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利用小波包系数信息熵去除GNSS站坐标时间序列有色噪声

马俊 曹成度 姜卫平 周吕

马俊, 曹成度, 姜卫平, 周吕. 利用小波包系数信息熵去除GNSS站坐标时间序列有色噪声[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2021, 46(9): 1309-1317. doi: 10.13203/j.whugis20190353
引用本文: 马俊, 曹成度, 姜卫平, 周吕. 利用小波包系数信息熵去除GNSS站坐标时间序列有色噪声[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2021, 46(9): 1309-1317. doi: 10.13203/j.whugis20190353
MA Jun, CAO Cheng-du, JIANG Wei-ping, ZHOU Lü. Elimination of Colored Noise in GNSS Station Coordinate Time Series by Using Wavelet Packet Coefficient Information Entropy[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2021, 46(9): 1309-1317. doi: 10.13203/j.whugis20190353
Citation: MA Jun, CAO Cheng-du, JIANG Wei-ping, ZHOU Lü. Elimination of Colored Noise in GNSS Station Coordinate Time Series by Using Wavelet Packet Coefficient Information Entropy[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2021, 46(9): 1309-1317. doi: 10.13203/j.whugis20190353

利用小波包系数信息熵去除GNSS站坐标时间序列有色噪声

doi: 10.13203/j.whugis20190353
基金项目: 

武汉市企业技术创新项目 2019010702011314

中铁第四勘察设计院集团有限公司科技项目 2018K134

中国铁建股份有限公司科技项目 2019A02

广西省自然科学基金 2018GXNSFBA050006

详细信息
    作者简介:

    马俊, 博士, 高级工程师, 主要从事GNSS变形监测研究。yangzhiqou.student@sina.com

    通讯作者: 周吕, 博士, 讲师。zhoulv@glut.edu.cn
  • 中图分类号: P228

Elimination of Colored Noise in GNSS Station Coordinate Time Series by Using Wavelet Packet Coefficient Information Entropy

Funds: 

Wuhan Enterprise Technology Innovation Project 2019010702011314

Science and Technology Project of China Railway Siyuan Survey and Design Group Co. Ltd 2018K134

Science and Technology Project of China Railway Construction Co. Ltd 2019A02

the Natural Science Foundation of Guangxi Province 2018GXNSFBA050006

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  • 摘要: 针对全球卫星导航系统(global navigation satellite system, GNSS)基准站坐标时间序列中有色噪声影响测站运动参数估计精度的问题, 提出了一种以小波包变换为基础、利用信息熵理论剔除有色噪声的方法。首先, 以有色噪声中的闪烁噪声为例, 对包含闪烁噪声的仿真时间序列进行噪声估计, 检验闪烁噪声的估计精度。然后, 对仿真时间序列的残差序列分别进行离散小波变换和小波包变换, 利用信息熵理论剔除闪烁噪声, 并比较两种方法的去噪效果。最后, 采用KMIN站的坐标时间序列作为实测数据, 进一步验证小波包系数信息熵的去噪效果。实验结果表明, 利用小波包系数信息熵剔除的有色噪声与原有色噪声在频域以及时域均具有较好的一致性, 所提方法能够有效地剔除残差序列中的有色噪声, 仅余白噪声。
  • 图  1  小波分解树及小波系数所占频带宽度

    Figure  1.  Wavelet Decomposition Tree and Frequency Band-width of Wavelet Coefficient

    图  2  仿真时间序列、拟合曲线和拟合残差序列

    Figure  2.  Simulation Time Series, Fitting Curves and Fitting Residual Series

    图  3  利用小波变换信息熵剔除闪烁噪声

    Figure  3.  Process of Removing Flicker Noise by Using Wavelet Transform Information Entropy

    图  4  原闪烁噪声与利用离散小波变换信息熵提取的闪烁噪声的功率谱

    Figure  4.  Power Spectrum of Original Flicker Noise and the Flicker Noise Extracted by Discrete Wavelet Transform Information Entropy

    图  5  原闪烁噪声与利用小波包变换信息熵提取的闪烁噪声的功率谱

    Figure  5.  Power Spectrum of Original Flicker Noise and the Flicker Noise Extracted by Wavelet Packet Transform Information Entropy

    图  6  原闪烁噪声与利用小波包变换信息熵提取的闪烁噪声

    Figure  6.  Original Flicker Noise and the Flicker Noise Ex-tracted by Wavelet Packet Transform Information Entropy

    图  7  KMIN站去噪前后残差序列

    Figure  7.  Residual Series Before and After Denoising at KMIN Station

    图  8  KMIN站去噪前后残差序列的功率谱

    Figure  8.  Power Spectrum of Residual Series Before and After Denoising at KMIN Station

    表  1  剔除闪烁噪声前后噪声振幅估值和残差序列RMS /mm

    Table  1.   Estimation of Noise Amplitudes and RMS of Residual Series Before and After Elimination of Flicker Noise /mm

    状态 白噪声振幅估值 闪烁噪声振幅估值(1/4周年振幅) 残差序列RMS
    去噪前 2.1 3.0 2.3
    去噪后 1.7 0 1.7
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    表  2  去噪后KMIN站坐标残差序列RMS相对变化

    Table  2.   Relative Change of RMS of the Coordinate Residual Series at KMIN Station After Denoising

    RMS相对变化参数 N E U
    r4 1.1 1.1 1.0
    r5 1.2 1.3 1.1
    r6 1.4 1.3 1.1
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    表  3  KMIN站去噪前后的噪声振幅估值和残差序列RMS /mm

    Table  3.   Estimation of Noise Amplitudes and RMS of Residual Series Before and After Denoising at KMIN Station /mm

    状态 白噪声振幅估值 闪烁噪声振幅估值(1/4周年振幅) 残差序列RMS
    N E U N E U N E U
    去噪前 1.2 1.8 3.9 5.5 6.6 17.1 2.2 2.9 7.8
    去噪后 0.6 1.3 2.5 0 0 0 0.6 1.3 2.5
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出版历程
  • 收稿日期:  2020-09-17
  • 刊出日期:  2021-09-18

利用小波包系数信息熵去除GNSS站坐标时间序列有色噪声

doi: 10.13203/j.whugis20190353
    基金项目:

    武汉市企业技术创新项目 2019010702011314

    中铁第四勘察设计院集团有限公司科技项目 2018K134

    中国铁建股份有限公司科技项目 2019A02

    广西省自然科学基金 2018GXNSFBA050006

    作者简介:

    马俊, 博士, 高级工程师, 主要从事GNSS变形监测研究。yangzhiqou.student@sina.com

    通讯作者: 周吕, 博士, 讲师。zhoulv@glut.edu.cn
  • 中图分类号: P228

摘要: 针对全球卫星导航系统(global navigation satellite system, GNSS)基准站坐标时间序列中有色噪声影响测站运动参数估计精度的问题, 提出了一种以小波包变换为基础、利用信息熵理论剔除有色噪声的方法。首先, 以有色噪声中的闪烁噪声为例, 对包含闪烁噪声的仿真时间序列进行噪声估计, 检验闪烁噪声的估计精度。然后, 对仿真时间序列的残差序列分别进行离散小波变换和小波包变换, 利用信息熵理论剔除闪烁噪声, 并比较两种方法的去噪效果。最后, 采用KMIN站的坐标时间序列作为实测数据, 进一步验证小波包系数信息熵的去噪效果。实验结果表明, 利用小波包系数信息熵剔除的有色噪声与原有色噪声在频域以及时域均具有较好的一致性, 所提方法能够有效地剔除残差序列中的有色噪声, 仅余白噪声。

English Abstract

马俊, 曹成度, 姜卫平, 周吕. 利用小波包系数信息熵去除GNSS站坐标时间序列有色噪声[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2021, 46(9): 1309-1317. doi: 10.13203/j.whugis20190353
引用本文: 马俊, 曹成度, 姜卫平, 周吕. 利用小波包系数信息熵去除GNSS站坐标时间序列有色噪声[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2021, 46(9): 1309-1317. doi: 10.13203/j.whugis20190353
MA Jun, CAO Cheng-du, JIANG Wei-ping, ZHOU Lü. Elimination of Colored Noise in GNSS Station Coordinate Time Series by Using Wavelet Packet Coefficient Information Entropy[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2021, 46(9): 1309-1317. doi: 10.13203/j.whugis20190353
Citation: MA Jun, CAO Cheng-du, JIANG Wei-ping, ZHOU Lü. Elimination of Colored Noise in GNSS Station Coordinate Time Series by Using Wavelet Packet Coefficient Information Entropy[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2021, 46(9): 1309-1317. doi: 10.13203/j.whugis20190353
  • 全球卫星导航系统(global navigation satellite system, GNSS)基准站坐标时间序列可以为研究地壳运动的时空变化特征和其他地球科学问题提供丰富的基础数据,因此被广泛地应用于大地测量和地球动力学研究[1]。受模型化不完善的地球物理效应以及与GNSS的系统误差[2]等因素影响,GNSS站坐标时间序列中含有白噪声和有色噪声。有色噪声存在于低频,常用的噪声分析方法无法将其有效消除或准确估计出噪声振幅[3],导致对一些地球物理现象的错误解释,因此有必要采取措施削弱GNSS坐标时间序列中的有色噪声,有助于获得测站运动参数估值更加准确的不确定度[4],对于精化速度场、建立毫米级的地球参考框架以及合理解释板块构造运动过程等研究具有积极的意义。

    小波分析具有时频域局部分析、多分辨率(多尺度)分析等功能,因此小波阈值去噪法成为GNSS站坐标时间序列常用去噪方法之一。该方法在设置阈值时仅考虑了白噪声,对于削弱坐标时间序列中高频部分的白噪声具有较好的效果,但对于功率集中于低频的有色噪声,如闪烁噪声和随机漫步噪声,该方法的去噪效果并不理想。Wu等[5]提出基于离散小波变换系数的模极大值去噪,该方法通过白噪声的小波系数模极大值获得有色噪声的小波系数时,忽略了时间序列中周期信号的小波系数模极大值的影响以及低频部分的白噪声,适用于短期的坐标时间序列。文献[6-7]提出经验模式分解(empirical mode decomposition, EMD)方法去噪,该方法类似于离散小波变换,可以有效提取GNSS坐标时间序列中的非线性信号。然而有色噪声的功率集中于低频,且与周期信号的功率混合,因此EMD方法同样无法剔除存在于低频中的有色噪声。王解先等[8]利用奇异谱分析法提取出GNSS坐标时间序列中不同成分的信号,如线性趋势、周期信号、噪声等,从而对时间序列的结构进行分析。该方法具有较好的降噪平滑作用,但对于准确获得测站运动参数及其不确定度效果不佳。因此,尽管上述研究成果丰富,但仍不能实现有色噪声与信号的有效分离。

    GNSS站坐标残差序列由白噪声和有色噪声组成,而信息熵作为度量信号不确定性的准则,具有可加性,可用于量化白噪声与有色噪声的信息不确定比。因此,本文对GNSS站坐标残差序列进行小波变换(包括离散小波变换和小波包变换),分析有色噪声小波信息熵与残差序列小波信息熵的关系,在此基础上重构有色噪声并将其剔除。

    • 小波变换主要包括连续小波变换和离散小波变换。在实际问题的数值计算中常采用离散形式,即离散小波变换。一维离散小波变换实现的算法一般是Mallat算法[9],即先对信号进行小波变换,获得低频系数和高频系数,再选取低频系数在原尺度的1/2尺度上进行小波变换。小波分解树及小波系数所占频带宽度如图 1(a)所示,其中c A表示低频小波系数,c D表示高频小波系数,下标1~4表示分解层数,箭头所指条形宽度表示相应小波系数所占的频带宽度。由图 1(a)可以看出,对信号进行4层离散小波分解,可以得到5个小波分解系数,包括4个高频小波系数和一个低频小波系数。从第一层开始,每层小波系数所占频带宽度呈指数递减;对小波系数逆变换后获得的信号所占频带宽度为上一层小波变换低频系数重构信号频带宽度的一半。因此,离散小波变换虽然可以对信号进行有效的时频分解,但其尺度按照二进制变化,即对信号频带进行指数等间隔划分,在高频频率的分辨率较差。

      图  1  小波分解树及小波系数所占频带宽度

      Figure 1.  Wavelet Decomposition Tree and Frequency Band-width of Wavelet Coefficient

      小波包变换是在离散小波变换的基础上对高频小波系数再次进行分解。小波包分解树及小波包系数所占频带宽度如图 1(b)所示,其中每个节点上第一个数字表示分解层数,第二个数字表示该层小波系数的编号。由图 1(b)可以看出,对信号做4层小波包分解,每层分解都对上一层分解获得的高频小波系数进行处理,最终在进行第4次分解时获得包括低频以及高频系数在内的24个频带宽度相同的小波系数。可以看出,在频域上小波包变换对信号的分析比离散小波变换更为精细。

      小波分解层数的确定是完全剔除GNSS坐标时间序列有色噪声的关键,因此必须选择合适的分解层数,在保证有色噪声不失真的前提下,最大程度地实现其与信号的分离[10]。理论上去除有色噪声后的GNSS坐标残差序列仅剩白噪声。根据文献[10],逐渐增加分解层数,根据去除有色噪声后残差序列的均方根变化是否稳定来确定最佳分解层数。当分解层数N依次取1, 2, 3…时,依次计算去噪声后残差序列的均方根(root mean square, RMS)。RMS相对变化参数r为相邻层数均方根的比,计算式为:

      $$ r_{N+1}=\frac{R_{N+1}}{R_{N}} $$ (1)

      式中,RN+1RN分别为基于N+1和N层小波分解去除有色噪声后的均方根。当r≤1.1且r接近于1时,认为有色噪声已基本去除,此时最佳分解层数取NN+1。

    • 在信息论中,香农将信号的不确定性称为信息熵,熵值越小,系统所含的信息量越多,信号的不确定性就越小[11],信息熵可以用于对信号的不确定性总量进行量化[12]。因此本文采用信息熵表示GNSS站坐标残差序列小波系数中噪声的信息量。假设s=x+w,其中s为残差序列,x为有色噪声,w为白噪声。由于小波变换是线性的,因此残差序列的小波系数保持了白噪声与有色噪声小波系数的加法运算[13],计算式为:

      $$ s_{k}^{j}=x_{k}^{j}+w_{k}^{j} $$ (2)

      式中,skjxkjwkj分别为残差序列、有色噪声以及白噪声的小波系数;k为平移时间;对于离散小波变换,j表示小波系数所在的层数,j=1, 2, 3…N, N为分解的层数;对于小波包变换,j表示最后一层小波系数所在的节点,j=0, 1, 2, 3…2N-1。残差序列、白噪声与有色噪声的小波系数的信息熵计算式分别为[14]:

      $$ En\left[s_{k}^{j}\right]=-\sum\limits_{k=1}^{n}\left[\left(s_{k}^{j}\right)^{2} \lg \left(s_{k}^{j}\right)^{2}\right] $$ (3)
      $$ E n\left[w_{k}^{j}\right]=-\sum\limits_{k=1}^{n}\left[\left(w_{k}^{j}\right)^{2} \lg \left(w_{k}^{j}\right)^{2}\right] $$ (4)
      $$ E n\left[x_{k}^{j}\right]=-\sum\limits_{k=1}^{n}\left[\left(x_{k}^{j}\right)^{2} \lg \left(x_{k}^{j}\right)^{2}\right] $$ (5)

      式中,En表示熵。由于白噪声小波系数的信息熵与小波基、白噪声方差以及小波系数所在层数j有关[5],因此可根据白噪声方差获得仿真白噪声,并用其小波系数信息熵替换实际白噪声的小波系数信息熵。残差序列、模拟白噪声以及有色噪声的信息熵关系式为[14]:

      $$ En\left[s_{k}^{j}\right] \approx En\left[x_{k}^{j}\right]+En\left[{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over w} }_{k}^{j}\right] $$ (6)

      式中,$ {\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over w} } $为模拟白噪声。根据式(6)以及模拟白噪声的小波熵,获得有色噪声的小波熵,计算式为:

      $$ E n\left[x_{k}^{j}\right]=E n\left[s_{k}^{j}\right]-\operatorname{En}\left[{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over w} } _{k}^{j}\right] $$ (7)

      根据有色噪声小波熵与残差序列小波熵之比,可获得有色噪声的小波系数:

      $$ x_{k}^{j}=E n\left[x_{k}^{j}\right] / E n\left[s_{k}^{j}\right] $$ (8)

      重构有色噪声小波系数,获得有色噪声x

    • 为了比较离散小波变换信息熵与小波包变换信息熵去除GNSS坐标时间序列中有色噪声的效果,本文对仿真时间序列对进行了去噪分析。仿真时间序列的长度为10 a,包含线性趋势、周年以及半周年信号。有色噪声包含闪烁噪声、随机漫步噪声等相关噪声,而GNSS坐标时间序列最佳噪声组合模型为白噪声+闪烁噪声。因此,仿真时间序列中添加的噪声为白噪声和闪烁噪声。由于GNSS站坐标时间序列中白噪声并不占主导地位[15],仿真序列中闪烁噪声的振幅(1/4周年振幅为4 mm)大于白噪声的振幅(2 mm)。图 2为仿真时间序列、拟合曲线以及由白噪声和闪烁噪声组成的拟合残差序列。

      图  2  仿真时间序列、拟合曲线和拟合残差序列

      Figure 2.  Simulation Time Series, Fitting Curves and Fitting Residual Series

      在考虑周年以及半周年信号的情况下,利用CATS(create and analyze time series)软件计算白噪声和闪烁噪声的振幅,结果分别为2.1 mm以及3.0 mm(1/4周年振幅)。根据文献[2]可知,白噪声的振幅估值更接近真值,而闪烁噪声的振幅估值与其真值相差较大。根据白噪声的振幅估值模拟用于小波变换的白噪声,在此基础上分别利用离散小波变换以及小波包变换系数信息熵去除闪烁噪声,具体过程如图 3所示。

      图  3  利用小波变换信息熵剔除闪烁噪声

      Figure 3.  Process of Removing Flicker Noise by Using Wavelet Transform Information Entropy

      为检验闪烁噪声的剔除效果,对残差序列分别进行4~7层分解,并将剔除的闪烁噪声与原闪烁噪声的双对数功率谱进行比较,结果分别如图 4图 5所示。

      图  4  原闪烁噪声与利用离散小波变换信息熵提取的闪烁噪声的功率谱

      Figure 4.  Power Spectrum of Original Flicker Noise and the Flicker Noise Extracted by Discrete Wavelet Transform Information Entropy

      图  5  原闪烁噪声与利用小波包变换信息熵提取的闪烁噪声的功率谱

      Figure 5.  Power Spectrum of Original Flicker Noise and the Flicker Noise Extracted by Wavelet Packet Transform Information Entropy

      图 4可以看出,当频率高于10 cpy时,利用离散小波变换系数信息熵提取的闪烁噪声的功率小于原闪烁噪声的功率;随着分解层数增大,该频段的功率谱几乎没有变化。这是由于离散小波变换是基于低频系数在原尺度的1/2尺度上再进行小波变换。当进行4层分解时,获得的高频小波系数所占频带范围为[11.4, 182.5]cpy。因此,即使增加分解层数,也不会对该频段的小波系数再处理,致使该频段的有色噪声与残差序列的小波熵的比值固定。

      图 5可以看出,随着分解层数的增加,利用小波包变换系数信息熵提取的闪烁噪声的功率谱与原闪烁噪声的功率谱逐渐重合。这是由于小波包变换对低频以及高频小波系数同时进行分解,随着分解层数的增加,所有小波系数所占频带宽度越来越小。在此基础上,基于每个频带上的小波系数获得的闪烁噪声能够较好地反映该频带原闪烁噪声的功率特点。因此利用该方法提取的闪烁噪声与原闪烁噪声的功率谱在高频和低频均具有较好的重合性。

      此外,结合图 4图 5还可以看出,剔除的闪烁噪声在频率为1 cpy和2 cpy处的功率均小于0.01 mm2/cpy,远小于原闪烁噪声的功率。这是由于在估计周年和半周年运动参数时,将这两个频率的闪烁噪声当作周年以及半周年信号进行处理,导致小波重构后的闪烁噪声与原仿真的有色噪声在两个频率的功率存在显著差异。与周年和半周年信号相比,噪声能量几乎可以忽略,因此对周期运动参数估值的影响也较小,在此不作探讨。

      综合以上分析,在对残差序列进行7层分解的基础上,利用小波包变换系数信息熵剔除闪烁噪声,并与原闪烁噪声进行对比,结果如图 6所示。由图 6可以看出,剔除的闪烁噪声与原闪烁噪声的波形较为一致。

      图  6  原闪烁噪声与利用小波包变换信息熵提取的闪烁噪声

      Figure 6.  Original Flicker Noise and the Flicker Noise Ex-tracted by Wavelet Packet Transform Information Entropy

      为分析剔除闪烁噪声后噪声振幅的变化,利用CATS软件估计仿真时间序列去噪后白噪声和闪烁噪声的振幅,并计算去噪前后的RMS,结果如表 1所示。由表 1可以看出,去噪前残差序列的RMS介于白噪声和闪烁噪声的振幅估值之间;而去噪后闪烁噪声的振幅估值为0,且残差序列的RMS与白噪声振幅估值相同。这说明残差序列中的闪烁噪声已被完全剔除,仅余下白噪声,在不受闪烁噪声影响的情况下,残差序列的RMS即为白噪声的振幅。由于白噪声振幅估值的准确度较高,通过小波包变换信息熵去噪处理后,可直接利用最小二乘法获得测站准确的运动参数及其不确定度。

      表 1  剔除闪烁噪声前后噪声振幅估值和残差序列RMS /mm

      Table 1.  Estimation of Noise Amplitudes and RMS of Residual Series Before and After Elimination of Flicker Noise /mm

      状态 白噪声振幅估值 闪烁噪声振幅估值(1/4周年振幅) 残差序列RMS
      去噪前 2.1 3.0 2.3
      去噪后 1.7 0 1.7
    • 为了验证基于小波系数信息熵去噪方法的实际应用效果,本文采用中国地震局提供的中国陆态网中KMIN站N、E、U 3个方向的坐标时间序列进行去噪分析。KMIN站所在区域于2004年末和2008年5月发生地震,致使地震前后的时间序列有明显的偏移。已有研究表明,地震会使GPS坐标时间中的白噪声、闪烁噪声以及随机漫步噪声发生变化[16],地震前后地壳运动速度也会发生变化[17],因此不能将地震前后的时间序列统一处理。由于GNSS坐标时间序列的时间范围越早,其噪声的振幅越大[18],为使实验结果更加可靠,本文选择2004年地震前(1999-03—2004-12)的坐标时间序列进行处理。

      在对坐标时间序列进行粗差剔除以及由于更换天线造成的阶跃的处理后,建立测站线性和非线性的运动模型[19]。GNSS站坐标时间序列的非线性运动特征主要表现为幂律噪声背景下显著的周年、半周年周期运动[20],因此本文的测站非线性运动模型仅考虑周年、半周年信号。已有研究表明,GNSS测站坐标时间序列的最佳噪声组合模型一般为白噪声+闪烁噪声[1, 21]。在此噪声组合模型下,利用CATS软件估计KMIN站的线性和非线性运动参数以及噪声振幅,并根据运动参数的估计结果对测站的运动轨迹进行拟合,进而获得测站坐标的残差序列。在此基础上分别进行4~7层分解,利用小波包系数信息熵剔除残差序列中的闪烁噪声。根据公式(1)计算去噪后3个方向的残差序列RMS在不同分解层数下的相对变化,结果见表 2。由表 2可以看出,3个方向的残差序列RMS在第4层变化最小,均小于或等于1.1,因此确定4为最佳分解层数。

      表 2  去噪后KMIN站坐标残差序列RMS相对变化

      Table 2.  Relative Change of RMS of the Coordinate Residual Series at KMIN Station After Denoising

      RMS相对变化参数 N E U
      r4 1.1 1.1 1.0
      r5 1.2 1.3 1.1
      r6 1.4 1.3 1.1

      为进一步分析本文方法的去噪效果,在相同的噪声组合模型下,利用CATS计算KMIN站去噪前后的噪声振幅估值和残差序列RMS,结果见表 3,去噪前后的残差序列及其功率谱如图 7图 8所示。

      表 3  KMIN站去噪前后的噪声振幅估值和残差序列RMS /mm

      Table 3.  Estimation of Noise Amplitudes and RMS of Residual Series Before and After Denoising at KMIN Station /mm

      状态 白噪声振幅估值 闪烁噪声振幅估值(1/4周年振幅) 残差序列RMS
      N E U N E U N E U
      去噪前 1.2 1.8 3.9 5.5 6.6 17.1 2.2 2.9 7.8
      去噪后 0.6 1.3 2.5 0 0 0 0.6 1.3 2.5

      图  7  KMIN站去噪前后残差序列

      Figure 7.  Residual Series Before and After Denoising at KMIN Station

      图  8  KMIN站去噪前后残差序列的功率谱

      Figure 8.  Power Spectrum of Residual Series Before and After Denoising at KMIN Station

      表 3可以看出,去除闪烁噪声前,3个方向的白噪声振幅估值远小于闪烁噪声振幅估值;在去除闪烁噪声后,利用CATS软件获得的白噪声振幅估值减小,且闪烁噪声的振幅估值均为0;去噪前残差序列的RMS值介于白噪声和闪烁噪声振幅估值之间,去噪后残差序列的RMS值与白噪声的振幅估值相等。这是由于去噪前闪烁噪声振幅大于白噪声振幅,受此影响残差序列的RMS值介于两者之间;而去噪后残差序列为白噪声,因此残差序列RMS值与白噪声振幅估值相同。

      图 7可以看出,去除闪烁噪声前,残差序列具有显著的波动,这是由于残差序列中还存在闪烁噪声,而闪烁噪声是由一些周期性的系统误差组成[22];利用本文方法去除闪烁噪声后,剩余的残差序列较为平稳,这说明残差序列中的低频误差已被消除。由图 8可以看出,去除闪烁噪声前,残差序列的功率集中在低频,这是由于闪烁噪声的功率集中在低频,且闪烁噪声的振幅估值明显大于白噪声;去除闪烁噪声后,在频率大于10 cpy的范围内,残差序列的功率趋于平稳,而在低于10 cpy的部分频率,残差序列的功率明显减小,这可能是导致去噪后白噪声振幅估值减小的原因。

    • 在利用GNSS坐标时间序列分析测站运动时,实现噪声与运动信号的有效分离是获得测站准确的运动参数及其不确定度的关键。GNSS坐标时间序列中有色噪声的存在导致无法准确获得噪声的振幅,进而影响了测站运动参数的精度。针对此问题,本文提出一种联合小波包变换以及信息熵理论剔除GNSS坐标时间序列中有色噪声的方法。首先利用小波包变换对GNSS坐标时间序列进行分解,获得其在不同频带上的小波系数,然后根据每个频带上有色噪声与坐标时间序列的小波系数信息熵之比,获取有色噪声的小波系数,进而在时域上通过小波逆变换获得有色噪声的序列,并将其从GNSS坐标时间序列中剔除,最终得到仅受白噪声影响的时间序列。本文以有色噪声中的闪烁噪声为例,在白噪声+闪烁噪声组合模型下,利用仿真数据以及实测数据对所提方法进行了检验。仿真实验结果表明,利用所提方法剔除的有色噪声与原有色噪声的时频特征较为相似。实测数据实验结果表明,所提方法可实现有色噪声与信号的有效分离。

参考文献 (22)

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