留言板

尊敬的读者、作者、审稿人, 关于本刊的投稿、审稿、编辑和出版的任何问题, 您可以本页添加留言。我们将尽快给您答复。谢谢您的支持!

姓名
邮箱
手机号码
标题
留言内容
验证码

基于径向泰勒级数展开的月球表面磁场快速球谐解算方法

杜劲松 梁青 张祎 赵艳彬 廖鹤

杜劲松, 梁青, 张祎, 赵艳彬, 廖鹤. 基于径向泰勒级数展开的月球表面磁场快速球谐解算方法[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2021, 46(6): 871-879. doi: 10.13203/j.whugis20190164
引用本文: 杜劲松, 梁青, 张祎, 赵艳彬, 廖鹤. 基于径向泰勒级数展开的月球表面磁场快速球谐解算方法[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2021, 46(6): 871-879. doi: 10.13203/j.whugis20190164
DU Jinsong, LIANG Qing, ZHANG Yi, ZHAO Yanbin, LIAO He. Fast Spherical Harmonic Synthesis of Magnetic Field at Lunar Surface Based on Radial Taylor's Series Expansion[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2021, 46(6): 871-879. doi: 10.13203/j.whugis20190164
Citation: DU Jinsong, LIANG Qing, ZHANG Yi, ZHAO Yanbin, LIAO He. Fast Spherical Harmonic Synthesis of Magnetic Field at Lunar Surface Based on Radial Taylor's Series Expansion[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2021, 46(6): 871-879. doi: 10.13203/j.whugis20190164

基于径向泰勒级数展开的月球表面磁场快速球谐解算方法

doi: 10.13203/j.whugis20190164
基金项目: 

国家自然科学基金 41604060

国家自然科学基金 41104048

中央高校基本科研业务费专项资金 CUG170618

详细信息
    作者简介:

    杜劲松, 博士, 副教授, 主要研究方向为卫星磁测与应用。jinsongdu@cug.edu.cn

  • 中图分类号: P184;P318

Fast Spherical Harmonic Synthesis of Magnetic Field at Lunar Surface Based on Radial Taylor's Series Expansion

Funds: 

The National Natural Science Foundation of China 41604060

The National Natural Science Foundation of China 41104048

Fundamental Research Funds for the Central Universities CUG170618

More Information
    Author Bio:

    DU Jinsong, PhD, associate professor, majors in satellite magnetic field survey and its application. E-mail: jinsongdu@cug.edu.cn

  • 摘要: 在利用球谐模型解算月球起伏表面的磁场时, 传统算法计算效率较低且存在不稳定性, 因此提出一种基于球谐分析的径向泰勒级数展开法。首先采用450阶次的月球内源磁场球谐模型在月表地形起伏剧烈的背面区域进行不同泰勒级数展开次数范围以及不同平均半径的解算精度实验, 验证了所提方法的有效性, 并且通过与传统算法的对比证明了所提方法具有更高的计算效率和计算稳定性; 然后将计算得到的月球全球起伏表面磁场分布与月球参考球面上的磁场分布进行了对比分析, 结果表明, 月表地形起伏面与参考球面上的磁场差异较大, 磁场总强度在实际地形起伏面与参考球面上的差异和地形起伏呈现反相关性, 磁场径向分量与地形起伏不存在相关性, 这些说明月球内源磁场磁性载体埋深较浅且磁化方向并非径向。
  • 图  1  研究区域的月表高程

    Figure  1.  Lunar Topography of Study Aera

    图  2  10次泰勒级数展开法计算结果与理论值之间的差异分布

    Figure  2.  Differences Between the Theoretical Magnetic Fields and Those Obtained Using Radial Taylor's Series Expansion up to 10th Order

    图  3  磁场计算误差的均方根随泰勒级数展开最大次数的变化

    Figure  3.  Root Mean Square of Calculating Error of Magnetic Field Intensity Changing with the Maximum Orders of Taylor's Series Expansion

    图  4  月球全球表面高程

    Figure  4.  Global Topography of the Moon

    图  5  月球全球地形起伏面上的磁场分布及其与参考球面上磁场之间的差异分布

    Figure  5.  Distribution of Global Magnetic Field on Lunar Relief Surface and Difference Distribution Between Magnetic Fields on Lunar Relief Surface and on the Reference Sphere

    表  1  不同最大泰勒级数展开次数计算的磁场与理论值之间差异的统计参数表

    Table  1.   Statistical Parameters of Differences Between the Theoretical Magnetic Fields and Those Obtained Using Radial Taylor's Series Expansion up to Different Maximum Orders

    最大泰勒级数展开次数 磁场分量 误差统计参数/nT 计算时间/s
    最小值 最大值 算数平均值 均方根
    0次 Bx -167.461 119.944 -0.004 388 7.177 392 312
    By -95.129 139.648 -0.002 834 6.365 829
    Bz -180.157 195.700 0.000 873 9.564 835
    B -195.376 158.133 -2.940 556 12.980 010
    1次 Bx -103.487 115.474 -0.001 936 3.293 964 340
    By -49.593 75.785 0.003 619 2.702 255
    Bz -116.609 144.618 0.005 074 4.255 824
    B -79.270 113.639 -1.702 738 4.587 907
    2次 Bx -68.192 75.703 0.000 199 1.419 042 378
    By -49.300 33.681 -0.000 070 1.045 869
    Bz -86.556 74.740 0.000 044 1.763 508
    B -22.054 85.126 -0.131 610 2.134 567
    3次 Bx -39.906 34.905 0.000 021 0.545 539 420
    By -16.926 23.968 0.000 479 0.367 488
    Bz -36.923 45.339 0.000 595 0.658 072
    B -36.819 44.777 -0.131 752 0.657 029
    4次 Bx -13.992 16.604 0.000 047 0.178 899 453
    By -9.144 6.558 -0.000 031 0.112 901
    Bz -18.476 14.627 0.000 146 0.211 320
    B -9.768 13.479 0.017 096 0.204 595
    5次 Bx -5.732 4.609 0.000 128 0.061 734 493
    By -2.176 3.087 0.000 171 0.042 037
    Bz -5.144 6.118 0.000 083 0.074 518
    B -4.403 6.046 0.011 798 0.083 024
    6次 Bx -1.262 1.756 0.000 089 0.034 876 532
    By -0.783 0.557 0.000 102 0.029 811
    Bz -1.804 1.381 0.000 065 0.045 669
    B -1.811 1.085 0.020 331 0.062 416
    7次 Bx -0.658 0.943 0.000 102 0.033 742 575
    By -0.697 0.463 0.000 123 0.029 884
    Bz -1.037 0.870 0.000 049 0.044 864
    B -0.526 1.093 0.019 979 0.063 464
    8次 Bx -0.667 0.943 0.000 098 0.033 597 615
    By -0.697 0.463 0.000 118 0.029 882
    Bz -1.038 0.872 0.000 049 0.044 748
    B -0.296 1.094 0.020 294 0.063 427
    下载: 导出CSV

    表  2  月球物理表面与参考球面上的磁场及两者之间差异的统计参数表

    Table  2.   Statistical Parameters of Magnetic Fields on Lunar Physical Surface and on the Reference Sphere, and Their Differences

    解算面与磁场差异 磁场类型 统计参数/nT
    最小值 最大值 算数平均值 均方根
    月球物理表面 Bx -487.314 370.278 0.020 435 7.035 171
    By -284.449 236.321 0.000 489 6.088 395
    Bz -424.985 514.243 -0.005 698 9.307 018
    B 0.005 590.282 6.413 270 13.159 893
    月球参考球面(1 737.152 km) Bx -384.399 317.358 0.018 055 7.265 267
    By -332.734 197.771 0.000 000 6.052 672
    Bz -388.501 567.346 -0.002 315 9.479 470
    B 0.004 575.511 6.368 949 13.389 521
    月球物理表面与参考球面的磁场差异 δBx -146.160 163.098 0.002 380 3.145 313
    δBy -114.539 154.202 0.000 489 2.552 891
    δBz -247.566 183.685 -0.003 383 4.046 276
    δB -251.560 155.363 0.044 322 5.500 285
    下载: 导出CSV
  • [1] 李斐, 鄢建国. 月球重力场的确定及构建我国自主月球重力场模型的方案研究[J]. 武汉大学学报·信息科学版, 2007, 32(1): 6-10 http://ch.whu.edu.cn/article/id/1811

    Li Fei, Yan Jianguo. Principle and Method of Lunar Gravity Field Fetermination and Project on Self-determinational Lunar Gravity Field[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2007, 32(1): 6-10 http://ch.whu.edu.cn/article/id/1811
    [2] 钟振, 李斐, 鄢建国, 等. 新近月球重力场模型的比较与分析[J]. 武汉大学学报·信息科学版, 2013, 38(4): 390-393 http://ch.whu.edu.cn/article/id/755

    Zhong Zhen, Li Fei, Yan Jianguo, et al. Comparison and Analysis on Main and Newly Lunar Gravity Field Models[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2013, 38(4): 390-393 http://ch.whu.edu.cn/article/id/755
    [3] Wang X Q, Cui J, Wang X D, et al. The Solar Wind Interactions with Lunar Magnetic Anomalies: A Case Study of the Chang'E-2 Plasma Data near the Serenitatis Antipode[J]. Advances in Space Research, 2012, 50(12): 1 600-1 606 doi:  10.1016/j.asr.2011.12.003
    [4] Deca J, Divin A, Lue C, et al. Reiner Gamma Albedo Features Reproduced by Modeling Solar Wind Standoff[J]. Communications Physics, 2018, 12(1): 1-8 http://www.nature.com/articles/s42005-018-0012-9
    [5] Wieczorek M A, Weiss B P, Stewart S T. An Impactor Origin for Lunar Magnetic Anomalies[J]. Science, 2012, 335(6 073): 1 212-1 215 http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&db=aph&AN=74262035&site=ehost-live
    [6] Takahashi F, Tsunakawa H, Shimizu H, et al. Reorientation of the Early Lunar Pole[J]. Nature Geoscience, 2014, 7(6): 409-412 doi:  10.1038/ngeo2150
    [7] 潘永信, 纪新林, 朱日祥. 月球磁学观测与研究进展[J]. 地球化学, 2010, 39(1): 32-36 https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-DQHX201001008.htm

    Pan Yongxin, Ji Xinlin, Zhu Rixiang. A Review of Lunar Magnetism[J]. Geochimica, 2010, 39(1): 32-36 https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-DQHX201001008.htm
    [8] 李泳泉, 刘建忠, 欧阳自远, 等. 月球磁场与月球演化[J]. 地球物理学进展, 2005, 20(4): 1 003-1 008 https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-DQWJ200504019.htm

    Li Yongquan, Liu Jianzhong, Ouyang Ziyuan, et al. Lunar Magnetism and Its Evolution[J]. Progress in Geophysics, 2005, 20(4): 1 003-1 008 https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-DQWJ200504019.htm
    [9] 张昌达, 陈超. 月球引力场和磁场探测新进展[J]. 地质科技情报, 2004, 23(4): 6-11 doi:  10.3969/j.issn.1000-7849.2004.04.002

    Zhang Changda, Chen Chao. Progress in Prospecting for Lunar Gravity and Magnetic Fields[J]. Geological Science and Technology Information, 2004, 23(4): 6-11 doi:  10.3969/j.issn.1000-7849.2004.04.002
    [10] Fuller M, Cisowski S M. Lunar Paleomagnetism[M]. San Diego: Academic Press, 1987
    [11] Hakekas J S, Mitchell D L, Lin R P, et al. Mapping of Crustal Magnetic Anomalies on the Lunar near Side by the Lunar Prospector Electron Reflectometer [J]. Journal of Geophysical Research: Planets, 2001, 106(E11): 27 841-27 852 doi:  10.1029/2000JE001380
    [12] Purucker M E, Nicholas J B. Global Spherical Harmonic Models of the Internal Magnetic Field of the Moon Based on Sequential and Coestimation Approaches[J]. Journal of Geophysical Research: Planets, 2010, 115(E12): 27 932-27 943 doi:  10.1029/2010JE003650/full
    [13] Tsunakawa H, Takahashi F, Schimizu H, et al. Surface Vector Mapping of Magnetic Anomalies over the Moon Using Kaguya and Lunar Prospector Observations [J]. Journal of Geophysical Research: Planets, 2015, 120(6): 1 160-1 185 doi:  10.1002/2014JE004785
    [14] 徐文耀, 区加明, 杜爱民. 地磁场全球建模与区域建模[J]. 地球物理学进展, 2011, 26(2): 398-415 doi:  10.3969/j.issn.1004-2903.2011.02.002

    Xu Wenyao, Ou Jiaming, Du Aimin. Geomagnetic Field Modelling for the Globe and a Limited Region[J]. Progress in Geophysics, 2011, 26(2): 398-415 doi:  10.3969/j.issn.1004-2903.2011.02.002
    [15] 黄朝艳, 刘浩, 苏斌, 等. 月球磁场建模研究[J]. 测绘工程, 2013, 22(6): 77-80 doi:  10.3969/j.issn.1006-7949.2013.06.020

    Huang Chaoyan, Liu Hao, Su Bin, et al. A Study of Modeling of Lunar Magnetic Field[J]. Engineering of Surveying and Mapping, 2013, 22(6): 77-80 doi:  10.3969/j.issn.1006-7949.2013.06.020
    [16] Hirt C. Efficient and Accurate High-degree Spherical Harmonic Synthesis of Gravity Field Functionals at the Earth's Surface Using the Gradient Approach[J]. Journal of Geodesy, 2012, 86(9): 729-744 doi:  10.1007/s00190-012-0550-y
    [17] Bucha B, Janák J. A MATLAB-Based Graphical User Interface Program for Computing Functionals of the Geopotential up to Ultra-high Degrees and Orders: Efficient Computation at Irregular Surfaces[J]. Computers & Geosciences, 2014, 66: 219–227 http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0098300414000302
    [18] Colombo O L. Numerical Methods for Harmonic Analysis on the Sphere[R]. Department of Geodetic Science and Surveying, The Ohio State University, Columbus, Ohio, 1981
    [19] 钟波. 基于GOCE卫星重力测量技术确定地球重力场的研究[D]. 武汉: 武汉大学, 2010

    Zhong Bo. Study on the Determination of the Earth's Gravity Field from Satellite Gravimetry Mission GOCE[D]. Wuhan: Wuhan University, 2010
    [20] Du J, Chen C, Lesur V, et al. Non-singular Spherical Harmonic Expressions of Geomagnetic Vector and Gradient Tensor Fields in the Local North-Oriented Reference Frame[J]. Geoscientific Model Development, 2015, 8(7): 1 979–1 990 doi:  10.5194/gmd-8-1979-2015
    [21] Smith D E, Zuber M T, Neumann G A, et al. Initial Observations from the Lunar Orbiter Laser Altimeter (LOLA) [J]. Geophysical Research Letters, 2010, 37: L18204
  • [1] 李新科, 高潮, 郭永彩, 邵延华, 贺付亮.  利用改进的SIFT算法检测桥梁拉索表面缺陷 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2015, 40(1): 71-76.
    [2] 肖雄武, 郭丙轩, 潘飞, 张春森, 薛万唱.  利用泰勒展开的点特征子像素定位方法 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2014, 39(10): 1231-1235.
    [3] 翟振和, 孙中苗, 王兴涛, 刘晓刚.  利用级数展开法确定区域大地水准面的重力位 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2013, 38(12): 1425-1429.
    [4] 朱广彬, 李建成, 文汉江, 徐新禹.  极空白对三类重力梯度边值问题球谐分析解的影响分析 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2012, 37(3): 290-293.
    [5] 李先华, 黄微, 罗庆洲, 刘顺喜.  月球表面遥感图像的地形辐射改正原理研究 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2010, 35(10): 1197-1201.
    [6] 曹月玲, 王解先.  利用球冠谐分析拟合GPS水准高程 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2008, 33(7): 740-743.
    [7] 葛小三, 边馥苓.  蚁群算法求解三维表面路径方法的研究 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2007, 32(4): 366-368.
    [8] 李德仁, 彭明军.  城市空间信息规则网格与不规则网格的数据转换 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2007, 32(2): 95-99.
    [9] 朱庆, 李逢春, 张叶廷.  一种改进的三维点集表面重建的区域生长算法 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2006, 31(8): 667-670.
    [10] 黄培之.  基于等高线特性的三维表面重建方法的研究 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2005, 30(8): 668-672.
    [11] 于子凡, 林宗坚.  基于图像表面积的分形布朗运动分数维算法研究 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2005, 30(2): 161-165.
    [12] 郑顺义, 苏国中, 张祖勋.  三维点集的自动表面重构算法 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2005, 30(2): 154-157.
    [13] 李建松.  工业物体表面三维视觉量测的关键技术研究 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2001, 26(4): 337-342.
    [14] 李飞鹏, 廖孟扬, 徐振勤, 王思贤.  医学图像三维重建中的快速表面绘制 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2000, 25(2): 153-157.
    [15] 罗志才, 晁定波, 宁津生.  重力梯度张量的球谐分析 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 1997, 22(4): 346-349.
    [16] 罗志才, 宁津生, 晁定波.  卫星重力梯度分量的球谐综合 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 1996, 21(2): 103-108.
    [17] 王新华, 傅晓云.  从灰度变化获取表面形状的研究 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 1995, 20(3): 189-194.
    [18] 白亿同, 罗玉芳, 胡永旭.  分数微分积分及其级数展开式 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 1993, 18(1): 66-75.
    [19] 李长明.  在等高线地形图上量算表面积各种方法的分析、比较和改进 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 1980, 5(2): 72-87.
    [20] 邓凯亮, 黄谟涛, 吴太旗, 王伟平, 欧阳永忠, 陈欣, 熊雄, 刘敏, 王许.  利用高阶径向导数带限模型进行重力向下延拓计算 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 0, 0(0): 0-0. doi: 10.13203/j.whugis20210630
  • 加载中
图(5) / 表(2)
计量
  • 文章访问数:  476
  • HTML全文浏览量:  116
  • PDF下载量:  26
  • 被引次数: 0
出版历程
  • 收稿日期:  2020-04-16
  • 刊出日期:  2021-06-05

基于径向泰勒级数展开的月球表面磁场快速球谐解算方法

doi: 10.13203/j.whugis20190164
    基金项目:

    国家自然科学基金 41604060

    国家自然科学基金 41104048

    中央高校基本科研业务费专项资金 CUG170618

    作者简介:

    杜劲松, 博士, 副教授, 主要研究方向为卫星磁测与应用。jinsongdu@cug.edu.cn

  • 中图分类号: P184;P318

摘要: 在利用球谐模型解算月球起伏表面的磁场时, 传统算法计算效率较低且存在不稳定性, 因此提出一种基于球谐分析的径向泰勒级数展开法。首先采用450阶次的月球内源磁场球谐模型在月表地形起伏剧烈的背面区域进行不同泰勒级数展开次数范围以及不同平均半径的解算精度实验, 验证了所提方法的有效性, 并且通过与传统算法的对比证明了所提方法具有更高的计算效率和计算稳定性; 然后将计算得到的月球全球起伏表面磁场分布与月球参考球面上的磁场分布进行了对比分析, 结果表明, 月表地形起伏面与参考球面上的磁场差异较大, 磁场总强度在实际地形起伏面与参考球面上的差异和地形起伏呈现反相关性, 磁场径向分量与地形起伏不存在相关性, 这些说明月球内源磁场磁性载体埋深较浅且磁化方向并非径向。

English Abstract

杜劲松, 梁青, 张祎, 赵艳彬, 廖鹤. 基于径向泰勒级数展开的月球表面磁场快速球谐解算方法[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2021, 46(6): 871-879. doi: 10.13203/j.whugis20190164
引用本文: 杜劲松, 梁青, 张祎, 赵艳彬, 廖鹤. 基于径向泰勒级数展开的月球表面磁场快速球谐解算方法[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2021, 46(6): 871-879. doi: 10.13203/j.whugis20190164
DU Jinsong, LIANG Qing, ZHANG Yi, ZHAO Yanbin, LIAO He. Fast Spherical Harmonic Synthesis of Magnetic Field at Lunar Surface Based on Radial Taylor's Series Expansion[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2021, 46(6): 871-879. doi: 10.13203/j.whugis20190164
Citation: DU Jinsong, LIANG Qing, ZHANG Yi, ZHAO Yanbin, LIAO He. Fast Spherical Harmonic Synthesis of Magnetic Field at Lunar Surface Based on Radial Taylor's Series Expansion[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2021, 46(6): 871-879. doi: 10.13203/j.whugis20190164
  • 月球磁场是月球重要的物理场[1-2],是研究太阳风与月球相互作用的基础资料[3-4],也是探索月球内部结构、月球起源与演化历史的重要渠道[5-6],对月球探测器的轨道控制和着陆器的防护设计等具有重要意义[7-8]

    月球没有类似地球的全球性偶极子磁场,但是在阿波罗计划期间,着陆点附近的磁力仪原位测量数据、子卫星测得的磁场和电子反射率数据以及月岩样品磁学测量数据,均显示月球存在剩余磁化强度[9-10]。为了获得月球全球内源磁场分布,国外学者相继利用月球探测者号(Lunar prospector,LP)获得的电子反射率与三轴磁通门磁力仪测量数据,以及日本Kaguya卫星获得的三轴磁通门磁力仪测量数据进行月球内源磁场建模[11-13]。在所有的磁场建模方法中,球谐分析方法由于其适用于全球性问题,且考虑了磁场的物理性质(例如在场源以外空间满足拉普拉斯方程以及在无穷远处磁位为零等),而且能够快速实现任意位置磁场预测、分量计算以及频谱分析等处理,已经成为全球磁场建模的标准方法[14-15]。但是,观测点与(或)待解算点往往是不规则分布的,而传统的球谐解算方法计算效率较低并且存在计算不稳定性。为了更高效地进行磁场球谐建模,本文借鉴重力学领域相关方法[16-17]开展月球起伏表面的磁场解算工作。这对于研究月表磁场环境及其与太阳风的相互作用、月球内部磁性结构以及月球起源与演化历史探究也具有重要意义,也为将来进行更高阶/次的月球内源磁场球谐建模提供基础与参考。

    • 在月心球坐标系下,令r为观测点至月心的距离,φθ分别为纬度与余纬度,λ为经度;在场源即月球物理表面之外,内源磁场的磁位满足拉普拉斯方程,根据边界条件求解该方程,可得到磁位的球谐展开表达式。具体计算如下:

      $$ V\left(r, \theta , \lambda \right)=a\sum\limits_{l=0}^{L}\sum\limits_{m=0}^{l}{\left(\frac{a}{r}\right)}^{l+1}\left[{g}_{l}^{m}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\right(m\lambda )+ $$
      $$ {h}_{l}^{m}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(m\lambda \right)]{\tilde{P}}_{l}^{m}\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \right) $$ (1)

      式中,a为月球内源磁场参考球面半径;$ {g}_{l}^{m}\mathrm{、}{h}_{l}^{m} $为lm次高斯球谐系数;L为截断阶数或最大展开阶数;$ {\tilde{P}}_{l}^{m}\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \right) $为施密特准归一化的lm次缔合勒让德函数。对式(1)求负梯度得到磁场三分量,将其表达在解算点所在的球面局部指北直角坐标系(X轴、Y轴与Z轴分别指向月球北极、东向与径向向内)中,得到:

      $$ \left\{\begin{array}{l}{B}_{x}\left(r, \theta , \lambda \right)=\sum\limits_{l=0}^{L}\sum\limits_{m=0}^{l}{\left(\frac{a}{r}\right)}^{l+2}\left[{g}_{l}^{m}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(m\lambda \right)+{h}_{l}^{m}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(m\lambda \right)\right]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }{\tilde{P}}_{l}^{m}\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \right)\\ {B}_{y}\left(r, \theta , \lambda \right)=\sum\limits_{l=0}^{L}\sum\limits_{m=0}^{l}{\left(\frac{a}{r}\right)}^{l+2}m\left[{g}_{l}^{m}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(m\lambda \right)-{h}_{l}^{m}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(m\lambda \right)\right]\frac{{\tilde{P}}_{l}^{m}\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \right)}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta }\\ {B}_{z}\left(r, \theta , \lambda \right)=-\sum\limits_{l=0}^{L}\sum\limits_{m=0}^{l}\left(l+1\right){\left(\frac{a}{r}\right)}^{l+2}\left[{g}_{l}^{m}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(m\lambda \right)+{h}_{l}^{m}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(m\lambda \right)\right]{\tilde{P}}_{l}^{m}\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \right)\end{array}\right. $$ (2)

      若所有待解算点的月心距离r相等、余纬度θ与经度λ等间隔分布,为了提高解算效率,可将式(2)改写为:

      $$ \left\{\begin{array}{l}{B}_{x}\left(r, \theta , \lambda \right)=\sum\limits_{m=0}^{L}\left[{A}_{m}\left(\theta \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(m\lambda \right)+\right.\\ \left.\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }{B}_{m}\left(\theta \right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(m\lambda \right)\right]\\ {B}_{y}\left(r, \theta , \lambda \right)=\sum\limits_{m=0}^{L}m\left[{C}_{m}\left(\theta \right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(m\lambda \right)-\right.\\ \left.\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }{D}_{m}\left(\theta \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(m\lambda \right)\right]\\ {B}_{z}\left(r, \theta , \lambda \right)=\sum\limits_{m=0}^{L}\left[{E}_{m}\left(\theta \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(m\lambda \right)+\right.\\ \left.\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }{F}_{m}\left(\theta \right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(m\lambda \right)\right]\end{array}\right. $$ (3)

      式中,

      $$ \left\{\begin{array}{c}{A}_{m}\left(\theta \right)=\sum\limits_{l=m}^{L}{\left(\frac{a}{r}\right)}^{l+2}{g}_{l}^{m}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }{\tilde{P}}_{l}^{m}\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \right)\\ {B}_{m}\left(\theta \right)=\sum\limits_{l=m}^{L}{\left(\frac{a}{r}\right)}^{l+2}{h}_{l}^{m}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }{\tilde{P}}_{l}^{m}\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \right)\end{array}\right. $$ (4)
      $$ \left\{\begin{array}{c}{C}_{m}\left(\theta \right)=\sum\limits_{l=m}^{L}{\left(\frac{a}{r}\right)}^{l+2}{g}_{l}^{m}\frac{{\tilde{P}}_{l}^{m}\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \right)}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta }\\ {D}_{m}\left(\theta \right)=\sum\limits_{l=m}^{L}{\left(\frac{a}{r}\right)}^{l+2}{h}_{l}^{m}\frac{{\tilde{P}}_{l}^{m}\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \right)}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta }\end{array}\right. $$ (5)
      $$ \left\{\begin{array}{c}{E}_{m}\left(\theta \right)=-\sum\limits_{l=m}^{L}\left(l+1\right){\left(\frac{a}{r}\right)}^{l+2}{g}_{l}^{m}{\tilde{P}}_{l}^{m}\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \right)\\ {F}_{m}\left(\theta \right)=-\sum\limits_{l=m}^{L}\left(l+1\right){\left(\frac{a}{r}\right)}^{l+2}{h}_{l}^{m}{\tilde{P}}_{l}^{m}\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \right)\end{array}\right. $$ (6)

      上述方法称之为集总系数法(lumped coefficients approach,LCA)[18-19]

      在解算起伏月表上的磁场分布时,所有待解算点按照余纬度θ与经度λ等间隔分布,但月心距离r均不相等。

      因此,本文选择平均半径r0在月心距离方向进行泰勒级数展开,从而求得相对平均半径起伏观测点上的磁场三分量,即:

      $$ \left\{\begin{array}{l}{B}_{x}\left(r, \theta , \lambda \right)=\sum\limits_{k=0}^{K}\frac{1}{k!}{\left(1-\frac{r}{{r}_{0}}\right)}^{k}\sum\limits_{m=0}^{L}\left[{C}_{m}^{k}\left(\theta \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(m\lambda \right)+{D}_{m}^{k}\left(\theta \right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(m\lambda \right)\right]\\ {B}_{y}\left(r, \theta , \lambda \right)=\sum\limits_{k=0}^{K}\frac{1}{k!}{\left(1-\frac{r}{{r}_{0}}\right)}^{k}\sum\limits_{m=0}^{L}m\left[{E}_{m}^{k}\left(\theta \right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(m\lambda \right)-{F}_{m}^{k}\left(\theta \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(m\lambda \right)\right]\\ {B}_{z}\left(r, \theta , \lambda \right)=\sum\limits_{k=0}^{K}\frac{1}{k!}{\left(1-\frac{r}{{r}_{0}}\right)}^{k}\sum\limits_{m=0}^{L}\left[{G}_{m}^{k}\left(\theta \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(m\lambda \right)+{H}_{m}^{k}\left(\theta \right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(m\lambda \right)\right]\end{array}\right. $$ (7)

      式中,k表示第k阶径向导数;K表示最大泰勒级数展开次数。此时,令:

      $$ {t}_{l}^{k}=\left\{\begin{array}{l}\prod\limits_{i=1}^{k}\left(l+2+i\right), k>0\\ 1, k=0\end{array}\right. $$

      则:

      $$ \left\{\begin{array}{c}{A}_{m}^{k}\left(\theta \right)=\sum\limits_{l=m}^{L}{\left(\frac{a}{{r}_{0}}\right)}^{l+2}{g}_{l}^{m}{t}_{l}^{k}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }{\tilde{P}}_{l}^{m}\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \right)\\ {B}_{m}^{k}\left(\theta \right)=\sum\limits_{l=m}^{L}{\left(\frac{a}{{r}_{0}}\right)}^{l+2}{h}_{l}^{m}{t}_{l}^{k}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }{\tilde{P}}_{l}^{m}\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \right)\end{array}\right. $$ (8)
      $$ \left\{\begin{array}{c}{C}_{m}^{k}\left(\theta \right)=\sum\limits_{l=m}^{L}{\left(\frac{a}{{r}_{0}}\right)}^{l+2}{g}_{l}^{m}{t}_{l}^{k}\frac{{\tilde{P}}_{l}^{m}\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \right)}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta }\\ {D}_{m}^{k}\left(\theta \right)=\sum\limits_{l=m}^{L}{\left(\frac{a}{{r}_{0}}\right)}^{l+2}{h}_{l}^{m}{t}_{l}^{k}\frac{{\tilde{P}}_{l}^{m}\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \right)}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta }\end{array}\right. $$ (9)
      $$ \left\{\begin{array}{c}{E}_{m}^{k}\left(\theta \right)=-\sum\limits_{l=m}^{L}\left(l+1\right){\left(\frac{a}{{r}_{0}}\right)}^{l+2}{g}_{l}^{m}{t}_{l}^{k}{\tilde{P}}_{l}^{m}\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \right)\\ {F}_{m}^{k}\left(\theta \right)=-\sum\limits_{l=m}^{L}\left(l+1\right){\left(\frac{a}{{r}_{0}}\right)}^{l+2}{h}_{l}^{m}{t}_{l}^{k}{\tilde{P}}_{l}^{m}\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \right)\end{array}\right. $$ (10)

      针对上述表达式中的不稳定项$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }{\tilde{P}}_{l}^{m}\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \right) $与$ {\tilde{P}}_{l}^{m}\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \right)/\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta $,采用无奇异性公式计算[20]

      $$ \left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }{\tilde{P}}_{l}^{m}\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \right)={a}_{l, m}{\tilde{P}}_{l}^{m-1}-{b}_{l, m}{\tilde{P}}_{l}^{m+1}\\ \frac{{\tilde{P}}_{l}^{m}\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \right)}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta }={c}_{l, m}{\tilde{P}}_{l-1}^{m-1}+{d}_{l, m}{\tilde{P}}_{l-1}^{m+1}, m>0\end{array}\right. $$ (11)

      式中,

      $$ \left\{\begin{array}{l}{a}_{l, m}=0.5\sqrt{l+m}\sqrt{l-m+1}\sqrt{\frac{{C}_{m}}{{C}_{m-1}}}\\ {b}_{l, m}=0.5\sqrt{l+m+1}\sqrt{l-m}\sqrt{\frac{{C}_{m}}{{C}_{m+1}}}\\ {c}_{l, m}=0.5\sqrt{l+m}\sqrt{l+m-1}\sqrt{\frac{{C}_{m}}{{C}_{m-1}}}/m, \mathrm{ }\\ \mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }m>0\\ {d}_{l, m}=0.5\sqrt{l-m}\sqrt{l-m-1}\sqrt{\frac{{C}_{m}}{{C}_{m+1}}}/m, \\ \mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }m>0\end{array}\right. $$ (12)

      其中,$ {C}_{m}=\left\{\begin{array}{c}1, m=0\\ 2, m\ne 0\end{array}\right. $,$ {\tilde{P}}_{l}^{-m}\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \right)=-{\tilde{P}}_{l}^{m}\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \right) $。

    • 根据泰勒级数展开理论,影响计算精度的主要因素在于观测点相对平均半径r0的起伏程度、泰勒级数展开次数。在进行月球起伏表面的磁场解算时,r0应该选取为所有观测点月心距离的平均值,而且观测点偏离平均观测面的程度越剧烈,需要的泰勒级数展开次数就越高。此外,磁场球谐模型的分辨率越高(即最大球谐展开阶数越大),短波长成分的磁场在径向的变化就越快,因此想要描述短波长磁场的径向快速变化,需要的泰勒级数展开次数则越高。

      为了验证上述理论分析的正确性,选取月球地形起伏最为剧烈的背面高地和部分艾特肯盆地作为本文分析的研究区域,如图 1所示。采用美国圣杯号探测器月球轨道激光测高数据构建的720阶次月球全球地形起伏球谐模型[21],解算了研究区域内的地形起伏,为了测试本文方法的计算效率,设置解算分辨率为0.05°×0.05°。在研究区域内,面积加权的平均月心距离为1 738.244 km,相对该球面,地形起伏的最大值与最小值分别为10 812 m与-7 552 m,可见地形起伏非常剧烈。

      图  1  研究区域的月表高程

      Figure 1.  Lunar Topography of Study Aera

      月球内源磁场球谐展开模型最高阶次为450[13],该模型主要基于日本Kaguya号和美国LP号卫星的三轴磁通门磁力仪测量数据,采用边值法构建获得,其空间分辨率为0.4°,在赤道地区,空间分辨率约为12 km。首先利用式(2)计算得到研究区域内实际月表的磁场,将其作为理论值;然后利用式(7)中的径向泰勒级数展开进行起伏月表的磁场解算,其中r0为月表月心距离的面积加权平均值1 738.244 km。采用不同泰勒级数展开次数范围计算的磁场与理论值之间的差异参见表 1,其中B为磁场总强度。由表 1可知,随着泰勒级数展开次数的增高,计算误差逐渐递减;但在7次展开之后,误差趋于稳定。

      表 1  不同最大泰勒级数展开次数计算的磁场与理论值之间差异的统计参数表

      Table 1.  Statistical Parameters of Differences Between the Theoretical Magnetic Fields and Those Obtained Using Radial Taylor's Series Expansion up to Different Maximum Orders

      最大泰勒级数展开次数 磁场分量 误差统计参数/nT 计算时间/s
      最小值 最大值 算数平均值 均方根
      0次 Bx -167.461 119.944 -0.004 388 7.177 392 312
      By -95.129 139.648 -0.002 834 6.365 829
      Bz -180.157 195.700 0.000 873 9.564 835
      B -195.376 158.133 -2.940 556 12.980 010
      1次 Bx -103.487 115.474 -0.001 936 3.293 964 340
      By -49.593 75.785 0.003 619 2.702 255
      Bz -116.609 144.618 0.005 074 4.255 824
      B -79.270 113.639 -1.702 738 4.587 907
      2次 Bx -68.192 75.703 0.000 199 1.419 042 378
      By -49.300 33.681 -0.000 070 1.045 869
      Bz -86.556 74.740 0.000 044 1.763 508
      B -22.054 85.126 -0.131 610 2.134 567
      3次 Bx -39.906 34.905 0.000 021 0.545 539 420
      By -16.926 23.968 0.000 479 0.367 488
      Bz -36.923 45.339 0.000 595 0.658 072
      B -36.819 44.777 -0.131 752 0.657 029
      4次 Bx -13.992 16.604 0.000 047 0.178 899 453
      By -9.144 6.558 -0.000 031 0.112 901
      Bz -18.476 14.627 0.000 146 0.211 320
      B -9.768 13.479 0.017 096 0.204 595
      5次 Bx -5.732 4.609 0.000 128 0.061 734 493
      By -2.176 3.087 0.000 171 0.042 037
      Bz -5.144 6.118 0.000 083 0.074 518
      B -4.403 6.046 0.011 798 0.083 024
      6次 Bx -1.262 1.756 0.000 089 0.034 876 532
      By -0.783 0.557 0.000 102 0.029 811
      Bz -1.804 1.381 0.000 065 0.045 669
      B -1.811 1.085 0.020 331 0.062 416
      7次 Bx -0.658 0.943 0.000 102 0.033 742 575
      By -0.697 0.463 0.000 123 0.029 884
      Bz -1.037 0.870 0.000 049 0.044 864
      B -0.526 1.093 0.019 979 0.063 464
      8次 Bx -0.667 0.943 0.000 098 0.033 597 615
      By -0.697 0.463 0.000 118 0.029 882
      Bz -1.038 0.872 0.000 049 0.044 748
      B -0.296 1.094 0.020 294 0.063 427

      图 2为10次泰勒级数展开法计算结果与理论值之间的差异分布。由图 2可以看出,误差较大值主要集中于地形下凹的艾特肯盆地区域,而在地形较高的高地区域误差趋于零值。造成该误差的原因在于理论值的计算存在误差,由式(2)可知,当计算点月心距离r小于月球磁场参考球面半径a时,(a/r)l+2是一个不稳定项,且随着球谐阶数l的增大,传统算法可能存在不稳定性。尽管式(7)所示的泰勒级数展开法也存在不稳定项(a/r0)l+2与(1-r/r0)k,但是r0往往选取为平均月心距且与a相当,最大泰勒级数展开次数一般较小(如表 1所示的8次),因此相比传统算法可以降低计算不稳定性。

      图  2  10次泰勒级数展开法计算结果与理论值之间的差异分布

      Figure 2.  Differences Between the Theoretical Magnetic Fields and Those Obtained Using Radial Taylor's Series Expansion up to 10th Order

      分别采用实验区域的平均月心距离1 738.244 km与月球磁场参考球面半径1 737.400 km作为r0,计算磁场误差的均方根,结果如图 3所示。

      图  3  磁场计算误差的均方根随泰勒级数展开最大次数的变化

      Figure 3.  Root Mean Square of Calculating Error of Magnetic Field Intensity Changing with the Maximum Orders of Taylor's Series Expansion

      图 3可以看出,前者的计算收敛速度要高于后者;对于0次与1次泰勒级数展开,两者的计算误差比较一致,其原因在于0次与1次径向梯度主要描述长波长磁场的径向变化,对于r0的敏感度较低,计算误差主要起因于中短波长磁场;当展开次数增高时,逐渐描述中短波长磁场的径向变化,此时对于r0的敏感度较高。

      对于本算例,若采用传统算法计算,耗时约为6 h,而采用泰勒级数展开法15次展开耗时也仅约为960 s,可见计算效率得到大幅度提升。根据表 1可以看出,随着泰勒级数展开次数的增大,计算耗时呈线性增加。本文实验在笔记本电脑上完成,其处理器为IntelⓇ XeonⓇ CPU E3-1505M v6 @ 3.00 GHz,内存为32.0 GB。由于执行本文实验采用了式(11)、式(12)的无奇异性算法,若不考虑极区奇异性而采用普通算法,计算耗时还将大幅度降低。为了了解月球全球物理表面与参考球面磁场之间的差异,本文采用720阶次月球全球地形起伏球谐模型[21],解算得到月球全球地形起伏,如图 4所示,地形最高点(10 768 m)与最低点(-8 424 m)分别位于月球背面的高地与艾特肯盆地。

      图  4  月球全球表面高程

      Figure 4.  Global Topography of the Moon

      采用450阶次的月球内源磁场球谐模型,先利用式(7)20次泰勒级数展开法计算得到月球全球实际地形起伏面上的磁场分布,再利用式(4)计算得到月球地形参考球面上的磁场分布,得到两个观测面上磁场之间的差异。相关统计参数见表 2,差异的空间分布如图 5所示。

      表 2  月球物理表面与参考球面上的磁场及两者之间差异的统计参数表

      Table 2.  Statistical Parameters of Magnetic Fields on Lunar Physical Surface and on the Reference Sphere, and Their Differences

      解算面与磁场差异 磁场类型 统计参数/nT
      最小值 最大值 算数平均值 均方根
      月球物理表面 Bx -487.314 370.278 0.020 435 7.035 171
      By -284.449 236.321 0.000 489 6.088 395
      Bz -424.985 514.243 -0.005 698 9.307 018
      B 0.005 590.282 6.413 270 13.159 893
      月球参考球面(1 737.152 km) Bx -384.399 317.358 0.018 055 7.265 267
      By -332.734 197.771 0.000 000 6.052 672
      Bz -388.501 567.346 -0.002 315 9.479 470
      B 0.004 575.511 6.368 949 13.389 521
      月球物理表面与参考球面的磁场差异 δBx -146.160 163.098 0.002 380 3.145 313
      δBy -114.539 154.202 0.000 489 2.552 891
      δBz -247.566 183.685 -0.003 383 4.046 276
      δB -251.560 155.363 0.044 322 5.500 285

      图  5  月球全球地形起伏面上的磁场分布及其与参考球面上磁场之间的差异分布

      Figure 5.  Distribution of Global Magnetic Field on Lunar Relief Surface and Difference Distribution Between Magnetic Fields on Lunar Relief Surface and on the Reference Sphere

      表 2可以看出,地形起伏面与参考球面上磁场差异较大,差异幅度达到了参考球面上磁场幅度的一半左右,由于磁场随观测点与场源之间的距离l按照l-3衰减,因此说明月球内源磁场磁性载体深度位置较浅,致使内源磁场在月表附近径向变化剧烈。

      图 5可知,磁场总强度B在实际地形起伏面与参考球面上的差异与地形起伏呈现反相关性,地形越低越靠近场源,磁场越强,反之亦然。但是,磁场径向分量Bz与地形不存在相关性,这是因为月球磁性岩石圈磁性载体的磁化方向并非径向所致。

    • 在基于球谐模型解算起伏面上的空间磁场时,传统算法计算效率较低且存在不稳定性。针对该问题,本文提出了径向泰勒级数展开法,通过实验分析,发现本文方法具有计算的高效性与较高的稳定性,具体结论如下:

      1) 相比传统算法,本文实验表明径向泰勒级数展开法计算效率提升近20倍,计算时间随级数展开次数增大呈线性增加,而且随着解算点数增多、球谐展开阶次增大,计算效率的提升效果会更加明显。

      2) 计算精度主要取决于泰勒级数展开次数,观测面起伏越剧烈、磁场球谐模型展开阶次越高,所需要的泰勒级数展开次数也就越高;泰勒级数展开法中的平均向径建议选取为所有待解算点月心距离的面积加权平均值;计算稳定性主要取决于泰勒级数展开的次数,相比传统算法,本文方法的计算不稳定性得到了大幅度降低。

      3) 月表地形起伏面与参考球面上磁场差异较大,说明月球内源磁场磁性载体位置较浅,而且磁场总强度在实际地形起伏面与参考球面上的差异与地形起伏呈现反相关性,而磁场径向分量与地形不存在相关性,说明月球内源磁场场源的磁化方向并非径向。

参考文献 (21)

目录

    /

    返回文章
    返回