本文算法是基于RVoG模型、S-RVoG模型的改进，因此，有必要介绍一下相关模型的基本理论。

RVoG模型是目前PolInSAR反演森林高度使用最广泛的模型^{[3-6，13，15]}。其假设森林是均匀同质的两层散射结构体，即地表和冠层，并假定消光系数在模型中是不随森林高度、结构变化而发生改变的恒定值。冠层散射信息由森林的两个物理参数所决定：森林高度$h_v$和消光系数$\sigma$。由此定义的复相干系数表达式为：

式中，$\sigma$为消光系数；$h_v$为森林高度；${\varphi }_{\mathrm{0}}$为林下地表相位；${\gamma }_v$为仅包含冠层散射能量的纯体去相干系数；$\mu \left(\omega \right)$为地体幅度比；$\omega$为不同的极化方式；$\theta$为雷达入射角；$k_z$为垂直波数。$k_z$表达式为：

式中，$B_{\perp }$为垂直基线；$\lambda$为雷达波长；R为传感器到照射目标的斜距。

RVoG模型假设地形起伏变化为零，忽略了地形坡度变化而导致的模型反演误差。针对RVoG模型未考虑地形坡度问题，Lu等^[14]提出顾及地形坡度的S-RVoG模型，其模型解译如图 1所示。当地面出现起伏地形时，雷达波束的消光路径发生变化，显然按照忽略地形坡度影响的传统RVoG模型进行树高反演容易出现误差。

图  1  S-RVoG模型示意图

Figure 1.  Schematic Representation of S-RVoG Model

考虑到地形坡度的影响，RVoG模型将出现入射角及垂直波数的变化：

式中，θ是雷达入射角；θ'为加入地形坡度的修正的雷达入射角；β是高程变化引起的地形坡度，可由外部数字高程模型（digital elevation model，DEM）数据计算修正。坡度计算公式^[13]为：

式中，$\mathrm{\Delta }H$表示DEM相邻像素之间的高差；$P_{rg}$代表SAR影像的斜距向分辨率。

针对传统RVoG模型未充分考虑森林结构的垂直异构性，仅假设消光系数在模型当中为恒定值问题，Garestier等^[11]假定消光系数随着树高的变化呈线性关系，研究了纯体去相干与树高变化及雷达波穿透森林厚度之间的敏感度问题。

在模型中，假定消光系数与树高呈线性关系：

式中，$\alpha$为线性函数中的斜率。将式（4）代入式‍（1），经地形坡度修正^[14]以及等式转换关系^[11]，纯体去相干系数表达式变为：

式（5）可用高斯误差函数求解，可得：

式中，erf指高斯误差函数计算；$k_z^{\text{'}}$与${\theta }^{\text{'}}$是经过地形坡度修正的垂直波数与雷达入射角。

式（7）为线性变化消光S-RVoG模型中的纯体去相干系数的最终表达式。

三阶段算法建立了RVoG模型在复数平面内的几何表达，不同复相干系数在复单位圆中呈现线性分布，并可通过线性拟合的方法确定地表相位，进而求取树高。该算法大大简化了计算的难度，提高了运行效率。

1）最小二乘直线拟合。不同极化方式的复相干系数在复单位圆内表现为一条直线。由于噪声的影响，复相干系数分布在相干直线的两侧，如图 2所示。

图  2  复单位圆中相干系数分布示意图

Figure 2.  Schematic Representation of Coherence Coefficients Distribution in Complex Unit Circle

在实验中，采用总体最小二乘直线拟合的方法，对HH、HV、VV、HH+VV、HH-VV、PDH、PDL共7个通道拟合相干直线。

2）地表相位的确定。步骤1）拟合出的相干直线与复单位圆相交于两点$O_{\mathrm{1}}\mathrm{和}{O}_{\mathrm{2}}$，其中一点为地表相位点。可通过交点距离D判断出只包含冠层散射能量贡献的极化通道（一般假设为${\gamma }_{\mathrm{P}\mathrm{D}\mathrm{H}}$复相干系数）来确定地表相位，判定准则如下：

式中，$\left|•\right|$表示取复数的模；${\gamma }_{\mathrm{P}\mathrm{D}\mathrm{H}}\mathrm{、}{\gamma }_{\mathrm{P}\mathrm{D}\mathrm{L}}$为PD算法获取的极化复相干系数。

3）建立二维查找表，计算树高和消光系数。复相干系数表达式中未知数有树高h_v、消光系数$\sigma$、地体散射幅度比$\mu (\omega )$及地表相位${\varphi }_{\mathrm{0}}$。经步骤‍1）和步骤2），可确定地表相位。假设某一极化通道仅包含体散射能量贡献，即地体幅度比为0，树高和消光系数可通过二维查找表法计算。计算准则如下：

式中，${\widehat{\gamma }}_v$为观测到的纯体去相干系数；${\gamma }_v$代表二维查找表计算得到的纯体去相干系数。

单基线PolInSAR数据反演森林高度易受到垂直波数$k_z$值的影响。基线越长，$k_z$值越大，相干性则越低，从而导致森林高度的错误估计；基线越短，则$k_z$值越小，从而导致森林高度估计的精度越差^[13]。为了获取可靠的反演结果，单基线算法中还要求数据的复相干系数组成的相干集尽可能接近直线。目前，多基线算法是通过各个基线数据的$k_z$值范围不同和相干性差异等，构建最优观测几何准则，可以更加稳健地进行森林高度的反演。基于上述原因，本文建议采用多基线算法反演森林高度。

多基线优选准则主要有相干椭圆扁率准则、测高精度准则及相干特性准则^[15]。而相干特性准则考虑了相位最大分离及相干性的差异，因此，本文采用PD算法得到的复相干系数参与相干特性的筛选基线准则，准则如下：

选择$P_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{d}}$值最大时为反演最佳基线。多基线数据基于相干特性准则优选出合适基线，进而求解。

本文方法的技术流程如图 3所示，主要解算步骤如下：（1）重复三阶段算法前两个步骤，分别计算每条基线对应的地表相位；（2）利用外部DEM数据，修正地形坡度对垂直波数$k_z$以及雷达入射角$\theta$的影响，得到修正后的$k_z^{\text{'}}$和${\theta }^{\text{'}}$；（3）根据$P_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{d}}$基线优选准则，优选出合适基线，选取对应基线的地表相位${\varphi }_{\mathrm{0}}$与垂直波数$k_z^{\text{'}}$，采用线性变化消光的S-RVoG模型的纯体去相干表达式，即等式‍（7），建立二维查找表，计算森林高度，表达式如下：

图  3  多基线算法流程图

Figure 3.  Flowchart of Multi-baseline Method

本实验选取了AfriSAR 2016项目中Rabi地区作为实验区域，验证算法的有效性。AfriSAR项目是美国国家宇航局和欧洲航天局联合开展的基于全极化SAR技术的森林调查项目。实验区位于非洲中部西海岸加蓬共和国的森林区域，图 4是Rabi区域基于Pauli基的彩色合成图。

图  4  Rabi地区的Pauli基灰度彩色合成图

Figure 4.  RGB Composite Intensity Image in Pauli-Basis of Rabi Site

所选Rabi实验区是典型的非洲热带雨林区域，树高最高可达50 m以上。在AfriSAR 2016项目中，Rabi区域共获取4景P波段F-SAR机载全极化SAR影像，基本参数信息如表 1所示。

数据预处理中采用PolSARpro软件进行7×7像素窗口的BoxCar滤波。在精度评估方面，本文将与该实验区的激光雷达（light detection and ranging，LiDAR）获取的树高作为对比参考数据，该验证数据是美国国家宇航局利用航天飞机获取的分辨率为20 m的LiDAR数据。实验分析中仅统计了LiDAR树高大于10 m的地块，采用50×50像素窗口均匀地选取样地，求取窗口内平均值并与相应LiDAR森林高度进行统计对比，获取PolInSAR森林高度的反演精度。选取LiDAR树高大于10 m的森林高度进行对比的原因是当森林高度较矮时，使用基于RVoG模型的长波长SAR数据进行森林高度反演时，极易出现偏差^[11]。把LiDAR与PolInSAR获取的森林高度均地理编码到通用横墨卡托格网系统（universal transverse Mercartor grid system，UTM）坐标系下，由于数据分辨率不一样，在地理编码过程中，难免出现配准误差。而使用均匀采样求均值的统计分析方法避免了SAR与LiDAR的配准误差，同时，一定程度上削弱了不满足RVoG模型假设条件的地块对精度评价的影响。

图 5是获取的LiDAR验证数据实际覆盖区域与极化SAR数据重叠区域。图 5中缺失块为获取LiDAR数据未成功的地块范围。将LiDAR覆盖范围和Rabi实验区SAR数据进行掩膜，以便进行后续的实验结果分析与精度评定。

图  5  LiDAR数据覆盖区域示意图

Figure 5.  Schematic Representation of LiDAR Data Coverage Area

为了验证提出方法的有效性，本文分析比较了传统RVoG模型的多基线算法、传统S-RVoG模型的多基线算法、线性变化消光RVoG模型的多基线算法与线性变化消光S-RVoG模型的多基线算法实验结果。基于多基线PolInSAR的不同方法树高反演的冠层高度模型（canopy height model，CHM）结果示意图如图 6所示。

图  6  多基线算法森林高度结果图

Figure 6.  Results of Forest Height of Multi-baseline Algorithms

从图 6中可以看出，传统RVoG模型的多基线算法与传统S-RVoG模型的多基线算法相较于LiDAR树高分布均出现明显的高估现象。S‐RVoG模型多基线算法由于修正了地形坡度对于森林高度反演参数垂直波数$k_z$和雷达入射角$\theta$的影响，相较于RVoG模型多基线算法，结果有所改善。线性变化消光的RVoG模型多基线算法与线性变化消光的S-RVoG模型多基线算法结果均与LiDAR树高分布十分吻合。为了定量分析各个算法的森林高度反演结果，分别求取了各个算法结果与LiDAR验证数据之间的均方根误差（root mean square error，RMSE）和相对误差$\delta$，各个算法的精度统计如图 7所示。

图  7  多基线算法森林高度结果对比

Figure 7.  Comparison of Forest Height Results with Multi-baseline Algorithms

RMSE和$\delta$计算公式如下：

从图 7中可以看出，传统RVoG模型的多基线算法树高反演RMSE为6.57 m，相对误差为16.8%；传统S-RVoG模型的多基线算法树高反演RMSE为5.97 m，相对误差为15.1%。可见加入地形坡度修正，树高反演精度提高约10%。线性变化消光RVoG模型的多基线算法树高反演RMSE为4.71 m，相对误差为11.0%，相较于传统RVoG模型的多基线算法反演结果，精度提高约28.3%；线性变化消光S-RVoG模型多基线算法树高反演RMSE为4.27 m，相对误差为9.9%，相较于传统RVoG模型的多基线算法反演结果，精度提高约35%，相较于传统S-RVoG模型的多基线算法反演结果，精度提高约28.4%。由结果可以看出，线性变化消光S-RVoG模型的多基线算法取得了最好的实验结果，表明所提出算法的有效性。传统RVoG模型忽略了地形坡度变化对于森林高度反演的影响，且假定消光系数是不随森林高度变化与森林垂直结构变化的恒定值，对于热带雨林区域中密度较大、树木较高的林分而言具有局限性，而使得森林高度反演出现误差，结果充分说明了此问题。而线性变化消光S-RVoG模型的多基线反演算法修正了地形坡度变化带来的影响，考虑到森林结构的垂直异构性，假定消光随森林高度变化呈现简单的线性关系，揭示了恒定消光的RVoG模型的不合理性。针对本文实验数据来说，线性变化消光的RVoG模型相较于恒定消光的RVoG模型，更加适用于反演热带雨林区的森林高度，为不同区域反演森林高度时提供了可供选择的反演方案。

本文围绕传统RVoG模型存在的问题，引入地形坡度与线性变化消光系数，提出基于线性变化消光S-RVoG模型的多基线PolInSAR森林高度反演方法，通过AfriSAR 2016项目中Rabi实验区P波段全极化SAR数据进行了算法验证。实验结果如下：

1）针对传统RVoG模型的多基线反演算法，反演结果存在明显的高估现象。引入地形坡度因子后，反演结果得到改善。

2）相对传统S-RVoG模型的多基线算法树高反演结果，本文提出的基于线性变化消光S‐RVoG模型的多基线算法树高反演RMSE为4.27 m，精度提升幅度达28.4%，验证了本文提出算法的有效性。