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应用重力场模型GL1500E和LLR天平动参数估算月核大小及其组成

钟振 张腾 段炼 李毅 朱化强

钟振, 张腾, 段炼, 李毅, 朱化强. 应用重力场模型GL1500E和LLR天平动参数估算月核大小及其组成[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2021, 46(2): 238-243. doi: 10.13203/j.whugis20190124
引用本文: 钟振, 张腾, 段炼, 李毅, 朱化强. 应用重力场模型GL1500E和LLR天平动参数估算月核大小及其组成[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2021, 46(2): 238-243. doi: 10.13203/j.whugis20190124
ZHONG Zhen, ZHANG Teng, DUAN Lian, LI Yi, ZHU Huaqiang. Estimation of the Size and Composition of the Lunar Core Based on the Gravity Field Model GL1500E and LLR Physical Libration Parameters[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2021, 46(2): 238-243. doi: 10.13203/j.whugis20190124
Citation: ZHONG Zhen, ZHANG Teng, DUAN Lian, LI Yi, ZHU Huaqiang. Estimation of the Size and Composition of the Lunar Core Based on the Gravity Field Model GL1500E and LLR Physical Libration Parameters[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2021, 46(2): 238-243. doi: 10.13203/j.whugis20190124

应用重力场模型GL1500E和LLR天平动参数估算月核大小及其组成

doi: 10.13203/j.whugis20190124
基金项目: 

国家自然科学基金 41864001

武汉大学测绘遥感信息工程国家重点实验室开放基金 17P03

贵州省科技计划项目 Guizhou Science and Technology Platform Talents [2018]5769

北部湾环境演变与资源利用教育部重点实验室开放基金 2015K03

详细信息
    作者简介:

    钟振, 博士, 教授, 主要从事月球重力场和月球内部结构研究。zhenzhongmail@163.com

  • 中图分类号: P223

Estimation of the Size and Composition of the Lunar Core Based on the Gravity Field Model GL1500E and LLR Physical Libration Parameters

Funds: 

The National Natural Science Foundation of China 41864001

the Open Fund of State Key Laboratory of Information Engineering in Surveying, Mapping and Remote Sensing, Wuhan University 17P03

Guizhou Science and Technology Plan Project Guizhou Science and Technology Platform Talents [2018]5769

the Open Fund of Key Laboratory of Environment Change and Resources Use in Beibu Gulf, Ministry of Education 2015K03

More Information
    Author Bio:

    ZHONG Zhen, PhD, professor, specializes in application of lunar gravity field model and lunar interior structure. E-mail: zhenzhongmail@163.com

  • 摘要: 针对月核大小及密度估计问题, 利用高分辨率重力场模型GL1500E的二阶位系数和LLR(lunar laser ranging)天平动参数, 考虑月核分层为外核和内核的情况, 结合非线性粒子群优化算法, 对月核大小和组成进行了估计。大批量的统计结果表明, 大概率分布的外核半径rc1约为469 km, 内核半径rc2约为303 km, 外核密度ρc1约为4 613 kg/m3, 内核密度ρc2约为7 004 kg/m3, 月幔密度ρm约为3 340 kg/m3。月幔密度非常接近地质研究结果3 360 kg/m3, 内外核半径与近期其他研究结果相近, 估算的月核大小与密度组成具有一定的参考价值。若月核由纯铁和硫化亚铁组成, 则研究表明, 内核大部分由纯铁组成, 外核大部分由硫化亚铁组成。
  • 图  1  月球内部分层结构

    Figure  1.  Lunar Internal Structure with Various Layers

    图  2  待估参数的频率分布图与残差收敛图

    Figure  2.  Histograms of Frequency Distributions of the Parameters to be Estimated and Convergence of Residuals

    表  1  月球相关参数取值

    Table  1.   Values of Lunar Parameters Used in Calculation

    参数 取值
    位系数C20 -0.908 801 749 640 3×10-4
    位系数C22 0.346 730 215 866 3×10-4
    月球质量M/kg 7.346 287 264 657 5×1022
    平均半径R/km 1 738
    平均密度ρ0/(kg∙m-3) 3 340.642
    天平动参数β 631.020 8×10-6
    天平动参数γ 227.732 8×10-6
    平均转动惯量因子I/MR2 0.393 000 223 9
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    表  2  月球内部分层结构参数取值及范围

    Table  2.   Values and Ranges of Lunar Parameters at Various Internal Layers

    参数 取值及范围
    月壳厚度bc/km 40
    月壳密度ρs/(kg∙m-3) 2 800
    外核半径rc1/km [200, 650]
    内核半径rc2/km [100, 350]
    月幔密度ρm/(kg∙m-3) [3 100, 3 600]
    外核密度ρc1/(kg∙m-3) [3 400, 6 000]
    内核密度ρc2/(kg∙m-3) [4 000, 8 500]
    下载: 导出CSV
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-11-03
  • 刊出日期:  2021-02-05

应用重力场模型GL1500E和LLR天平动参数估算月核大小及其组成

doi: 10.13203/j.whugis20190124
    基金项目:

    国家自然科学基金 41864001

    武汉大学测绘遥感信息工程国家重点实验室开放基金 17P03

    贵州省科技计划项目 Guizhou Science and Technology Platform Talents [2018]5769

    北部湾环境演变与资源利用教育部重点实验室开放基金 2015K03

    作者简介:

    钟振, 博士, 教授, 主要从事月球重力场和月球内部结构研究。zhenzhongmail@163.com

  • 中图分类号: P223

摘要: 针对月核大小及密度估计问题, 利用高分辨率重力场模型GL1500E的二阶位系数和LLR(lunar laser ranging)天平动参数, 考虑月核分层为外核和内核的情况, 结合非线性粒子群优化算法, 对月核大小和组成进行了估计。大批量的统计结果表明, 大概率分布的外核半径rc1约为469 km, 内核半径rc2约为303 km, 外核密度ρc1约为4 613 kg/m3, 内核密度ρc2约为7 004 kg/m3, 月幔密度ρm约为3 340 kg/m3。月幔密度非常接近地质研究结果3 360 kg/m3, 内外核半径与近期其他研究结果相近, 估算的月核大小与密度组成具有一定的参考价值。若月核由纯铁和硫化亚铁组成, 则研究表明, 内核大部分由纯铁组成, 外核大部分由硫化亚铁组成。

English Abstract

钟振, 张腾, 段炼, 李毅, 朱化强. 应用重力场模型GL1500E和LLR天平动参数估算月核大小及其组成[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2021, 46(2): 238-243. doi: 10.13203/j.whugis20190124
引用本文: 钟振, 张腾, 段炼, 李毅, 朱化强. 应用重力场模型GL1500E和LLR天平动参数估算月核大小及其组成[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2021, 46(2): 238-243. doi: 10.13203/j.whugis20190124
ZHONG Zhen, ZHANG Teng, DUAN Lian, LI Yi, ZHU Huaqiang. Estimation of the Size and Composition of the Lunar Core Based on the Gravity Field Model GL1500E and LLR Physical Libration Parameters[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2021, 46(2): 238-243. doi: 10.13203/j.whugis20190124
Citation: ZHONG Zhen, ZHANG Teng, DUAN Lian, LI Yi, ZHU Huaqiang. Estimation of the Size and Composition of the Lunar Core Based on the Gravity Field Model GL1500E and LLR Physical Libration Parameters[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2021, 46(2): 238-243. doi: 10.13203/j.whugis20190124
  • 月球由于缺少全球范围和大规模的地质活动, 保留了许多太阳系的早期历史, 号称太阳系的活化石[1]; 而地球由于板块漂移、水流冲刷、火山活动等导致许多早期演化历史无法研究。根据比较行星学理论, 通过月球相关科学研究, 可以复原早期地球物理过程, 对丰富地球历史的认识具有重要意义[1-2]

    随着空间探测活动的展开, 人们对月球组成的认识越来越丰富。特别是近年来, 随着中国"嫦娥"、日本SELENE(selenological and engineering explorer)、美国GRAIL(gravity recovery and interior laboratory)任务的开展, 月球重力场模型的分辨率得到了极大提高, 这对开展月球内部结构研究具有重要意义[3-5]

    对月球内部结构的认识主要通过月震数据来实现。月震数据来源于早期Apollo任务期间布置的三角月震台站, 但数据量有限, 而且对深震信息的约束较弱, 特别是1 000 km以下的深震[6], 早期研究无法确定月核的存在。月核的大小和组成对丰富月球内部分层结构和组成以及月球热演化历史至关重要。为此, 文献[7]使用阵列方法对月震数据进行过滤, 发现1 000 km以下的月核存在固态内核和液态外核, 但月核半径的大小及组成无法较好地约束。为了解决该问题, 文献[8]讨论了GRAIL系列660阶次的高分辨率重力场模型GRGM660PRIM, 使用平均惯性矩因子作为约束条件, 估计了月核的可能取值范围。该方法最早由文献[9]提出, 并应用于火星核的大小和密度约束, 取得了较好的结果, 其在使用时需要估计多个待求参数, 文献[8-9]采用蒙特卡洛方法来估计这些参数, 耗时较长。近年来, 使用智能算法对多参数进行最优估计显示出较好的效果[10-11]。其中, 粒子群优化(particle swarm optimization, PSO)算法可调参数少, 可同时对多参数进行最优搜索, 因而得到了广泛应用[10-11]

    为此, 本文使用PSO算法, 应用最新高分辨率的月球重力场模型GL1500E[12], 结合行星历表提供的月球天平动参数, 对月核的大小和密度组成进行最优估计, 以期为月球内部结构研究及其热历史约束提供一定的参考。

    • 当前, 最新月球重力场模型GL1500E展开阶次达到1 500阶次, 由大量高精度星间Ka波段测量数据解算求得。类似其他GRAIL重力场模型, 其模型精度优于其他非GRAIL重力场模型[5, 12-13], 对月核大小和密度的约束具有重要意义[8]。基于GL1500E, 规格化2阶位系数C20C22及求解的月球质量和平均密度如表 1所示。其中, 万有引力常量G参考了最新研究结果[14]。计算中需要使用的月球天平动参数βγ由月球激光测距(lunar laser ranging, LLR)给出, 由行星与月球星历表DE430[15]提供, 月球相关参数取值如表 1所示, 其中I表示模型惯性矩。

      表 1  月球相关参数取值

      Table 1.  Values of Lunar Parameters Used in Calculation

      参数 取值
      位系数C20 -0.908 801 749 640 3×10-4
      位系数C22 0.346 730 215 866 3×10-4
      月球质量M/kg 7.346 287 264 657 5×1022
      平均半径R/km 1 738
      平均密度ρ0/(kg∙m-3) 3 340.642
      天平动参数β 631.020 8×10-6
      天平动参数γ 227.732 8×10-6
      平均转动惯量因子I/MR2 0.393 000 223 9

      对月球内部结构的认识主要来源于月震数据, 大致可分成上月壳、下月壳、上月幔、中月幔、下月幔、外核和内核[7-12]。文献[8]将月球内部简化成3层模型(月壳、月幔和月核), 由于外核与内核的组成存在较大差异[16], 在月球内部结构中考虑外核与内核, 更有利于月核大小及其组成的约束。文献[8]的研究表明, 月壳厚度与密度对月核大小和组成的影响非常小, 将其近似成常数并不影响结果, 而且有利于简化模型, 提升计算效率。另外, 参考文献[7-12]的研究, 上月幔、中月幔和下月幔间的密度差较小, 文献[8]的研究也表明将三者合并考虑并不影响月核大小和组成的估计。本文通过数值计算也表明, 不同月幔层间的密度几乎一致, 对估计月核大小及其组成的影响非常小。为此, 本文将上月幔、中月幔和下月幔合并为一层, 构建了如图 1所示的月球内部4层结构模型, 从外至内依次为月壳、月幔、外核和内核, 对应的密度分别为ρsρmρc1ρc2, 其取值及范围如表 2所示。

      图  1  月球内部分层结构

      Figure 1.  Lunar Internal Structure with Various Layers

      表 2  月球内部分层结构参数取值及范围

      Table 2.  Values and Ranges of Lunar Parameters at Various Internal Layers

      参数 取值及范围
      月壳厚度bc/km 40
      月壳密度ρs/(kg∙m-3) 2 800
      外核半径rc1/km [200, 650]
      内核半径rc2/km [100, 350]
      月幔密度ρm/(kg∙m-3) [3 100, 3 600]
      外核密度ρc1/(kg∙m-3) [3 400, 6 000]
      内核密度ρc2/(kg∙m-3) [4 000, 8 500]
    • 根据主轴惯性矩ABC, 与重力场模型规格化的2阶位系数C20C22, 以及天平动参数βγ间的关系, 可得[17-19]:

      $$ \sqrt 5 {C_{20}} = \frac{{A + B - 2C}}{{2M{R^2}}} $$ (1)
      $$ \sqrt {\frac{5}{{12}}} {C_{22}} = \frac{{B - A}}{{4M{R^2}}} $$ (2)
      $$ \beta = \frac{{C - A}}{B} $$ (3)
      $$ \gamma = \frac{{B - A}}{C} $$ (4)

      式中, MR分别表示月球总质量和平均参考半径, 其他物理量如表 1所示。通过式(1)~(4), 利用最小二乘法, 求出月球主轴惯性矩ABC, 可得平均惯性矩因子:

      $$ \frac{{{I_0}}}{{M{R^2}}} = \frac{{A + B + C}}{{3M{R^2}}} $$ (5)

      式中, I0表示由GL1500E的2阶位系数以及DE430天平动参数依据式(1)~(5)求得的平均惯性矩。

      根据图 2所示的模型结构, 可得该模型的平均密度ρ和平均惯性矩因子I/MR2, 即:

      $$ \rho = {\rho _s} + \left( {{\rho _m} - {\rho _s}} \right){\left( {\frac{{{r_m}}}{R}} \right)^3} + \left( {{\rho _{c1}} - {\rho _m}} \right){\left( {\frac{{{r_{c1}}}}{R}} \right)^3} + \\ \;\;\;\;\;\; \left( {{\rho _{c2}} - {\rho _{c1}}} \right){\left( {\frac{{{r_{c2}}}}{R}} \right)^3} $$ (6)
      $$ \begin{array}{*{20}{l}} {\frac{I}{{M{R^2}}} = \frac{2}{5}\left[ {\frac{{{\rho _s}}}{\rho } + \frac{{{\rho _m} - {\rho _s}}}{\rho }{{\left( {\frac{{{r_m}}}{R}} \right)}^5} + } \right.}\\ \;\;\;\;\;{\left. {\frac{{{\rho _{c1}} - {\rho _m}}}{\rho }{{\left( {\frac{{{r_{c1}}}}{R}} \right)}^5} + \frac{{{\rho _{c2}} - {\rho _{c1}}}}{\rho }{{\left( {\frac{{{r_{c2}}}}{R}} \right)}^5}} \right]} \end{array} $$ (7)

      图  2  待估参数的频率分布图与残差收敛图

      Figure 2.  Histograms of Frequency Distributions of the Parameters to be Estimated and Convergence of Residuals

      式(6)中, rm表示月幔半径。

      如果不区分外核和内核, 即ρc1=ρc2。令ρc1=ρc2=ρc, rc1=rc2=rc, 则式(6)和式(7)可简化成如下关系:

      $$ \rho = {\rho _s} + \left( {{\rho _m} - {\rho _s}} \right){\left( {\frac{{{r_m}}}{R}} \right)^3} + \left( {{\rho _c} - {\rho _m}} \right){\left( {\frac{{{r_c}}}{R}} \right)^3} $$ (8)
      $$ \frac{I}{{M{R^2}}} = \frac{2}{5}\left[ {\frac{{{\rho _s}}}{\rho } + \frac{{{\rho _m} - {\rho _s}}}{\rho }{{\left( {\frac{{{r_m}}}{R}} \right)}^5} + \frac{{{\rho _c} - {\rho _m}}}{\rho }{{\left( {\frac{{{r_c}}}{R}} \right)}^5}} \right] $$ (9)

      此即文献[8]给出的3层模型, 表明式(6)和式(7)所描述的平均密度和平均惯性矩因子具有一定的合理性。

    • 为了估计月核的大小及其组成, 需要利用表 1求出的平均密度以及式(5)~(7), 根据平均密度和平均惯性矩因子的拟合残差, 对表 2所示的自由参数同时进行估计。控制方程涉及式(6)和式(7), 这是一个多目标反演函数的问题[20], 拟合残差f为:

      $$ f = {\left( {{\rho _0} - \rho } \right)^2} + {\left( {\frac{{{I_0}}}{{M{R^2}}} - \frac{I}{{M{R^2}}}} \right)^2} $$ (10)

      式中, ρ0表示由重力场模型GL1500E求出的月球平均密度, 如表 1所示; ρ表示由式(6)求解的模型平均密度。

      为了估计月核的大小和组成, 以式(10)的最小值作为判据, 涉及表 2所示5个自由参数的反演。由于问题的复杂性及反演参数较多的特征, 用非线性PSO算法估计自由参数有助于降低问题的复杂性。PSO算法是基于鱼群和鸟群的觅食行为演变而来[21-22]。其基本原理是:随机地初始化一群没有质量和体积的粒子, 每个粒子由n个待估参数构成, 每个粒子在这n个待估参数构成的n维空间中运动, 粒子的好坏由待估参数相关的拟合残差决定。粒子在每一代中跟踪两个最优值, 分别是群体最优值Pg和个体最优值Pt, 并根据两个最优值的大小来更新自己的位置xi+1, 即:

      $$ {v^{i + 1}} = w \cdot {v^i} + {c_1} \cdot {r_1} \cdot \left( {p_t^i - {x^i}} \right) + {c_2} \cdot {r_2} \cdot \left( {p_g^i - {x^i}} \right) $$ (11)
      $$ {x^{i + 1}} = {x^i} + {v^{i + 1}} $$ (12)

      式中, vivi+1分别表示粒子群在上一次迭代的速度和当前迭代的速度; xixi+1分别表示粒子群在上一次迭代的位置和当前迭代的位置; r1r2表示(0, 1)之间的随机数; c1c2表示学习因子, 一般取c1=c2=2;w表示权重因子; pgipti分别表示上一次迭代的群体最优值和个体最优值。对单个粒子j而言, 其位置矢量xj表 2所示的自由参数组成, 即:

      $$ {\mathit{\boldsymbol{x}}_j} = \left( {{r_{j, c1}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}{r_{j, c2}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}{\rho _{j, m}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}{\rho _{j, c1}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}{\rho _{j, c2}}} \right) $$ (13)

      对于m个粒子组成的粒子群而言, 其位置x为:

      $$ \mathit{\boldsymbol{x}} = {\left( {{x_1}\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}{x_2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}{x_3}\begin{array}{*{20}{c}} \cdots \end{array}{x_j}\begin{array}{*{20}{c}} \cdots \end{array}{x_m}} \right)^{\rm{T}}} $$ (14)
    • 在计算过程中, 本文选取粒子群的数量m=1 200, 迭代总次数imax=500。由于反演参数较多, 而控制方程较少, 反演结果存在非唯一性, 单次计算结果存在差异。为了避免反演结果的不稳定性, 本文使用粒子群总共进行了10 000次计算, 类似计算重复多次, 得到的结果非常稳定。大批量的计算结果具有统计意义, 可以反映出待估参数的分布特征, 如图 2所示。其中, 图 2(a)表示外核半径rc1的频率分布, 主要集中在470 km附近; 图 2(b)表示内核半径rc2的频率分布, 主要集中在[230, 350] km之间, 最优值在300 km左右; 图 2(c)表示外核密度ρc1的频率分布, 主要集中在4 600 kg/m3附近; 图 2(d)表示内核密度ρc2的频率分布, 主要集中在7 000 kg/m3附近; 图 2(e)表示月幔密度ρm的频率分布, 主要集中在3 340 kg/m3附近。基于图 2(a)~2(e)最大概率对应的自由参数取值, 进一步缩小参数取值范围, 可分析目标函数式(10)的收敛情况, 如图 2(f)所示。粒子群最大迭代次数imax=100, 残差值式(10)经100次迭代后达到了10-10量级, 对应的最优值分别为:外核半径rc1=469 km, 内核半径rc2=303 km, 外核密度ρc1=4 613 kg/m3, 内核密度ρc2=7 004 kg/m3, 月幔密度ρm=3 340 kg/m3

      文献[7]估算的核幔边界部分熔融层的半径在480 km左右, 外核半径约为330 km, 内核半径约为240 km, 本文估算值大于文献[7]的结果。若考虑文献[7]部分熔融层厚度480 km, 本文估算的外核半径469 km具有一定的参考价值。另外, 文献[8]将内核与外核合并为一层, 得出的月核半径可能值在370 km左右。本文结果有异于文献[8], 主要是由图 1所示的月球内部分层结构模型差异所致。文献[23]的研究表明, 月球内核半径接近330 km, 外核半径接近500 km。文献[24]的最新研究结果表明, 内核半径可能在[300, 340] km范围内, 外核半径可能在[540, 560] km范围内。本文估算的内核半径303 km接近于文献[24]的研究结果, 外核半径接近文献[23]的参考值。另外, 本文估算的月幔密度3 340 kg/m3非常接近文献[25]给出的参考值3 360 kg/m3。综合考虑, 本文的研究结果具有一定的参考价值。考虑硫化亚铁的密度约为4.8 kg/m3, 纯铁密度约为7.8 kg/m3, 并考虑月核如由纯铁和硫化亚铁组成[26], 若本文研究结果接近月核真实情况, 则依据本文估算的内外核密度, 内核中铁含量将超过90%, 内核大部分由纯铁组成, 外核大部分由硫化亚铁组成。

    • 利用GRAIL高分辨率重力场模型GL1500E的二阶位系数和LLR天平动参数, 结合非线性粒子群优化算法, 对月核大小和组成进行了估计。大批量的统计结果表明, 月核外核半径rc1约为469 km, 内核半径rc2约为303 km, 外核密度ρc1约为4 613 kg/m3, 内核密度ρc2约为7 004 kg/m3, 月幔密度ρm约为3 340 kg/m3。其中, 月幔密度接近地质研究结果3 360 kg/m3, 内核半径在近期其他研究结果的范围([300, 340] km), 外核半径也接近近年来其他研究结果(约500 km)。综合考虑月幔密度和内外核半径结果, 本文的估算值具有一定的参考价值。若本文结果接近月核真实情况, 假设月核由纯铁和硫化亚铁组成, 内核中铁含量将超过90%, 大部分由纯铁组成, 而外核大部分由硫化亚铁组成。由于控制方程较少, 反演结果存在非唯一性, 而未来国际协作月震网的建立以及中国"嫦娥"地质采样数据的收集, 有望进一步约束月核的大小及其组成。

参考文献 (26)

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