsymbol{y}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {27.543}\\ {20.727}\\ {20.839}\\ {25.033} \end{array}} \right],\mathit{\boldsymbol{w}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1425.323}\\ { - 852.619}\\ { - 1142.913}\\ { - 658.407} \end{array}} \right]。 $$

      采用LTLS算法和WTLS算法的估计结果如表 1所示,LTLS参数解与WTLS参数解完全相等,验证了LTLS算法的正确性。

      表 1  参数解及其方差估计值

      Table 1.  Parameter Values and Mean Square Deviations

      算法 参数解 中误差
      $ \hat {\boldsymbol{X}} _1 $ $ \hat {\boldsymbol{X}} _2 $ $ σ _{\hat{\boldsymbol{X}}_1} $ $ σ_ {\hat{\boldsymbol{X}}_2} $
      LTLS算法 5.012 551 9.994 964 0.039 9 0.051 9
      WTLS算法 5.012 551 9.994 964 0.039 9 0.051 9

      为了进一步验证LTLS算法的正确性,首先采用模拟的1 000组数据计算LTLS和WTLS参数解的均值$ {\rm{avg}} (\hat {\boldsymbol{X}} _1) 和 {\rm{avg}} (\hat {\boldsymbol{X}} _2) $,并将参数解均值代入式(17),求得LTLS参数解的协因数阵估值$ {\boldsymbol{Q}}(\hat {\boldsymbol{X}} )$,然后利用参数真值求得精确的参数协因数阵$ \overline{\boldsymbol{Q}}(\hat{\boldsymbol{X}})={\boldsymbol{E}}_{{\boldsymbol{X}}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{E}_{{\boldsymbol{X}}} /(m-n) , {\boldsymbol{E}}_{{\boldsymbol{X}}}=\left[\begin{array}{ll} \hat{{\boldsymbol{X}}}_{1}^{(j)}-5 & \hat{{\boldsymbol{X}}}_{2}^{(j)}-10 \end{array}\right] $,计算结果见表 2。1 000组数据的LTLS参数解和WTLS参数解与参数真值偏差的统计分析见图 1图 2

      表 2  1000组实验的参数解均值和协因数阵

      Table 2.  Average Parameter Values and Co⁃variance Matrix in 1 000 Experiments

      算法 参数解均值 协因数阵
      $ {\rm{avg}} ( \hat{\boldsymbol{X}}_1) $ $ {\rm{avg}} ( \hat{\boldsymbol{X}}_2) $ $ {\boldsymbol{Q }}( \hat{\boldsymbol{X}} ) $ $ \bar{ \boldsymbol{Q }}( \hat{\boldsymbol{X}} ) $
      LTLS算法 5.009 427 9.998 257 0.004 3 −0.005 1 0.004 2 −0.004 9
      −0.005 1 0.007 3 −0.004 9 0.007 2
      WTLS算法 5.009 427 9.998 257 0.004 3 −0.005 1 0.004 2 −0.004 9
      −0.005 1 0.007 3 −0.004 9 0.007 2

      图  1  1 000组实验数据的LTLS参数解与参数真值偏差统计图

      Figure 1.  Statistical Graph of Deviations Between Truth Values and Parameter Values Soluted by LTLS in 1 000 Experiments

      图  2  1 000组实验数据的WTLS参数解与参数真值偏差统计图

      Figure 2.  Statistical Graph of Deviations Between Truth Values and Parameter Values Soluted by WTLS in 1 000 Experiments

      表 2图 1图 2可以看出,LTLS算法与WTLS算法的统计结果完全一致,说明在每次实验中两种算法所求参数解均一致,验证了LTLS算法的正确性。同时两种计算协因数阵的方法结果非常相近,验证了参数协因数阵一阶近似估计公式(17)的有效性[17]

    • 为分析LTLS算法的计算效率,设计通用EIV模型中待估计量个数在不同的数量级情况,采用LTLS算法和WTLS算法计算100组模拟数据的平均迭代次数N、平均解算时间t和减少比例(LTLS算法较WTLS算法减少的平均解算时间与WTLS算法平均解算时间之比),结果见表 3

      表 3  LTLS算法和WTLS算法计算效率的比较

      Table 3.  Comparison of Computational Efficiency Between LTLS Algorithm and WTLS Algorithm

      待估量数量 NLTLS NWTLS tLTLS tWTLS 减少比例/%
      10 5.18 4.5 0.224 ms 0.191 ms
      100 5.04 6.36 0.681 ms 0.724 ms 5.9
      1 000 5 6.75 0.033 s 0.044 s 25.0
      10 000 5 7.5 2.681 s 3.909 s 31.4

      表 3可以看出,两种算法每次迭代的平均时间基本一致;当模型估计量数量较少时,两种算法的效率基本相当,随着估计量的数量级逐渐增大,LTLS算法的效率高于WTLS算法。原因在于GHM按泰勒级数展开后,仅包含常数项、一阶项(二阶及以上项全部为零),LTLS算法将二阶项纳入常数项,减小了线性化引起的模型误差,迭代计算收敛更快,迭代次数减少,使得计算效率提高。

    • 本文采用的摄影测量实例示意图如图 3所示,由3个地面摄像机S1S2S3拍摄两个目标点P1P2组成,相机主距f=100 mm,距离l1l2l3l4l5l6y1y2的观测值和中误差见表 4

      图  3  摄影测量实例图

      Figure 3.  Diagram of the Photogrammetry Example in This Paper

      表 4  距离观测值及其中误差

      Table 4.  Distance Observations and Standard Deviations

      统计项 l1/mm l2/mm l3/mm l4/mm l5/mm l6/mm y1/m y2/m
      观测值 14.1 16.6 6.1 7.1 22.1 26.3 10.0 8.0
      中误差 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.05 0.05

      根据图 3可得到误差方程:

      $$ \left\{\begin{array}{l} l_{1} x_{2}-f x_{1}=0 \\ l_{2} x_{4}-f x_{3}=0 \\ l_{3} x_{2}+f y_{1}+f x_{1}=0 \\ l_{4} x_{4}+f y_{1}+f x_{3}=0 \\ l_{5} x_{2}-f y_{1}-f y_{2}+f x_{1}=0 \\ l_{6} x_{4}-f y_{1}-f y_{2}+f x_{3}=0 \end{array}\right. $$ (18)

      构建通用EIV模型来估计点P1和点P2的坐标,由误差方程可得:

      $$ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 0&0\\ { - f}&0\\ { - f}&0\\ { - f}&{ - f}\\ { - f}&{ - f} \end{array}} \right],\mathit{\boldsymbol{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - f}&{{l_1}}&0&0\\ 0&0&{ - f}&{{l_2}}\\ f&{{l_3}}&0&0\\ 0&0&f&{{l_4}}\\ f&{{l_5}}&0&0\\ 0&0&f&{{l_6}} \end{array}} \right],\\ \mathit{\boldsymbol{y}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{y_1}}\\ {{y_2}} \end{array}} \right],\mathit{\boldsymbol{x}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_3}}\\ {{x_4}} \end{array}} \right],\mathit{\boldsymbol{w}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{array}} \right] \end{array} $$ (19)

      由式(19)可知矩阵A不含有随机误差,则该矩阵的改正数矩阵为零矩阵。采用LTLS算法和WTLS算法解算,设置阈值为1×10-8,结果见表 5表 6。两种方法所得坐标估值和距离观测值估值完全一致,该实例表示为通用EIV模型时系数矩阵中待估计量较少,所以两个算法收敛速度相差不大。

      表 5  点P1和点P2的坐标估值/m

      Table 5.  Coordinate Estimates of P1 and P2 /m

      算法 坐标估值
      $ \hat x_1 $ $ \hat x_2 $ $ \hat x_3 $ $ \hat x_4 $
      LTLS算法 6.995 056 5 49.715 632 6.981 465 5 41.968 315 9
      WTLS算法 6.995 056 5 49.715 632 6.981 465 5 41.968 315 9

      表 6  距离观测值估值

      Table 6.  Estimation of Distance Observations

      算法 $ \hat l_1 $/mm $ \hat l_2 $/mm $ \hat l_3 $/mm $ \hat l_4 $/mm $ \hat l_5 $5/mm $ \hat l_6 $/mm $ \hat y_1 $/m $ \hat y_2 $/m
      LTLS算法 14.070 1 16.635 1 6.032 4 7.178 4 22.137 7 26.256 7 9.994 1 8.006 8
      WTLS算法 14.070 1 16.635 1 6.032 4 7.178 4 22.137 7 26.256 7 9.994 1 8.006 8
    • 本文将通用EIV函数模型展开后的二阶项纳入模型的常数项,将通用EIV模型表示为线性形式的GHM,推导出通用EIV模型的线性化整体最小二乘算法和近似精度估计公式。实验结果表明,通用EIV模型的LTLS算法与WTLS算法结果一致,验证了该算法的正确性。此外,LTLS算法估计精度公式和WTLS估计精度公式均为一阶近似精度,因此两种算法参数的估计精度相同。当通用EIV模型的待估量数量较多时,LTLS算法比WTLS计算效率更高,在处理海量数据时更具有优势。

参考文献 (19)

目录

    /

    返回文章
    返回