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常用纬度与归化纬度差异极值分析表达式

叶彤 李厚朴 钟业勋 金立新

叶彤, 李厚朴, 钟业勋, 金立新. 常用纬度与归化纬度差异极值分析表达式[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2022, 47(3): 473-480. doi: 10.13203/j.whugis20200004
引用本文: 叶彤, 李厚朴, 钟业勋, 金立新. 常用纬度与归化纬度差异极值分析表达式[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2022, 47(3): 473-480. doi: 10.13203/j.whugis20200004
YE Tong, LI Houpu, ZHONG Yexun, JIN Lixin. Analytical Expressions of Differences Between Commonly Used Latitudes and Reduced Latitude[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2022, 47(3): 473-480. doi: 10.13203/j.whugis20200004
Citation: YE Tong, LI Houpu, ZHONG Yexun, JIN Lixin. Analytical Expressions of Differences Between Commonly Used Latitudes and Reduced Latitude[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2022, 47(3): 473-480. doi: 10.13203/j.whugis20200004

常用纬度与归化纬度差异极值分析表达式

doi: 10.13203/j.whugis20200004
基金项目: 

国家优秀青年科学基金 42122025

国家自然科学基金 41871376

国家自然科学基金 41971416

湖北省杰出青年科学基金 2019CFA086

详细信息
    作者简介:

    叶彤,硕士生,主要研究方向为地图投影。1078257034@qq.com

    通讯作者: 李厚朴,博士,副教授。lihoupu1985@126.com
  • 中图分类号: P282

Analytical Expressions of Differences Between Commonly Used Latitudes and Reduced Latitude

Funds: 

The National Science Foundation for Outstanding Young Scholars 42122025

the National Natural Science Foundation of China 41871376

the National Natural Science Foundation of China 41971416

the Natural Science Foundation for Distinguished Young Scholars of Hubei Province 2019CFA086

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  • 摘要: 从常用纬度与归化纬度的定义出发,借助于计算机代数分析,对常用纬度与归化纬度差值进行了系统的分析,推导出了常用纬度与归化纬度的差异极值分析表达式,并将式中系数展开为椭球第一偏心率e和第三扁率n的幂级数形式。研究结果表明,常用纬度与归化纬度差值极值点均位于45°附近,基于n展开的分析表达式比基于e展开的分析表达式形式上更加简洁,该分析表达式适用于任何椭球参数,具有通用性,一定程度上丰富了椭球几何学常用纬度分析理论。
  • 图  1  大地纬度、地心纬度、归化纬度示意图

    Figure  1.  Diagram of Reduced Latitude, Geodetic Latitude, Geocentric Latitude

    图  2  常用纬度与归化纬度的差异曲线图

    Figure  2.  Diagram of Differences Between Commonly Used and Reduced Latitudes

    表  1  常用纬度与归化纬度差异极值基于椭球第一偏心率e展开的分析表达式

    Table  1.   Analytical Expressions of Difference Extrema Between Commonly Used and Reduced Latitudes Expressed in a Power Series of Eccentricity e

    差值 差异极值点um 对应差异极值
    B-u π4-18e2-116e4-31768e6-15512e8 14e2+18e4+31384e6+15256e8
    ϕ-u π4+18e2+116e4+31768e6+15512e8 -14e2-18e4-31384e6-15256e8
    ψ-u π4-132e2-164e4-46349152e6-20732768e8 -18e2-116e4-44312288e6-1878192e8
    ϑ-u π4-7120e2-69725200e4-29626318144000e6-168762431552320000e8 -112e2-17360e4-7807259200e6-37532918144000e8
    φ-u π4+124e2+1360e4-607725760e6-11291209600e8 -14e2-112e4-2095760e6-46124192e8
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    表  2  常用纬度与归化纬度差异极值基于椭球第三扁率n展开的分析表达式

    Table  2.   Analytical Expressions of Difference Extrema Between Commonly Used and Reduced Latitudes Expressed in a Power Series of the Third Flattening n

    差值 差异极值点um 对应差异极值
    B-u π4-12n-112n3 n+16n3
    ϕ-u π4+12n+112n3 -n-16n3
    ψ-u π4-18n+17768n3 -12n+37192n3
    ϑ-u π4-730n+381575n2+7127283500n3-462379095625n4 -13n-445n2+3834050n3+340670875n4
    φ-u π4+16n-1345n2+304711340n3-750n4 -n+23n2+190n3-263945n4
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    表  3  4种常用参考椭球参数

    Table  3.   Four Commonly Used Referenced Ellipsoids

    参数 e n
    克拉索夫斯基椭球 0.081 813 334 0 0.001 678 980 657
    IUGGl975椭球 0.081 819 221 4 0.001 679 244 312
    WGS84椭球 0.081 819 190 8 0.001 679 220 386
    CGCS2000椭球 0.081 819 191 0 0.001 679 220 394
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    表  4  常用纬度与归化纬度差异极值

    Table  4.   Difference Extrema Between Commonly Used and Reduced Latitudes

    参考椭球 差值 差异极值点 差异极值
    克拉索夫斯基椭球 B-u 4457'07'' 5'46.31''
    ϕ-u 4502'53'' -5'46.31''
    ψ-u 4459'17'' -2'53.16''
    ϑ-u 4458'39'' -1'55.49''
    φ-u 4500'58'' -5'45.93''
    IUGGl975椭球 B-u 4457'07'' 5'46.37''
    ϕ-u 4502'53'' -5'46.37''
    ψ-u 4459'17'' -2'53.18''
    ϑ-u 4458'39'' -1'55.51''
    φ-u 4500'58'' -5'45.98''
    WGS84椭球/CGCS2000椭球 B-u 4457'15'' 5'46.36''
    ϕ-u 4502'45'' -5'46.36''
    ψ-u 4459'19'' -2'53.18''
    ϑ-u 4458'38'' -1'55.51''
    φ-u 4501'02'' -5'45.98''
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    Li Houpu, Bian Shaofeng. Expressions for Analytical Transformation Between Gauss and Mercator Projections by Complex Numbers[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2009, 34(3): 277-279 https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-WHCH200903006.htm
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    Zheng Tong, Bian Shaofeng. New Solutions on Inverse Problem of Meridian Arc[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2007, 32 (3): 255-258 https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-WHCH200703016.htm
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    Li Houpu, Bian Shaofeng. Derivation of Inverse Expansions for Auxiliary Latitudes by Hermite Interpolation Method[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2008, 33(6): 623-626 https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-WHCH200806020.htm
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    Zong Jingwen, Li Houpu, Bian Shaofeng, et al. Symbolic Expressions of Differences Between Earth Radius[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2019, 48(2): 238-244 https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-CHXB201902014.htm
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    Li Songlin, Li Houpu, Bian Shaofeng, et al. Direct Expansions of Transformation between Authalic Latitude and Isometric Latitude[J]. Hydrographic Surveying and Charting, 2019, 39(3): 26-30 https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-HYCH201903006.htm
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出版历程
  • 收稿日期:  2020-04-04
  • 刊出日期:  2022-03-05

常用纬度与归化纬度差异极值分析表达式

doi: 10.13203/j.whugis20200004
    基金项目:

    国家优秀青年科学基金 42122025

    国家自然科学基金 41871376

    国家自然科学基金 41971416

    湖北省杰出青年科学基金 2019CFA086

    作者简介:

    叶彤,硕士生,主要研究方向为地图投影。1078257034@qq.com

    通讯作者: 李厚朴,博士,副教授。lihoupu1985@126.com
  • 中图分类号: P282

摘要: 从常用纬度与归化纬度的定义出发,借助于计算机代数分析,对常用纬度与归化纬度差值进行了系统的分析,推导出了常用纬度与归化纬度的差异极值分析表达式,并将式中系数展开为椭球第一偏心率e和第三扁率n的幂级数形式。研究结果表明,常用纬度与归化纬度差值极值点均位于45°附近,基于n展开的分析表达式比基于e展开的分析表达式形式上更加简洁,该分析表达式适用于任何椭球参数,具有通用性,一定程度上丰富了椭球几何学常用纬度分析理论。

English Abstract

叶彤, 李厚朴, 钟业勋, 金立新. 常用纬度与归化纬度差异极值分析表达式[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2022, 47(3): 473-480. doi: 10.13203/j.whugis20200004
引用本文: 叶彤, 李厚朴, 钟业勋, 金立新. 常用纬度与归化纬度差异极值分析表达式[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2022, 47(3): 473-480. doi: 10.13203/j.whugis20200004
YE Tong, LI Houpu, ZHONG Yexun, JIN Lixin. Analytical Expressions of Differences Between Commonly Used Latitudes and Reduced Latitude[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2022, 47(3): 473-480. doi: 10.13203/j.whugis20200004
Citation: YE Tong, LI Houpu, ZHONG Yexun, JIN Lixin. Analytical Expressions of Differences Between Commonly Used Latitudes and Reduced Latitude[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2022, 47(3): 473-480. doi: 10.13203/j.whugis20200004
  • 归化纬度是大地测量与地图投影变换中常用的一种纬度,在地图投影理论分析中,常引入归化纬度来简化问题。例如,基于归化纬度的子午线弧长微分表达式更简单,与第二类椭圆积分的联系更加密切,精度也更高[1-3];归化纬度表示的子午线弧长与大地主题解算具有理论上的一致性[4-5];归化纬度也是贝塞尔大地主题解算方法中重要的中间变量[6],在椭球大地测量的许多领域,归化纬度都可以使复杂的问题得以简化[7-9]。除归化纬度外,在地图投影变换中,也常会用到大地纬度、地心纬度、等距离纬度、等面积纬度、等角纬度5种纬度[10-13]。为了分析6种纬度间的关系,文献[14]利用计算机代数系统Mathematica[15-18]分析了辅助纬度与大地纬度以及辅助纬度间的差值问题;文献[19]提出了针对含有小参数的复杂方程求解的迭代解法,分析了常用纬度与地心纬度的差异极值问题。

    从目前看,常用纬度与归化纬度差异一般采用数值形式表示,没有对应的分析表达式,不适用于分析不同参数的椭球。本文着重研究常用纬度与归化纬度的差异极值问题,利用计算机代数分析方法,根据归化纬度与其他常用纬度间函数关系,采用针对一般小参数方程的迭代解法,分析常用纬度与归化纬度间的差异极值问题,并以克拉索夫斯基椭球等4种常用椭球模型为例进行算例分析,分析常用纬度与归化纬度之间的差异。

    • 图 1所示,以子午面椭圆中心为原点O,长半轴a方向为x轴,短半轴b方向为y轴,建立平面直角坐标系。设地球椭球面上任意一点为P,作以原点为中心、半径为a的辅助圆,延长P点的纵坐标线与圆交于P',连接OP',则P'Ox=uP点的归化纬度,P点法线方向与赤道平面的夹角为P点的大地纬度BPOx=ϕP点的地心纬度。大地纬度B、地心纬度ϕ和归化纬度u之间的数学表达式为:

      图  1  大地纬度、地心纬度、归化纬度示意图

      Figure 1.  Diagram of Reduced Latitude, Geodetic Latitude, Geocentric Latitude

      tanϕ=1-e2tanu=1-e2tanB ]]>

      式中,e为第一偏心率。

      根据式(1),大地纬度B及地心纬度ϕ以归化纬度u为变量的表达式分别为:

      B=arctan(tanu1-e2) ]]>
      ϕ=arctan(1-e2tanu) ]]>

      等距离纬度ψ的定义为[20]

      ψ=XR1=0B1-e21-e2sin2B3/2dB1-e2K0 ]]>

      式中,X为子午线弧长;K0=1+34e2+4564e4+175256e6+1102516384e8+4365965536e10R1为常数,等于子午线弧长X积分至π/2时对应的数值。

      根据子午线弧长与归化纬度u之间的关系[1],等距离纬度ψ与归化纬度u之间的表达式为:

      ψ=XR1=0u1-e2cos2udu1-e2K0 ]]>

      同理,根据等面积纬度的定义[21],可得等面积纬度ϑ与归化纬度u之间的表达式为:

      sinϑ=FR2=0ucosu1-e2cos2udu0π/2cosu1-e2cos2udu ]]>

      式中,等面积纬度函数F可积;R2为常数,等于等面积纬度函数F积分至π/2时对应的数值。基于归化纬度的等面积纬度函数表达式为:

      F=1-e22eartanhesinu1-e2cos2u+12sinu1-e2cos2u(7)]]>

      借助中间变量等量纬度q[22],等角纬度φ与归化纬度u之间的关系可表示为:

      φ=arcsin(tanhq) ]]>
      q=0u1-e2cos2ucosudu=artanh(sinu1-e2cos2u)-earcsin(esinu1-e2) ]]>
    • 大地纬度、地心纬度、等距离纬度与归化纬度差异极值点可根据表达式直接求得,无需将这些纬度表示为归化纬度的级数展开式。等面积纬度、等角纬度与归化纬度差值表达式复杂,对表达式直接求导后无法计算得到导数为0的点,故需级数展开。

      以等面积纬度为例,由式(6)可知等面积纬度与归化纬度的关系,将等面积纬度基于椭球偏心率e幂级数展开,截去高阶项,取至e10,对展开式逐项积分,化三角函数幂形式为倍角形式,整理可得等面积纬度关于归化纬度的正解表达式为:

      ϑ=u+α2sin2u+α4sin4u+α6sin6u+α8sin8u+α10sin10u(10)]]>

      其中,

      α2=-112e2-17360e4-1214032e6-6203302400e8-3535339239500800e10α4=-71440e4-173360e6-159973628800e8-441499119750400e10α6=-83181440e6-311453600e8-7243795800320e10α8=-79714515200e8-12917119750400e10α10=-3673479001600e10]]>

      同理可得由归化纬度直接求解等角纬度的表达式为:

      φ=u+β2sin2u+β4sin4u+]]>
      β6sin6u+β8sin8u+β10sin10u ]]>

      其中,

      β2=14e2-112e4-7192e6-1135760e8-7576e10β4=196e4+1240e6+113440e8+2980640e10β6=-1960e6-1313440e8-83107520e10β8=17322560e8+132256e10β10=-1107520e10]]>
    • 为得到常用纬度与归化纬度之间差异极值的分析表达式,将常用纬度与归化纬度的差值表达式对归化纬度进行求导,求出当u0°,90°时的极值点um。由地球椭球的对称性可知,极值点在南北半球呈对称分布,可求得u-90°,0°时的极值点。

      由式(2)知大地纬度与归化纬度的关系式,解得大地纬度与归化纬度的差值关于归化纬度的导数为0时对应的归化纬度值为:

      d(B-u)du=1-e2sec2u1-e2+tan2u-1=0 ]]>

      解得u0°,90°时大地纬度与归化纬度差异极值点与对应极值为:

      um=arctan1-e24B-umax=arctan(1/1-e24-1-e242) ]]>

      此时二阶导数小于0,该极值点为极大值点,将差异极值点与对应极值展开为e的幂级数形式,取至e8,结果见表 1

      表 1  常用纬度与归化纬度差异极值基于椭球第一偏心率e展开的分析表达式

      Table 1.  Analytical Expressions of Difference Extrema Between Commonly Used and Reduced Latitudes Expressed in a Power Series of Eccentricity e

      差值 差异极值点um 对应差异极值
      B-u π4-18e2-116e4-31768e6-15512e8 14e2+18e4+31384e6+15256e8
      ϕ-u π4+18e2+116e4+31768e6+15512e8 -14e2-18e4-31384e6-15256e8
      ψ-u π4-132e2-164e4-46349152e6-20732768e8 -18e2-116e4-44312288e6-1878192e8
      ϑ-u π4-7120e2-69725200e4-29626318144000e6-168762431552320000e8 -112e2-17360e4-7807259200e6-37532918144000e8
      φ-u π4+124e2+1360e4-607725760e6-11291209600e8 -14e2-112e4-2095760e6-46124192e8

      同理可求得u0°,90°时地心纬度与归化纬度差异极值点与对应极值为:

      um=arctan(1/1-e24)ϕ-umin=arctan(1-e24-1/1-e242) ]]>

      此时二阶导数大于0,该极值点为极小值点,将差异极值点与对应极值展开为e的幂级数形式,取至e8,结果见表 1。由式(13)和式(14)知,大地纬度、地心纬度与归化纬度差异极值互为相反数。

      结合式(6)知,等距离纬度与归化纬度差值ψ-u关于归化纬度u的导数为:

      d(ψ-u)du=1-e2cos2u1-e2K0-1=0 ]]>

      解得u0°,90°时等距离纬度与归化纬度差异极值点与对应极值为:

      um=arccos1e1-1-e22K02ψ-umin=0um1-e2cos2udu1-e2K0-um ]]>

      此时二阶导数大于0,该极值点为极小值点,将差异极值点与对应极值展开为e的幂级数形式,取至e8,结果见表 1

    • 将等面积纬度与归化纬度差值ϑ-u关于归化纬度u的导数展开为e的幂级数形式,取至e10,可以表示为:

      d(ϑ-u)du=A2(u)e2+A4(u)e4+A6(u)e6+A8(u)e8+A10(u)e10(17)]]>

      其中,

      A2=-16cos2uA4=-17180cos2u-7360cos4uA6=-1212016cos2u-17840cos4u-8330240cos6uA8=-6203151200cos2u-15997907200cos4u-31175600cos6u-7971814400cos8uA10=-3535339119750400cos2u-44149929937600cos4u-7243715966720cos6u-1291714968800cos8u-367347900160cos10u]]>

      由式(17)可知,由于e0,故导数为0,即:

      k=15A2k(u)e2k-2=0 ]]>

      为求解式(18),根据文献[19]中的迭代方法,先求t=A2(u)的反函数为:

      u=12arccos(-6t) ]]>

      A2(u)=0解得式(18)的近似解u=π/4,则极值点在π/4附近,令迭代初值u0=π/4建立迭代式:

      ul+1=12arccos(6k=25A2k(ul)e2k-2) ]]>

      将第l次迭代结果ul代入式(20)计算第l+1次迭代结果,每一次迭代所得结果均展开至e8,截去高阶项。当迭代至第5次时,展开式系数已无变化,至此迭代完成,得到迭代结果为:

      um=π4-7120e2-69725200e4-29626318144000e6-168762431552320000e8]]>

      此时二阶导数大于0,该极值点为极小值点,计算迭代得到的ϑu之间的差异ϑ-u,展开至e8,截去高阶项,得到u0°,90°时极值点对应的差异极小值为:

      ϑ-umin=-112e2-17360e4-7807259200e6-37532918144000e8]]>

      同理求得u0°,90°时,差异值φ-u的极值为:

      d(φ-u)du=k=15B2k(u)e2k ]]>

      令迭代初值u0=π/4建立迭代式:

      ul+1=12arccos(2k=25B2k(ul)e2k-2) ]]>

      得到相应差异极小值点与对应的差异极小值,基于椭球偏心率e展开至e8,结果见表 1

      传统的椭球大地测量和地图投影数学问题多基于偏心率e进行展开,表达式较为繁琐冗长,近年来椭球第三扁率n经常被用于大地测量计算中,它与第一偏心率e的关系为:

      n=a-ba+b=1-1-e21+1-e2 ]]>

      由式(23)可知,椭球第三扁率n在数值上比偏心率e更小,收敛速度也更快,可在简化表达式的同时提高精度。将u0°,90°时,差异值ϑ-uφ-u的极值点和对应的差异极值表达式基于椭球第三扁率n展开至n4,结果见表 2

      表 2  常用纬度与归化纬度差异极值基于椭球第三扁率n展开的分析表达式

      Table 2.  Analytical Expressions of Difference Extrema Between Commonly Used and Reduced Latitudes Expressed in a Power Series of the Third Flattening n

      差值 差异极值点um 对应差异极值
      B-u π4-12n-112n3 n+16n3
      ϕ-u π4+12n+112n3 -n-16n3
      ψ-u π4-18n+17768n3 -12n+37192n3
      ϑ-u π4-730n+381575n2+7127283500n3-462379095625n4 -13n-445n2+3834050n3+340670875n4
      φ-u π4+16n-1345n2+304711340n3-750n4 -n+23n2+190n3-263945n4

      表 1表 2可知,基于椭球第三扁率n展开的分析表达式在表示差异值B-uϕ-uψ-u的极值时,只有奇次项,没有二次项与四次项,比基于偏心率e展开的分析表达式形式上更加简洁。差异值B-uϕ-uφ-u的极值点位于π/4右侧,ψ-uϑ-u的极值点位于π/4左侧,B-uϕ-u的极值点关于π/4左右对称,不仅如此,B-umaxϕ-umin互为相反数且绝对值最大。

      因为en的数值很小、收敛速度快,e2约为0.006 694,e4约为4.4815×10-5n约为0.001 679,n2约为2.8198×10-6,故差异极值的数值大小和正负主要由首项系数,即e2项或n项系数决定,此项系数越大,对应差异极值越大,此项系数的正负直接决定差异极值的正负。当差异极值基于椭球第三扁率n展开时,差异极值B-umaxϕ-uminφ-umin系数的绝对值为1,ψ-umin系数的绝对值为1/2,ϑ-umin系数的绝对值为1/3,综合考虑差异极值的正负,则可以近似认为这5种常用纬度与归化纬度的差异极值满足3ϑ-umin2ψ-uminφ-uminϕ-umin=-B-umax

    • §2.1、§2.2中分别推导了以椭球第一偏心率e与第三扁率n展开的常用纬度与归化纬度差异极值的分析表达式,便于理论分析,适用于不同椭球参数。为直观体现常用纬度与归化纬度之间差异极值的数值大小情况,以克拉索夫斯基椭球、IUGG1975椭球、WGS84椭球和CGCS2000椭球4种参考椭球为例,计算对应参考椭球下差异极值的数值,4种参考椭球的en的数值如表 3所示。

      表 3  4种常用参考椭球参数

      Table 3.  Four Commonly Used Referenced Ellipsoids

      参数 e n
      克拉索夫斯基椭球 0.081 813 334 0 0.001 678 980 657
      IUGGl975椭球 0.081 819 221 4 0.001 679 244 312
      WGS84椭球 0.081 819 190 8 0.001 679 220 386
      CGCS2000椭球 0.081 819 191 0 0.001 679 220 394

      将4种椭球参数分别代入常用纬度与归化纬度的差异极值表达式,得到对应参考椭球模型下的常用纬度与归化纬度差异极值的数值,结果见表 4。其中,WGS84椭球和CGCS2000椭球下常用纬度与归化纬度差异极值点与差异极值在0.01″的精度下完全一致。

      表 4  常用纬度与归化纬度差异极值

      Table 4.  Difference Extrema Between Commonly Used and Reduced Latitudes

      参考椭球 差值 差异极值点 差异极值
      克拉索夫斯基椭球 B-u 4457'07'' 5'46.31''
      ϕ-u 4502'53'' -5'46.31''
      ψ-u 4459'17'' -2'53.16''
      ϑ-u 4458'39'' -1'55.49''
      φ-u 4500'58'' -5'45.93''
      IUGGl975椭球 B-u 4457'07'' 5'46.37''
      ϕ-u 4502'53'' -5'46.37''
      ψ-u 4459'17'' -2'53.18''
      ϑ-u 4458'39'' -1'55.51''
      φ-u 4500'58'' -5'45.98''
      WGS84椭球/CGCS2000椭球 B-u 4457'15'' 5'46.36''
      ϕ-u 4502'45'' -5'46.36''
      ψ-u 4459'19'' -2'53.18''
      ϑ-u 4458'38'' -1'55.51''
      φ-u 4501'02'' -5'45.98''

      以CGCS2000参考椭球为例,在u[0°,90°]范围内,绘制常用纬度与归化纬度间差异示意曲线如图 2所示。

      图  2  常用纬度与归化纬度的差异曲线图

      Figure 2.  Diagram of Differences Between Commonly Used and Reduced Latitudes

      图 2表 4可知,在u[0°,90°]范围内,各常用纬度与归化纬度差异的绝对值先增大后减小,且在归化纬度为45°附近出现极值。由文献[14]中的计算结果可知,常用纬度与大地纬度的差异极值绝对值最小为5'46.36'',与其相比,常用纬度与归化纬度的差值明显较小,绝对值最大仅为5'46.36'',相当于常用纬度与大地纬度的差异极值绝对值最小值,即归化纬度与常用纬度之间差值的绝对值比大地纬度与常用纬度差值绝对值小,归化纬度在数值上与其他常用纬度更为接近。

    • 本文对5种常用纬度与归化纬度差异极值进行了研究,将差异极值点与差异极值分别表示为椭球第一偏心率e和第三扁率n的幂级数形式,并进行了算例分析,得出如下结论。

      1)极值点位置方面。在归化纬度从0°到90°变化的过程中,各常用纬度与归化纬度差值的绝对值先增大后减小,在归化纬度为45°附近出现极值。

      2)差异极值的大小。差异值B-uϕ-u的极值互为相反数且绝对值最大,ϑ-u的极值最小。可近似认为5种常用纬度与归化纬度差异极值满足3(ϑumin≈2(ψumin≈(φuminϕ-umin=-B-umax

      3)基于椭球第三扁率n展开的分析表达式在表示差异值B-uϕ-uψ-u的极值时,没有偶次项,比基于椭球第一偏心率e展开的分析在表达式形式上更加简洁。

      本文推导的常用纬度与归化纬度差异极值分析表达式,更加直观地显示了常用纬度与归化纬度的差异,适用于分析不同参数的椭球。

参考文献 (22)

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