常用纬度与归化纬度差异极值分析表达式

叶彤; 李厚朴; 钟业勋; 金立新

doi:10.13203/j.whugis20200004

常用纬度与归化纬度差异极值分析表达式

doi: 10.13203/j.whugis20200004

叶彤^1,,
李厚朴^1, ,,
钟业勋^{1, 2},
金立新^{1, 3}

1.
海军工程大学导航工程系，湖北武汉，430033
2.
广西测绘地理信息局，广西南宁，530001
3.
甘肃铁道综合工程勘察院有限公司，甘肃兰州，730000

基金项目:

国家优秀青年科学基金 42122025

国家自然科学基金 41871376

国家自然科学基金 41971416

湖北省杰出青年科学基金 2019CFA086

详细信息

作者简介:
叶彤，硕士生，主要研究方向为地图投影。1078257034@qq.com

通讯作者: 李厚朴，博士，副教授。lihoupu1985@126.com

中图分类号: P282

Analytical Expressions of Differences Between Commonly Used Latitudes and Reduced Latitude

YE Tong^1
,,
LI Houpu^{1
, ,},
ZHONG Yexun^{1, 2},
JIN Lixin^{1, 3}

1.
Department of Navigation, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China
2.
Guangxi Regional Geographical Information Bureau of Surveying and Mapping, Nanning 530001, China
3.
The General Engineering Survey Institute of Railways of Gansu Co. Ltd, Lanzhou 730000, China

Funds:

The National Science Foundation for Outstanding Young Scholars 42122025

the National Natural Science Foundation of China 41871376

the National Natural Science Foundation of China 41971416

the Natural Science Foundation for Distinguished Young Scholars of Hubei Province 2019CFA086

More Information

Author Bio:
YE Tong, postgraduate, specializes in map projection. E-mail: 1078257034@qq.com

Corresponding author: LI Houpu, PhD, associate professor. E-mail: lihoupu1985@126.com

摘要: 从常用纬度与归化纬度的定义出发，借助于计算机代数分析，对常用纬度与归化纬度差值进行了系统的分析，推导出了常用纬度与归化纬度的差异极值分析表达式，并将式中系数展开为椭球第一偏心率 $e$ 和第三扁率n的幂级数形式。研究结果表明，常用纬度与归化纬度差值极值点均位于45 $°$ 附近，基于n展开的分析表达式比基于 $e$ 展开的分析表达式形式上更加简洁，该分析表达式适用于任何椭球参数，具有通用性，一定程度上丰富了椭球几何学常用纬度分析理论。
- 归化纬度 /
- 常用纬度 /
- 差异极值 /
- 分析表达式
Abstract: Objectives The reduced latitude can simplify many complex problems in ellipsoid geodesy. In addition to the reduced latitude, geodetic, geocentric, rectifying, authalic, and conformal latitudes are commonly used in map projection transformation. The differences between commonly used latitudes and reduced latitude are generally expressed in numerical form, and there are no corresponding analytical expressions. Analytical expressions of differences between commonly used and reduced latitudes can visually display the differences between latitudes. Methods Starting from the definition of commonly used and reduced latitudes, with the aid of computer algebra analysis methods, the function relations between commonly used latitudes and reduced latitude are derived, then the differences between commonly used and reduced latitudes can be obtained by finding the extreme points. Analytical expressions of differences between them are derived and their coefficients are expressed in a power series of the eccentricity e, and the third flattening n. Results Theoretical and numerical analysis results show that the analytical expressions in terms of n are more concise than those in terms of e , the absolute value of the differences between commonly used latitudes and reduced latitude first increase and then decrease, and the extreme points are all near $π / 4$ , the reduced latitude is closer to commonly used latitudes in numerical values. Conclusions Expressions of differences between commonly used latitudes and reduced latitude are more intuitively and applicable to any referenced ellipsoid, to some extent, they could enrich the analytical theory of the various commonly used latitudes.
- reduced latitude /
- commonly used latitudes /
- difference extrema /
- analytical expressions

图 1 大地纬度、地心纬度、归化纬度示意图

Figure 1. Diagram of Reduced Latitude, Geodetic Latitude, Geocentric Latitude

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图 2 常用纬度与归化纬度的差异曲线图

Figure 2. Diagram of Differences Between Commonly Used and Reduced Latitudes

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表 1 常用纬度与归化纬度差异极值基于椭球第一偏心率e展开的分析表达式

Table 1. Analytical Expressions of Difference Extrema Between Commonly Used and Reduced Latitudes Expressed in a Power Series of Eccentricity e

差值	差异极值点 $u_{m}$	对应差异极值
$B - u$	$\frac{π}{4} - \frac{1}{8} e^{2} - \frac{1}{16} e^{4} - \frac{31}{768} e^{6} - \frac{15}{512} e^{8}$	$\frac{1}{4} e^{2} + \frac{1}{8} e^{4} + \frac{31}{384} e^{6} + \frac{15}{256} e^{8}$
$ϕ - u$	$\frac{π}{4} + \frac{1}{8} e^{2} + \frac{1}{16} e^{4} + \frac{31}{768} e^{6} + \frac{15}{512} e^{8}$	$- \frac{1}{4} e^{2} - \frac{1}{8} e^{4} - \frac{31}{384} e^{6} - \frac{15}{256} e^{8}$
$ψ - u$	$\frac{π}{4} - \frac{1}{32} e^{2} - \frac{1}{64} e^{4} - \frac{463}{49 152} e^{6} - \frac{207}{32 768} e^{8}$	$- \frac{1}{8} e^{2} - \frac{1}{16} e^{4} - \frac{443}{12 288} e^{6} - \frac{187}{8 192} e^{8}$
$ϑ - u$	$\frac{π}{4} - \frac{7}{120} e^{2} - \frac{697}{25 200} e^{4} - \frac{296 263}{18 144 000} e^{6} - \frac{16 876 243}{1 552 320 000} e^{8}$	$- \frac{1}{12} e^{2} - \frac{17}{360} e^{4} - \frac{7 807}{259 200} e^{6} - \frac{375 329}{18 144 000} e^{8}$
$φ - u$	$\frac{π}{4} + \frac{1}{24} e^{2} + \frac{1}{360} e^{4} - \frac{607}{725 760} e^{6} - \frac{1 129}{1 209 600} e^{8}$	$- \frac{1}{4} e^{2} - \frac{1}{12} e^{4} - \frac{209}{5 760} e^{6} - \frac{461}{24 192} e^{8}$

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表 2 常用纬度与归化纬度差异极值基于椭球第三扁率n展开的分析表达式

Table 2. Analytical Expressions of Difference Extrema Between Commonly Used and Reduced Latitudes Expressed in a Power Series of the Third Flattening n

差值	差异极值点 $u_{m}$	对应差异极值
$B - u$	$\frac{π}{4} - \frac{1}{2} n - \frac{1}{12} n^{3}$	$n + \frac{1}{6} n^{3}$
$ϕ - u$	$\frac{π}{4} + \frac{1}{2} n + \frac{1}{12} n^{3}$	$- n - \frac{1}{6} n^{3}$
$ψ - u$	$\frac{π}{4} - \frac{1}{8} n + \frac{17}{768} n^{3}$	$- \frac{1}{2} n + \frac{37}{192} n^{3}$
$ϑ - u$	$\frac{π}{4} - \frac{7}{30} n + \frac{38}{1 575} n^{2} + \frac{7 127}{283 500} n^{3} - \frac{46 237}{9 095 625} n^{4}$	$- \frac{1}{3} n - \frac{4}{45} n^{2} + \frac{383}{4 050} n^{3} + \frac{3 406}{70 875} n^{4}$
$φ - u$	$\frac{π}{4} + \frac{1}{6} n - \frac{13}{45} n^{2} + \frac{3 047}{11 340} n^{3} - \frac{7}{50} n^{4}$	$- n + \frac{2}{3} n^{2} + \frac{1}{90} n^{3} - \frac{263}{945} n^{4}$

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表 3 4种常用参考椭球参数

Table 3. Four Commonly Used Referenced Ellipsoids

参数	$e$	$n$
克拉索夫斯基椭球	0.081 813 334 0	0.001 678 980 657
IUGGl975椭球	0.081 819 221 4	0.001 679 244 312
WGS84椭球	0.081 819 190 8	0.001 679 220 386
CGCS2000椭球	0.081 819 191 0	0.001 679 220 394

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表 4 常用纬度与归化纬度差异极值

Table 4. Difference Extrema Between Commonly Used and Reduced Latitudes

参考椭球	差值	差异极值点	差异极值
克拉索夫斯基椭球	$B - u$	$44^{\circ} 57' 07''$	$5' 46.31''$
	$ϕ - u$	$45^{\circ} 02' 53''$	$- 5' 46.31''$
	$ψ - u$	$44^{\circ} 59' 17''$	$- 2' 53.16''$
	$ϑ - u$	$44^{\circ} 58' 39''$	$- 1' 55.49''$
	$φ - u$	$45^{\circ} 00' 58''$	$- 5' 45.93''$
IUGGl975椭球	$B - u$	$44^{\circ} 57' 07''$	$5' 46.37''$
	$ϕ - u$	$45^{\circ} 02' 53''$	$- 5' 46.37''$
	$ψ - u$	$44^{\circ} 59' 17''$	$- 2' 53.18''$
	$ϑ - u$	$44^{\circ} 58' 39''$	$- 1' 55.51''$
	$φ - u$	$45^{\circ} 00' 58''$	$- 5' 45.98''$
WGS84椭球/CGCS2000椭球	$B - u$	$44^{\circ} 57' 15''$	$5' 46.36''$
	$ϕ - u$	$45^{\circ} 02' 45''$	$- 5' 46.36''$
	$ψ - u$	$44^{\circ} 59' 19''$	$- 2' 53.18''$
	$ϑ - u$	$44^{\circ} 58' 38''$	$- 1' 55.51''$
	$φ - u$	$45^{\circ} 01' 02''$	$- 5' 45.98''$

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归化纬度是大地测量与地图投影变换中常用的一种纬度，在地图投影理论分析中，常引入归化纬度来简化问题。例如，基于归化纬度的子午线弧长微分表达式更简单，与第二类椭圆积分的联系更加密切，精度也更高^[1-3]；归化纬度表示的子午线弧长与大地主题解算具有理论上的一致性^[4-5]；归化纬度也是贝塞尔大地主题解算方法中重要的中间变量^[6]，在椭球大地测量的许多领域，归化纬度都可以使复杂的问题得以简化^[7-9]。除归化纬度外，在地图投影变换中，也常会用到大地纬度、地心纬度、等距离纬度、等面积纬度、等角纬度5种纬度^[10-13]。为了分析6种纬度间的关系，文献[14]利用计算机代数系统Mathematica^[15-18]分析了辅助纬度与大地纬度以及辅助纬度间的差值问题；文献[19]提出了针对含有小参数的复杂方程求解的迭代解法，分析了常用纬度与地心纬度的差异极值问题。

从目前看，常用纬度与归化纬度差异一般采用数值形式表示，没有对应的分析表达式，不适用于分析不同参数的椭球。本文着重研究常用纬度与归化纬度的差异极值问题，利用计算机代数分析方法，根据归化纬度与其他常用纬度间函数关系，采用针对一般小参数方程的迭代解法，分析常用纬度与归化纬度间的差异极值问题，并以克拉索夫斯基椭球等4种常用椭球模型为例进行算例分析，分析常用纬度与归化纬度之间的差异。

2. 常用纬度与归化纬度差异极值

2.1. 大地纬度、地心纬度、等距离纬度与归化纬度差异极值

为得到常用纬度与归化纬度之间差异极值的分析表达式，将常用纬度与归化纬度的差值表达式对归化纬度进行求导，求出当 $u \in [0 °, 90 °]$ 时的极值点 $u_{m}$ 。由地球椭球的对称性可知，极值点在南北半球呈对称分布，可求得 $u \in [- 90 °, 0 °]$ 时的极值点。

由式（2）知大地纬度与归化纬度的关系式，解得大地纬度与归化纬度的差值关于归化纬度的导数为0时对应的归化纬度值为：

d(B-u)du=1-e2sec2u1-e2+tan2u-1=0 ]]>

解得 $u \in [0 °, 90 °]$ 时大地纬度与归化纬度差异极值点与对应极值为：

um=arctan1-e24B-umax=arctan(1/1-e24-1-e242) ]]>

此时二阶导数小于0，该极值点为极大值点，将差异极值点与对应极值展开为 $e$ 的幂级数形式，取至 $e^{8}$ ，结果见表 1。

表 1 常用纬度与归化纬度差异极值基于椭球第一偏心率e展开的分析表达式

Table 1. Analytical Expressions of Difference Extrema Between Commonly Used and Reduced Latitudes Expressed in a Power Series of Eccentricity e

差值	差异极值点 $u_{m}$	对应差异极值
$B - u$	$\frac{π}{4} - \frac{1}{8} e^{2} - \frac{1}{16} e^{4} - \frac{31}{768} e^{6} - \frac{15}{512} e^{8}$	$\frac{1}{4} e^{2} + \frac{1}{8} e^{4} + \frac{31}{384} e^{6} + \frac{15}{256} e^{8}$
$ϕ - u$	$\frac{π}{4} + \frac{1}{8} e^{2} + \frac{1}{16} e^{4} + \frac{31}{768} e^{6} + \frac{15}{512} e^{8}$	$- \frac{1}{4} e^{2} - \frac{1}{8} e^{4} - \frac{31}{384} e^{6} - \frac{15}{256} e^{8}$
$ψ - u$	$\frac{π}{4} - \frac{1}{32} e^{2} - \frac{1}{64} e^{4} - \frac{463}{49 152} e^{6} - \frac{207}{32 768} e^{8}$	$- \frac{1}{8} e^{2} - \frac{1}{16} e^{4} - \frac{443}{12 288} e^{6} - \frac{187}{8 192} e^{8}$
$ϑ - u$	$\frac{π}{4} - \frac{7}{120} e^{2} - \frac{697}{25 200} e^{4} - \frac{296 263}{18 144 000} e^{6} - \frac{16 876 243}{1 552 320 000} e^{8}$	$- \frac{1}{12} e^{2} - \frac{17}{360} e^{4} - \frac{7 807}{259 200} e^{6} - \frac{375 329}{18 144 000} e^{8}$
$φ - u$	$\frac{π}{4} + \frac{1}{24} e^{2} + \frac{1}{360} e^{4} - \frac{607}{725 760} e^{6} - \frac{1 129}{1 209 600} e^{8}$	$- \frac{1}{4} e^{2} - \frac{1}{12} e^{4} - \frac{209}{5 760} e^{6} - \frac{461}{24 192} e^{8}$

同理可求得 $u \in [0 °, 90 °]$ 时地心纬度与归化纬度差异极值点与对应极值为：

um=arctan(1/1-e24)ϕ-umin=arctan(1-e24-1/1-e242) ]]>

此时二阶导数大于0，该极值点为极小值点，将差异极值点与对应极值展开为 $e$ 的幂级数形式，取至 $e^{8}$ ，结果见表 1。由式（13）和式（14）知，大地纬度、地心纬度与归化纬度差异极值互为相反数。

结合式（6）知，等距离纬度与归化纬度差值 $ψ - u$ 关于归化纬度 $u$ 的导数为：

d(ψ-u)du=1-e2cos2u1-e2K0-1=0 ]]>

解得 $u \in [0 °, 90 °]$ 时等距离纬度与归化纬度差异极值点与对应极值为：

um=arccos1e1-1-e22K02ψ-umin=∫0um1-e2cos2udu1-e2K0-um ]]>

此时二阶导数大于0，该极值点为极小值点，将差异极值点与对应极值展开为 $e$ 的幂级数形式，取至 $e^{8}$ ，结果见表 1。

2.2. 等面积纬度、等角纬度与归化纬度差异极值

将等面积纬度与归化纬度差值 $ϑ - u$ 关于归化纬度 $u$ 的导数展开为 $e$ 的幂级数形式，取至 $e^{10}$ ，可以表示为：

d(ϑ-u)du=A2(u)e2+A4(u)e4+A6(u)e6+A8(u)e8+A10(u)e10(17)]]>

其中，

A2=-16cos2uA4=-17180cos2u-7360cos4uA6=-1212016cos2u-17840cos4u-8330240cos6uA8=-6203151200cos2u-15997907200cos4u-31175600cos6u-7971814400cos8uA10=-3535339119750400cos2u-44149929937600cos4u-7243715966720cos6u-1291714968800cos8u-367347900160cos10u]]>

由式（17）可知，由于 $e \neq 0$ ，故导数为0，即：

∑k=15A2k(u)e2k-2=0 ]]>

为求解式（18），根据文献[19]中的迭代方法，先求 $t = A_{2} (u)$ 的反函数为：

u=12arccos(-6t) ]]>

$A_{2} (u) = 0$ 解得式（18）的近似解 $u = π / 4$ ，则极值点在 $π / 4$ 附近，令迭代初值 $u_{0} = π / 4$ 建立迭代式：

ul+1=12arccos(6∑k=25A2k(ul)e2k-2) ]]>

将第 $l$ 次迭代结果 $u_{l}$ 代入式（20）计算第 $l + 1$ 次迭代结果，每一次迭代所得结果均展开至 $e^{8}$ ，截去高阶项。当迭代至第5次时，展开式系数已无变化，至此迭代完成，得到迭代结果为：

um=π4-7120e2-69725200e4-29626318144000e6-168762431552320000e8]]>

此时二阶导数大于0，该极值点为极小值点，计算迭代得到的 $ϑ$ 与 $u$ 之间的差异 $ϑ - u$ ，展开至 $e^{8}$ ，截去高阶项，得到 $u \in [0 °, 90 °]$ 时极值点对应的差异极小值为：

ϑ-umin=-112e2-17360e4-7807259200e6-37532918144000e8]]>

同理求得 $u \in [0 °, 90 °]$ 时，差异值 $φ - u$ 的极值为：

d(φ-u)du=∑k=15B2k(u)e2k ]]>

令迭代初值 $u_{0} = π / 4$ 建立迭代式：

ul+1=12arccos(2∑k=25B2k(ul)e2k-2) ]]>

得到相应差异极小值点与对应的差异极小值，基于椭球偏心率e展开至 $e^{8}$ ，结果见表 1。

传统的椭球大地测量和地图投影数学问题多基于偏心率e进行展开，表达式较为繁琐冗长，近年来椭球第三扁率n经常被用于大地测量计算中，它与第一偏心率e的关系为：

n=a-ba+b=1-1-e21+1-e2 ]]>

由式（23）可知，椭球第三扁率n在数值上比偏心率e更小，收敛速度也更快，可在简化表达式的同时提高精度。将 $u \in [0 °, 90 °]$ 时，差异值 $ϑ - u$ 、 $φ - u$ 的极值点和对应的差异极值表达式基于椭球第三扁率 $n$ 展开至 $n^{4}$ ，结果见表 2。

表 2 常用纬度与归化纬度差异极值基于椭球第三扁率n展开的分析表达式

Table 2. Analytical Expressions of Difference Extrema Between Commonly Used and Reduced Latitudes Expressed in a Power Series of the Third Flattening n

差值	差异极值点 $u_{m}$	对应差异极值
$B - u$	$\frac{π}{4} - \frac{1}{2} n - \frac{1}{12} n^{3}$	$n + \frac{1}{6} n^{3}$
$ϕ - u$	$\frac{π}{4} + \frac{1}{2} n + \frac{1}{12} n^{3}$	$- n - \frac{1}{6} n^{3}$
$ψ - u$	$\frac{π}{4} - \frac{1}{8} n + \frac{17}{768} n^{3}$	$- \frac{1}{2} n + \frac{37}{192} n^{3}$
$ϑ - u$	$\frac{π}{4} - \frac{7}{30} n + \frac{38}{1 575} n^{2} + \frac{7 127}{283 500} n^{3} - \frac{46 237}{9 095 625} n^{4}$	$- \frac{1}{3} n - \frac{4}{45} n^{2} + \frac{383}{4 050} n^{3} + \frac{3 406}{70 875} n^{4}$
$φ - u$	$\frac{π}{4} + \frac{1}{6} n - \frac{13}{45} n^{2} + \frac{3 047}{11 340} n^{3} - \frac{7}{50} n^{4}$	$- n + \frac{2}{3} n^{2} + \frac{1}{90} n^{3} - \frac{263}{945} n^{4}$

由表 1、表 2可知，基于椭球第三扁率n展开的分析表达式在表示差异值 $B - u$ 、 $ϕ - u$ 、 $ψ - u$ 的极值时，只有奇次项，没有二次项与四次项，比基于偏心率 $e$ 展开的分析表达式形式上更加简洁。差异值 $B - u$ 、 $ϕ - u$ 、 $φ - u$ 的极值点位于 $π / 4$ 右侧， $ψ - u$ 、 $ϑ - u$ 的极值点位于 $π / 4$ 左侧， $B - u$ 、 $ϕ - u$ 的极值点关于 $π / 4$ 左右对称，不仅如此， ${(B - u)}_{m a x}$ 和 ${(ϕ - u)}_{m i n}$ 互为相反数且绝对值最大。

因为e和n的数值很小、收敛速度快， $e^{2}$ 约为0.006 694， $e^{4}$ 约为 $4.481 5 \times 10^{- 5}$ ， $n$ 约为0.001 679， $n^{2}$ 约为 $2.819 8 \times 10^{- 6}$ ，故差异极值的数值大小和正负主要由首项系数，即 $e^{2}$ 项或 $n$ 项系数决定，此项系数越大，对应差异极值越大，此项系数的正负直接决定差异极值的正负。当差异极值基于椭球第三扁率n展开时，差异极值 ${(B - u)}_{m a x}$ 、 ${(ϕ - u)}_{m i n}$ 、 ${(φ - u)}_{m i n}$ 系数的绝对值为1， ${(ψ - u)}_{m i n}$ 系数的绝对值为1/2， ${(ϑ - u)}_{m i n}$ 系数的绝对值为1/3，综合考虑差异极值的正负，则可以近似认为这5种常用纬度与归化纬度的差异极值满足 $3 {(ϑ - u)}_{m i n}$ $\approx 2 {(ψ - u)}_{m i n}$ $\approx {(φ - u)}_{m i n}$ $\approx {(ϕ - u)}_{m i n}$ $= - {(B - u)}_{m a x}$ 。

4. 结语

本文对5种常用纬度与归化纬度差异极值进行了研究，将差异极值点与差异极值分别表示为椭球第一偏心率 $e$ 和第三扁率n的幂级数形式，并进行了算例分析，得出如下结论。

1）极值点位置方面。在归化纬度从 $0$ °到 $90$ °变化的过程中，各常用纬度与归化纬度差值的绝对值先增大后减小，在归化纬度为45 $°$ 附近出现极值。

2）差异极值的大小。差异值 $B - u$ 、 $ϕ - u$ 的极值互为相反数且绝对值最大， $ϑ - u$ 的极值最小。可近似认为5种常用纬度与归化纬度差异极值满足3（ $ϑ$ － $u$ ）_min≈2（ $ψ$ － $u$ ）_min≈（ $φ$ － $u$ ）_min $\approx$ ${(ϕ - u)}_{m i n}$ $=$ $- {(B - u)}_{m a x}$ 。

3）基于椭球第三扁率n展开的分析表达式在表示差异值 $B - u$ 、 $ϕ - u$ 、 $ψ - u$ 的极值时，没有偶次项，比基于椭球第一偏心率e展开的分析在表达式形式上更加简洁。

本文推导的常用纬度与归化纬度差异极值分析表达式，更加直观地显示了常用纬度与归化纬度的差异，适用于分析不同参数的椭球。

参考文献 (22)

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常用纬度与归化纬度差异极值分析表达式

doi: 10.13203/j.whugis20200004

作者简介:
叶彤，硕士生，主要研究方向为地图投影。1078257034@qq.com

通讯作者: 李厚朴，博士，副教授。lihoupu1985@126.com

Analytical Expressions of Differences Between Commonly Used Latitudes and Reduced Latitude

Author Bio:
YE Tong, postgraduate, specializes in map projection. E-mail: 1078257034@qq.com

Corresponding author: LI Houpu, PhD, associate professor. E-mail: lihoupu1985@126.com

计量

常用纬度与归化纬度差异极值分析表达式

doi: 10.13203/j.whugis20200004

1. 海军工程大学导航工程系，湖北武汉，430033

2. 广西测绘地理信息局，广西南宁，530001

3. 甘肃铁道综合工程勘察院有限公司，甘肃兰州，730000

作者简介:
叶彤，硕士生，主要研究方向为地图投影。1078257034@qq.com

通讯作者: 李厚朴，博士，副教授。lihoupu1985@126.com

English Abstract

Analytical Expressions of Differences Between Commonly Used Latitudes and Reduced Latitude

1. Department of Navigation, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China

2. Guangxi Regional Geographical Information Bureau of Surveying and Mapping, Nanning 530001, China

3. The General Engineering Survey Institute of Railways of Gansu Co. Ltd, Lanzhou 730000, China

Author Bio:
YE Tong, postgraduate, specializes in map projection. E-mail: 1078257034@qq.com

Corresponding author: LI Houpu, PhD, associate professor. E-mail: lihoupu1985@126.com

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1.1. 常用纬度与归化纬度间的函数关系

1.2. 基于归化纬度的常用纬度级数展开

2.1. 大地纬度、地心纬度、等距离纬度与归化纬度差异极值

2.2. 等面积纬度、等角纬度与归化纬度差异极值

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doi: 10.13203/j.whugis20200004

作者简介: 叶彤，硕士生，主要研究方向为地图投影。1078257034@qq.com

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常用纬度与归化纬度差异极值分析表达式

doi: 10.13203/j.whugis20200004

1. 海军工程大学导航工程系，湖北 武汉，430033 2. 广西测绘地理信息局，广西 南宁，530001 3. 甘肃铁道综合工程勘察院有限公司，甘肃 兰州，730000

作者简介: 叶彤，硕士生，主要研究方向为地图投影。1078257034@qq.com

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1. Department of Navigation, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China 2. Guangxi Regional Geographical Information Bureau of Surveying and Mapping, Nanning 530001, China 3. The General Engineering Survey Institute of Railways of Gansu Co. Ltd, Lanzhou 730000, China

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1.1. 常用纬度与归化纬度间的函数关系

1.2. 基于归化纬度的常用纬度级数展开

2.1. 大地纬度、地心纬度、等距离纬度与归化纬度差异极值

2.2. 等面积纬度、等角纬度与归化纬度差异极值

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叶彤，硕士生，主要研究方向为地图投影。1078257034@qq.com

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2. 广西测绘地理信息局，广西南宁，530001

3. 甘肃铁道综合工程勘察院有限公司，甘肃兰州，730000

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1. Department of Navigation, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China

2. Guangxi Regional Geographical Information Bureau of Surveying and Mapping, Nanning 530001, China

3. The General Engineering Survey Institute of Railways of Gansu Co. Ltd, Lanzhou 730000, China

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