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导航卫星上星载原子钟的钟差预报在维持系统时间同步、优化导航电文中的钟差参数等方面具有重要作用。国内外的学者对卫星钟差(satellite clock bias，SCB)预报问题开展研究，取得了大量的研究成果[1-17]，常见的钟差预报模型有二次多项式(quadratic polynomial，QP)模型、灰色模型(gray model，GM)[2-4]、谱分析模型[5-6]、自回归移动平均模型(auto-regressive integrated moving average，ARIMA)[7-8]、Kalman滤波模型[9-10]和利用神经网络的基本原理设计的模型[11-13]等，上述模型极大地提高了钟差预报的质量，但卫星钟差是一种非线性、非平稳的复杂随机序列，依靠单一的数学模型难以进行准确预报，钟差预报结果受预报时间、样本数量、先验信息以及模型复杂度等因素的影响。根本原因在于现有模型缺乏对数据结构特征的深入分析研究，只依靠不断优化模型参数提高钟差预报的准确度。
本文分析钟差数据图形化分布模式特点，综合考虑卫星钟差趋势性、周期性和随机性的数据特征，以钟差一次差分(single difference，SD)数据为研究对象，分别对趋势性、周期性和随机性3种特征进行建模，得到一种新的钟差预报模型，通过实验对比分析，证明本文方法在钟差预报的准确度和稳定度方面具有一定优势。
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卫星钟差的一次差分可表达钟差整体的变化趋势，且容易识别钟差中异常点，是钟差预报研究的重要依据。GPS(global positioning system)PRN-01卫星在2018-05-02—2018-05-31的15 min采样间隔的精密钟差数据和对应的一次差分数据如图 1所示。
图 1 卫星钟差及一次差分数据
Figure 1. SCB and Single Difference
从图 1可以看出，图 1(a)中的钟差数据折线图光滑，由于卫星钟差数据有效位数通常比较多，异常值被淹没[15]，难以快速识别；图 1(b)中的一次差分数据异常点较多且容易识别，便于对数据进行预处理，同时，一次差分数据可以消除原始钟差数据中的系统误差[15]，所以利用一次差分数据进行钟差预报具备理论上的合理性。
图 1(b)中一次差分数据的图形模式近似于三角函数的图形模式，具备稳定的周期变化特征，同时，整体趋势变化较为明显，上述特征具备普遍性。
本文通过对一次差分数据图形化分布模式特征进行分析，将钟差一次差分数据分解为趋势项、周期项和随机项3个部分，分别进行建模，其数学表达式为：
$$ {L}_{\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{B}}=\int {L}_{\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{B}}^{\mathrm{\text{'}}}=\int ({T}_{\mathrm{S}\mathrm{D}}+{W}_{\mathrm{S}\mathrm{D}}+{R}_{\mathrm{S}\mathrm{D}}) $$ (1) 式中，$ {L}_{\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{B}} $表示钟差；$ {L}_{\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{B}}^{\mathrm{\text{'}}} $表示钟差的一次差分数据；$ {T}_{\mathrm{S}\mathrm{D}} $表示钟差一次差分的趋势项；$ {W}_{\mathrm{S}\mathrm{D}} $表示钟差一次差分的周期项；$ {R}_{\mathrm{S}\mathrm{D}} $表示钟差一次差分的随机项。本文设计的钟差拟合模型，也就是一种顾及一次差分数据结构特征的钟差预报模型，其流程图如图 2所示。
图 2 钟差预报模型流程图
Figure 2. Procedure of SCB Prediction
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1) 剔除异常值。钟差中包含系统误差和随机误差，随机误差中的异常值会影响钟差数据的质量。针对钟差一次差分数据，文献[15]设计了一种基于改进中位数的异常值探测方法，该方法利用一次差分数据的中位数代替异常值组成新的序列，保持了数据的完整性，但在异常值检测时，依赖于人为设定经验值。
本文利用一次差分数据服从正态分布的特征，通过设定置信区间作为约束条件识别异常值，并借鉴文献[15]的方法利用中位数代替异常值组成新的序列，避免了人为设定经验值，保证了结果的稳定性。利用本文方法进行处理的结果如图 3所示。由图 3可见，剔除异常值后，一次差分数据仍保持了原有数据的特征。
图 3 剔除异常值的一次差分数据
Figure 3. Single Difference Data Excluding Outliers
2) 均线回归。文献[15]中认为一次差分可以在一定程度上消除原始钟差数据趋势项的影响，即具备显著趋势特征的钟差数据对应的一次差分数据是一组趋势稳定变化的序列。
本文通过对GPS钟差数据的分析发现，大部分卫星的一次差分数据均存在趋势变化特征，只有高阶差分数据才可以基本消除趋势项的影响。实验发现，高阶差分会显著放大随机误差对钟差预报准确度的影响，而一次差分的趋势项符合一次线性特征，且随机误差的影响较小。
本文利用一次线性函数拟合一次差分数据的趋势项，但由于样本数据量大，异常值较多，直接拟合的结果不理想，所以利用均线回归的方法，尽可能消除异常值的影响，保留趋势特征。
本文中均线回归是求取原始序列中有限连续一次差分值的均值，将其组成新的序列。设$ {L}_{\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{B}}={l}_{1}, {l}_{2}\cdot \cdot \cdot {l}_{n} $为钟差数据，对应的$ {L}_{\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{B}}^{\mathrm{\text{'}}}=\mathrm{\Delta }{l}_{1}, \mathrm{\Delta }{l}_{2}\cdot \cdot \cdot \mathrm{\Delta }{l}_{m} $($ m=n-1 $)为一次差分数据，则均线回归模型可表示为：
$$ \begin{array}{l} L{'_{{\rm{SCB - MEAN }}}} = \sum\limits_1^k \Delta {l_1}, \sum\limits_1^k \Delta {l_2} \cdots \sum\limits_1^k \Delta {l_k}, \sum\limits_2^{k + 1} \Delta {l_{k + 1}} \cdots \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sum\limits_{m - k + 1}^m \Delta {l_m}, (m = n - 1, 5 ＜ k ＜ m) \end{array} $$ (2) 式中，$ k $为均值取样数，为提高计算效率，将$ k $值的步长$ k\_\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{p} $设为5，通过均线回归，生成新的序列。均线回归的目的是利用生成的新序列，拟合最能表达一次差分数据趋势性的一次线性项，需要确定最优的均值取样数$ k $。
3) 趋势线拟合。确定最优的均值取样数$ k $是一个全局寻优的过程。在不同$ k $值条件下，比较均线回归序列生成的一次线性回归序列与一次差分数据均方根误差的大小，选取均方根误差最小的$ k $值所对应的均线回归序列作为最优回归均线，与之对应得到一次线性回归序列为最优趋势线。
设$ {T}_{\mathrm{S}\mathrm{D}}=aX+b $为一次线性回归模型，对式(2)中均线回归序列$ {L}_{\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{B}\mathrm{-}\mathrm{M}\mathrm{E}\mathrm{A}\mathrm{N}}^{\mathrm{\text{'}}} $进行一次线性拟合，得到对应$ k $值的一次线性项$ {T}_{\mathrm{S}\mathrm{D}}^{k} $，定义最优的均值取样模型为：
$${R_{{K_{{\rm{opt}}}}}} = {R_{{\rm{min}}}} = {\rm{min}}\left. {\left\{ {{r_{k = 5}},{r_{k = 10}} \cdot \cdot \cdot {r_{k = m}}} \right.} \right\}$$ (3) 式中，$ {R}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}} $为最小均方根误差值；$ {r}_{k} $为均方根误差序列中的元素；$ {K}_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}} $为最优均值取样数，其对应的$ {T}_{\mathrm{S}\mathrm{D}}^{{K}_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}} $为最优一次线性回归线，即为趋势项。均线回归及趋势项提取如图 4所示。$ {r}_{k} $表达式为：
$$ \left\{\begin{array}{l}{r}_{k}=\sqrt{\frac{1}{m}{\mathop \sum \limits_{k=5, \mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{p}=5}^{m}\left({e}_{k}\right)}^{2}}\\ {e}_{k}={T}_{\mathrm{S}\mathrm{D}}^{k}-{L}_{\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{B}}^{\mathrm{\text{'}}}\end{array}\right. $$ (4) 
图 4 均线回归及趋势项提取
Figure 4. Average Regression and Trend Part
图 4(a)为PRN-01卫星钟差一次差分值与一次线性回归值之间的均方根误差曲线图，随着迭代次数的增大，均方根误差值呈波动变大的特征，选取均方根误差最小所对应的$ k $值($ k $=迭代次数$ \times k\_\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{p} $=5)作为最优均值取样数，图 4(b)为$ {K}_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}=5 $时，一次差分数据最优回归均线(黑色实线)较为准确地表达了一次差分数据的图形特征，有效地排除了异常值的干扰，对应的一次线性回归线(红色实线)准确地表达了一次差分数据的整体变化趋势特征，符合人类认知习惯。由于$ {T}_{\mathrm{S}\mathrm{D}}^{{K}_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}} $是一次线性函数，易得趋势预报项$ {T}_{\mathrm{S}\mathrm{D}}^{{}^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}}} $。
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当一次差分数据剔除趋势项后，剩下周期项和随机项。PRN-01卫星剔除趋势项后的数据如图 5所示。
图 5 剔除趋势项后的一次差分数据
Figure 5. Single Difference Data Excluding Trend Part
从图 5可以看出，周期特征显著，存在类三角函数的周期性特征。基于此，本文采用三角函数模型拟合的方法，提取数据中包含的周期项。
1) 参数优化。设$ {L}_{\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{B}\mathrm{-}T}^{\mathrm{\text{'}}}={L}_{\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{B}}^{\mathrm{\text{'}}}-{T}_{\mathrm{S}\mathrm{D}} $为一次差分数据剔除趋势项后的新序列，此时新序列$ {L}_{\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{B}\mathrm{-}T}^{\mathrm{\text{'}}} $包含周期项、随机项和异常值，此处剔除异常值，生成不含异常值的新数据$ {L}_{\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{B}\mathrm{-}T\mathrm{-}\mathrm{N}\mathrm{E}\mathrm{W}}^{\mathrm{\text{'}}} $，三角函数拟合模型可表示为：
$${T_{{\rm{SD}}}} = a\;\;{\rm{sin}}(\omega X + \phi ) + h$$ (5) 式中，$ a $表示三角函数的振动幅度；$ \omega =2\mathrm{\pi }/T $决定周期的大小；$ \phi $表示三角函数在X轴的对应关系；$ h $表示三角函数在Y轴的对应关系。三角函数拟合模型的关键是确定参数，理论上，通过多元回归可以确定上述4个参数的准确值，但计算复杂度较高，不适合快速钟差预报。通过分析发现，除周期因子$ \omega $之外，参数a和h可以通过计算快速获取：
$$ \left\{\begin{array}{l}a=0.5(\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}{L}_{\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{B}\mathrm{-}T\mathrm{-}\mathrm{N}\mathrm{E}\mathrm{W}}^{\mathrm{\text{'}}}-\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{L}_{\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{B}\mathrm{-}T\mathrm{-}\mathrm{N}\mathrm{E}\mathrm{W}}^{\mathrm{\text{'}}})\\ h=M\left({L}_{\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{B}\mathrm{-}T\mathrm{-}\mathrm{N}\mathrm{E}\mathrm{W}}^{\mathrm{\text{'}}}\right)\end{array}\right. $$ (6) 对于参数$ \phi $，由于$ {L}_{\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{B}\mathrm{-}T\mathrm{-}\mathrm{N}\mathrm{E}\mathrm{W}}^{\mathrm{\text{'}}} $中包含随机项干扰，且周期普遍较小，所以参数$ \phi $难以准确计算且对拟合结果影响较小，因此，本文设定参数$ \phi =0 $，对于参数$ \omega $，文献[18]按钟差数据的取样时间间隔长度确定周期，但数据从图形化的角度分析，不同卫星之间的周期并非是固定值，基于此，参数$ \omega $需进行全局寻优。
2) 模型拟合。三角函数模型拟合在确定了参数$ a $、$ h $和$ \phi $的取值之后，本质上变成了通过选取最优的参数$ \omega $，确定最优的三角函数拟合模型，即通过计算不同$ \omega $取值的条件下，$ {T}_{\mathrm{S}\mathrm{D}} $与$ {L}_{\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{B}\mathrm{-}T\mathrm{-}\mathrm{N}\mathrm{E}\mathrm{W}}^{\mathrm{\text{'}}} $之间均方根误差的大小，选取均方根误差最小条件下的$ \omega $值所对应的$ {T}_{\mathrm{S}\mathrm{D}}^{{K}_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}} $为最优模型。一阶三角函数最优模型如图 6所示，其中，图 6(a)中最优参数$ \omega $用红色圆点标记。
图 6 一阶三角函数最优模型
Figure 6. Optimal Model of the First Order Trig Function
对数据进行深入分析发现，周期项并非是由单个三角函数模型组成的，如图 7所示。
图 7 剔除一阶三角函数模型后的数据
Figure 7. Data Excluding the First Order Trig Function Model
从图 7可见，剔除一阶三角函数模型后，数据仍具有明显的周期性特征。由此可知，周期项模型是由两个具有不同参数配置的三角函数模型(图 6(b)和图 8(b))组成的复合函数，定义周期项模型为：
$$ {W}_{\mathrm{S}\mathrm{D}}={T}_{\mathrm{S}\mathrm{D}\mathrm{-}1}+{T}_{\mathrm{S}\mathrm{D}\mathrm{-}2} $$ (7) 
图 8 二阶三角函数最优模型
Figure 8. Optimal Model of the Second Order Trig Function
式中，$ {T}_{\mathrm{S}\mathrm{D}\mathrm{-}1} $和$ {T}_{\mathrm{S}\mathrm{D}\mathrm{-}2} $组成了周期项模型$ {W}_{\mathrm{S}\mathrm{D}} $，其中$ {T}_{\mathrm{S}\mathrm{D}\mathrm{-}1} $是基于一次差分数据剔除趋势项后的新序列$ {L}_{\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{B}\mathrm{-}T\mathrm{-}\mathrm{N}\mathrm{E}\mathrm{W}}^{\mathrm{\text{'}}} $生成的三角函数拟合模型，$ {T}_{\mathrm{S}\mathrm{D}\mathrm{-}2} $是基于$ {L}_{\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{B}\mathrm{-}T\mathrm{-}\mathrm{N}\mathrm{E}\mathrm{W}}^{\mathrm{\text{'}}} $剔除$ {T}_{\mathrm{S}\mathrm{D}\mathrm{-}1} $项后的序列$L'{'_{{\rm{SCB - }}T{\rm{ - NEW}}}}$生成的三角函数拟合模型，与$ {T}_{\mathrm{S}\mathrm{D}\mathrm{-}1} $在时间存在先后顺序。定义参数$ \omega $优化模型为：
$$ {\omega }_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}={R}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left.\left\{{r}_{{\omega }_{1}}, {r}_{{\omega }_{2}}\cdot \cdot \cdot {r}_{{\omega }_{i}}\right.\right\} $$ (8) 式中，$ {R}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}} $为最小均方根误差值；$ {r}_{{\omega }_{i}} $为均方根误差序列中的元素；$ {\omega }_{i}=2\mathrm{\pi }/(m-i), m=n-1, $本文定义$ i=[m/2, m-2] $。这样定义i是基于两点原因：(1)对于$ m/2 $，通过对IGS(International GNSS Service)在2018-05-27—2018-05-31的精密钟差数据的分析发现，数据周期波动频次均大于2，即三角函数拟合模型的周期值应小于样本数据的1/2，故$ m-i\le m/2 $，即$ i\ge m/2 $。(2)对于$ m-2 $，首先，$ m-i\ne 0 $，故$ m\ne i $；其次，当$ i=m-1 $时，$ m-i=1 $是指三角函数拟合模型的周期为1，三角函数拟合模型的周期性波动特征至少需要2个以上的值，故$ m-i\ge 2 $，即$ i\le m-2 $。式(8)中的变量$ {r}_{{\omega }_{i}} $的数学表达式为：
$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{r_\omega } = \sqrt {\frac{1}{m}\sum\limits_{\omega = i,i = m/2}^{m - 2} {{{\left( {{e_\omega }} \right)}^2}} } }\\ {{e_\omega } = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {T_{{\rm{SD}} - 1}^\omega - L_{{\rm{SCB - T}} - {\rm{NEW}}}^\prime }\\ {T_{{\rm{SD}} - 2}^\omega - L_{{\rm{SCB}} - T - {\rm{NEW}}}^{\prime \prime }} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$$ (9) 利用式(8)和式(9)，可得最优周期项$ {W}_{\mathrm{S}\mathrm{D}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}} $，易得周期预报项$ {W}_{\mathrm{S}\mathrm{D}}^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}} $。
3) 生成随机项。通过对一次差分数据$ {L}_{\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{B}}^{\mathrm{\text{'}}} $的特征分解，分别拟合了趋势项和周期项，剔除趋势项和周期项的序列($ {L}_{\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{B}\mathrm{-}T\mathrm{-}\mathrm{N}\mathrm{E}\mathrm{W}}^{\mathrm{\text{'}}}={R}_{\mathrm{S}\mathrm{D}}+\Delta $)包含随机项和噪声，其中，剔除$ {L}_{\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{B}\mathrm{-}T\mathrm{-}\mathrm{N}\mathrm{E}\mathrm{W}}^{\mathrm{\text{'}}} $的噪声后，$ {R}_{\mathrm{S}\mathrm{D}} $表现为一组在有限区间内随机波动的平稳序列，不具备明显的结构性特征，对钟差预报的影响较小，且难以准确描述，但为了能客观地模拟随机项的分布特征，本文将$ {R}_{\mathrm{S}\mathrm{D}} $作为随机预报项$ {R}_{\mathrm{S}\mathrm{D}}^{{}^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}}} $。剔除趋势项和周期项后的数据如图 9所示。
图 9 剔除趋势项和周期项后的数据
Figure 9. Data Excluding Trend Part and Cyclic Part
4) 预测值还原。利用钟差一次差分数据分别构建了趋势项模型$ {T}_{\mathrm{S}\mathrm{D}} $、周期项模型$ {W}_{\mathrm{S}\mathrm{D}} $和随机项模型$ {R}_{\mathrm{S}\mathrm{D}} $，易得趋势预测项$ {T}_{\mathrm{S}\mathrm{D}}^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}} $、周期预测项$ {W}_{\mathrm{S}\mathrm{D}}^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}} $和随机预测项$ {R}_{\mathrm{S}\mathrm{D}}^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}} $，钟差预报模型可表示为：
$$ {L}_{\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{B}}^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}}=\int {{L}_{\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{B}}^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}}}^{\mathrm{\text{'}}}=\int ({T}_{\mathrm{S}\mathrm{D}}^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}}+{W}_{\mathrm{S}\mathrm{D}}^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}}+{R}_{\mathrm{S}\mathrm{D}}^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}}) $$ (10) 式中，$ {{L}_{\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{B}}^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}}}^{\mathrm{\text{'}}}=\mathrm{\Delta }{l}_{1}^{{}^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}}}, \mathrm{\Delta }{l}_{2}^{{}^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}}}\cdot \cdot \cdot \mathrm{\Delta }{l}_{r}^{{}^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}}} $为一次差分预测数据，取原始钟差$ {L}_{\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{B}} $中最后一项$ {l}_{n} $，将$ {l}_{1}^{{}^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}}}={l}_{n}+\mathrm{\Delta }{l}_{1}^{{}^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}}} $作为$ {L}_{\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{B}}^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}} $的初始值，则由$ {L}_{\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{B}}^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}}={l}_{1}^{{}^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}}}, {l}_{1}^{{}^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}}}+\mathrm{\Delta }{l}_{2}^{{}^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}}}\cdot \cdot \cdot {l}_{r-1}^{{}^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}}}+\mathrm{\Delta }{l}_{r}^{{}^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}}} $可得到钟差预报数据。
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本文采用IGS的GPS(2018-05-27—2018-05-31)的15 min采样间隔的精密钟差数据进行实验，验证本文方法的有效性。GPS在轨运行的星载原子钟主要是4种不同类型的铷钟(Rb)，不同类型的星载铷钟所对应的卫星号如表 1所示。
表 1 GPS星载Rb钟类型
Table 1. Types of GPS Satellite Rubidium Clocks
卫星钟类型 卫星号(PRN) BLOCK ⅡA Rb钟 04, 08, 32 BLOCK ⅡR Rb钟 02, 11, 13, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 23, 28 BLOCK ⅡR-M Rb钟 05, 07, 12, 15, 17, 29, 31 BLOCK ⅡF Rb钟 01, 03, 06, 09, 25, 26, 27, 30 表 1中，字体加粗的卫星数据为不可用的数据(PRN-04、PRN-06卫星数据不完整，PRN-18卫星数据存在跳变)，其他卫星的钟差数据为连续稳定可用的数据(包含不在表 1中的PRN-10和PRN-19)。
本文分别采用QP、GM(1，1)、ARIMA和本文模型进行钟差预报实验，以预报结果与真实钟差的均方根误差作为基本的统计量分析，对比不同算法和不同卫星之间钟差预报的准确度和稳定度。从卫星的角度，以平均误差作为评价钟差预报的准确度的指标；从模型的角度，以预报结果误差分布的置信区间作为评价钟差预报的稳定度指标。均方根误差的计算公式为：
$$ R=\sqrt{\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{i=1}^{n}(\mathrm{\Delta }{t}_{i}{)}^{2}}, \mathrm{\Delta }{t}_{i}={t}_{i}-\widehat{t} $$ (11) 式中，$ \widehat{t} $为钟差预报值。相应的平均误差的计算公式为：
$$ M=\frac{1}{n}\left(\mathop \sum \limits_{i=1}^{n}{R}_{i}\right) $$ (12) 式中，$ n $为参与计算平均误差的卫星数。为更直观地进行分析比较，本文对平均误差进行了无量纲处理，通过计算本文模型钟差预报结果平均误差与其他模型钟差预报结果平均误差的比值，得出本文模型相对于其他模型平均误差的均值比，计算公式为：
$$ {N}_{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{n}}={\left(\frac{{M}_{i}}{{M}_{k}}\right)}^{-1} $$ (13) 式中，$ {M}_{i} $为其他模型的平均误差；$ {M}_{k} $为本文模型的平均误差。式(9)~式(11)为评价钟差预报准确度的指标，评价钟差预报稳定度的指标置信区间的计算公式为：
$$ P({\theta }_{1}\le \theta \le {\theta }_{2})=1-\alpha $$ (14) 式中，$ [{\theta }_{1}, {\theta }_{2}] $为$ 1-\alpha $置信区间，置信区间宽度$ W={\theta }_{2}-{\theta }_{1} $。
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使用2018-05-27—2018-05-31共5 d的钟差数据进行建模，预报2018-06-01—2018-06-05共5 d的钟差，依照卫星钟类型，选取PRN-02(BLOCK ⅡR)、PRN-03(BLOCK ⅡF)、PRN-17(BLOCK ⅡR-M)和PRN-32(BLOCK ⅡA)共4颗卫星的实验结果进行分析对比，如图 10所示。钟差预报结果与真实钟差数据的均方根误差如表 2所示。
图 10 4颗卫星的钟差预报结果
Figure 10. Prediction Results of SCB for 4 Satellites
表 2 4颗卫星钟差预报结果统计/10-9s
Table 2. Statistics of Prediction Pesults of SCB for 4 Satellites/10-9s
模型 卫星 PRN
-02PRN
-03PRN
-17PRN
-32均值 标准化 QP 10.66 4.15 12.12 5.86 8.19 0.41 GM(1, 1) 119.71 93.44 12.09 66.30 72.88 0.04 ARIMA 7.40 23.46 8.52 46.29 21.41 0.15 本文模型 1.37 3.13 7.14 1.85 3.37 1.00 图 10中，每颗卫星分别显示了4种预报模型的钟差预报结果与IGS真实钟差数据的对比图和钟差预报误差图。从图 10和表 2可以看出，在4种参与预报的模型中，本文模型均方根误差最小，平均误差为3.37×10-9 s，是QP模型的0.41倍，ARIMA模型的0.15倍，GM(1，1)模型的0.04倍，表明本文模型的预报准确度较高，优于其他3种模型。随着预报时间的增加，本文模型的预报误差的发散程度较小，而GM(1，1)模型和ARIMA模型的预报误差的发散程度较为明显，不适合进行长期钟差预报。虽然QP模型的预报误差的发散程度较小，但其均方根误差值仍大于本文模型的均方根误差值，说明本文模型优于QP模型的预报结果的准确度。
为了进一步证明本文模型的有效性，利用GPS的28颗可用卫星的钟差数据在同样实验条件下进行了实验，卫星钟差预报结果均方根误差统计如图 11所示，卫星预报结果均方根误差统计如表 3所示。
表 3 28颗卫星的钟差预报结果统计/10-9s
Table 3. Statistics of Prediction Results of SCB for 28 Satellites/10-9s
模型 均方根误差 均值 最大值 最小值 标准化 QP 8.38 52.94 0.57 0.62 GM(1, 1) 29.66 119.71 1.17 0.17 ARIMA 12.22 46.29 0.69 0.42 本文模型 5.18 34.19 0.42 1.00 图 11中，在GPS的28颗星钟差预报结果的均方根误差值中，本文模型对应的均方根误差整体上是QP模型、GM(1，1)模型、ARIMA模型和本文模型4种模型中最小的。
图 11 28颗卫星的钟差预报结果统计柱状图
Figure 11. Histogram of Prediction Results of SCB for 28 Satellites
从表 3可以看出，本文模型的平均误差为5.18×10-9 s，是QP模型的0.62倍，ARIMA模型的0.17倍，GM(1，1)模型的0.42倍，只有PRN-15卫星的结果略大于其他模型的结果。GM(1，1)模型的预报结果的均方根误差是4种模型中最大的，ARIMA模型的预报结果小于GM(1，1)模型的而大于其他2种模型的预报结果，QP模型的预报结果大于本文模型的预报结果，表明本文模型在GPS卫星钟差预报的准确度方面整体上优于其他模型。
评价钟差预报结果质量的关键指标是准确性和稳定性，可以从模型的角度分析比较不同卫星钟差预报结果稳定度方面的差异。图 12为QP模型、GM(1，1)模型、ARIMA模型和本文模型对GPS全部28颗卫星钟差预报误差的结果图。
图 12 4种钟差预报模型预报结果
Figure 12. Prediction Results of SCB for 4 Models
从图 12可以看出，GM(1，1)模型和ARIMA模型的误差发散较快，说明这两种模型预报结果的稳定性较差；QP模型和本文模型的误差发散较慢，变化趋势总体平稳，只有个别卫星存在发散较快的问题，但QP模型的误差线型分布稀疏，说明QP模型不及本文模型的预报的稳定性。
为进一步证明本文模型在稳定性方面的优势，表 4中分别统计了1－α=0.95、0.90和0.80置信水平条件下的置信区间和区间宽度。本文模型在3个置信水平条件下的置信区间和区间宽度分别为：$ ({\theta }_{1}, {\theta }_{2}{)}_{0.95} $=(-11.64，22.00)，$ {W}_{0.95} $=33.64；$ ({\theta }_{1}, {\theta }_{2}{)}_{0.90} $=(-8.79，19.14)，$ {W}_{0.90} $=27.93；$ ({\theta }_{1}, {\theta }_{2}{)}_{0.80} $=(-5.99，15.95)，$ {W}_{0.80} $=21.54，均小于其他3种模型，证明本文模型优于其他3种模型的钟差预报的稳定度。
表 4 钟差预报结果稳定度统计/10-9s
Table 4. Stability Statistics of Prediction Results of SCB/10-9s
模型 置信区间(1－α) $ ({\theta }_{1}, {\theta }_{2}) $ $ W $ QP 0.95 (-16.39，33.15) 49.54 0.90 (-12.18，28.94) 41.12 0.80 (-7.48，24.24) 31.72 GM(1, 1) 0.95 (-38.74，98.05) 136.79 0.90 (-27.12，86.44) 113.56 0.80 (-14.13，73.45) 87.58 ARIMA 0.95 (-10.85，35.29) 46.14 0.90 (-6.93，31.37) 38.30 0.80 (-2.55，26.99) 29.54 本文模型 0.95 (-11.64，22.00) 33.64 0.90 (-8.79，19.14) 27.93 0.80 (-5.99，15.95) 21.54 -
本文通过分析卫星钟差一次差分数据结构特征的图形化分布模式，提取了趋势项、周期项和随机项特征，提出了一种顾及一次差分数据结构特征的钟差预报模型，通过实验对比分析，得出以下结论：(1)本文模型顾及钟差一次差分数据的结构特征，避免了传统模型依靠不断优化参数提高预报质量，进而增加算法复杂度的不足，有效地提升了钟差预报的准确度和稳定度。(2)本文模型虽然整体上预报效果较好，但存在个别卫星预报结果不及预期，PRN-15卫星采用本文模型的预报结果的准确度略小于其他模型，表明本文模型在结构特征优化方面存在一定不足，具有较大的提升空间，需进一步进行深入研究。(3)本文模型只利用GPS的钟差数据进行了实验，且局限于处理连续性较好的钟差数据，后续将进一步深入研究本文模型在处理不同质量和种类钟差数据的能力，并不断调整优化模型，提高本文模型的应用价值。
Prediction of Navigation Satellite Clock Bias Considering Structure Characteristics of Single Difference Data
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摘要: 现有卫星钟差预报模型缺乏对数据结构特征的深入研究。以钟差一次差分数据为研究对象，分析一次差分数据结构的图形化分布模式，提取一次差分数据趋势性和周期性特征，设计了一种包含趋势项、周期项和随机项的全要素钟差预报模型。使用IGS(International GNSS Service)精密钟差数据进行预报实验，通过与二次多项式模型、灰色模型及时间序列模型的预报结果进行对比，证明了所提模型在钟差预报的准确度和稳定度方面具有一定优势。Abstract:
Objectives Prediction of navigation satellite clock bias (SCB) plays an important role in maintaining system time synchronization and optimizing SCB parameters in navigation messages. SCB is a nonlinear and non-stationary complex random sequence, which is difficult to make accurate prediction with a single mathematical model. Besides, the traditional prediction models of SCB lack of the in-depth research of data structure characteristics. Methods With the single difference of SCB as the research object, we first analyzed the graphical distribution pattern of the single difference structure. Then, by extracting the trend and cyclic of the single difference, a SCB prediction model including trend part, cyclic part and random part was proposed. Results We used International GNSS Service (IGS) precision SCB as reference for prediction experiments. Based on the root mean squared error between the prediction result and the IGS SCB, we analyzed the accuracy and stability of the SCB prediction between different methods. The mean error was taken as the index to evaluate the accuracy of the SCB prediction from the perspective of satellite. The confidence interval of the prediction result distribution was used to evaluate the stability of the SCB prediction. Compared to quadratic polynomial model (QP), grey model(1, 1) (GM (1, 1)), and autoregressive integrated moving average model (ARIMA), the prediction quality of the method was superior to that of the other three methods. Conclusions The proposed method avoids the disadvantage of the traditional model in prediction quality and algorithm complexity by constantly optimizing the parameters, and effectively improves the accuracy and stability of the SCB prediction. -
图 11 28颗卫星的钟差预报结果统计柱状图
Figure 11. Histogram of Prediction Results of SCB for 28 Satellites
表 1 GPS星载Rb钟类型
Table 1. Types of GPS Satellite Rubidium Clocks
卫星钟类型 卫星号(PRN) BLOCK ⅡA Rb钟 04, 08, 32 BLOCK ⅡR Rb钟 02, 11, 13, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 23, 28 BLOCK ⅡR-M Rb钟 05, 07, 12, 15, 17, 29, 31 BLOCK ⅡF Rb钟 01, 03, 06, 09, 25, 26, 27, 30 
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表 2 4颗卫星钟差预报结果统计/10-9s
Table 2. Statistics of Prediction Pesults of SCB for 4 Satellites/10-9s
模型 卫星 PRN
-02PRN
-03PRN
-17PRN
-32均值 标准化 QP 10.66 4.15 12.12 5.86 8.19 0.41 GM(1, 1) 119.71 93.44 12.09 66.30 72.88 0.04 ARIMA 7.40 23.46 8.52 46.29 21.41 0.15 本文模型 1.37 3.13 7.14 1.85 3.37 1.00
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表 3 28颗卫星的钟差预报结果统计/10-9s
Table 3. Statistics of Prediction Results of SCB for 28 Satellites/10-9s
模型 均方根误差 均值 最大值 最小值 标准化 QP 8.38 52.94 0.57 0.62 GM(1, 1) 29.66 119.71 1.17 0.17 ARIMA 12.22 46.29 0.69 0.42 本文模型 5.18 34.19 0.42 1.00
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表 4 钟差预报结果稳定度统计/10-9s
Table 4. Stability Statistics of Prediction Results of SCB/10-9s
模型 置信区间(1－α) $ ({\theta }_{1}, {\theta }_{2}) $ $ W $ QP 0.95 (-16.39，33.15) 49.54 0.90 (-12.18，28.94) 41.12 0.80 (-7.48，24.24) 31.72 GM(1, 1) 0.95 (-38.74，98.05) 136.79 0.90 (-27.12，86.44) 113.56 0.80 (-14.13，73.45) 87.58 ARIMA 0.95 (-10.85，35.29) 46.14 0.90 (-6.93，31.37) 38.30 0.80 (-2.55，26.99) 29.54 本文模型 0.95 (-11.64，22.00) 33.64 0.90 (-8.79，19.14) 27.93 0.80 (-5.99，15.95) 21.54
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图(12) / 表(4)
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