坐标参考框架长期解内约束模型

曾安敏; 明锋; 吴富梅

doi:10.13203/j.whugis20190453

坐标参考框架长期解内约束模型

doi: 10.13203/j.whugis20190453

曾安敏^{1, 2,},
明锋^{1, 2},
吴富梅^{1, 2}

1.
地理信息工程国家重点实验室，陕西西安，710054
2.
西安测绘研究所，陕西西安，710054

基金项目:

国家重点研发计划 2020YFB505801

国家自然科学基金 42074006

详细信息

作者简介:
曾安敏，博士，副研究员，主要从事动态大地测量数据处理与坐标框架研究。zeng_anmin@163.com

中图分类号: P227

Fusion Model for Long-Term Solutions to the Terrestrial Reference Frame Using Internal Constraints

ZENG Anmin^{1, 2
,},
MING Feng^{1, 2},
WU Fumei^{1, 2}

1.
State Key Laboratory of Geo‐Information Engineering, Xi'an 710054, China
2.
Xi'an Institute of Surveying and Mapping, Xi'an 710054, China

Funds:

The National Key Research and Development Program of China 2020YFB505801

the National Natural Science Foundation of China 42074006

More Information

Author Bio:
ZENG Anmin, PhD, associate professor, specializes in the theories and methods of geodesy data processing and terrestrial reference frame. E-mail: zeng_anmin@163.com

摘要: 地球参考框架是一切测绘活动、地球科学研究的物理基础。目前，地球参考框架常采用长期解的形式，即利用一组全球分布的基准站在某一参考历元的坐标和速度来表示。由于观测有误差，且各基准站又具有非线性变化，故需要对不同历元的瞬时地球参考框架进行累积，形成稳定的长期参考框架。以不同历元观测数据得到的瞬时参考框架成果为输入，构建了一种基于多历元观测数据建立参考框架长期累积解的融合模型。从坐标转换模型和测站坐标的时变模型出发，详细推导了建立长期解的函数模型，依据该函数模型的秩亏数设计了转换参数的内约束基准。采用2010-08—2014-12的国际全球导航卫星系统服务第2次处理结果进行试算，并与国际地球参考框架2014成果进行了对比。结果表明，X、Y、Z方向标准偏差分别为3.45 ‍mm、4.04 mm、2.84 mm，速度精度分别为1.53 mm/a、1.46 mm/a、1.21 mm/a，X、Y、Z方向的加权均方根误差优于3 ‍mm。
- 地球参考框架 /
- 长期解 /
- 坐标转换 /
- 融合模型 /
- 内约束
Abstract: Objectives A terrestrial reference system (TRS) is a spatial reference system corotating with the Earth in its diurnal motion in space. A terrestrial reference frame (TRF) is defined as the realization of a TRS, through the realization of its origin, orientation axes and scale, and their time evolution. The TRF is the basis of all surveying and mapping activities and earth science research. Usually, its realization is achieved by a set of physical points with precisely determined coordinates in a specific coordinate system. Methods The instantaneous positions obtained from different epoch observations are with respect to differ‍ent reference frames. It is necessary to accumulate the instantaneous positions to form a stable long-term reference frame. Taking the instantaneous positions obtained from different epoch observations as input, a fusion model for the long-term solutions to a TRF is designed. The function model for the long-term solutions is deduced in detail considering the coordinate transformation model and the time-varying model of station coordinates. The rank deficiency is solved by applying internal constraints to the Helmert transformation parameters. Results The daily solutions spanning from 2010-08-2014-12 from the sec‍ond reprocessing of International Global Navigation Satellite System Service are used for calculation, and the results are compared with that of the international terrestrial reference frame 2014 (ITRF2014). The results show that for daily solutions the standard deviation is 3.45 mm, 4.04 mm, and 2.84 mm for X, Y and Z directions, respectively, and the weighted root mean square is better than 3 mm for all three directions. In terms of velocity, the accuracy is 1.53 mm/a, 1.46 mm/a, and 1.21 mm/a for X, Y and Z directions, respectively. Conclusions The derived TRF using the fusion model is consistent with ITRF2014, and the results validate the correctness and reliability of our fusion model, which can provide a theoretical basis for the establishment of the reference frame.
- terrestrial reference frame(TRF) /
- long-term solution /
- coordinate transformation /
- fusion model /
- internal constraint

图 1 本文计算结果与ITRF2014结果的坐标差值

Figure 1. Difference Between the Calculated Coordinate Results and ITRF2014

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图 2 本文计算结果与ITRF2014的速度差值

Figure 2. Difference Between the Calculated Velocity Results and ITRF2014

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图 3 计算转换参数

Figure 3. Calculated Translation Parameters

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图 4 计算的WRMS

Figure 4. Calculated WRMS

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表 1 本文计算结果与ITRF2014结果差异

Table 1. Statistics of the Difference Between the Calculat‍ed Results and ITRF2014

项目	位置/mm			速度/（mm·a^-1）
项目	X	Y	Z	V_X	V_Y	V_Z
最大差值	9.9	9.1	9.6	9.7	7.7	8.9
平均差	1.04	0.26	1.69	0.59	0.31	0.02
标准差	3.45	4.04	2.84	1.53	1.46	1.21

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图(4) / 表(1)

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地球参考框架（terrestrial reference frame，TRF）除了给测绘和工程建设提供基准外，还可为全球变化、地球物理研究等提供基准。建立和维持高精度、具有现势性的参考框架既是国家安全、国家战略利益拓展的需要，也是深空测绘、卫星导航应用和科学研究的需要。由于受板块运动、地壳形变、潮汐、负荷等因素的影响，测站坐标会发生位移，为满足各项应用需要，需按一定的维持策略保证站坐标和速度的高精度。

地球参考框架常由位于地球表面的一组分布合理的参考站的坐标和速度来表示，地球参考框架的建立有两种方式^[1]：一种是直接建立方式，即利用一种（或多种）技术的多期观测资料直接建立，采用一系列地面点的坐标及其速度来表示；另一种是间接方式，利用不同期不同技术的处理结果通过融合的方式间接建立，采用一种参考框架到另一种参考框架的转换参数来实现。不同融合模型解的性质略有差异^[2]。建立参考框架的严密融合方式应当是基于观测值层面的数据融合^[3]，这种方法能较好地削弱不同期观测间的系统误差，由于需要同时处理连续的长期原始观测数据，处理复杂度非常高，处理时间也非常长，对数据处理理论、软件编制等要求非常高，现有方法仅能同时处理短期的小型观测网络的数据。利用不同期（或不同技术）处理结果融合生成参考框架长期解，常采用以解独立交换格式（solution independent exchange format，SINEX）保存的单时段处理结果为输入数据，通过去除先验约束、重构法方程、叠加法方程、施加基准等过程来实现多技术成果的数据融合。需要指出的是，无论是直接形式还是间接形式，都需要附加特定的基准，如固定参数约束法^[4]、参数的随机约束法^[5]、相似变换最小约束^[6]等。无论采用哪种基准约束，都需要引入外部基准点，并向外部基准点坐标所体现的基准靠拢。

本文以不同历元观测数据得到的瞬时参考框架为输入数据，讨论了一种不同历元观测数据间接建立参考框架长期解的融合模型。首先，从坐标转换模型和测站坐标的时变模型出发，详细推导了建立长期解的函数模型；然后，考虑到该函数模型是秩亏的，设计了转换参数的内约束基准；最后，利用2010-08—2014-12的国际GNSS（global navigation satellite system）服务（International GNSS Service，IGS）第2次处理结果进行试算，并与国际地球参考框架2014（international terrestrial re‍fer‍ence frame 2014，ITRF2014）结果进行了比较。

1. 框架长期解融合模型

1.1. 融合模型

由于地壳是运动的，地球参考框架也受负载、潮汐、大气、地下水、冰期后回弹等影响，如此由不同历元观测资料实现的参考框架一般是动态框架^[7]。虽然同一框架点不同历元的瞬时参考框架结果是有差异的，但该瞬时参考框架结果精度是均匀的，可认为这种差异主要来源于参考系统间的定义差^[4]。

这种定义差可采用相似变换模型^[8]进行描述，即有：

X_{2} = T + m W X_{1}

式中， $X_{2}$ 为参考框架2下的坐标； $X_{1}$ 为参考框架1下的坐标； $T$ 、 $m_{}$ 、 $W$ 为转换参数，其中， $T$ 为平移参数， $m$ 为尺度参数， $W$ 为旋转参数构建的坐标旋转矩阵。

设 $R = W - E$ ，E为单位矩阵，则有：

X_{2} = X_{1} + T + m X_{1} + R X_{1}

通常，测站坐标 $X (t)$ 可表示为^[7，9-11]：

X (t_{i}) = X_{0} + (t_{i} - t_{0}) \dot{X} + Δ (t_{i}) + ε

式中， $t_{0}$ 为参考历元； $X_{0}$ 为参考历元 $t_{0}$ 时的位置； $\dot{X}$ 为测站速度； $Δ (t)$ 为不能采用常速度模型表示的时变量，通常包含周年项、半周项、季节项以及大气负载等引起的不规则变化； $ε$ 为不能模型化的小量。

忽略式（3）中的小量 $ε$ ，代入式（2）有：

\begin{matrix} X_{2} (t_{i}) = [X_{0} + (t_{i} - t_{0}) \dot{X} + Δ (t_{i})] + T (t_{i}) + \\ m (t_{i}) [X_{0} + (t_{i} - t_{0}) \dot{X} + Δ (t_{i})] + \\ R (t_{i}) [X_{0} + (t_{i} - t_{0}) \dot{X} + Δ (t_{i})] (4) \end{matrix}

由于 $m$ 、 $\dot{X}$ 、 $Δ (t_{i})$ 及 $R (t_{i})$ 中元素为小量，则式‍（4）可改写为：

\begin{matrix} X_{2} (t_{i}) = X_{0} + (t_{i} - t_{0}) \dot{X} + T (t_{i}) + \\ m (t_{i}) X_{0} + R (t_{i}) X_{0} + ε_{x} \end{matrix}

式中， $ε_{x}$ 为 $m$ 、 $\dot{X}$ 、 $Δ (t_{i})$ 及 $R (t_{i})$ 引起的小量。

实践中，并不直接处理 $X_{0}$ 、 $\dot{X}$ ，而是把其写成近似值 $X_{0, a p}$ 、 ${\dot{X}}_{a p}$ 加改正数 $δ X_{0}$ 、 $δ \dot{X}$ 的形式，即 $X_{0} = X_{0, a p}^{} + δ X_{0}$ ， $\dot{X} = {\dot{X}}_{a p}^{} + δ \dot{X}$ ，代入式（5）并忽略小量，有：

\begin{matrix} X_{2} (t_{i}) = (X_{0, a p}^{} + δ X_{0}) + (t_{i} - t_{0}) ({\dot{X}}_{a p}^{} + δ \dot{X}) + T (t_{i}) + m (t_{i}) (X_{0, a p}^{} + δ X_{0}) + R (t) (X_{0, a p}^{} + δ X_{0}) + ε_{x} = \\ X_{0, a p}^{} + (t_{i} - t_{0}) {\dot{X}}_{a p}^{} + m (t_{i}) δ X_{0}^{} + R (t_{i}) δ X_{0}^{} + δ X_{0} + (t_{i} - t_{0}) δ \dot{X} + T (t_{i}) + m (t_{i}) X_{0, a p}^{} + R (t_{i}) X_{0, a p}^{} + \\ ε_{x} = X_{0, a p}^{} + [(t_{i} - t_{0}) {\dot{X}}_{a p}^{} + (t_{i} - t_{0}) δ \dot{X} + \underset{\approx 0}{\underset{︸}{m (t_{i}) δ X_{0}^{}}} + \underset{\approx 0}{\underset{︸}{R (t_{i}) δ X_{0}^{}}}] + \\ [δ X_{0} + T (t_{i}) + m (t_{i}) X_{0, a p}^{} + R (t_{i}) X_{0, a p}^{}] + ε_{x} (6) \end{matrix}

由于 $[m (t_{i}) δ X_{0}^{} + R (t_{i}) δ X_{0}^{}]$ 为小量，忽略这些小量，有：

\begin{array}{l} X_{2} (t_{i}) = X_{0, a p}^{} + (t_{i} - t_{0}) {\dot{X}}_{a p}^{} + [δ X_{0} + (t_{i} - \\ t_{0}) δ \dot{X} + T (t_{i}) + m (t_{i}) X_{0, a p}^{} + R (t_{i}) X_{0, a p}^{}] + ε_{x} \end{array}

即

\begin{matrix} δ X_{2} (t_{i}) = X_{2} (t_{i}) - [X_{0, a p}^{} + (t_{i} - t_{0}) {\dot{X}}_{a p}^{}] = \\ [δ X_{0} + (t_{i} - t_{0}) δ \dot{X} + T (t_{i}) + m (t_{i}) X_{0, a p}^{} + \\ R (t_{i}) X_{0, a p}^{}] + ε_{x} \end{matrix}

式（8）可简写为：

δ X_{2} (t_{i}) = δ X_{0} + (t_{i} - t_{0}) δ \dot{X} + H θ (t_{i}) + ε_{x}

式中， $θ (t_{i})$ 为转换参数向量； $H$ 为其系数矩阵。

参考框架长期解模型是基于线性常速度模型的，考虑每个观测时段的坐标与长期解间存在转换关系，这种转换关系采用相似变换来描述。在前述融合模型中，以每个观测时段得到的瞬时参考框架结果作为观测量，不仅需要估计参考框架的长期解（参考历元下的坐标和速度），还需要估计瞬时参考框架与长期解间的转换参数。

1.2. 内约束基准

由不同观测时段得到的瞬时参考框架间接建立长期参考框架是通过7个转换参数实现的，则式（9）是秩亏的。为确保式（9）得到唯一的参考框架长期解，需要附加特定的基准，如固定参数约束法^[4]、参数的随机约束法^[5]、相似变换最小约束^[6]等。建立参考框架长期解中，不同观测时段瞬时参考框架与长期框架间存在转换关系，如综合连续多期观测瞬时参考框架，则有系列转换参数，可对这些坐标转换参数序列施加约束。

假定转换参数 $θ (t_{i})$ 是线性变化的，即：

$θ (t_{i}^{}) = θ_{0} + (t_{i}^{} - t_{0}) {\dot{θ}}_{0} + ε_{i}$

式中， $t_{0}$ 为参考历元； $θ (t_{i}^{})$ 为 $t_{i}$ 历元所对应的转换参数； $θ_{0}$ 、 ${\dot{θ}}_{0}$ 分别为 $t_{0}$ 历元所对应的转换参数及变率。

假定有n个观测历元，则有：

$(\begin{matrix} θ (t_{1}) \\ ⋮ \\ θ (t_{n}) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & (t_{1} - t_{0}) \\ ⋮ & ⋮ \\ 1 & (t_{n} - t_{0}) \end{matrix}) (\begin{array}{l} θ_{0} \\ {\dot{θ}}_{0} \end{array}) + (\begin{matrix} ε_{1} \\ ⋮ \\ ε_{n} \end{matrix})$

依据最小二乘原理，有：

${[\begin{matrix} n & \sum_{i = 1}^{n} (t_{k} - t_{0}) \\ \sum_{i = 1}^{n} (t_{k} - t_{0}) & \sum_{i = 1}^{n} {(t_{k} - t_{0})}^{2} \end{matrix}]}^{} (\begin{array}{l} θ_{0} \\ {\dot{θ}}_{0} \end{array}) = [\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} θ (t_{i}) \\ \sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - t_{0}) θ (t_{i}) \end{matrix}]$

可对模型中的转换参数施加约束条件，使得其在参考时刻所有的时间序列解与长期解的转换参数及其变化率为0，即：

$θ_{0} = 0, {\dot{θ}}_{0} = 0$

如此，有：

$\{\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{n} θ (t_{i}) = 0 \\ \sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - t_{0}) θ (t_{i}) = 0 \end{array}$

在内部约束条件下，导出了内约束条件式‍（13）、式（14），这种方法不需要考虑外部输入数据，只需考虑建立的框架参数满足平移参数、定向参数和尺度参数最小约束条件即可。这种由转换参数构建的内部约束条件等价于内约束^[12]，它独立于外部参考框架，不受任何外部参考框架的影响。通过附加约束式（13）、式（14），融合模型式（9）估计了系列坐标参数，保留了内在物理信息，保证了测站坐标序列内部特性。

3. 结语

由于地壳的不断运动，以及众多不规则力的影响，不同历元观测资料所实现的参考框架一般是动态框架，这种动态框架常采用框架点的常速度模型进行描述。本文推导了静态框架坐标转换模型以及时变框架的坐标转换模型，给出了同类观测、不同历元的测站坐标序列组合模型，为参考框架建立提供了理论基础。

利用IGS repro2结果的单天解SINEX文件计算了2010-08—2014-12时间跨度的长期解，在X、Y、Z方向WRMS优于3 mm，与ITRF的结果相比，X、Y、Z方向标准偏差分别为3.45 ‍mm、4.04 mm、2.84 mm，速度标准偏差分别为1.53 ‍mm/a、1.46 mm/a、1.21 mm/a。

参考文献 (14)

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坐标参考框架长期解内约束模型

doi: 10.13203/j.whugis20190453

作者简介:
曾安敏，博士，副研究员，主要从事动态大地测量数据处理与坐标框架研究。zeng_anmin@163.com

Fusion Model for Long-Term Solutions to the Terrestrial Reference Frame Using Internal Constraints

Author Bio:
ZENG Anmin, PhD, associate professor, specializes in the theories and methods of geodesy data processing and terrestrial reference frame. E-mail: zeng_anmin@163.com

计量

坐标参考框架长期解内约束模型

doi: 10.13203/j.whugis20190453

1. 地理信息工程国家重点实验室，陕西西安，710054

2. 西安测绘研究所，陕西西安，710054

作者简介:
曾安敏，博士，副研究员，主要从事动态大地测量数据处理与坐标框架研究。zeng_anmin@163.com

English Abstract

Fusion Model for Long-Term Solutions to the Terrestrial Reference Frame Using Internal Constraints

1. State Key Laboratory of Geo‐Information Engineering, Xi'an 710054, China

2. Xi'an Institute of Surveying and Mapping, Xi'an 710054, China

Author Bio:
ZENG Anmin, PhD, associate professor, specializes in the theories and methods of geodesy data processing and terrestrial reference frame. E-mail: zeng_anmin@163.com

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1.1. 融合模型

1.2. 内约束基准

2.1. 数据预处理策略

2.2. 结果分析

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坐标参考框架长期解内约束模型

doi: 10.13203/j.whugis20190453

作者简介: 曾安敏，博士，副研究员，主要从事动态大地测量数据处理与坐标框架研究。zeng_anmin@163.com

Fusion Model for Long-Term Solutions to the Terrestrial Reference Frame Using Internal Constraints

Author Bio: ZENG Anmin, PhD, associate professor, specializes in the theories and methods of geodesy data processing and terrestrial reference frame. E-mail: zeng_anmin@163.com

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出版历程

坐标参考框架长期解内约束模型

doi: 10.13203/j.whugis20190453

1. 地理信息工程国家重点实验室，陕西 西安，710054 2. 西安测绘研究所，陕西 西安，710054

作者简介: 曾安敏，博士，副研究员，主要从事动态大地测量数据处理与坐标框架研究。zeng_anmin@163.com

English Abstract

Fusion Model for Long-Term Solutions to the Terrestrial Reference Frame Using Internal Constraints

1. State Key Laboratory of Geo‐Information Engineering, Xi'an 710054, China 2. Xi'an Institute of Surveying and Mapping, Xi'an 710054, China

Author Bio: ZENG Anmin, PhD, associate professor, specializes in the theories and methods of geodesy data processing and terrestrial reference frame. E-mail: zeng_anmin@163.com

全文HTML

1.1. 融合模型

1.2. 内约束基准

2.1. 数据预处理策略

2.2. 结果分析

目录

作者简介:
曾安敏，博士，副研究员，主要从事动态大地测量数据处理与坐标框架研究。zeng_anmin@163.com

Author Bio:
ZENG Anmin, PhD, associate professor, specializes in the theories and methods of geodesy data processing and terrestrial reference frame. E-mail: zeng_anmin@163.com

1. 地理信息工程国家重点实验室，陕西西安，710054

2. 西安测绘研究所，陕西西安，710054

作者简介:
曾安敏，博士，副研究员，主要从事动态大地测量数据处理与坐标框架研究。zeng_anmin@163.com

1. State Key Laboratory of Geo‐Information Engineering, Xi'an 710054, China

2. Xi'an Institute of Surveying and Mapping, Xi'an 710054, China

Author Bio:
ZENG Anmin, PhD, associate professor, specializes in the theories and methods of geodesy data processing and terrestrial reference frame. E-mail: zeng_anmin@163.com