利用偏差改正的方差分量估计方法确定联合反演相对权比

王乐洋; 谷旺旺; 赵雄; 许光煜; 高华

doi:10.13203/j.whugis20200216

利用偏差改正的方差分量估计方法确定联合反演相对权比

doi: 10.13203/j.whugis20200216

王乐洋^{1, 2,},
谷旺旺¹,
赵雄³,
许光煜¹,
高华⁴

1.
东华理工大学测绘工程学院，江西南昌，330013
2.
自然资源部环鄱阳湖区域矿山环境监测与治理重点实验室，江西南昌，330013
3.
武汉大学测绘学院，湖北武汉，430079
4.
武汉大学测绘遥感信息工程国家重点实验室，湖北武汉，430079

基金项目:

国家自然科学基金 41874001

国家自然科学基金 41664001

国家自然科学基金 42174011

详细信息

作者简介:
王乐洋, 博士, 教授, 主要研究方向为大地测量反演及大地测量数据处理。wleyang@163.com

中图分类号: P223

Determination of Relative Weight Ratio of Joint Inversion Using Bias-Corrected Variance Component Estimation Method

1.
Faculty of Geomatics, East China University of Technology, Nanchang 330013, China
2.
Key Laboratory of Mine Environmental Monitoring and Improving Around Poyang Lake, MNR, Nanchang 330013, China
3.
School of Geodesy and Geomatics, Wuhan University, Wuhan 430079, China
4.
State Key Laboratory of Information Engineering in Surveying, Mapping and Remote Sensing, Wuhan University, Wuhan 430079, China

Funds:

The National Natural Science Foundation of China 41874001

The National Natural Science Foundation of China 41664001

The National Natural Science Foundation of China 42174011

More Information

Author Bio:
WANG Leyang, PhD, professor, majors in geodetic inversion and geodetic data processing.E-mail: wleyang@163.com

摘要: 在大地测量联合反演中，方差分量估计法用于确定相对权比时并没有考虑大地测量反演的病态性，利用正则化解代替最小二乘解会引入偏差，会造成方差分量估计不准确问题。针对此提出采用偏差改正方差分量估计方法，以消除正则化解引入偏差的影响，并基于残差的偏差改正方差分量估计与方差分量估计法进行模拟实验。结果表明，进行偏差改正后的方差分量估计法能够较好地反演出滑动分布情况，所提方法针对参数进行偏差改正的方差分量估计考虑了迭代初值引入的偏差，理论更为严密。并将所提方法用于Visso地震和Norcia地震反演中，验证了该方法的可靠性、合理性。
- 偏差改正 /
- 方差分量估计 /
- 相对权比 /
- 联合反演
Abstract: Objectives When using variance component estimation to determine the relative weight ratio, the least square solution is generally used as the initial value of the iteration. In geodetic joint inversion, the least squares method will cause ill-posed problems, so the regularized solution is used instead of the least square solution. Regularization introduces bias to reduce variance, but when using variance component estimation to determine the relative weight ratio, the influence of bias is not considered, and the introduction of bias will cause inaccurate variance component estimation. Methods This paper adopts the bias-corrected variance component estimation method to eliminate the influence of bias introduced by regularization.The residual-based bias-corrected variance component estimation and the variance component estimation method are used for simulation experiments, the Visso earthquake and Norcia earthquake are used for verification. Results and Conclusions Simulation experimental result shows that the variance component estimation method after bias correction can better reverse the slip distribution. The bias-corrected variance component estimation method takes into account the bias introduced by the iterative initial value, and the theory is more rigorous. Two real earthquakes results show that the bias correction is reasonable and advantageous.
- bias correction /
- variance component estimation /
- relative weight ratio /
- joint inversion

图 1 模拟地表观测点

Figure 1. Simulated Surface Observation Points

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图 2 模拟实验的滑移分布结果及其残差

Figure 2. Slip Distribution Results and Residuals in the Simulation Experiment

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图 3 3种方案反演的Visso地震滑动分布结果

Figure 3. Results of the Slip Distribution of the Visso Earthquake for Three Schemes

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图 4 3种方案反演的Norcia地震的滑动分布结果

Figure 4. Results of the Slip Distribution of the Norcia Earthquake for Three Schemes

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表 1 模拟实验的3种方案

Table 1. Three Schemes of Simulated Experiment

方案	方法
方案1	方差分量估计法确定相对权比和正则化参数
方案2	MSE求解正则化参数，方差分量估计法确定相对权比，迭代求解
方案3	偏差改正方差分量估计确定相对权比和正则化参数

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表 2 模拟实验反演地震滑动分布结果

Table 2. Inversion of Seismic Slip Distribution Results in Simulation Experiment

参数	预设参数值	方案1	方案2	方案3
相对权比		1∶0.210 8∶0.001 5	1∶0.060 9∶0.001	1∶0.209 3∶0.000 9
最大滑动量/m	1.444 8	1.398 0	1.409 9	1.421 4
平均滑动量/m	0.249 2	0.266 6	0.266 8	0.268 1
最大滑动角/（°）	50	51.065 5	50.961 5	51.041 2
矩震级（Mw）	6.518 6	6.538 1	6.538 3	6.539 8
地震矩/（10¹⁸ N·m）	6.727 5	7.197 6	7.202 4	7.238 9
RMS/mm		6.3	6.3	6.3

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表 3 Visso地震断层滑动参数

Table 3. Slip Parameters for the Visso Earthquake

方法	相对权比	最大滑动量/m	平均滑动量/m	平均滑动角/（°）	矩震级（Mw）	地震矩/（10¹⁸ N·m）	RMS/mm
方案1	1∶2.073 4∶0.002 6	0.605 6	0.194 8	-82.481 5	6.216 2	2.367 3	7.2
方案2	1∶0.000 83∶0.001 0	0.623 9	0.177 9	-68.742 8	6.189 9	2.161 8	16.2
方案3	1∶2.888 1∶0.001 0	0.692 6	0.213 7	-85.693 2	6.242 9	2.596 4	6.8
文献[20]		0.840 0		-67.400 0	6.190 0	2.150 0
文献[22]		0.900 0		-89.700 0	6.140 0	1.810 0
文献[23]		0.120 0		-81/-80	6.000 0	1.130 0
文献[24]					6.160 0	1.970 0
USGS				-89	6.100 0	1.840 0
GCMT				-94	6.100 0	1.610 0

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表 4 Norcia地震断层滑动参数

Table 4. Slip Parameters for the Norcia Earthquake

方法	相对权比	最大滑动量/m	平均滑动量/m	平均滑动角/(°)	矩震级（Mw）	地震矩/(10¹⁸ N·m)	RMS/mm
方案1	1∶5.268 4∶0.001 1	2.013 6	0.695 2	-87.342 6	6.584 4	8.446 2	13.4
方案2	1∶0.005 8∶0.01	2.484 4	0.732 6	-84.770 7	6.599 6	8.900 8	22.3
方案3	1∶4.196 4∶0.000 39	2.267 3	0.707 0	-84.894 7	6.589 3	8.590 2	12.7
文献[20]		3.440 0		-64.100 0	6.600 0	9.140 0
文献[22]		2.500 0			6.600 0	8.970 0
文献[23]		0.420 0		-90.000 0	6.400 0	4.430 0
文献[24]					6.590 0	8.460 0
USGS				-84.000 0	6.600 0	10.700 0
GCMT				-96.000 0	6.600 0	9.580 0

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大地测量反演问题是利用大地测量手段探测地震致灾机理的关键。随着观测技术的发展，用于反演的数据类型逐渐丰富，其中全球定位系统（global positioning system，GPS）数据具有高时间分辨率，而合成孔径干涉雷达（interferometric synthetic aperture radar，InSAR）数据具有高空间分辨率，为了提高反演的精度，通常联合GPS和InSAR两类数据进行大地测量联合反演^[1-5]。而大地测量联合反演的关键在于相对权比的确定，数据的权重体现了该类数据对于反演的贡献程度，因此一个相对合理的权比能够提高反演的精度。

文献[6]总结了目前较为常用的定权方法，将相对权比作为待求参数统一求解，根据先验信息确定相对权比，当相对权比为1∶1时进行等权处理，并采用赫尔默特方差分量估计法^[7-9]定权；文献[10]提出了确定联合反演中相对权比的两步法，并讨论了不同的目标函数对相对权比的影响；文献[11]研究了病态问题中方差分量估计的适用性，考虑到参数的偏差可能会大于参数本身，提出了对残差进行偏差改正的方差分量估计来确定相对权比，并利用均方误差（mean square error，MSE）方法确定正则化参数，通过迭代计算的方式，减弱正则化参数和方差分量之间的相互影响，准确估计出方差分量与正则化参数；文献[12]采用广义交叉验证法确定正则化参数，再利用方差分量估计法确定相对权比，并通过迭代的方式确定最优权比与正则化参数；文献[13]采用判别函数最小化法^[14-15]确定联合反演中的相对权比；文献[16]提出利用方差分量估计法同时确定相对权比与正则化参数，拓展了方差分量估计法的应用范围。在大地测量联合反演中，方差分量估计法仍然是目前最为常用的确定相对权比的方法。而在确定大地测量联合反演相对权比的过程中，通常没有考虑大地测量反演问题的病态性，直接利用正则化解代替最小二乘解进行方差分量估计，由于正则化解引入了偏差，此时正则化解的期望值并不为零。因此，针对以上问题，本文采用偏差改正方差分量估计方法同时确定联合反演的相对权比和正则化参数。

1. 偏差改正方差分量估计

在同震滑动分布反演中，地表同震形变量与断层滑动量之间为线性关系^[17-18]，可表示为：

d = G m + ε

式中， $d$ 表示观测向量（如InSAR视线向位移、GPS位移场等）； $G$ 表示格林函数矩阵； $m$ 为滑动参数； $ε$ 为InSAR数据或GPS数据等观测值的随机观测误差。

对于多类相互独立的地表形变观测数据，则式（1）可以表示为：

\{\begin{matrix} d_{1} = G_{1} m + ε_{1} \\ d_{2} = G_{2} m + ε_{2} \\ ⋮ \\ d_{n} = G_{n} m + ε_{n} \end{matrix}

在同震滑动分布反演中，为了得到更精细的滑动，通常将断层面划分为n个矩形单元，基于矩形位错模型计算矩形单元的单位走滑量和单位倾滑量引起地表k个观测点的形变值，构成k×2n的格林函数矩阵 $G$ 。断层面离散化处理后，会导致 $G$ 严重秩亏，此时式（1）的法矩阵病态，从而使滑动分布解不稳定。为了避免这种情况，可对断层的位错施加一定的约束，一方面增加虚拟观测数据避免系数矩阵的秩亏性，另一方面抑制相邻断层单元出现大的梯度变化^[17]。

本文采用拉普拉斯约束对断层单元进行平滑约束，使：

H m = 0

式中， $H$ 为拉普拉斯二阶平滑矩阵。联合式（2）和式（3），得到滑动分布联合反演公式为：

{[\begin{matrix} d_{1} & \begin{matrix} \begin{matrix} d_{2} & \dots \end{matrix} & d_{n} & 0 \end{matrix} \end{matrix}]}^{T} =

{[\begin{matrix} \begin{matrix} G_{1} & G_{2} & \dots \end{matrix} & G_{n} & H \end{matrix}]}^{T} m + ε

P = d i a g [\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{1}{σ_{1}^{2}} D_{1}^{- 1} & \begin{matrix} \frac{1}{σ_{2}^{2}} D_{2}^{- 1} & \dots \end{matrix} & \frac{1}{σ_{n}^{2}} D_{n}^{- 1} \end{matrix} & \frac{1}{α^{2}} I \end{matrix}]

式中， $P$ 为联合反演的权阵； $D_{i}$ 为各类数据的方差阵； $1 / σ_{1}^{2}$ 、 $1 / σ_{2}^{2}$ $\dots$ $1 / σ_{n}^{2}$ 表示各类观测数据的相对权重； $1 / α^{2}$ 表示模型平滑度与数据拟合度之间的相对权比。式（5）的最小二乘解为：

\begin{matrix} m_{α} = (G_{1}^{T} P_{1} G_{1} + G_{2}^{T} P_{2} G_{2} + \dots + G_{n}^{T} P_{n} G_{n} + \\ H^{T} P_{n + 1} {H)}^{- 1} (G_{1}^{T} P_{1} d_{1} + G_{2}^{T} P_{2} d_{2} + \dots + \\ G_{n}^{T} P_{n} d_{n}) \end{matrix}

采用方差分量估计法对式（5）进行迭代计算，可以求解各类观测值的方差分量，从而确定联合反演的相对权比与正则化参数。然而在滑动分布反演中，利用方差分量估计方法确定相对权比时需要初始值进行迭代，而未加入平滑约束的滑动分布解是不可靠的，故将有偏的滑动分布解作为初始值进行迭代运算。而此时需要考虑其偏差的影响，且已有文献并没考虑滑动分布解是有偏的，因此本文利用偏差改正的方差分量估计进行求解。这里仅列出GPS数据与InSAR数据联合反演的公式，误差方程可表示为：

\{\begin{array}{l} v_{1} = G_{1} m - d_{1} \\ v_{2} = G_{2} m - d_{2} \\ v_{3} = H m - 0 \end{array}

所求方差为：

\begin{matrix} D (v_{1}) = (G_{1} N^{- 1} N_{1} N^{- 1} G_{1}^{T} - 2 G_{1} N^{- 1} G_{1}^{T} + \\ P_{1}^{- 1}) σ_{1}^{2} + G_{1} N^{- 1} N_{2} N^{- 1} G_{1}^{T} σ_{2}^{2} + \\ G_{1} N^{- 1} N_{3} N^{- 1} G_{1}^{T} σ_{3}^{2} \end{matrix}

其中，

\{\begin{matrix} N_{1} = G_{1}^{T} P_{1} G_{1} \\ N_{2} = G_{2}^{T} P_{2} G_{2} \\ N_{3} = H^{T} P_{3} H \end{matrix}

N = N_{1} + N_{2} + N_{3}

根据方差分量估计公式，可得：

\begin{matrix} E (v_{1}^{T} P_{1} v_{1}) = (n_{1} + t r (N^{- 1} N_{1} N^{- 1} N_{1}) - \\ 2 t r (N^{- 1} N_{1})) σ_{1}^{2} + t r (N^{- 1} N_{2} N^{- 1} N_{1}) σ_{2}^{2} + \\ t r (N^{- 1} N_{3} N^{- 1} N_{1}) σ_{3}^{2} \end{matrix}

式中， $E$ （）表示期望运算； $t r$ 表示矩阵的求迹运算。

同理可得到 $E (v_{2}^{T} P_{2} v_{2})$ 与 $E (v_{3}^{T} P_{3} v_{3})$ 的表达式，将数学期望的符号去掉，则可以求出方差分量的估值，其矩阵形式为：

S \hat{θ} = W_{θ}

式中，

\hat{θ} = {[\begin{matrix} {\hat{σ}}_{1}^{2} & {\hat{σ}}_{2}^{2} & α^{2} \end{matrix}]}^{T}

W_{θ} = {[\begin{matrix} v_{1}^{T} P_{1} v_{1} & v_{2}^{T} P_{2} v_{2} & v_{3}^{T} P_{3} v_{3} \end{matrix}]}^{T}

S = [\begin{matrix} A & t r (N^{- 1} N_{2} N^{- 1} N_{1}) & t r (N^{- 1} N_{3} N^{- 1} N_{1}) \\ B & t r (N^{- 1} N_{3} N^{- 1} N_{2}) \\ C \end{matrix}]

其中， $A = n_{1} + t r (N^{- 1} N_{1} N^{- 1} N_{1}) - 2 t r (N^{- 1} N_{1})$ ； $B = n_{2} + t r (N^{- 1} N_{2} N^{- 1} N_{2}) - 2 t r (N^{- 1} N_{2})$ ；C= $n_{3} + t r (N^{- 1} N_{3} N^{- 1} N_{3}) - 2 t r (N^{- 1} N_{3})$ 。

滑动分布解的偏差为：

β = - N^{- 1} N_{3} \hat{m}

式中， $\hat{m}$ 为无偏估计值，由于其无法获取，故采用正则化解替代，从而得到滑动分布解的偏差计算如下：

β_{α} = - N^{- 1} N_{3} m_{α}

由于每次迭代计算时，所代入的滑动分布解都是有偏的，因此需要进行偏差改正，改正后的滑动分布解公式为：

m = m_{α} - β_{α}

将偏差改正的滑动分布解作为初值进行迭代，每次迭代后都进行偏差改正，从而得到偏差改正的方差分量估计。

文献[11]提出对参数的残差进行偏差改正，其中参数表达式为：

\begin{array}{l} m_{λ} = (G_{1}^{T} P_{1} G_{1} + G_{2}^{T} P_{2} G_{2} + \\ λ H^{T} {H)}^{- 1} (G_{1}^{T} P_{1} d_{1} + G_{2}^{T} P_{2} d_{2}) \end{array}

得到参数残差的偏差为：

\{\begin{array}{l} E (v_{1}) = - λ G_{1} N_{λ}^{- 1} R m_{λ} \\ N_{λ}^{- 1} = (G_{1}^{T} P_{1} G_{1} + G_{2}^{T} P_{2} G_{2} + λ H^{T} H) \end{array}

式中， $λ$ 表示正则化参数； $R = H^{T} H$ 为正则化矩阵。

根据方差分量估计公式，可得：

\begin{matrix} E (v_{1}^{T} P_{1} v_{1}) = t r (P_{1} D (v_{1})) + E (v_{1}^{T}) P_{1} E (v_{1}) = \\ (n_{1} - 2 t r (N_{λ}^{- 1} N_{1}) + t r (N_{λ}^{- 1} N_{1} N_{λ}^{- 1} N_{1})) σ_{1}^{2} + \\ t r (N_{λ}^{- 1} N_{2} N_{λ}^{- 1} N_{1}) σ_{2}^{2} + \\ λ^{2} m_{λ}^{T} R^{T} N_{λ}^{- 1} N_{1} N_{λ}^{- 1} R m_{λ} \end{matrix}

同理可得 $E (v_{2}^{T} P_{2} v_{2})$ 表达式。将式（16）数学期望的符号去掉，则可以求出方差分量的估值，得到其矩阵形式为：

S_{1} {\hat{θ}}_{1} + M_{1} = W_{1}

式中，

S_{1} = [\begin{matrix} D & t r (N_{λ}^{- 1} N_{1} N_{λ}^{- 1} N_{2}) \\ E \end{matrix}]

其中， $D = n_{1} - 2 t r (N_{λ}^{- 1} N_{1}) + t r (N_{λ}^{- 1} N_{1})^{2}$ ；E= $n_{2} - 2 t r (N_{λ}^{- 1} N_{2}) + t r (N_{λ}^{- 1} N_{2})^{2}$ 。

{\hat{θ}}_{1} = {[\begin{matrix} σ_{1}^{2} & σ_{2}^{2} \end{matrix}]}^{T}

M_{1} = [\begin{matrix} λ^{2} m_{λ}^{T} R^{T} N_{λ}^{- 1} N_{1} N_{λ}^{- 1} R m_{λ} \\ λ^{2} m_{λ}^{T} R^{T} N_{λ}^{- 1} N_{2} N_{λ}^{- 1} R m_{λ} \end{matrix}]

W_{1} = {[\begin{matrix} v_{1}^{T} P_{1} v_{1} & v_{2}^{T} P_{2} v_{2} \end{matrix}]}^{T}

考虑到正则化参数会放大方差分量，采用MSE法求解正则化参数，并通过迭代求解得到最后的正则化参数和方差分量，迭代步骤如下：（1）采用MSE法确定滑动分布反演的正则化参数；（2）利用获得的正则化参数求得滑动分布解的有偏估计量；（3）计算出残差的偏差，对残差进行偏差改正，利用偏差改正后方差分量估计求得各类数据的方差分量；（4）根据确定的方差分量得到具有不同权比的滑动分布解，以此作为初值重复步骤（1）~（3），直到均方误差收敛，迭代停止。

为了更好地比较不同方差分量估计的适用性和合理性，采用3种方案进行模拟实验，如表 1所示。

表 1 模拟实验的3种方案

Table 1. Three Schemes of Simulated Experiment

方案	方法
方案1	方差分量估计法确定相对权比和正则化参数
方案2	MSE求解正则化参数，方差分量估计法确定相对权比，迭代求解
方案3	偏差改正方差分量估计确定相对权比和正则化参数

4. 结语

本文分别采用了方差分量估计、对残差进行偏差改正的方差分量估计和对参数进行偏差改正方差分量估计法3种方法确定联合反演的相对权比和正则化参数，验证了3种方法的合理性与可行性，且进行偏差改正后的结果优于未进行偏差改正的方差分量估计法。针对不同偏差改正的方式在不同地震中的应用，其反演结果存在差异。针对残差进行偏差改正的初衷在于参数的偏差可能大于参数本身，但通过本文的实验表明，对参数进行偏差改正时，其反演结果改正较为显著，这也表明了偏差改正方差分量估计法在滑动分布反演中具有一定优势。

参考文献 (24)

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利用偏差改正的方差分量估计方法确定联合反演相对权比

doi: 10.13203/j.whugis20200216

作者简介:
王乐洋, 博士, 教授, 主要研究方向为大地测量反演及大地测量数据处理。wleyang@163.com

Determination of Relative Weight Ratio of Joint Inversion Using Bias-Corrected Variance Component Estimation Method

Author Bio:
WANG Leyang, PhD, professor, majors in geodetic inversion and geodetic data processing.E-mail: wleyang@163.com

计量

利用偏差改正的方差分量估计方法确定联合反演相对权比

doi: 10.13203/j.whugis20200216

作者简介:
王乐洋, 博士, 教授, 主要研究方向为大地测量反演及大地测量数据处理。wleyang@163.com

English Abstract

Determination of Relative Weight Ratio of Joint Inversion Using Bias-Corrected Variance Component Estimation Method

Author Bio:
WANG Leyang, PhD, professor, majors in geodetic inversion and geodetic data processing.E-mail: wleyang@163.com

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3.1. Visso地震

3.2. Norcia地震

3.3. 实验分析

目录

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doi: 10.13203/j.whugis20200216

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doi: 10.13203/j.whugis20200216

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3.2. Norcia地震

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