在密云观测站的50 m射电望远镜（以下简称为A镜）和新建的40 m射电望远镜（以下简称为B镜）附近设置两个GPS测量点，7个全站仪位置，并在射电望远镜运动结构上粘贴合适的反光贴片，作为观测标志点。由于站内地形高低不均，并且树木、建筑较多，因此选择的观测位置都应保证能够直视观测目标，不被遮挡；GPS接收设备和全站仪都放置在三脚架上，保证位置稳定。其站内观测位置俯视图如图 1所示。

图  1  站内观测位置示意图（俯视）

Figure 1.  Observation Locations (Vertical View)

为了建立两座望远镜中心点位置之间的关系，需要在密云站内设置本地坐标系，在坐标系当中测量两座望远镜的标志点并计算其位置。由于两座望远镜距离较远（相距100 m以上），仅使用全站仪难以在同一地点对两者进行全方位的测量，故采用GPS差分测量系统辅助建立本地坐标系。在两座望远镜之间，设置了G₁点和G₂点两个GPS测量点。G₁点位于主建筑前，G₂点位于主建筑楼顶，两点位于两望远镜之间，在地平面内两点的连线大致上与两望远镜中心点的连线垂直，并且有高度差，有助于后期对望远镜上的测量标志点进行定位和坐标换算。使用GPS接收设备在G₁和G₂两点进行了测量。拆卸三脚架上的GPS设备并以圆棱镜代替，用于后续的全站仪测量。

在两座望远镜周围尽量均匀地选取多个全站仪测量位置，用于对两座望远镜的标志点进行测量。考虑地形地物的因素，测量位置应能观测到望远镜标志点和两个GPS测量点而不被遮挡。在A镜附近设置3个全站仪观测点，B镜附近设置4个全站仪观测点。图 1中，A₁~A₃点分别位于A镜东南北3个方向，受场地限制，A镜西侧找不到合适的观测位置；B₁~B₄点分别位于B镜东南西北方向，其中B₂点选择了密云站围墙外一个利于观测的开阔位置。

分别在A、B镜的座架和俯仰机构上布置反光贴片。在A镜上布置3枚反光贴片，座架的底部、中部各一片，俯仰框架上一片；B镜布置4枚反光贴片，座架底部、中部和上部各一片，俯仰框架上一片，如图 2所示。由于大型射电望远镜的俯仰机构巨大，为避免形变的影响，避开齿条位置，反光贴片被置于传动齿条的末端。

图  2  反射贴片位置示意

Figure 2.  Positions of Target Marks

在G₁、G₂两点架设三脚架，安装GPS接收设备，进行GPS差分测量，确定两点的相对位置关系。由于GPS天线单点坐标的绝对值并不准确，因此后续的坐标换算中并不使用这两点的绝对位置，只使用两点之间的距离和方向矢量。得到两点差分测量数据之后，将GPS设备替换为圆棱镜，供全站仪测量使用。

在A₁~A₃、B₁~B₄7个观测位置分别使用全站仪进行观测步骤如下：（1）架设全站仪，调整水平和设置观测模式；（2）对参考点G₁、G₂进行测量，确定全站仪的观测位置；（3）利用事先布置的反光贴片对望远镜进行测量。

第（3）步的具体过程为：随着望远镜指向不同的方向，使用全站仪不断进行测量。以A镜为例，从方位角0°（0°时指向北方）开始旋转，每次旋转30°；在每一个方位角都调整天线的俯仰角，在20°‍~50°，以5°为间隔进行调整和测量。可以得到由方位架上两个贴片的旋转轨迹组成的两个圆，所在平面均与方位轴垂直，且圆心都在方位轴上。同时能够得到一系列俯仰架（俯仰齿条）贴片的运动轨迹，这些轨迹点分布于一个球面上，且其球心应为望远镜的运动中心，半径则是从运动中心到贴片的距离。与A镜类似，B镜的观测点将会组成3个方位圆环和一个球面。

2017-11-11—2017-11-13，对A、B镜分别进行了测量，共得到402个测量点，其中，A镜测点135‍ ‍个，B镜测点267个。

把7个测量位置得到的数据点统一到以A₁为原点的本地坐标系中。对于从A₂、A₃及B₁、B₂、B₃和B₄这6个观测点得到的观测数据，利用G₁、G₂点作为参照进行坐标转换。由于各测量位置的距离较近，不考虑地球的椭圆度，仅将本地坐标看作一个x轴指向北方、z轴指向本地天顶的空间直角坐标系。7个观测点为中心的每个本地坐标系的z轴都是近似平行的，且在每个坐标系内都可以找到向量$\mathit{D}={\mathit{G}}_{\mathrm{1}}-{\mathit{G}}_{\mathrm{2}}$在xy平面的投影。对于每一个本地坐标系来说，都可以利用一次绕z轴的坐标旋转，使得该坐标系内的$\mathit{D}$与A₁坐标系下的向量${\mathit{D}}_{A_{\mathrm{1}}}={\mathit{G}}_{{}_{\mathrm{1}}}^{A_{\mathrm{1}}}-{\mathit{G}}_{{}_{\mathrm{2}}}^{A_{\mathrm{1}}}$同向。以A₂观测点为例，在A₂点处测得的G₁和G₂点之间的向量${\mathit{D}}_{A_{\mathrm{2}}}={\mathit{G}}_{{}_{\mathrm{1}}}^{A_{\mathrm{2}}}-{\mathit{G}}_{{}_{\mathrm{2}}}^{A_{\mathrm{2}}}$；在A₁的本地坐标系当中也有相应的向量${\mathit{D}}_{A_{\mathrm{1}}}$，它们之间可以通过围绕z轴的旋转重合。即：

式中，$\theta$是${\mathit{D}}_{A_{\mathrm{2}}}$与${\mathit{D}}_{A_{\mathrm{1}}}$在z轴投影的夹角，方向指向z轴（右手螺旋）；${\mathit{P}}_z$为旋转矩阵，表达式为：

将所有的测量数据点都统一到以A₁点为测量中心的本地坐标系下，如图 3所示。图 3中红色星号和黑色星号点分别是G₁点和G₂点。靶标测量点分为两类，测量方位座架靶标的点称为方位测量点（蓝色），测量俯仰框架靶标的点称为俯仰测量点（红色）。

图  3  本地坐标系中的测量数据点

Figure 3.  Measured Points in Local Coordinate

在图 3中，由于测量误差和结构形变的存在，每个贴片对应的测量点并不是一个严格的圆形轨迹，因此需将方位测量点拟合到一个与z轴垂直的平面上。

设圆心位置坐标为$\left(x_c,y_c\right)$，圆半径为R，并设$Q$为：

拟合得到的圆心$\left(x_c,y_c\right)$和半径R应使得$Q$的值最小。利用圆周上的散点对平面圆进行拟合是一个二次非线性的问题，这里采用一种信赖域的方法进行迭代和计算^[12]，需要给定$\left(x_c,y_c\right)$和R的初值，使用$\left(({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{x}_i)/n,({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{y}_i)/n\right)$作为圆心坐标的初值，半径初值$R_{\mathrm{0}}=\left|x_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-x_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right|$/2。

取A镜的两个观测位置A₁和A₃点得到的数据，取相应数据点可以分别拟合得到A镜两个不同高度的方位圆，根据其在本地坐标系内的高度由高至低分别称之为“14 m圆”和“0 m圆”，如图 4所示。

图  4  A镜方位轴拟合圆

Figure 4.  Right Ascension Fitting Rounds of Telescope A

B镜则取3个观测位置B₁、B₃和B₄，用相应的数据点拟合可以得到B镜的3个不同高度的方位圆，根据其在本地坐标系内的高度由高至低分别称为16 m圆、10 m圆和8 m圆，如图 5所示。

图  5  B镜方位轴拟合圆

Figure 5.  Right Ascension Fitting Rounds of Telescope B

为了验证拟合得到的方位圆，使用余下的A₂和B₂测量点进行拟合误差验证：

此测量点在平面上与拟合圆环的距离作为环拟合误差，A镜圆拟合误差分布如图 6所示，B镜圆拟合误差分布如图 7所示。

图  6  A镜圆拟合误差分布

Figure 6.  Round Fitting Errors of Telescope A

图  7  B镜圆拟合误差分布

Figure 7.  Round Fitting Errors of Telescope B

计算各个拟合圆环的均方根误差（root mean square error，RMSE）：

拟合结果如表 1所示。A镜的环拟合的RMSE是2.434 mm，B镜的环拟合的RMSE是4.173 ‍mm。

对俯仰轴与方位轴相交的望远镜来说，俯仰测量点跟随方位轴和俯仰轴运动，运动时划过的轨迹能组成一个球面。A镜的中心点拟合球面如图 8所示。

图  8  A镜的中心点拟合球面

Figure 8.  Central Point Fitting Sphere of Telescope A

球面的球心是望远镜的运动中心，半径就是运动中心到反光贴片的距离。设R是拟合得到的球的半径，$\left(x_c,y_c,z_c\right)$是球心坐标，如果能找到合适的R和$\left(x_c,y_c,z_c\right)$，使得对所有n个俯仰测量点，Q值达到最小：

则这个球的球心就是望远镜的运动中心。

将使用圆拟合的圆心以及z坐标的平均值作为球心坐标的初始值，$R_{\mathrm{0}}=\left|x_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-x_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right|$/2作为球半径的初值。对A镜和B镜的观测都能得出一组俯仰观测点的集合。对于A镜，使用A₁、A₃观测位置得到的俯仰观测点进行球面拟合，A镜的拟合球和数据点如图 8所示，由于场地限制，只得到一批位于球面下半部分的测量点；对于B镜，使用B₁、B₃和B₄观测位置得到的俯仰观测点进行球面拟合，如图 9所示。在本地坐标系内，A镜和B镜的俯仰中心坐标如表 2所示。

图  9  B镜的中心点拟合球面

Figure 9.  Central Point Fitting Sphere of Telescope B

为了验证拟合得到的球面，使用余下的A₂点和B₂点的俯仰测量点进行拟合误差验证：

此测量点与拟合球面的距离作为球拟合误差。由此计算RMSE，可以得到A镜的球拟合的RMSE是1.907 mm，B镜的球拟合的RMSE是2.312 mm，误差在望远镜A、B指向不同方向时的分布分别如图 10、图 11所示，其中xy坐标平面是望远镜的方位角（a）和俯仰角（e）的极坐标在直角坐标系中的表达。

图  10  A镜球面拟合误差

Figure 10.  Sphere Fitting Errors of Telescope A

图  11  B镜球面拟合误差

Figure 11.  Sphere Fitting Errors of Telescope B

通过方位圆拟合和球面拟合，可以得到各个方位圆的圆心以及中心球面的球心。这些圆心的x和y坐标以及球心的三维坐标都可看作是对天线中心在本地坐标系下的测量和计算结果。为得到准确的天线中心位置，对圆拟合和球面拟合数据进行不同的权重分配，最终得到A镜和B镜的坐标分别为：

为了得到B镜在常用的地心坐标系中的位置，需要将其与参照物A镜的位置关系从本地坐标系转换到地心坐标系，这里采用国际协议地球参考系统坐标系的具体实现框架ITRF（international terrestrial reference frame）。ITRF2014是新一代的地球参考框架，由国际地球自转与参考系统服务维持与定期更新。这种坐标架构同时兼顾了大地测量和天文观测的需求，并且利用了多种技术和全球的多个台站联合进行测定。

坐标变换包括两次变换。第一次旋转，使得本地坐标系中的z轴的反方向单位向量（即重力的方向）与ITRF2014内本地重力方向重合。由于ITRF2014的坐标系中z轴与地球自转轴重合，因此采用A镜的位置坐标计算向心加速度，且与引力加速度作差即可得到本地重力加速度。第二次旋转，将GPS测量点G₁、G₂连线的向量D通过旋转变换转化到ITRF2014参考框架当中，旋转本地坐标系使得本地坐标系内的向量D与ITRF2014内的D重合，对两座望远镜在本地坐标系下的坐标也做相同的转换。两镜中心位置连线矢量$\mathit{\tau }$在本地和ITRF2014坐标系下的位置，以及两镜在ITRF2014下的绝对位置如表 3所示。

作为参照的50 m望远镜在2014年进行过精确的VLBI定位，其在ITRF2014下的坐标以及通过计算得到的40 m望远镜的坐标如表 3所示，测量精度RMSE为2.3 mm。

使用参照物的望远镜中心测量方法是一种简单易行的望远镜中心点坐标测量方法，对场地和仪器的要求都很低，无须特别的准备工作并能在几天内快速完成。在不具备传统的GPS测量方法所需条件，或者短期内难以开展VLBI测量时能够给出毫米级精度的望远镜中心点位置，满足了一些工作对望远镜中心点位置的需求，并为后续的更高精度的精密测量提供一个初始值。

由于仪器设备和场地限制，本文研究采用了一些近似方法，如能设置更多的GPS测量点，或者延长全站仪测量的时间，增设测量项目，应能取得更高精度的数据。

对于小范围内有多个望远镜的观测站，本文方法可以减少望远镜位置测量对设备的依赖，简单快速地利用已知的参照物进行位置测定。密云站后续的多项工作也表明本次测定位置较为准确，满足了这些工作的需求。