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矿井、隧道工程、人防工程、城市地下轨道交通工程等应用需求的不断提高对方位和高程测量提出了越来越高的要求，许多工程项目要在短边甚至超短边条件下进行精密坐标传递[1-4]。
设备点三维坐标传递可通过布设控制网来实现。在大地测量中，一般将平面网和高程网分开处理，平面网采用边角测量、导线测量等方式，必要时加测陀螺方位边来提供高精度的方位约束[5]; 高程网按水准测量或三角高程测量的方式建立。导线测量的测站位置布设灵活，适用于短边坐标传递，但加测陀螺方位成本高且效果不显著。对于高程网，当垂向跨度较大时，难以实施水准测量，用测边三角高程代替水准是有效的方式[6-7]。由于平面网与高程网分开施测的模式具有两重性和局限性，许多学者对三维、四维大地测量等问题进行了研究[8]。工程三维控制网以全站仪、激光跟踪仪和数字工业摄影测量系统的应用为代表，多应用于工业制造和大型装备的现场安装[9-10]。公共点转换法[11]和三维导线[12]是两种常用的三维坐标传递方法。公共点转换法的精度受控制点数量及空间分布的影响，若应用于隧道工程，需布设大量的控制点，成本高且测量效率低; 另外，公共点转换误差随着测站数的增加而迅速累积，经多测站转换后精度恐难以满足要求。利用三联脚架法构建三维导线，能够削弱对中、整平误差对测量精度的影响，应用广泛，但需要用钢尺量距法来量取仪器高和棱镜高，其理论精度为2 mm，精度较低。三维支导线[13]应用于短边坐标传递时，缺乏检核条件，可靠性存疑。
综上所述，现有的短边坐标传递方法难以实现亚毫米级的短边精密坐标传递。为此，本文对三联脚架法进行改进，提出了用三联全站仪法建立精密三维导线的思路，并进行了严密的平差计算。将所提方法应用于某隧道工程的坐标传递实践，验证了其有效性。
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三联脚架法可用于构建三维导线，但需要用钢尺量取仪器高和棱镜高，量高精度为2 mm，直接影响了导线点的高程精度。二联全站仪法[14]通过对向观测提高了高程精度，但由于缺乏后视定向条件，水平坐标的可靠性难以保证。因此，增加1台全站仪，并在全站仪照准部上粘贴外觇标，构成双导线，可以提高坐标传递的可靠性。由于短边条件下的垂直角可能超过40°，使用角锥棱镜难以保证测距的高精度[15]，而球棱镜可以在各个方向自由旋转来调整入射角，因此，以球棱镜为合作目标可以保证大垂直角情况下的测距精度。通过上述改进思路，本文提出了全站仪+球棱镜+外觇标的三联全站仪法。从三联脚架法到二联全站仪法，再到三联全站仪法的演化过程如图 1所示。
图 1 三联全站仪法的演化过程
Figure 1. Evolution of Trigeminy Total-Station Method
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以球棱镜为测角和测距的合作目标，利用U型卡扣将固联平台固定在全站仪提手上，用强力胶将靶座粘在固联平台上，尽可能使靶座中心位于全站仪竖轴上。两个“稳定固联”过程要保证球棱镜中心与全站仪中心几何关系的稳定。外觇标粘贴于照准部上，亦可作为测角合作目标。全站仪的改装如图 2所示。
图 2 全站仪改装
Figure 2. Modification of Total Station
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为了获取3台全站仪中心的空间位置关系，需要将全站仪照准球棱镜的观测值改化到仪器中心。球棱镜等效点P与仪器中心Q的位置关系如图 3所示。
图 3 球棱镜等效点与仪器中心的位置关系
Figure 3. Position Relationship Between Equivalent Center of Sphere Prism and Instrument Center
首先，P、Q两处的全站仪分别在盘左状态照准对方的球棱镜/外觇标，然后两台全站仪都转至盘右状态后再次互瞄，取盘左和盘右状态下两次对称互瞄的水平方向/天顶距观测值的中数，得到球棱镜/外觇标等效点[16]的水平方向/天顶距观测值。因此球棱镜中心与仪器中心不需要严格安置在同一条铅垂线上。
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利用经纬仪交会测量[17-18]得到球棱镜等效点P的坐标$ ({X}_{P}, {Y}_{P}, {Z}_{P}) $和仪器中心Q的坐标$ ({X}_{Q}, {Y}_{Q}, {Z}_{Q}) $，将二者在垂直方向的距离$ \mathrm{\Delta }h $定义为系统参数，计算式为:
$$ \mathrm{\Delta }h={Z}_{P}-{Z}_{Q} $$ (1) -
为了保证测距精度，需要对全站仪的测距加常数进行标定。本文采用简易三段法标定加常数K，如图 4所示，在长约30 m的平坦地面上，架设4个脚架T1、T2、T3、T4，要求脚架中心近似位于一条直线上，且基座基本同高。在T1、T3处架设全站仪，在T2、T4处架设球棱镜，测定水平距离$ {d}_{1} $、$ {d}_{2} $、$ {d}_{3} $、$ {d}_{4} $。加常数$ K $的计算式为:
$$ K=({d}_{1}-{d}_{2}-{d}_{3}-{d}_{4})/2 $$ (2) 
图 4 简易三段法示意图
Figure 4. Diagram of Simple Three-Stage Method
本文测定6台Leica TS50型号全站仪的测距加常数，分别为0.2 mm、0.3 mm、0.5 mm、0.6 mm、0.4 mm、0.7 mm，说明不同全站仪的测距加常数并不相等。如果不精确标定加常数并实施改正，则无法得到高精度距离观测值，进而影响导线点精度。
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为了提高观测值的精度和可靠性，观测过程采取以下3个策略: (1)采用对向观测模式，可大大削减大气垂直折光的影响; (2)既测球棱镜，又测外觇标，可检核水平方向与天顶距观测值的正确性，确保角度观测的可靠; (3)相邻测站的斜距观测值改化后，可作检核。
图 3中Q处的全站仪观测P处的球棱镜/外觇标时，获取的观测值包括水平方向观测值$ {H}_{Q左} $、$ {H}_{Q右} $、天顶距观测值$ {V}_{Q左} $、$ {V}_{Q右} $和斜距观测值S。需要将仪器中心到球棱镜中心的观测值改化为两台仪器中心之间的观测值。
水平方向观测值的改化结果$ {\tilde H} $的计算式为:
$$ {\tilde H}=\frac{{H}_{Q左}+{H}_{Q右}-180°}{2} $$ (3) 式中，$ {H}_{Q左} $、$ {H}_{Q右} $分别为盘左、盘右状态下Q照准P的水平方向观测值。球棱镜/外觇标的水平方向观测值可相互检核。
天顶距观测值的改化结果${\tilde V} $的计算式为:
$$ {\tilde V}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\frac{S\cdot \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{V}_{Q}}{S\cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{V}_{Q}-\mathrm{\Delta }{h}_{P}} $$ (4) 式中，$ {V}_{Q} $表示Q照准P的天顶距，且$ {V}_{Q}=({V}_{Q左}+360°-{V}_{Q右})/2 $，$ {V}_{Q左} $、$ {V}_{Q右} $分别为盘左、盘右状态下Q照准P的天顶距观测值; $ \mathrm{\Delta }{h}_{P} $为P处全站仪的系统参数。观测外觇标得到的天顶距与观测球棱镜得到的天顶距可相互检核。
斜距观测值的改化结果$ {\tilde S} $的计算式为:
$$ {\tilde S}=\sqrt{(S\cdot \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{V}_{Q}{)}^{2}+(S\cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{V}_{Q}-\mathrm{\Delta }{h}_{P}{)}^{2}} $$ (5) 相邻全站仪对向观测的斜距观测值可作检核。
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三联全站仪法可以同时获取仪器中心的平面和高程坐标，是真正意义上的三维导线，但由于以仪器中心为导线点，搬站后导线点将不复存在亦不可重复，因此采用该方法测定三维导线时，测量过程要一气呵成，不走回头路。在测量支导线时，主导线上至少2个点保持不动，支导线支出不得超过3站。这也导致该方法的劳动强度大且不允许出错，出错则需全部返工。
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图 5是一条空间三维导线的示意图，该三维导线包括附合导线A-B-C-D-E-F和支导线A-B-C-P1-P2-P3。其中$ \beta $表示测站C照准P1方向时全站仪的水平方向读数; $ {\alpha }_{1} $、$ {\alpha }_{2} $为支导线测量时的转向角。
图 5 三维导线示意图
Figure 5. Diagram of 3D Traverse
以图 5中的三维导线为例，本文方法的作业流程如下:
1) 在点B、C、D处架设全站仪，测站B、C对向观测，测站C、D对向观测，测量主导线上的点。
2) 点B、C、D处的仪器不动，在P1、P2上架设全站仪，测量支导线上的点P1、P2、P3。
3) 将点B处的全站仪连同脚架一起移动到E处，构成C-D-E之间的三维导线。
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按作业流程获取原始的观测值，经过数据检核和观测值改化，得到导线点(各测站仪器中心)之间的水平方向、天顶距和斜距观测值，设导线点三维坐标为未知参数，顾及铅垂线不平行性改正并采用Helmert方差分量估计，进行严密数据处理。
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铅垂线是野外测量的基准线，受地球曲率和重力场不均匀性的影响，各测站点的铅垂线方向不平行。在小范围内，可忽略重力场非均匀性对测量结果的影响，此时测站铅垂线方向的差异只受到地球曲率的影响。全站仪调平精度一般为1″，而相距200 m的2个测站的铅垂线姿态差异可达6″，需在数据处理中顾及测站间铅垂线不平行性的影响[19]，以确保测量结果精确可靠。因此，本文提出了一种铅垂线不平行性改正模型，在小范围的工程区域内，不考虑地球重力场的影响，将地球看作半径为$ r $的球体，用测站法线之间的差异来代表铅垂线之间的差异; 选某一测站为基准测站，计算其他测站坐标轴指向与该测站坐标轴指向之间的旋转关系，并在此基础上对各测站的水平方向及天顶距观测值进行改化。
设空间中有2个测站$ {O}_{1}({X}_{1}, {Y}_{1}, {Z}_{1}) $和$ {O}_{2}({X}_{2}, {Y}_{2}, {Z}_{2}) $，测站$ {O}_{1} $的法线先绕$ Y $(面向$ Y $轴负方向)顺时针旋转$ \omega $，再绕$ X $轴(面向$ X $轴负方向)逆时针旋转$ \phi $，得到测站$ {O}_{2} $的法线，对应的旋转矩阵为:
$$ \boldsymbol{R}=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\omega & \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\omega \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\phi & -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\omega \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\phi \\ 0& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\phi & \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\phi \\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\omega & -\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\omega \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\phi & \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\omega \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\phi \end{array}\right] $$ (6) 式中，$ \omega =-({X}_{2}-{X}_{1})/r $; $ \phi =({Y}_{2}-{Y}_{1})/r $。
设测站$ {O}_{2} $照准某空间点的观测值为$ (\alpha , V, S) $，由于斜距观测值旋转前后不发生变化，取$ S=1 $，在单位球内进行分析。在测站$ {O}_{2} $上，在以北方向为$ X $轴、以法线为Z轴构成的左手系中，观测值$ (\alpha , V, 1) $转化为三维空间坐标(x，y，z)，计算式为:
$$ \left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{\pi }/2-V)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \\ y=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{\pi }/2-V)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \\ z=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{\pi }/2-V)\end{array}\right. $$ (7) 构建以测站$ {O}_{2} $为原点、三轴方向与测站$ {O}_{1} $坐标系一致的过渡坐标系。设$ (x\mathrm{\text{'}}, y\mathrm{\text{'}}, z\mathrm{\text{'}}) $表示观测值$ (\alpha , V, 1) $在过渡坐标系中对应的三维坐标，根据两个测站法线之间的旋转关系可知:
$$ {\left[\begin{array}{ccc}x\mathrm{\text{'}}& y\mathrm{\text{'}}& z\mathrm{\text{'}}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{R}{\left[\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right]}^{\mathrm{T}} $$ (8) 测站$ {O}_{2} $的方位角改化值$ \alpha \mathrm{\text{'}} $和天顶距改化值$ V\mathrm{\text{'}} $分别为:
$$ \alpha \mathrm{\text{'}}=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(y\mathrm{\text{'}}/x\mathrm{\text{'}}), x\mathrm{\text{'}}>0, y\mathrm{\text{'}}>0\\ 2\mathrm{\pi }-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(-y\mathrm{\text{'}}/x\mathrm{\text{'}}), x\mathrm{\text{'}}>0, y\mathrm{\text{'}} <0\\ \mathrm{\pi } -\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(y\mathrm{\text{'}}/-x\mathrm{\text{'}}), x\mathrm{\text{'}} <0, y\mathrm{\text{'}}>0\\ \mathrm{\pi } +\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(y\mathrm{\text{'}}/x\mathrm{\text{'}}), x\mathrm{\text{'}} <0, y\mathrm{\text{'}} <0\end{array}\right. $$ (9) $$ V\mathrm{\text{'}}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\frac{z\mathrm{\text{'}}}{\sqrt{x{\mathrm{\text{'}}}^{2}+y{\mathrm{\text{'}}}^{2}}}\right) $$ (10) -
测站$ i({x}_{i}, {y}_{i}, {z}_{i}) $照准导线点$ k({x}_{k}, {y}_{k}, {z}_{k}) $的观测值包括方位角$ {{\tilde \alpha }}_{ik} $、天顶距$ {{\tilde V}}_{ik} $和斜距$ {{\tilde S}}_{ik} $，经式(9)和式(10)改化为$ {{\tilde \alpha }}_{ik}\mathrm{\text{'}} $、$ {{\tilde V}}_{ik}\mathrm{\text{'}} $和$ {{\tilde S}}_{ik} $，设$ {{\tilde H}}_{ik}\mathrm{\text{'}} $为$ i $照准$ k $的水平方向值，测站$ i $的定向角(方向值度盘零线的坐标方位角)为$ {\xi }_{i} $，观测方程为:
$$ \left\{\begin{array}{l}{{\tilde \alpha }}_{ik}\mathrm{\text{'}}={\tilde{H}}_{ik}\mathrm{\text{'}}+{\xi }_{i}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\frac{{y}_{k}-{y}_{i}}{{x}_{k}-{x}_{i}}\\ {{\tilde V}}_{ik}\mathrm{\text{'}}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{{z}_{k}-{z}_{i}}{{\stackrel{-}{S}}_{ik}}\\ {{\tilde S}}_{ik}=\sqrt{({x}_{k}-{x}_{i}{)}^{2}+({y}_{k}-{y}_{i}{)}^{2}+({z}_{k}-{z}_{i}{)}^{2}}\end{array}\right. $$ (11) 根据原始观测值计算得到测站$ i $和导线点$ k $的概略坐标$ ({x}_{i0}, {y}_{i0}, {z}_{i0}) $和$ ({x}_{k0}, {y}_{k0}, {z}_{k0}) $，代入式(11)得到$ {{\tilde \alpha }}_{ik}\mathrm{\text{'}} $、$ {{\tilde V}}_{ik}\mathrm{\text{'}} $和$ {{\tilde S}}_{ik} $的近似值$ {\alpha }_{0} $、$ {V}_{0} $和$ {S}_{0} $。令$ \mathrm{\Delta }{x}_{0}={x}_{k0}-{x}_{i0} $，$ \mathrm{\Delta }{y}_{0}={y}_{k0}-{y}_{i0} $，$ \mathrm{\Delta }{z}_{0}={z}_{k0}-{z}_{i0} $，则$ {\alpha }_{0}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\mathrm{\Delta }{y}_{0}/\mathrm{\Delta }{x}_{0}) $，$ {V}_{0}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{\Delta }{z}_{0}/{S}_{0}) $，$ {S}_{0}=\sqrt{\mathrm{\Delta }{{x}_{0}}^{2}+\mathrm{\Delta }{{y}_{0}}^{2}+\mathrm{\Delta }{{z}_{0}}^{2}} $。
令$ {D}_{0}=\sqrt{({x}_{k0}-{x}_{i0}{)}^{2}+({y}_{k0}-{y}_{i0}{)}^{2}} $表示$ i $到$ k $的平距近似值，取$ i $到$ k $的方位角减去$ i $照准$ k $时的方向值作为$ i $测站的定向角初值$ {\xi }_{0} $。设坐标改正数分别为$ (\mathrm{d}{x}_{i}, \mathrm{d}{y}_{i}, \mathrm{d}{z}_{i}) $和$ (\mathrm{d}{x}_{k}, \mathrm{d}{y}_{k}, \mathrm{d}{z}_{k}) $，定向角改正数为$ \mathrm{d}{\xi }_{i} $，则观测值的误差方程为:
$$ \left\{\begin{array}{l}{v}_{\alpha }=-\mathrm{d}{\xi }_{i}-\frac{\mathrm{\Delta }{y}_{0}}{{D}_{0}^{2}}(\mathrm{d}{x}_{k}-\mathrm{d}{x}_{i})+\frac{\mathrm{\Delta }{x}_{0}}{{D}_{0}^{2}}(\mathrm{d}{y}_{k}-\mathrm{d}{y}_{i})+({\alpha }_{0}-{\xi }_{0}-{\tilde{H}}_{ik}\mathrm{\text{'}})\\ {v}_{V}=\frac{\mathrm{\Delta }{x}_{0}\mathrm{\Delta }{z}_{0}}{{S}_{0}^{2}\cdot {D}_{0}}(\mathrm{d}{x}_{k}-\mathrm{d}{x}_{i})+\frac{\mathrm{\Delta }{y}_{0}\mathrm{\Delta }{z}_{0}}{{S}_{0}^{2}\cdot {D}_{0}}(\mathrm{d}{y}_{k}-\mathrm{d}{y}_{i})-\frac{{D}_{0}}{{S}_{0}^{2}}(\mathrm{d}{z}_{k}-\mathrm{d}{z}_{i})+({V}_{0}-{\tilde{V}}_{ik}\mathrm{\text{'}})\\ {v}_{S}=\frac{\mathrm{\Delta }{x}_{0}}{{S}_{0}^{}}(\mathrm{d}{x}_{k}-\mathrm{d}{x}_{i})+\frac{\mathrm{\Delta }{y}_{0}}{{S}_{0}^{}}(\mathrm{d}{y}_{k}-\mathrm{d}{y}_{i})+\frac{\mathrm{\Delta }{z}_{0}}{{S}_{0}^{}}(\mathrm{d}{z}_{k}-\mathrm{d}{z}_{i})+({S}_{0}-{\tilde{S}}_{ik})\end{array}\right. $$ (12) -
三维导线中的水平方向值、天顶距、斜距三类观测值相互之间随机独立。用$ {m}_{H} $、$ {m}_{V} $、$ {m}_{S} $分别表示水平方向值、天顶距、斜距的先验精度，$ {P}_{H} $、$ {P}_{V} $、$ {P}_{S} $分别表示水平方向值、天顶距、斜距的权值，按照经验公式对三类观测值定权，则$ {P}_{H}=\frac{{{m}_{H}}^{2}}{{{m}_{H}}^{2}}=1 $，$ {P}_{V}=\frac{{{m}_{H}}^{2}}{{{m}_{V}}^{2}}, {P}_{S}=\frac{{{m}_{H}}^{2}}{{{m}_{S}}^{2}} $。
权比的确定直接影响平差结果的精度和可靠性，而各类观测值的权比难以直接确定，本文采用Helmert方差分量估计的方法[20-21]来合理确定三类观测值的权比。三类观测值的权矩阵及协方差阵分别为:
$$ \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{ccc}{P}_{H}& & \\ & {P}_{V}& \\ & & {P}_{S}\end{array}\right] $$ (13) $$ {\boldsymbol{\varSigma }}_{\mathrm{\Delta }}=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{H}^{2}{\boldsymbol{Q}}_{11}& & \\ & {\sigma }_{V}^{2}{\boldsymbol{Q}}_{22}& \\ & & {\sigma }_{S}^{2}{\boldsymbol{Q}}_{33}\end{array}\right] $$ (14) 式中，$ {\sigma }_{H}^{2} $、$ {\sigma }_{V}^{2} $、$ {\sigma }_{S}^{2} $分别为水平方向值、天顶距和斜距的单位权方差，其协因数阵分别为$ {\boldsymbol{Q}}_{11} $、$ {\boldsymbol{Q}}_{22} $、$ {\boldsymbol{Q}}_{33} $。
分别用$ {\widehat{\sigma }}_{1}^{2} $、$ {\widehat{\sigma }}_{2}^{2} $、$ {\widehat{\sigma }}_{3}^{2} $代表$ {\sigma }_{H}^{2} $、$ {\sigma }_{V}^{2} $、$ {\sigma }_{S}^{2} $的方差分量估计值，可以通过平差改正数$ {\boldsymbol{V}}_{i} $及其二次型$ {{\boldsymbol{V}}_{i}}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{i}{\boldsymbol{V}}_{i} $求得验后方差$ {\widehat{\sigma }}_{i}^{2} $(i=1，2，3)的估值。二者的关系式为:
$$ \begin{array}{l}{{\boldsymbol{V}}_{i}}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{i}{\boldsymbol{V}}_{i}=\left[{m}_{i}-2\mathrm{t}\mathrm{r}\left({\boldsymbol{N}}^{-1}{\boldsymbol{N}}_{i}\right)+\mathrm{t}\mathrm{r}({\boldsymbol{N}}^{-1}{\boldsymbol{N}}_{i}{)}^{2}\right]{\widehat{\sigma }}_{i}^{2}+\\ \sum \limits_{j=1, j\ne i}^{3}\mathrm{t}\mathrm{r}\left({\boldsymbol{N}}^{-1}{\boldsymbol{N}}_{i}{\boldsymbol{N}}_{j}\right){\widehat{\sigma }}_{j}^{2}\end{array} $$ (15) 式中，$ {m}_{i} $为第$ i $个分区观测量个数; tr()表示取矩阵的迹; $ \boldsymbol{N}={\boldsymbol{A}}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}\boldsymbol{A} $，A为所有观测值的系数阵; $ {\boldsymbol{N}}_{i}={{\boldsymbol{A}}_{i}}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_{i}{\boldsymbol{A}}_{i} $(i=1，2，3)，$ {\boldsymbol{A}}_{i} $、$ {\boldsymbol{P}}_{i} $分别为对应观测值的系数阵和权阵。
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某隧道工程为了安装专用设备，需引入相对精度优于±1 mm的大地坐标。由于隧道内部空间狭窄、遮挡严重，传统方法无法满足需求，测量工作极具挑战，因此采用本文提出的三联全站仪法建立三维导线来完成此任务。隧道外约200 m处有2个大地平高控制点，共设计了15条导线边构成闭合导线。其中最长边185 m，最短边9 m，最大垂直角43°，由于通视条件较差，在主导线点上设站无法观测到所有设备点，还需要布设支导线。三维导线点的分布如图 6所示。
图 6 三维导线点的分布
Figure 6. Spatial Distribution of 3D Traverse Points
按照§2.1的作业流程，利用6台改装的Leica TS50全站仪施测，共测量了3次，三维导线基本信息见表 1。
表 1 三维导线基本信息
Table 1. Basic Information of 3D Traverse
测量次序 导线全长/m 方位角闭合差/(″) 高程闭合差/mm 导线全长闭合差/mm 导线全长相对闭合差 用时/h 第一次 546.042 5.13 -1.31 3.1 1/178 910 34 第二次 546.098 1.75 -1.39 3.1 1/175 062 30 第三次 556.543 -0.24 -0.79 2.4 1/223 760 22 从表 1中3次测量的用时可以看出，本文方法的劳动强度较大，但是随着训练次数的增加，观测精度和效率也不断提高。对比方位角闭合差和高程闭合差，可以看出第三次测量的精度最高。取第三次测量的观测数据进行实验，按照以下3种方案进行数据处理:
1) 方案一: 传统三维导线平差。在平差解算时，依据经验定权，水平方向值、天顶距和斜距的权比取2∶1∶0.25。平差后，单位权中误差为±1.42″，主导线点坐标及点位中误差如表 2所示。
表 2 传统三维导线平差结果/mm
Table 2. Adjustment Results of Traditional Method /mm
点名 X Y Z mX mY mZ 点位中误差 N ***447.1 ***425.1 **951.7 ±0.00 ±0.00 ±0.00 ±0.00 M ***277.0 ***020.2 **241.5 ±0.99 ±0.97 ±0.75 ±1.58 L ***437.4 ***414.8 **292.6 ±0.98 ±0.87 ±0.75 ±1.51 K ***335.1 ***834.9 **813.7 ±0.96 ±0.85 ±0.67 ±1.45 J ***727.6 ***885.0 **036.8 ±0.92 ±0.83 ±0.64 ±1.39 I ***340.9 ***808.5 **321.1 ±0.89 ±0.81 ±0.59 ±1.34 H ***751.6 ***895.9 **365.9 ±0.86 ±0.80 ±0.40 ±1.24 G ***356.4 ***801.0 **485.8 ±0.84 ±0.78 ±0.25 ±1.17 F ***050.3 ***140.6 **550.4 ±0.79 ±0.76 ±0.16 ±1.11 E ***179.8 ***871.8 **592.7 ±0.77 ±0.62 ±0.16 ±1.00 D ***227.7 ***248.1 **508.8 ±0.62 ±0.49 ±0.14 ±0.80 C ***842.7 ***306.3 **615.7 ±0.40 ±0.38 ±0.13 ±0.57 均方根 — — — ±0.77 ±0.70 ±0.45 ±1.13 2) 方案二: 在方案一的基础上，对观测值进行铅垂线不平行性改正。平差后，单位权中误差为±1.01″，主导线点坐标及点位中误差如表 3所示。由于垂直折光差对长边的天顶距影响比较严重，而对短边天顶距的影响不甚显著，因此考虑对长边天顶距和短边天顶距赋予不同的权值。
表 3 经铅垂线不平行性改正的平差结果/mm
Table 3. Adjustment Results of Unparalleled Plumb Lines Correction /mm
点名 X Y Z mX mY mZ 点位中误差 N ***446.9 ***424.9 **955.6 ±0.00 ±0.00 ±0.00 ±0.00 M ***276.9 ***020.1 **245.5 ±0.70 ±0.69 ±0.53 ±1.12 L ***437.4 ***414.8 **296.7 ±0.70 ±0.62 ±0.53 ±1.07 K ***335.1 ***834.9 **817.7 ±0.68 ±0.61 ±0.48 ±1.03 J ***727.5 ***885.0 **040.8 ±0.66 ±0.59 ±0.46 ±1.00 I ***340.9 ***808.5 **325.1 ±0.64 ±0.58 ±0.42 ±0.96 H ***751.6 ***895.9 **361.8 ±0.62 ±0.57 ±0.29 ±0.89 G ***356.3 ***800.9 **481.7 ±0.60 ±0.55 ±0.18 ±0.83 F ***050.3 ***140.5 **546.4 ±0.57 ±0.54 ±0.11 ±0.79 E ***179.8 ***871.8 **588.6 ±0.55 ±0.45 ±0.11 ±0.72 D ***227.8 ***248.1 **505.2 ±0.44 ±0.35 ±0.10 ±0.57 C ***842.9 ***306.4 **612.7 ±0.29 ±0.27 ±0.09 ±0.41 均方根 — — — ±0.55 ±0.50 ±0.32 ±0.81 3) 方案三: 在方案二的基础上，利用Helmert方差分量估计对权阵进行优化。根据边长的统计情况，将长度超过20 m的导线边定义为长边，其余为短边。对水平方向值、长边天顶距、短边天顶距、斜距4类观测值按照Helmert方差分量估计迭代定权，迭代收敛时，上述4类观测值的权值分别为16.6、1.0、10.9、31.7。平差后，单位权中误差为±0.40″，导线点的坐标及点位中误差如表 4所示。
表 4 Helmert方差分量估计的平差结果/mm
Table 4. Adjustment Results of Helmert Variance Component Estimation /mm
点名 X Y Z mX mY mZ 点位中误差 N ***446.9 ***424.9 **955.5 ±0.00 ±0.00 ±0.00 ±0.00 M ***276.9 ***020.1 **245.4 ±0.28 ±0.29 ±0.31 ±0.51 L ***437.4 ***414.8 **296.5 ±0.28 ±0.26 ±0.31 ±0.49 K ***335.1 ***834.9 **817.5 ±0.27 ±0.26 ±0.30 ±0.48 J ***727.5 ***885.0 **040.6 ±0.26 ±0.25 ±0.29 ±0.46 I ***340.8 ***808.5 **324.9 ±0.25 ±0.24 ±0.27 ±0.44 H ***751.5 ***895.9 **362.1 ±0.24 ±0.23 ±0.23 ±0.40 G ***356.3 ***800.9 **482.0 ±0.23 ±0.23 ±0.21 ±0.39 F ***050.2 ***140.5 **546.7 ±0.22 ±0.21 ±0.20 ±0.36 E ***179.7 ***871.8 **588.9 ±0.21 ±0.18 ±0.20 ±0.34 D ***227.7 ***248.1 **505.7 ±0.17 ±0.14 ±0.17 ±0.28 C ***842.9 ***306.4 **613.3 ±0.11 ±0.10 ±0.15 ±0.21 均方根 — — — ±0.22 ±0.21 ±0.23 ±0.37 由表 2可以看出，按传统三维导线平差方法进行平差后，12个导线点的点位中误差的均方根为±1.13 mm，尚未达到工程要求。由表 3可知，铅垂线不平行性改正有效提高了点位精度，点位中误差的均方根为±0.81 mm，但仍有4个点超过±1.0 mm，未达到工程要求。由表 4可知，点位中误差的均方根为±0.37 mm，全部导线点精度达到工程要求。对比表 3和表 4可以看出，两种方案平差得到的导线点水平坐标分量基本无差异，高程坐标分量稍有差异，相当于通过方差分量估计调整了各类权重后对平面坐标闭合差、高程闭合差进行了重新分配。总体来看两种方案的平差结果具有一致性，说明平差结果是可靠的。从点位中误差和点位中误差均方根的对比可以看出，Helmert方差分量估计显著提高了导线点平差结果的精度。
三种方案的解算结果包括权比、验后单位权中误差和点位中误差均方根，见表 5。由表 5可知，铅垂线不平行性改正前后单位权中误差从±1.42″减小至±1.01″，点位中误差均方根由±1.13 mm减小至±0.81 mm，验证了铅垂线不平行性改正的有效性; 方差分量估计前后单位权中误差从±1.01″减小至±0.40″，点位中误差均方根由±0.81 mm减小至±0.37 mm，表明权比的合理确定进一步提高了平差的精度。
表 5 三种方案解算结果对比
Table 5. Results Comparison of Three Schemes
方案 权比 单位权中误差/(″) 点位中误差均方根/mm 方案一 2∶1∶0.25 ±1.42 ±1.13 方案二 2∶1∶0.25 ±1.01 ±0.81 方案三 16.6∶1.0∶10.9∶31.7 ±0.40 ±0.37 利用三维导线方式获取了64个设备点的坐标，采用数字工业摄影测量系统[22]进行了比对测量，获取了局部区域内15个控制点在摄影测量坐标系中的坐标，将这15个控制点的两组坐标结果进行公共点转换，结果见表 6。由表 6可知，三联全站仪法测量支导线点坐标的外符合精度达到±0.32 mm，表示支导线末端点与摄影测量结果符合得很好，验证了导线点坐标的精确性和可靠性。
表 6 公共点转换精度/mm
Table 6. Precision of Common Point Transformation /mm
精度指标 X Y Z 点位中误差 最大偏差 0.52 0.33 0.14 0.55 最小偏差 -0.36 -0.37 -0.17 0.19 均方根 ±0.22 ±0.22 ±0.09 ±0.32 -
本文提出了一种用三联全站仪法建立高精度三维导线进行短边坐标传递的方法。首次提出了三联全站仪法，以全站仪仪器中心作为导线点，避免人工测量仪器高、棱镜高带来的误差; 通过同时对向观测，削弱了大气垂向折光的影响，且便于观测值相互检核; 数据处理中顾及了铅垂线不平行性改正，以及水平方向、天顶距和斜距的权重差异，使得平差模型更为严密。应用本文方法在某隧道工程中进行坐标传递，测量成果满足了±1 mm的工程精度要求，验证了本文方法的可行性和有效性。与传统的三联脚架法相比，本文方法测得的导线点的高程精度有显著提高; 相较于平面网与高程网分开测量的模式，虽然劳动强度大，但精度和可靠性均提高了，尤其适用于通视条件差、边长差距大、竖向跨度大的工程。
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摘要: 为了满足地下工程中精密坐标传递的需求，设计了一种高精度三维导线测量及数据处理方法。受三联脚架法的启发，提出了利用三联全站仪法构建精密三维导线的思路。利用U型卡扣将球棱镜靶座固联到全站仪提手上，标定出球棱镜中心与仪器中心的空间关系，据此改化观测值; 以仪器中心之间的连线构成三维导线，避免了人工测量仪器高和棱镜高带来的误差。设计了一种实用的铅垂线不平行性改正模型，利用Helmert方差分量估计合理确定了多类观测值的权，使三维导线平差过程更为严密。以某隧道工程测量为实例，利用三联全站仪法建立了由15条导线边构成的三维闭合导线。与传统三维导线平差结果相比，经铅垂线不平行性改正和方差分量估计后，单位权中误差明显减小，导线点坐标精度明显提高，精度优于±0.5 mm; 用数字工业摄影测量系统进行验证，点位外符合精度达± 0.32 mm。通过采取各项有效技术措施，所提方法经受了短边、大垂直角等严峻条件的考验，有推广应用价值。Abstract:
Objectives To meet the precise coordinate transmission requirement of underground engineering, a measuring and data processing method of high-precision 3D traverse is inspired by the trigeminy tripod method. Methods The trigeminy total station method is proposed to build 3D traverse. The U buckle is used to fix the adapter of tooling ball reflector on the handle of a total station. The spatial relation between the tooling ball reflector center and instrument center is calibrated to correct the observed values. The lines connecting each two instrument centers constitute a 3D traverse, which avoids the manual measuring error of instrument height and prism height. A practical model for unparalleled plumb lines correction and Helmert variance component estimation are applied to determine the weight of different class observation. These improvements make the data processing of 3D traverse more rigorous. Results In a tunnel surveying project, a closed 3D traverse is established with 15 sides. Compared to traditional adjustment method, the variance of unit weight of the proposed method is obviously decreased after correction for unparalleled plumb lines and variance component estimation. The precision of traverse points is obviously improved and better than ±0.5 mm. Digital industrial photogrammetry system is utilized to check the adjustment results. The precision of common points transformation between the survey results of digital industrial photogrammetry system and that of 3D traverse is ±0.32 mm. Conclusions The proposed method has a good performance in severe conditions such as short sides and large vertical angles, so it is worthy of popularization and application. -
图 3 球棱镜等效点与仪器中心的位置关系
Figure 3. Position Relationship Between Equivalent Center of Sphere Prism and Instrument Center
表 1 三维导线基本信息
Table 1. Basic Information of 3D Traverse
测量次序 导线全长/m 方位角闭合差/(″) 高程闭合差/mm 导线全长闭合差/mm 导线全长相对闭合差 用时/h 第一次 546.042 5.13 -1.31 3.1 1/178 910 34 第二次 546.098 1.75 -1.39 3.1 1/175 062 30 第三次 556.543 -0.24 -0.79 2.4 1/223 760 22 
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表 2 传统三维导线平差结果/mm
Table 2. Adjustment Results of Traditional Method /mm
点名 X Y Z mX mY mZ 点位中误差 N ***447.1 ***425.1 **951.7 ±0.00 ±0.00 ±0.00 ±0.00 M ***277.0 ***020.2 **241.5 ±0.99 ±0.97 ±0.75 ±1.58 L ***437.4 ***414.8 **292.6 ±0.98 ±0.87 ±0.75 ±1.51 K ***335.1 ***834.9 **813.7 ±0.96 ±0.85 ±0.67 ±1.45 J ***727.6 ***885.0 **036.8 ±0.92 ±0.83 ±0.64 ±1.39 I ***340.9 ***808.5 **321.1 ±0.89 ±0.81 ±0.59 ±1.34 H ***751.6 ***895.9 **365.9 ±0.86 ±0.80 ±0.40 ±1.24 G ***356.4 ***801.0 **485.8 ±0.84 ±0.78 ±0.25 ±1.17 F ***050.3 ***140.6 **550.4 ±0.79 ±0.76 ±0.16 ±1.11 E ***179.8 ***871.8 **592.7 ±0.77 ±0.62 ±0.16 ±1.00 D ***227.7 ***248.1 **508.8 ±0.62 ±0.49 ±0.14 ±0.80 C ***842.7 ***306.3 **615.7 ±0.40 ±0.38 ±0.13 ±0.57 均方根 — — — ±0.77 ±0.70 ±0.45 ±1.13
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表 3 经铅垂线不平行性改正的平差结果/mm
Table 3. Adjustment Results of Unparalleled Plumb Lines Correction /mm
点名 X Y Z mX mY mZ 点位中误差 N ***446.9 ***424.9 **955.6 ±0.00 ±0.00 ±0.00 ±0.00 M ***276.9 ***020.1 **245.5 ±0.70 ±0.69 ±0.53 ±1.12 L ***437.4 ***414.8 **296.7 ±0.70 ±0.62 ±0.53 ±1.07 K ***335.1 ***834.9 **817.7 ±0.68 ±0.61 ±0.48 ±1.03 J ***727.5 ***885.0 **040.8 ±0.66 ±0.59 ±0.46 ±1.00 I ***340.9 ***808.5 **325.1 ±0.64 ±0.58 ±0.42 ±0.96 H ***751.6 ***895.9 **361.8 ±0.62 ±0.57 ±0.29 ±0.89 G ***356.3 ***800.9 **481.7 ±0.60 ±0.55 ±0.18 ±0.83 F ***050.3 ***140.5 **546.4 ±0.57 ±0.54 ±0.11 ±0.79 E ***179.8 ***871.8 **588.6 ±0.55 ±0.45 ±0.11 ±0.72 D ***227.8 ***248.1 **505.2 ±0.44 ±0.35 ±0.10 ±0.57 C ***842.9 ***306.4 **612.7 ±0.29 ±0.27 ±0.09 ±0.41 均方根 — — — ±0.55 ±0.50 ±0.32 ±0.81
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表 4 Helmert方差分量估计的平差结果/mm
Table 4. Adjustment Results of Helmert Variance Component Estimation /mm
点名 X Y Z mX mY mZ 点位中误差 N ***446.9 ***424.9 **955.5 ±0.00 ±0.00 ±0.00 ±0.00 M ***276.9 ***020.1 **245.4 ±0.28 ±0.29 ±0.31 ±0.51 L ***437.4 ***414.8 **296.5 ±0.28 ±0.26 ±0.31 ±0.49 K ***335.1 ***834.9 **817.5 ±0.27 ±0.26 ±0.30 ±0.48 J ***727.5 ***885.0 **040.6 ±0.26 ±0.25 ±0.29 ±0.46 I ***340.8 ***808.5 **324.9 ±0.25 ±0.24 ±0.27 ±0.44 H ***751.5 ***895.9 **362.1 ±0.24 ±0.23 ±0.23 ±0.40 G ***356.3 ***800.9 **482.0 ±0.23 ±0.23 ±0.21 ±0.39 F ***050.2 ***140.5 **546.7 ±0.22 ±0.21 ±0.20 ±0.36 E ***179.7 ***871.8 **588.9 ±0.21 ±0.18 ±0.20 ±0.34 D ***227.7 ***248.1 **505.7 ±0.17 ±0.14 ±0.17 ±0.28 C ***842.9 ***306.4 **613.3 ±0.11 ±0.10 ±0.15 ±0.21 均方根 — — — ±0.22 ±0.21 ±0.23 ±0.37
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表 5 三种方案解算结果对比
Table 5. Results Comparison of Three Schemes
方案 权比 单位权中误差/(″) 点位中误差均方根/mm 方案一 2∶1∶0.25 ±1.42 ±1.13 方案二 2∶1∶0.25 ±1.01 ±0.81 方案三 16.6∶1.0∶10.9∶31.7 ±0.40 ±0.37
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表 6 公共点转换精度/mm
Table 6. Precision of Common Point Transformation /mm
精度指标 X Y Z 点位中误差 最大偏差 0.52 0.33 0.14 0.55 最小偏差 -0.36 -0.37 -0.17 0.19 均方根 ±0.22 ±0.22 ±0.09 ±0.32
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