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多阶段动态时滞动力学模型的COVID-19传播分析

张李盈 李东宸 任景莉

张李盈, 李东宸, 任景莉. 多阶段动态时滞动力学模型的COVID-19传播分析[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2020, 45(5): 658-666. doi: 10.13203/j.whugis20200206
引用本文: 张李盈, 李东宸, 任景莉. 多阶段动态时滞动力学模型的COVID-19传播分析[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2020, 45(5): 658-666. doi: 10.13203/j.whugis20200206
ZHANG Liying, LI Dongchen, REN Jingli. Analysis of COVID-19 by Discrete Multi-stage Dynamics System with Time Delay[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2020, 45(5): 658-666. doi: 10.13203/j.whugis20200206
Citation: ZHANG Liying, LI Dongchen, REN Jingli. Analysis of COVID-19 by Discrete Multi-stage Dynamics System with Time Delay[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2020, 45(5): 658-666. doi: 10.13203/j.whugis20200206

多阶段动态时滞动力学模型的COVID-19传播分析

doi: 10.13203/j.whugis20200206
基金项目: 

中国工程院重大咨询研究项目 2020-ZD-16

国家自然科学基金 11771407

详细信息
    作者简介:

    张李盈, 博士, 讲师, 主要从事应用数学方法、渗流理论及应用研究。zhangly@zzu.edu.cn

    通讯作者: 任景莉, 博士, 教授, 河南省特聘教授。renjl@zzu.edu.cn
  • 中图分类号: P208;O29

Analysis of COVID-19 by Discrete Multi-stage Dynamics System with Time Delay

Funds: 

The Major Projects of Consultation and Research of the Chinese Academy of Engineering 2020-ZD-16

the National Natural Science Foundation of China 11771407

More Information
    Author Bio:

    ZHANG Liying, PhD, lecturer, specializes in methods of applied mathematics, percolation theory and applications. E-mail:zhangly@zzu.edu.cn

    Corresponding author: REN Jingli, PhD, professor. E-mail: renjl@zzu.edu.cn
  • 摘要: 截至2020-04-21,全球累计确诊新型冠状病毒肺炎(coronavirus disease 2019,COVID-19)病例数已超过245万人,死亡病例数超过17万人。根据疫情的发展过程,首先建立了改进的离散时间多阶段时滞动力学模型,以提取疫情的传播特征,解析防控干预的影响(防控干预效果)和医疗资源可用率的影响,并基于该模型,提出一种分析COVID-19的经验传递动力学方法。其中,经验提取是基于该模型与WHO(World Health Organization)发布的疫情数据,通过参数反演实现。然后利用该方法,分析了意大利、西班牙、德国和美国等国家疫情所处的阶段,预测不同措施下各国疫情的可能走向,给出了快速控制的建议。分析结果显示,中国疫情已基本得到控制,西班牙、德国、意大利已达到峰值,美国疫情正处于紧急防御期。依据经验传递动力学方法,建议西班牙、德国、意大利三国继续坚持目前的防控干预方式,美国加大防控力度,尽快使疫情进入可控阶段。
  • 图  1  感染-痊愈过程

    Figure  1.  Infection-Recovery Process

    图  2  部分校准数据

    Figure  2.  PartialCalibration Data

    图  3  模型拟合的3类人群数量变化

    Figure  3.  Number Variation of Three Kinds of People Fitted by the Model

    图  4  现存治愈人数

    Figure  4.  Number of Cured People

    图  5  现存感染人数

    Figure  5.  Number of Infected People

    图  6  西班牙、意大利、德国、美国疫情预测曲线

    Figure  6.  Epidemic Prediction Curves in Spain, Italy, Germany and the United States

    图  7  第一阶段模型拟合结果

    Figure  7.  The First Stage Model Fitting Results

    表  1  所有参数的定义

    Table  1.   Definitions of All Parameters

    参数 定义 取值 来源
    δ 治愈率 0.95 文献[5]
    t1 潜伏期时滞 7 文献[4]
    t2 治疗观察期时滞 14 文献[20]
    r1 第二阶段指数递减速率(确诊感染者) 0.96 参数估计
    r2 第三阶段指数递减速率(确诊感染者) 1.86 参数估计
    r3 第二阶段指数递减速率(潜伏期感染者) 1.61 参数估计
    r4 第三阶段指数递减速率(潜伏期感染者) 1.89 参数估计
    c0(θ11) 第一阶段确诊感染者一天内接触到的易感者数量 5.29 参数估计
    c1 第二阶段确诊感染者一天内接触到的易感者数量的最小值 1.91 参数估计
    c2 第二阶段后确诊感染者一天内接触到的易感者数量的最小值 0.47 参数估计
    c3(θ21) 第一阶段潜伏期感染者一天内接触到的易感者数量 8.11 参数估计
    c4 第二阶段潜伏期感染者一天内接触到的易感者数量的最小值 1.88 参数估计
    c5 第二阶段后潜伏期感染者一天内接触到的易感者数量的最小值 0.96 参数估计
    β11 医疗防护物资匮乏时,易感者接触确诊感染者得病的概率 0.09 参数估计
    β21 医疗防护物资匮乏时,易感者接触潜伏期感染者得病的概率 0.055 参数估计
    β12 医疗防护物资充足时,易感者接触确诊感染者得病的概率 0.015 参数估计
    β22 医疗防护物资充足时,易感者接触潜伏期感染者得病的概率 0.022 参数估计
    θ12 实施隔离策略后,确诊感染者一天内接触到的易感者数量 [1.92, 5.29] 式(1)
    θ22 实施隔离策略后,潜伏期感染者一天内接触到的易感者数量 [0.48, 1.92] 式(2)
    θ13 实施强制隔离策略后,确诊感染者一天内接触到的易感者数量 [1.89, 8.11] 式(1)
    θ23 实施强制隔离策略后,潜伏期感染者一天内接触到的易感者数量 [0.97, 1.89] 式(2)
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    表  2  部分校准数据

    Table  2.   Partial Calibration Data

    日期 实测数据/人 校准数据/人
    02-05 26 210 29 975
    02-06 28 874 33 890
    02-07 31 574 37 909
    02-08 33 576 41 602
    02-09 35 802 45 247
    02-10 37 688 48 560
    02-11 38 583 51 813
    下载: 导出CSV
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出版历程
  • 收稿日期:  2020-04-30
  • 刊出日期:  2020-05-05

多阶段动态时滞动力学模型的COVID-19传播分析

doi: 10.13203/j.whugis20200206
    基金项目:

    中国工程院重大咨询研究项目 2020-ZD-16

    国家自然科学基金 11771407

    作者简介:

    张李盈, 博士, 讲师, 主要从事应用数学方法、渗流理论及应用研究。zhangly@zzu.edu.cn

    通讯作者: 任景莉, 博士, 教授, 河南省特聘教授。renjl@zzu.edu.cn
  • 中图分类号: P208;O29

摘要: 截至2020-04-21,全球累计确诊新型冠状病毒肺炎(coronavirus disease 2019,COVID-19)病例数已超过245万人,死亡病例数超过17万人。根据疫情的发展过程,首先建立了改进的离散时间多阶段时滞动力学模型,以提取疫情的传播特征,解析防控干预的影响(防控干预效果)和医疗资源可用率的影响,并基于该模型,提出一种分析COVID-19的经验传递动力学方法。其中,经验提取是基于该模型与WHO(World Health Organization)发布的疫情数据,通过参数反演实现。然后利用该方法,分析了意大利、西班牙、德国和美国等国家疫情所处的阶段,预测不同措施下各国疫情的可能走向,给出了快速控制的建议。分析结果显示,中国疫情已基本得到控制,西班牙、德国、意大利已达到峰值,美国疫情正处于紧急防御期。依据经验传递动力学方法,建议西班牙、德国、意大利三国继续坚持目前的防控干预方式,美国加大防控力度,尽快使疫情进入可控阶段。

English Abstract

张李盈, 李东宸, 任景莉. 多阶段动态时滞动力学模型的COVID-19传播分析[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2020, 45(5): 658-666. doi: 10.13203/j.whugis20200206
引用本文: 张李盈, 李东宸, 任景莉. 多阶段动态时滞动力学模型的COVID-19传播分析[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2020, 45(5): 658-666. doi: 10.13203/j.whugis20200206
ZHANG Liying, LI Dongchen, REN Jingli. Analysis of COVID-19 by Discrete Multi-stage Dynamics System with Time Delay[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2020, 45(5): 658-666. doi: 10.13203/j.whugis20200206
Citation: ZHANG Liying, LI Dongchen, REN Jingli. Analysis of COVID-19 by Discrete Multi-stage Dynamics System with Time Delay[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2020, 45(5): 658-666. doi: 10.13203/j.whugis20200206
  • 截至2020-04-21, 全球受新型冠状病毒肺炎(coronavirus disease 2019,COVID-19)疫情的影响,累计确诊病例数已超过245万人,累计死亡数超过17万人[1]。目前疫情已严重威胁到人类的生命安全,造成了巨大的经济损失, 因此,有效提取疫情的扩散特征,解析防控措施对疫情的干预效果,从而准确预报疫情发展的走势和关键节点,是目前亟待解决的重大问题。

    COVID-19的建模分析作为一个热点问题, 已受到学者们的广泛关注。在疫情早期,文献[2]利用前期的有限数据快速建立了传染病网络分析模型,为疫情防控提供了早期参考;随后,文献[3]又加入部分更新数据,借助数据挖掘方法,建立了离散动力学分析模型;在此基础上,文献[4]引入时滞项, 建立了时滞动力学模型;文献[5]进一步基于传播动力学方法分析了COVID-19疫情的流行趋势和基本参数;文献[6]基于中国疫情的中后期数据,建立了非线性回归模型;文献[7]定量评估了COVID-19疫情暴发最初50天内,中国传播控制措施的效果;文献[8]发现,COVID-19患者出现症状前感染性最强; 文献[9]基于控制论建立了一个COVID-19动态感染模型, 用于模拟COVID-19在一个城市的发展趋势和感染机理,计算封闭城市的理论感染人数等。现有研究从多角度、多方面分析了疫情的发展,预测了疫情的走势,为实际防控提供了重要的参考信息。此次疫情可以用SIR(susceptible, infectious, recovered)模型[10-11]、SIRS(susceptible,infectious,recovered,susceptible)模型[12-14]、SEIR(susceptible, exposed, infectious, recovered)模型[15-17]等经典传染病动力学模型进行建模分析, 其主要思想是将人群分为易感者、潜伏者、感染者和康复者等群体,并通过某一群体转移到另一群体的传播学机制建立微分方程组,进而揭示疫情传播规律。由于COVID-19具有潜伏期, 潜伏期感染者、确诊感染者和治愈者之间存在时滞关系,而经典的传染病模型既不能反映这种时滞关系,也不能反映政策和医疗资源等因素对中国疫情的影响,因此只有将干预措施、医疗情况和时滞关系融入经典的流行病模型中, 才能准确地预测中国COVID-19的流行趋势、达峰时间和结束时间。

    基于已有的研究,本文综合考虑了疫情发展特征、干预影响、医疗条件、经验传递等因素,结合中国疫情发展过程,对经典流行病动力学模型进行了改进,建立了一种离散时间多阶段动态时滞动力学模型。该模型将COVID-19(截至目前)的发生发展分为6个阶段暴发初期(无干预、防护、医疗资源充足)、快速暴发期(感染人数指数增长、隔离逐渐加强、医疗资源逐渐短缺)、紧急防御期(感染人数指数增长、政府干预禁止人口跨地区流动、重大突发公共卫生事件一级响应)、强烈干预控制期(全面干预、严格防护、区域内做好防护减少流动)、转归期(日新增感染人数明显下降,疾病控制已初显成效,防控措施依然严格)和相持期(日新增感染人数已降到百位数量级,疫情已基本得到控制,防控响应等级降低,部分开放人员流动,但个体依然坚持隔离防护)。未来随着疫情完全被控制或者疫苗研制成功,人们生活将恢复到疫情发生前的常规状态。由于COVID-19具有潜伏期, 患者从确诊到治愈还需要住院治疗和观察, 潜伏期感染者、确诊感染者和治愈者之间存在时滞关系[4]。本文通过不同模型和参数来表达不同阶段,基于WHO(World Health Organization)官方数据(中国),反演了模型参数(参数中蕴含了防控隔离效果),并参考了文献[6]的结论部分进行校准, 得到离散时间多阶段时滞动力学模型。

    国外COVID-19疫情暴发初期,民众没有意识到严重性,不够重视, 同时确诊检测不及时, 造成了记录数据与实际感染人数差异较大, 对疫情分析造成了困难[18-19]。针对这种现状,本文结合国外疫情数据记录(采取“封城”措施后数据可能失真),将基于中国真实疫情数据建立的多阶段动态模型移植到国外疫情的分析中,得到了意大利、美国、德国和西班牙四国的COVID-19疫情趋势、当前所处的阶段、未来疫情的可能走向。结果显示,中国第一阶段模型恰能很好地拟合意大利、西班牙和德国“封城”前的感染人数和WHO官方公布的美国现存感染人数。然后依据中国防控疫情的措施和效果, 讨论了意大利、德国、西班牙三国在采用3种不同防控措施下未来确诊人数的可能走势、峰值出现的时间区间与数量区间, 充分挖掘疫情防控过程中积累的宝贵经验、修正当地可能失真的数据记录,为正处于暴发关键期的国家提供较为准确的疫情发展预测和防控建议。

    • 结合COVID-19的传播特点, 模型假设如下:(1)潜伏期感染者和确诊感染者可以传染易感者, 确诊感染者比潜伏期感染者更具传染性;(2)治愈者虽然存在再次感染的风险, 但实例较少, 在模型中不予考虑;(3)所有潜伏期感染者在出现症状后都能去医院检测就诊并变成确诊感染者, 且确诊后能立即住院;(4)在隔离阶段, 所有人都接受隔离;(5)确诊感染者在出院后3天内体温正常,且复验为阴性时转换为治愈者。

    • S(t)表示易感者在t时刻的现存人数;E(t)表示潜伏期感染者在t时刻的现存人数;I(t)表示确诊感染者在t时刻的现存人数, 由于官方公布的数据中不包含潜伏期感染者, 本文默认现存感染人数等价于现存确诊人数;R(t)表示治愈者在t时刻的累计人数。治愈者虽然存在再次感染的风险, 但实例较少, 在模型中不予考虑。

      感染者出现症状前有t1天的潜伏期, 确诊后变成确诊感染者, 经过t2天的治疗观察期后变成治愈者, 即t时刻确诊的感染者于t-t1时刻变成潜伏期感染者, t时刻治愈的感染者于t-t1-t2时刻变成潜伏期感染者, 于t-t2时刻变成确诊感染者。以上感染至痊愈的过程可以总结为图 1

      图  1  感染-痊愈过程

      Figure 1.  Infection-Recovery Process

      疫情暴发后,所有居民居家隔离,患者集中隔离治疗,直接影响了感染者的接触人数。假设确诊感染者一天内接触到的易感者数量为θ1(t),潜伏期感染者一天内接触到的易感者数量为θ2(t),两者都是关于时间t的递减函数且具有指数形式[3],医疗资源对疫情传播的影响系数为β表 1给出了本文所有参数的定义。θ1(t)、θ2(t)的计算如下:

      $$ {\theta _1}\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{c_0}, 第一阶段, 记为{\theta _{11}}}\\ {\left( {{c_0} - {c_1}} \right){{\rm{e}}^{ - {r_1}t - 15}} + {c_1}, 第二阶段, 记为{\theta _{12}}}\\ {\left( {{c_1} - {c_2}} \right){{\rm{e}}^{ - {r_2}t - 22}} + {c_2}, 其他, 记为{\theta _{13}}} \end{array}} \right. $$ (1)
      $$ {\theta _2}\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{c_3}, 第一阶段, 记为{\theta _{21}}}\\ {\left( {{c_3} - {c_4}} \right){{\rm{e}}^{ - {r_3}t - 15}} + {c_4}, 第二阶段, 记为{\theta _{22}}}\\ {\left( {{c_4} - {c_5}} \right){{\rm{e}}^{ - {r_4}t - 22}} + {c_5}, 其他, 记为{\theta _{23}}} \end{array}} \right. $$ (2)

      表 1  所有参数的定义

      Table 1.  Definitions of All Parameters

      参数 定义 取值 来源
      δ 治愈率 0.95 文献[5]
      t1 潜伏期时滞 7 文献[4]
      t2 治疗观察期时滞 14 文献[20]
      r1 第二阶段指数递减速率(确诊感染者) 0.96 参数估计
      r2 第三阶段指数递减速率(确诊感染者) 1.86 参数估计
      r3 第二阶段指数递减速率(潜伏期感染者) 1.61 参数估计
      r4 第三阶段指数递减速率(潜伏期感染者) 1.89 参数估计
      c0(θ11) 第一阶段确诊感染者一天内接触到的易感者数量 5.29 参数估计
      c1 第二阶段确诊感染者一天内接触到的易感者数量的最小值 1.91 参数估计
      c2 第二阶段后确诊感染者一天内接触到的易感者数量的最小值 0.47 参数估计
      c3(θ21) 第一阶段潜伏期感染者一天内接触到的易感者数量 8.11 参数估计
      c4 第二阶段潜伏期感染者一天内接触到的易感者数量的最小值 1.88 参数估计
      c5 第二阶段后潜伏期感染者一天内接触到的易感者数量的最小值 0.96 参数估计
      β11 医疗防护物资匮乏时,易感者接触确诊感染者得病的概率 0.09 参数估计
      β21 医疗防护物资匮乏时,易感者接触潜伏期感染者得病的概率 0.055 参数估计
      β12 医疗防护物资充足时,易感者接触确诊感染者得病的概率 0.015 参数估计
      β22 医疗防护物资充足时,易感者接触潜伏期感染者得病的概率 0.022 参数估计
      θ12 实施隔离策略后,确诊感染者一天内接触到的易感者数量 [1.92, 5.29] 式(1)
      θ22 实施隔离策略后,潜伏期感染者一天内接触到的易感者数量 [0.48, 1.92] 式(2)
      θ13 实施强制隔离策略后,确诊感染者一天内接触到的易感者数量 [1.89, 8.11] 式(1)
      θ23 实施强制隔离策略后,潜伏期感染者一天内接触到的易感者数量 [0.97, 1.89] 式(2)

      式中,c0c1c2c3c4c5r1r2r3r4的定义可参见表 1

      第一阶段(2020-01-14—2020-01-27,暴发初期):全国处于春运高峰时期, 未实施全面隔离; 同时2020-01-22武汉“封城”, 禁止市内和市外人员流动。综合考虑这两方面因素的影响, 设定此时确诊感染者的传染系数为β11, 有效接触人数为θ11, 潜伏期感染者的传染系数为β21, 有效接触人数为θ21,据此建立如下第一阶段时滞离散动力学模型(单位:d):t时刻到t+1时刻易感者的变化量为t时刻潜伏期感染者和确诊感染者感染的人数之差,计算如下:

      $$ S\left( {t + 1} \right) - S\left( t \right) = - {\beta _{11}}{\theta _{11}}I\left( t \right) - {\beta _{21}}{\theta _{21}}E\left( t \right) $$ (3)

      t时刻到t+1时刻潜伏期感染者的变化量为t时刻潜伏期感染者和确诊感染者感染的人数之和减去t-t1时刻成为潜伏期感染者、经过潜伏期变成确诊感染者的人数之和,计算如下:

      $$ \begin{array}{l} E\left( {t + 1} \right) - E\left( t \right) = {\beta _{11}}{\theta _{11}}I\left( t \right) + {\beta _{21}}{\theta _{21}}E\left( t \right) - \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;{\beta _{11}}{\theta _{11}}I\left( {t - {t_1}} \right) - {\beta _{21}}{\theta _{21}}E\left( {t - {t_1}} \right) \end{array} $$ (4)

      t时刻确诊感染者的变化量为t-t1时刻成为潜伏期感染者、经过潜伏期变成确诊感染者的人数之和,减去t-t1-t2时刻成为潜伏期感染者、经过潜伏期和治疗期变成治愈者的人数之和,计算如下:

      $$ \begin{array}{l} I\left( {t + 1} \right) - I\left( t \right) = {\beta _{11}}{\theta _{11}}I\left( {t - {t_1}} \right) + {\beta _{21}}{\theta _{21}}E\left( {t - {t_1}} \right) - \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\theta {\beta _{11}}{\theta _{11}}I\left( {t - {t_1} - {t_2}} \right) - {\beta _{21}}{\theta _{21}}E\left( {t - {t_1} - {t_2}} \right) \end{array} $$ (5)
      $$ \begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{}}R\left( {t + 1} \right) - R\left( t \right) = \theta {\beta _{11}}{\theta _{11}}I\left( {t - {t_1} - {t_2}} \right) - }\\ {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\beta _{21}}{\theta _{21}}E\left( {t - {t_1} - {t_2}} \right)} \end{array} $$ (6)

      第二阶段(2020-01-29—2020-02-04,快速暴发期):国家采取强制隔离措施, 停止一切聚集性活动, 感染者有效接触人数降低为θ12θ22, 但医疗物资紧缺, 传染系数不变,因此这一阶段S(t)、E(t)的表达式变为:

      $$ S\left( {t + 1} \right) - S\left( t \right) = - {\beta _{11}}{\theta _{12}}I\left( t \right) - {\beta _{21}}{\theta _{22}}E\left( t \right){\rm{}} $$ (7)
      $$ \begin{array}{l} E\left( {t + 1} \right) - E\left( t \right) = {\beta _{11}}{\theta _{12}}I\left( t \right) + {\beta _{21}}{\theta _{22}}E\left( t \right) - \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\beta _{11}}{\theta _{11}}I\left( {t - {t_1}} \right) - {\beta _{21}}{\theta _{21}}E\left( {t - {t_1}} \right) \end{array} $$ (8)

      第三阶段(2020-02-05—2020-02-11,紧急防御期):国家加大隔离力度, 感染者有效接触人数降低为θ13θ23, 雷神山医院、火神山医院、方舱医院等建成并投入使用, 医疗物资短缺的情况出现好转, 大量潜伏期感染者出现症状, 传染系数降低为β12β22。因此,这一阶段S(t)、E(t)、I(t)的表达式变为:

      $$ S\left( {t + 1} \right) - S\left( t \right) = - {\beta _{12}}{\theta _{13}}I\left( t \right) - {\beta _{22}}{\theta _{23}}E\left( t \right) $$ (9)
      $$ \begin{array}{l} E\left( {t + 1} \right) - E\left( t \right) = {\beta _{12}}{\theta _{13}}I\left( t \right) + {\beta _{22}}{\theta _{23}}E\left( t \right) - \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\beta _{11}}{\theta _{12}}I\left( {t - {t_1}} \right) - {\beta _{21}}{\theta _{22}}E\left( {t - {t_1}} \right) \end{array} $$ (10)
      $$ \begin{array}{l} I\left( {t + 1} \right) - I\left( t \right) = {\beta _{11}}{\theta _{12}}I\left( {t - {t_1}} \right) + {\beta _{21}}{\theta _{22}}E\left( {t - {t_1}} \right) - \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\theta {\beta _{11}}{\theta _{11}}I\left( {t - {t_1} - {t_2}} \right) - {\beta _{21}}{\theta _{21}}E\left( {t - {t_1} - {t_2}} \right) \end{array} $$ (11)

      第四阶段(2020-02-12—2020-02-18,强烈干预控制期):疫情出现峰值, 潜伏期感染者人数急剧减少,隔离力度不变, 感染者有效接触人数不变, 传染系数不变。因此,这一阶段E(t)、I(t)的表达式变为:

      $$ \begin{array}{l} E\left( {t + 1} \right) - E\left( t \right) = {\beta _{12}}{\theta _{13}}I\left( t \right) + {\beta _{22}}{\theta _{23}}E\left( t \right) - \\ \;\;\;\;\;{\beta _{12}}{\theta _{13}}I\left( {t - {t_1}} \right) - {\beta _{22}}{\theta _{23}}E\left( {t - {t_1}} \right) \end{array} $$ (12)
      $$ \begin{array}{l} I\left( {t + 1} \right) - I\left( t \right) = {\beta _{12}}{\theta _{13}}I\left( {t - {t_1}} \right) + \\ {\beta _{22}}{\theta _{23}}E\left( {t - {t_1}} \right) - \theta {\beta _{11}}{\theta _{11}}I\left( {t - {t_1} - {t_2}} \right) - \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\beta _{21}}{\theta _{21}}E\left( {t - {t_1} - {t_2}} \right) \end{array} $$ (13)

      第五阶段(2020-02-19—2020-02-25,转归期):医疗资源较为充足, 感染者和疑似感染者得到了精确的隔离治疗,防控强度不变。这一阶段现存感染人数开始下降, 潜伏期感染者人数保持较低水平,日新增感染人数已降到百位数量级,疫情基本得到控制。此时,模型中I(t)、R(t)的表达式变为:

      $$ \begin{array}{l} I\left( {t + 1} \right) - I\left( t \right) = {\beta _{12}}{\theta _{13}}I\left( {t - {t_1}} \right) + {\beta _{22}}{\theta _{23}}E\left( {t - {t_1}} \right) - \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\theta {\beta _{12}}{\theta _{12}}I\left( {t - {t_1} - {t_2}} \right) - {\beta _{22}}{\theta _{22}}E\left( {t - {t_1} - {t_2}} \right) \end{array} $$ (14)
      $$ \begin{array}{l} {\rm{}}R\left( {t + 1} \right) - R\left( t \right) = \theta {\beta _{12}}{\theta _{12}}I\left( {t - {t_1} - {t_2}} \right) - \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\beta _{22}}{\theta _{22}}E\left( {t - {t_1} - {t_2}} \right) \end{array} $$ (15)

      第六阶段(2020-02-26—2020-03下旬,相持期):在保障医疗资源充足的情况下, 保持最高级别隔离强度与防控方式一段时间后,COVID-19感染人数快速下降。这一阶段,模型中I(t)、R(t)的表达式变为:

      $$ \begin{array}{l} I\left( {t + 1} \right) - I\left( t \right) = {\beta _{12}}{\theta _{13}}I\left( {t - {t_1}} \right) + {\beta _{22}}{\theta _{23}}E\left( {t - {t_1}} \right) - \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\theta {\beta _{12}}{\theta _{13}}I\left( {t - {t_1} - {t_2}} \right) - {\beta _{22}}{\theta _{23}}E\left( {t - {t_1} - {t_2}} \right) \end{array} $$ (16)
      $$ \begin{array}{l} R\left( {t + 1} \right) - R\left( t \right) = \theta {\beta _{12}}{\theta _{13}}I\left( {t - {t_1} - {t_2}} \right) - \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\beta _{22}}{\theta _{23}}E\left( {t - {t_1} - {t_2}} \right) \end{array} $$ (17)

      上述6个模型之间的区别是系数不同, 不同的政策和实际情况决定了感染者的传染系数和有效接触人数, 也分别对应了不同阶段。进一步利用建立的离散多阶段时滞动力学模型分析了意大利、西班牙和德国的疫情发展情况,并且分别讨论不采取任何措施、采取和中国一样的防控措施和采取介于两者之间的措施会出现的不同情况。结果分析如下:(1)不采取任何措施。意大利、德国和西班牙COVID-19传播模型和系数与中国第一阶段相同。默认潜伏期和治疗期与中国相同, 但意大利治愈率为89.8%, 西班牙治愈率为90.3%, 美国治愈率为94.62%,德国治愈率为99.5%[1]。(2)采取和中国一样的防控措施。“封城”前, 3个国家的COVID-19第一阶段传播模型和系数与中国第一阶段相同; “封城”后, 3个国家第二、三、四、五阶段模型与系数和中国对应的阶段传播模型与系数相同, 即采取和中国一样严格的“封城”措施、自我隔离措施和集中治疗措施, 医疗物资紧缺的现象也将在“封城”两周内好转。(3)采取强度介于两者之间的措施。“封城”前, 3个国家COVID-19第一阶段传播模型和系数与中国第一阶段相同; “封城”后, 居民自我隔离效果较差, “封城”措施没有中国严格, 医疗物资紧缺现象未能有效改善, 意大利模型的第二、三、四、五阶段传染系数和接触人数都高于对应的中国模型, 但低于中国第一阶段模型。

      美国COVID-19疫情形势十分严峻。截至2020-03-25, 美国还未在全国范围内实施严格的隔离措施, 医疗物资也十分紧缺, 有更多的COVID-19患者没有参与检测。本文只针对官方公布的COVID-19数据进行分析, 用中国第一阶段模型和参数来拟合美国现存感染人数的发展趋势。

    • 精准详实的数据对增强模型的预测评估能力至关重要。然而此次COVID-19的检测能力受到检测试剂盒数量的很大限制, 特别是在武汉“封城”一周后,这个问题尤为突出。有许多患者因得不到及时检测而不能有效确诊, 导致确诊病例滞后于真正发病的实际人数, 因此在数据上会有比较大的低估。自2020-02-12起, 武汉市政府把用试剂盒检测核酸的方法改成用临床方法(包括CT方法)检测后, 累计确诊病例突然增多, 现存确诊病例出现较大的波动。文献[6]通过非线性回归分析了此问题, 并给出了2020-02-05—2020-02-11经过校准的累计确诊人数。本文采用此校准数据得到2月5日—11日现存确诊人数,如表 2图 2所示, 并将其作为第三阶段的准确数据进行参数估计。

      表 2  部分校准数据

      Table 2.  Partial Calibration Data

      日期 实测数据/人 校准数据/人
      02-05 26 210 29 975
      02-06 28 874 33 890
      02-07 31 574 37 909
      02-08 33 576 41 602
      02-09 35 802 45 247
      02-10 37 688 48 560
      02-11 38 583 51 813

      图  2  部分校准数据

      Figure 2.  PartialCalibration Data

      中国的COVID-19治愈率为95%[5];潜伏期平均为5 d[4];COVID-19患者从发病到确诊需要的时间随着疫情的发展不断减少, 综合考虑取为2 d, 为了便于建模和计算, 将潜伏期和从发病到确诊的时间合并为潜伏期时滞, 即将t1设为7 d;治疗期平均11 d[20],加上3 d观察期, 治疗观察的时滞t2为14 d。

      由于传染率β和接触人数θ在此模型环境下意义特殊且缺少实验数据, 本文通过参数反演[4]的方法确定各种情况下βθ的数值。

      1) 传染率的取值范围为[0, 1], 接触人数的取值范围为[0, 10], 通过启发式算法, 对各类参数取值范围进行随机采样, 采样间隔0.01, 分别确定${\beta _{11}}、{\beta _{21}}、{c_0}、{c_3}$的采样值。将采样值代入第一阶段模型(式(3)~(6)),得到第一阶段各个日期现存感染人数的估计值, 将第一阶段官方公布的各个日期的现存感染人数作为实际值, 以均方误差(mean square error, MSE)最小为目标, 得到最优参数,将反演${\beta _{11}}、{\beta _{21}}、{c_0}、{c_3}$的问题转化为:

      $$ {\rm{min}}[\frac{1}{{{N_1}}} \cdot \sum\limits_{{t_1} = 1}^{{N_1}} {({I_{{\rm{data}}1}} - I\left( {{t_1}, {\beta _{11}}, {\beta _{21}}, {c_0}, {c_3}){)^2}} \right]} $$ (18)

      式中, t1表示第一阶段日期, 默认2020-01-15为第1天;N1为第一阶段总天数;Idata1为官方公布的第一阶段现存感染数据;$I\left( {{t_1}, {\beta _{11}}, {\beta _{21}}, {c_0}, {c_3}} \right)$为估计的现存感染数据。

      2) 指数递减速率的取值范围为[0, 2],参数${c_1}、{c_4}、{r_1}、{r_3}$可由同样方法通过第二阶段现存感染人数得到。反演${c_1}、{c_4}、{r_1}、{r_3}$的问题可转化为:

      $${\rm{min}}[\frac{1}{{{N_2} - 15}} \cdot \sum\limits_{{t_2} = 15}^{{N_2}} {({I_{{\rm{data}}2}} - I\left( {{t_2}, {c_1}, {c_4}, {r_1}, {r_3}){)^2}} \right]} $$ (19)

      式中, t2表示第二阶段日期;N2为第二阶段总天数, 第二阶段开始日期为第15天;Idata2为官方公布的第二阶段现存感染数据;$I(t_2, c_1, c_4, r_1, r_3)$为估计的现存感染数据。

      3) β12β22c2c5r2r4可由同样方法通过第三阶段现存感染者人数反演得到。反演β12β22c2c5r2r4的问题可转化为:

      $$\begin{array}{l} {\rm{min}}[\frac{1}{{{N_3} - 22}} \cdot \mathop \sum \limits_{{t_3} = 22}^{{N_3}} {\rm{}}({I_{{\rm{data}}3}} - \\ I\left( {{t_3}, {\beta _{12}}, {\beta _{22}}, {c_2}, {c_5}, {r_2}, {r_4}){)^2}} \right] \end{array}$$ (20)

      式中, t3表示第三阶段日期;N3为第三阶段总天数, 第三阶段开始日期为第22天;Idata3为官方公布的第三阶段现存感染数据;$I(t_3, β_12, β_22, c_2, c_5, r_2, r_4)$为估计的现存感染数据。

    • §1.3中各参数估计结果见表 1, 将各参数值分别代入到6个模型中, 从而得到模型拟合的中国的现存感染人数、潜伏期感染人数和累计治愈人数,得到的3类人群数量随时间的变化趋势见图 3

      图  3  模型拟合的3类人群数量变化

      Figure 3.  Number Variation of Three Kinds of People Fitted by the Model

      图 3可知, 潜伏期感染者在第一阶段急剧上升, 在第二阶段达到顶峰, 从第二阶段开始实施的强制隔离措施有效地降低了感染者感染易感者的人数。随着大量潜伏期感染者度过潜伏期变成确诊感染者, 潜伏期感染者的人数在第三阶段开始迅速减少, 并在第五、六阶段衰减到0。现存感染人数在前3个阶段基本呈指数增长, 特别是第二阶段和第三阶段, 大量潜伏期感染者出现症状去医院就诊, 导致医疗物资十分紧缺。本文模型预测的拐点出现在2020-02-14, 与实际拐点出现的时间只相差3 d。从第四阶段开始, 医疗物资紧缺的情况有所缓解, 潜伏期感染者人数和确诊感染者人数不断降低, 治愈人数以较快的速度上升。该模型预测2020-03-26左右现存感染人数会降低至较低值, 根据COVID-19感染人数零增长的时刻加两个14 d的潜伏期即为疫情结束时间的论断可知,此模型预测疫情结束时间为4月下旬, 与钟南山院士的推断相同。

      将本文模型计算得到的现存治愈人数和感染人数与实际数据进行对比, 结果如图 4图 5所示。该模型的拟合结果显示, 确诊感染人数在2020-02-14达到峰值,为57 798人,与实际峰值58 041人仅差243人。治愈人数在2020-03-24达到68 857人。该模型拟合的结果无论在数量上还是在趋势上,都与实际较为符合, 因此可以用此模型模拟中国疫情发展的过程。

      图  4  现存治愈人数

      Figure 4.  Number of Cured People

      图  5  现存感染人数

      Figure 5.  Number of Infected People

      对于意大利、德国、西班牙和美国的COVID-19疫情, 本文分别讨论不采取任何措施、采取和中国一样的防控措施和采取介于两者之间的措施的不同结果,如图 6所示。图 6(a)6(b)、6(c)的模型结果显示, 中国第一阶段模型和参数能较好地拟合意大利、西班牙和德国“封城”前现存确诊人数的变化趋势, 说明3个国家“封城”前疫情发展趋势与中国初期相同。如果3个国家不采取任何措施, 2020-03-24,意大利的现存感染人数会达到60万人;2020-03-29,西班牙的现存感染人数会达到44万人;2020-03-27,德国的现存感染人数会达到15万人。若3个国家在“封城”后采取和中国一样严格的隔离措施,且医疗状况不断改善, 则意大利疫情将于03-25达到峰值, 最大现存感染人数为103 761人; 西班牙疫情将于2020-03-28达到峰值, 最大现存感染人数为61 011人; 德国疫情将于2020-03-31达到峰值, 最大现存感染人数为95 864人。若3个国家采取中间措施, 即隔离防控力度弱于中国, 医疗资源紧缺的现象不能有效缓解, 本文就各个国家的其中一种情况给出结果, 以供与其他曲线形成参考。

      图  6  西班牙、意大利、德国、美国疫情预测曲线

      Figure 6.  Epidemic Prediction Curves in Spain, Italy, Germany and the United States

      本文分别用中国多阶段模型和指数函数拟合美国官方公布的现存确诊人数, 拟合结果如图 6(d)所示(图中显示的是2020-03-04之后的数据)。假如2020-02-20疫情开始传播, 指数函数 1.205e0.319t和中国第一阶段模型都对美国2020-03-23之前的数据有较好的拟合结果。由于美国在疫情前期没有采取有效的措施,使得当前疫情仍处于紧急防御期, 如果从2020-03-20起采取和中国一样严格的措施, 且医疗资源状况不断改善,疫情的峰值将会出现在2020-04-25左右,峰值人数约64万人;若美国从2020-03-20起采取中间措施,模型预测2020-04-25美国现存感染人数会达到84万人,且仍以较快速度增长。由于前期感染人数呈指数增长,美国并没有给所有出现症状的人进行检测, 中期数据在一定程度上失真, 且疫情在美国传播的起始时间并不能完全确定, 官方公布的现存确诊人数与实际感染人数有较大差异。

      图 7给出了意大利、西班牙和德国第一阶段模型拟合结果。由图 7可以看出,“封城”前, 3个国家第一阶段模型拟合的现存感染人数与官方公布人数十分接近。但“封城”后, 3种不同措施下的现存感染人数都与官方公布人数有巨大差异, 原因是“封城”时已有大量潜伏期感染者, 而“封城”后3个国家没有采取和中国一样严格的隔离措施, 且医疗资源紧缺, 未能给所有有症状的居民进行检测, 这与本文的模型假设相悖, 所以现存感染人数与实际数据相差较大,这种情况在意大利和西班牙两个国家体现得更为突出。从3个国家3种不同措施下现存感染者人数构成的区间(图 6(a)6(b)6(c))可以看出, 意大利目前正处于六阶段模型中的强烈干预控制期,截至2020-04-17, 保守估计会存在23万出现症状的感染者, 现存感染人数的峰值最早出现在2020-04-14左右, 峰值人数在24万人左右, 本文模型预测04-21左右意大利仍有约21万的有症状感染者,但现存感染人数呈下降趋势; 西班牙目前正处于六阶段模型中的强烈干预控制期,疫情的峰值最早出现在2020-04-13左右, 峰值人数约在17万人,2020-04-21,西班牙仍会有16万左右的有症状感染者,但现存感染人数处于下降趋势;德国目前正处于六阶段模型中的转归期,疫情的峰值最早出现在2020-04-06左右, 峰值人数约在10万人。由于德国医疗设施较为完备, 德国峰值人数更低,现存感染人数下降速率更快。

      图  7  第一阶段模型拟合结果

      Figure 7.  The First Stage Model Fitting Results

    • 本文提出了一种改进的离散时间多阶段时滞动力学模型,并基于中国数据,通过参数反演提取防控措施与疫情走势间的关联关系,并结合疫情自身的发展特征,建立了COVID-19基于经验传递的动力学分析方法。利用本文提出的模型方法,分析了意大利、美国、德国和西班牙四国COVID-19疫情的具体情况。结果显示,美国当前仍处于紧急防御期(第三阶段),感染人数仍以指数形式快速增长。美国若继续保持目前的防控方式,疫情将大范围暴发,但是如果加大干预力度,使疫情在2020-04-20前进入第四阶段,疫情将会逐渐被控制,但感染人数仍可能会突破100万人。意大利和西班牙疫情状态相似,目前都处于第四阶段,即将到达峰值,若继续坚持目前的防控方式,未来现存感染人数将逐渐下降;德国当前处于转归期,但峰值已过(第五阶段中后期),感染人数将会较快速下降。

      综上所述, 建议美国加强防控干预措施,尽快使疫情进入可防控阶段;意大利、西班牙和德国可坚持目前的防控方式,直至疫情进入第六个阶段或者完全消散。全球所有国家都应当提高民众防护意识,加强个人防护,防止无症状感染者造成的疫情二次暴发,直至疫情完全消失或疫苗研制成功。

      疫情建模需要考虑多方面的因素,尤其是对超大城市建模,李德仁院士提出了基于时空大数据的防控体系[21],后继研究中将进一步考虑结合时空位置服务的建模与预测。

参考文献 (21)

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