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基于相空间重构和高斯过程回归的对流层延迟预测

罗亦泳 张静影 陈郡怡 黄城 汪鑫

罗亦泳, 张静影, 陈郡怡, 黄城, 汪鑫. 基于相空间重构和高斯过程回归的对流层延迟预测[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2021, 46(1): 103-110. doi: 10.13203/j.whugis20190018
引用本文: 罗亦泳, 张静影, 陈郡怡, 黄城, 汪鑫. 基于相空间重构和高斯过程回归的对流层延迟预测[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2021, 46(1): 103-110. doi: 10.13203/j.whugis20190018
LUO Yiyong, ZHANG Jingying, CHEN Junyi, HUANG Cheng, WANG Xin. Tropospheric Delay Prediction Based on Phase Space Reconstruction and Gaussian Process Regression[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2021, 46(1): 103-110. doi: 10.13203/j.whugis20190018
Citation: LUO Yiyong, ZHANG Jingying, CHEN Junyi, HUANG Cheng, WANG Xin. Tropospheric Delay Prediction Based on Phase Space Reconstruction and Gaussian Process Regression[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2021, 46(1): 103-110. doi: 10.13203/j.whugis20190018

基于相空间重构和高斯过程回归的对流层延迟预测

doi: 10.13203/j.whugis20190018
基金项目: 

国家自然科学基金 41861058

国家自然科学基金 41664001

江西省自然科学基金 20202BABL204070

详细信息
    作者简介:

    罗亦泳,博士,副教授,主要从事变形数据处理方法研究。luoyiyong@whu.edu.cn

  • 中图分类号: P228

Tropospheric Delay Prediction Based on Phase Space Reconstruction and Gaussian Process Regression

Funds: 

The National Natural Science Foundation of China 41861058

The National Natural Science Foundation of China 41664001

the Natural Science Foundation of Jiangxi Province 20202BABL204070

More Information
    Author Bio:

    LUO Yiyong, PhD, associate professor, specializes in deformation data processing method.E-mail: luoyiyong@whu.edu.cn

  • 摘要: 天顶对流层延迟(zenith tropospheric delay,ZTD)是影响GPS定位精度的关键因素,为了提高ZTD的预测精度,提出一种基于相空间重构的高斯过程回归预测模型。针对ZTD时间序列的混沌特性,利用国际GNSS服务(International GNSS Service,IGS)站提供的ZTD数据,采用Cao方法确定嵌入维数,对ZTD数据进行相空间重构,探究高斯过程(Gaussian process,GP)模型对12个位于南、北半球不同纬度等级IGS站的ZTD预测精度和准确性。为了验证GP模型的有效性,将预测结果分别与原始数据和反向传播(back propagation,BP)神经网络模型预测结果作对比分析,进一步探究不同时间对ZTD预测精度的影响,并分析了经度和海拔对ZTD预测精度的影响。结果表明,GP模型预测结果的均方根误差(root mean square error,RMSE)达到mm级,GP模型与理论值的相关性达到0.997,预测精度指标明显优于BP神经网络模型;GP模型在南半球的预测精度高于北半球,且在高纬地区的RMSE小于3.6 mm,更适用于高纬地区的对流层延迟预测;在研究时域内,GP模型在大部分站点对晚上的预测精度高于白天,经度对ZTD预测精度的影响不明显,海拔与ZTD预测精度呈正比。
  • 图  1  Cao方法确定pbri站点的最小嵌入维数

    Figure  1.  Minimum Embedded Dimension for the pbri Site Using Cao Method

    图  2  两种模型在北半球低纬地区的ZTD预测结果对比

    Figure  2.  Comparison of ZTD Prediction Results for Two Models in Low Latitude Areas of the Northern Hemisphere

    图  3  两种模型在北半球中纬地区的ZTD预测结果对比

    Figure  3.  Comparison of ZTD Prediction Results for Two Models in Mid-latitude Areas of the Northern Hemisphere

    图  4  两种模型在北半球高纬地区的ZTD预测结果对比

    Figure  4.  Comparison of ZTD Prediction Results for Two Models in High Latitude Areas of the Northern Hemisphere

    图  5  两种模型在南半球低纬地区的ZTD预测结果对比

    Figure  5.  Comparison of ZTD Prediction Results for Two Models in Low Latitude Areas of the Southern Hemisphere

    图  6  两种模型在南半球中纬地区的ZTD预测结果对比

    Figure  6.  Comparison of ZTD Prediction Results for Two Models in Mid-latitude Areas of the Southern Hemisphere

    图  7  两种模型在南半球高纬区的ZTD预测结果对比

    Figure  7.  Comparison of ZTD Prediction Results for Two Models in High Latitude Areas of the Southern Hemisphere

    图  8  GP模型预测结果与原始数据及其线性拟合结果

    Figure  8.  Prediction Results of GP Model and Original Data and Their Linear Fitting Results

    图  9  ZTD随海拔的变化趋势

    Figure  9.  Change Trend of ZTD with Altitude

    图  10  GP模型对不同海拔地区ZTD的预测结果

    Figure  10.  Prediction Results of ZTD at Different Altitude Areas Using GP Model

    表  1  12个IGS站点的纬度值

    Table  1.   Latitude Values for 12 IGS Sites

    站点 纬度
    pbri 11.6°N
    hnlc 21.3°N
    hnpt 38.5°N
    lama 53.9°N
    invk 68.3°N
    nyal 78.9°N
    xmis 10.4°S
    iqqe 20.3°S
    mobs 37.8°S
    parc 53.1°S
    dav1 68.6°S
    mcm4 77.8°S
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    表  2  北半球两种模型预测结果的RMSE和MRE值

    Table  2.   RMSE and MRE of Prediction Results of Two Models in the Northern Hemisphere

    纬度地区 站点 RMSE/mm MRE/%
    GP模型 BP模型 GP模型 BP模型
    低纬 pbri 9.340 10.812 0.256 0.279
    hnlc 8.793 10.213 0.287 0.350
    中纬 hnpt 7.435 12.262 0.221 0.397
    lama 11.348 39.822 0.361 1.100
    高纬 invk 2.960 5.108 0.098 0.146
    nyal 3.096 4.635 0.102 0.161
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    表  3  南半球两种模型预测结果的RMSE和MRE值

    Table  3.   RMSE and MRE of Prediction Results of Two Models in the Southern Hemisphere

    纬度地区 站点 RMSE/mm MRE/%
    GP模型 BP模型 GP模型 BP模型
    低纬 xmis 4.322 10.413 0.138 0.368
    iqqe 4.096 5.817 0.143 0.201
    中纬 mobs 3.127 4.491 0.103 0.156
    parc 4.522 5.644 0.157 0.185
    高纬 dav1 3.557 10.514 0.127 0.361
    mcm4 2.271 2.610 0.073 0.101
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    表  4  北半球各站点的昼夜平均绝对误差/mm

    Table  4.   Mean Absolute Errors of Day and Night at All Stations in the Northern Hemisphere/mm

    站点 白天 晚上
    pbri 5.90 7.73
    hnlc 7.55 6.82
    hnpt 3.79 7.56
    lama 9.03 8.51
    invk 2.56 2.18
    nyal 2.76 2.11
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    表  5  南半球各站点的昼夜平均绝对误差/mm

    Table  5.   Mean Absolute Errors of Day and Night at All Stations in the Southern Hemisphere/mm

    站点 白天 晚上
    xmis 4.01 2.69
    iqqe 2.58 4.26
    mobs 2.93 1.99
    parc 3.90 3.36
    dav1 3.68 2.10
    mcm4 2.11 1.12
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    表  6  不同经度地区ZTD的预测结果

    Table  6.   Prediction Results of ZTD at Different Longitude Areas

    组别 站点 经度 纬度 海拔/m 预测中误差/mm
    第1组 nrc1 284.38°W 45.45°N 82.5 6.46
    mikl 31.97°E 46.97°N 94.7 7.98
    第2组 chan 125.44°E 43.79°N 268.3 10.11
    tlse 1.48°E 43.56°N 207.2 9.17
    第3组 iqqe 289.87°W 20.27°S 38.9 4.10
    nium 190.07°W 19.08°S 90.1 5.33
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-12-12
  • 刊出日期:  2021-01-05

基于相空间重构和高斯过程回归的对流层延迟预测

doi: 10.13203/j.whugis20190018
    基金项目:

    国家自然科学基金 41861058

    国家自然科学基金 41664001

    江西省自然科学基金 20202BABL204070

    作者简介:

    罗亦泳,博士,副教授,主要从事变形数据处理方法研究。luoyiyong@whu.edu.cn

  • 中图分类号: P228

摘要: 天顶对流层延迟(zenith tropospheric delay,ZTD)是影响GPS定位精度的关键因素,为了提高ZTD的预测精度,提出一种基于相空间重构的高斯过程回归预测模型。针对ZTD时间序列的混沌特性,利用国际GNSS服务(International GNSS Service,IGS)站提供的ZTD数据,采用Cao方法确定嵌入维数,对ZTD数据进行相空间重构,探究高斯过程(Gaussian process,GP)模型对12个位于南、北半球不同纬度等级IGS站的ZTD预测精度和准确性。为了验证GP模型的有效性,将预测结果分别与原始数据和反向传播(back propagation,BP)神经网络模型预测结果作对比分析,进一步探究不同时间对ZTD预测精度的影响,并分析了经度和海拔对ZTD预测精度的影响。结果表明,GP模型预测结果的均方根误差(root mean square error,RMSE)达到mm级,GP模型与理论值的相关性达到0.997,预测精度指标明显优于BP神经网络模型;GP模型在南半球的预测精度高于北半球,且在高纬地区的RMSE小于3.6 mm,更适用于高纬地区的对流层延迟预测;在研究时域内,GP模型在大部分站点对晚上的预测精度高于白天,经度对ZTD预测精度的影响不明显,海拔与ZTD预测精度呈正比。

English Abstract

罗亦泳, 张静影, 陈郡怡, 黄城, 汪鑫. 基于相空间重构和高斯过程回归的对流层延迟预测[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2021, 46(1): 103-110. doi: 10.13203/j.whugis20190018
引用本文: 罗亦泳, 张静影, 陈郡怡, 黄城, 汪鑫. 基于相空间重构和高斯过程回归的对流层延迟预测[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2021, 46(1): 103-110. doi: 10.13203/j.whugis20190018
LUO Yiyong, ZHANG Jingying, CHEN Junyi, HUANG Cheng, WANG Xin. Tropospheric Delay Prediction Based on Phase Space Reconstruction and Gaussian Process Regression[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2021, 46(1): 103-110. doi: 10.13203/j.whugis20190018
Citation: LUO Yiyong, ZHANG Jingying, CHEN Junyi, HUANG Cheng, WANG Xin. Tropospheric Delay Prediction Based on Phase Space Reconstruction and Gaussian Process Regression[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2021, 46(1): 103-110. doi: 10.13203/j.whugis20190018
  • 对流层延迟是影响GPS导航定位精度的主要因素之一,GPS信号在传播过程中的误差主要包括电离层延迟、对流层延迟以及多路径效应。电离层延迟可以通过双频改正法精确求得[1],多路径效应可以通过合理选取测站位置、反射源距离等方法来削弱其影响[2],但对流层延迟在组合观测中无法有效削弱,且现有的对流层延迟改正模型精度不高。因此,削弱对流层延迟的影响对GPS精确导航定位有着重要的研究意义。

    随着人工智能的快速发展,可用于时间序列分析的智能算法越来越多。文献[3]提出改进的反向传播(back propagation,BP)神经网络模型,对部分站点的预测精度达到mm级;文献[4]建立了计算对流层延迟的BP神经网络模型、多元线性回归模型、灰色模型和组合预测模型,提出了一种基于可靠度的组合模型权系数确定方法,精度最高达到1 cm;文献[5]使用频谱分析和自回归模型(autoregressive model,AR)结合的方法,精度达到cm级;文献[6]建立了基于遗传算法和BP神经网络的区域对流层延迟模型,预测精度达到cm级;文献[7]提出一种基于集合经验模态分解(ensemble empirical mode decomposition,EEMD)和季节性自回归移动平均模型的对流层延迟预报方法,精度达到cm级;文献[8]通过改进的BP神经网络建立了区域精密对流层模型,精度达到mm级。以上算法均需要输入大量的参数,且迭代次数较多,结果稳定性差。因此,本文提出了一种超参数自适应的相空间重构和GP预测模型。

    本文利用国际GNSS服务(International GNSS Service,IGS)站提供的高精度对流层延迟数据,基于天顶对流层延迟(zenith tropospheric delay,ZTD)数据的混沌特性,构建了基于相空间重构的高斯过程(Gaussian process,GP)模型,分别从精度、时间和空间上分析了GP模型对ZTD的预测特征。首先探究了GP模型对南、北半球不同纬度等级的对流层延迟预测的精度和准确性;其次将GP模型的预测结果分别与原始数据和BP神经网络模型结果进行对比分析,进一步探究不同时间、经度和海拔对ZTD预测精度的影响,为建立区域或全球的无需气象参数的ZTD改正模型提供参考依据。

    • 相空间重构的目的在于恢复高维空间中时间序列的规律[9]。根据塔肯斯定理,只要选择合适的时间延迟τ与嵌入维m,就能重构出一个与原系统具有相同拓扑性质的动力学系统[10]。重构后时间序列的长度为M=S-(m-1)τS为对流层延迟时间序列的长度。重构后的相点计算如下:

      $$\mathit{\boldsymbol{X}} = \left[ {{\mathit{\boldsymbol{x}}_i}, {\mathit{\boldsymbol{x}}_{i + \tau }}, {\mathit{\boldsymbol{x}}_{i + 2\tau }} \cdots {\mathit{\boldsymbol{x}}_{i + \left( {m - 1} \right)\tau }}} \right] $$ (1)

      式中,X是维数为M×m的矩阵;i=1,2…Mx为对流层延迟时间序列。

    • GP回归方法是基于贝叶斯理论和统计学习理论发展起来的一种全新的机器学习方法,适用于处理高维数、小样本和非线性等复杂回归问题[11]。与神经网络和支持向量机相比,该方法具有易实现、超参数自适应、输出值具有概率意义等优点。对于给定的训练数据集$D = \left\{ {\left({{\mathit{\boldsymbol{x}}_i}, {\mathit{\boldsymbol{y}}_i}} \right)} \right\}, i = 1, 2 \cdots n$,其中,xiRd为输入数据矩阵,Rd表示d维实数集;yiRd为输出数据矩阵。在训练集D中,f(x1)、f(x2)…f(xn)可构成随机变量的一个集合,GP的全部统计特征由均值函数m(x)和协方差函数k(xxT)组成[12-13],即:

      $$f\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right)\sim{\rm{GP}}\left( {m\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right), k\left( {\mathit{\boldsymbol{x}}, {\mathit{\boldsymbol{x}}^{\rm{T}}}} \right)} \right) $$ (2)

      根据贝叶斯原理,GP在给定D的数据集内建立先验函数,给定n*个测试数据集${D_1} = \left\{ {\left({{\mathit{\boldsymbol{x}}_i}, {\mathit{\boldsymbol{y}}_i}} \right)} \right\}, i = n + 1, n + 2 \cdots n + {n_{\rm{*}}}$,对于新的输入X*,预测对应的输出为f*,于是训练数据的输出向量y和测试数据的输出向量f*之间的联合高斯分布可表示为:

      $$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} \mathit{\boldsymbol{y}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{f}}_*}} \end{array}} \right]~N\left( {0, \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{K}}\left( {\mathit{\boldsymbol{X}}, \mathit{\boldsymbol{X}}} \right) + \delta _n^2\mathit{\boldsymbol{I}}}&{\mathit{\boldsymbol{K}}\left( {\mathit{\boldsymbol{X}}, {\mathit{\boldsymbol{X}}_*}} \right)}\\ {\mathit{\boldsymbol{K}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{X}}_*}, {\mathit{\boldsymbol{X}}_*}} \right)}&{\mathit{\boldsymbol{K}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{X}}_*}, \mathit{\boldsymbol{X}}} \right)} \end{array}} \right]} \right) $$ (3)

      式中,$\mathit{\boldsymbol{K}}\left({\mathit{\boldsymbol{X}}, \mathit{\boldsymbol{X}}} \right)$为n阶核矩阵,称为格拉姆矩阵。由此得到主要的GP回归方程,即:

      $${\mathit{\boldsymbol{f}}_*}|\mathit{\boldsymbol{X}}, \mathit{\boldsymbol{y}}, {\mathit{\boldsymbol{X}}_*}~N\left( {{\mathit{\boldsymbol{m}}_*}, {\rm{cov}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{f}}_*}} \right)} \right) $$ (4)
      $$\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{m}}_*} = E[{\mathit{\boldsymbol{f}}_{\rm{*}}}|\mathit{\boldsymbol{X}}, \mathit{\boldsymbol{y}}, {\mathit{\boldsymbol{X}}_{\rm{*}}}] = }\\ {\mathit{\boldsymbol{K}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{X}}_*}, \mathit{\boldsymbol{X}}} \right){{(\mathit{\boldsymbol{K}}\left( {\mathit{\boldsymbol{X}}, \mathit{\boldsymbol{X}}} \right) + \delta _n^2\mathit{\boldsymbol{I}})}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{y}}} \end{array} $$ (5)
      $$\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{cov}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{f}}_*}} \right) = \mathit{\boldsymbol{K}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{X}}_*}, {\mathit{\boldsymbol{X}}_*}} \right) - \mathit{\boldsymbol{K}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{X}}_*}, \mathit{\boldsymbol{X}}} \right)(\mathit{\boldsymbol{K}}\left( {\mathit{\boldsymbol{X}}, \mathit{\boldsymbol{X}}} \right)}\\ {\delta _n^2\mathit{\boldsymbol{I}}{)^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{K}}\left( {\mathit{\boldsymbol{X}}, {\mathit{\boldsymbol{X}}_*}} \right)} \end{array} $$ (6)

      式中,$\mathit{\boldsymbol{K}}\left({\mathit{\boldsymbol{X}}, \mathit{\boldsymbol{X}}} \right) + \delta _n^2\mathit{\boldsymbol{I}}$为n阶协方差矩阵,In阶单位矩阵;m*为预测均值向量,即GP回归模型的输出值,也是输出向量f*的预测值。协方差函数的选取对于GP模型至关重要,本文采用的核函数是高斯径向基核函数(radial basis function,RBF)。

    • 为了分析相空间重构的GP模型对于不同纬度ZTD预测精度的差异,本文将纬度范围按等级划分,纬度在0°~30°之间的地区称为低纬地区;在30°~60°之间的地区称为中纬地区;在60°~90°之间的地区称为高纬地区。为了避免ZTD预测结果受其他因素的干扰,分别选取南纬、北纬不同纬度的12个IGS站点数据,各站点的纬度如表 1所示。

      表 1  12个IGS站点的纬度值

      Table 1.  Latitude Values for 12 IGS Sites

      站点 纬度
      pbri 11.6°N
      hnlc 21.3°N
      hnpt 38.5°N
      lama 53.9°N
      invk 68.3°N
      nyal 78.9°N
      xmis 10.4°S
      iqqe 20.3°S
      mobs 37.8°S
      parc 53.1°S
      dav1 68.6°S
      mcm4 77.8°S
    • 利用相空间重构还原ZTD时间序列的规律,选择合适的延迟时间τ和嵌入维m是相空间重构的关键。本文利用Cao方法确定最小嵌入维数[14],考虑到各个站点预测时间的统一性,选取τ=1作为延迟时间。以pbri站为例,Cao方法确定的最小嵌入维数结果如图 1所示。图 1E1表示确定最佳嵌入维数的指标;E2表示确定E1稳定性的指标。当m增加到某特定值时,E2值趋于饱和,E1值趋于稳定,对应的m即为最小嵌入维数。

      图  1  Cao方法确定pbri站点的最小嵌入维数

      Figure 1.  Minimum Embedded Dimension for the pbri Site Using Cao Method

      图 1可知,当E2趋于饱和,E1的值接近1,且曲线基本保持不变时,pbri站点的最小嵌入维为12。类似地,用Cao方法分别确定南纬、北纬共12个站点的最小嵌入维数,则pbri、hnlc、hnpt、lama、invk、nyal、xmis、iqqe、mobs、parc、dav1、mcm4站点的嵌入维数依次为12、10、14、15、12、15、14、16、16、14、12、12。

    • GP模型对处理小样本、非线性、高维数等复杂问题具有很好的适应性。本文GP模型的构建包括以下几个步骤:(1)数据预处理;(2)数据归一化;(3)Cao方法确定嵌入维数m;(4)对数据进行相空间重构,以pbri站点为例,对504个ZTD时间序列重构相空间,构成M=S-(m-1)τ=504-(12-1)×1=493个相点;(5)选取重构后的前469个相点作为训练数据,后24个相点作为预测数据;(6)采用高斯RBF核函数,预测24 h的ZTD时间序列;(7)数据反归一化;(8)精度评定。

    • 为了减小ZTD对GNSS定位的影响,探究GP模型对ZTD预测的精度及可靠性,利用2015年12个IGS站年积日第180~200天,共21 d的ZTD整点数据作为实验样本,采样频率为1 h,连续504 h的对流层延迟数据作为实验数据,其中后24 h数据作为测试数据,剩余M=S-(m-1)τ-24个数据作为训练数据。首先分析GP模型的预测结果,然后将GP模型的预测结果分别与原始数据和BP神经网络进行对比分析,进一步验证GP模型的有效性。

    • 首先探究GP模型对北半球不同纬度ZTD预测的准确性。在北半球不同纬度选取了2015年年积日第180~200天的6个站点数据,其中pbri、hnlc属于低纬地区;hnpt、lama属于中纬地区;invk、nyal属于高纬地区。GP模型、BP神经网络模型在北半球低、中、高纬地区的ZTD预测结果分别如图 234所示。

      图  2  两种模型在北半球低纬地区的ZTD预测结果对比

      Figure 2.  Comparison of ZTD Prediction Results for Two Models in Low Latitude Areas of the Northern Hemisphere

      图  3  两种模型在北半球中纬地区的ZTD预测结果对比

      Figure 3.  Comparison of ZTD Prediction Results for Two Models in Mid-latitude Areas of the Northern Hemisphere

      图  4  两种模型在北半球高纬地区的ZTD预测结果对比

      Figure 4.  Comparison of ZTD Prediction Results for Two Models in High Latitude Areas of the Northern Hemisphere

      图 2~4中可以看出,GP模型预测曲线图与原始数据曲线图基本一致,BP神经网络预测曲线图与原始数据曲线图之间存在较大的差距,GP模型预测结果明显优于BP神经网络的预测结果;在北半球6个站点中,invk、nyal预测效果较好,由此可知,在北半球高纬地区,GP模型预测的效果较好。

    • 在南半球不同纬度选取了2015年年积日第180~200天的6个站点数据,其中xmis、iqqe属于低纬地区,mobs、parc属于中纬地区,dav1、mcm4属于高纬地区,采样频率为1 h。GP模型、BP神经网络模型在南半球低、中、高纬地区的ZTD预测结果分别如图 567所示。

      图  5  两种模型在南半球低纬地区的ZTD预测结果对比

      Figure 5.  Comparison of ZTD Prediction Results for Two Models in Low Latitude Areas of the Southern Hemisphere

      图  6  两种模型在南半球中纬地区的ZTD预测结果对比

      Figure 6.  Comparison of ZTD Prediction Results for Two Models in Mid-latitude Areas of the Southern Hemisphere

      图  7  两种模型在南半球高纬区的ZTD预测结果对比

      Figure 7.  Comparison of ZTD Prediction Results for Two Models in High Latitude Areas of the Southern Hemisphere

      图 5~7中可以看出,GP模型预测曲线图与原始数据曲线图基本一致,且预测结果波动范围较小,而BP神经网络预测结果波动范围较大,可见,GP模型预测结果明显优于BP神经网络的预测结果;在南半球6个站点中,dav1、mcm4站点的GP模型预测结果与原始数据较为接近,由此可知,在南半球高纬地区,GP模型预测的效果较好。

      总的来说,GP模型在本文12个实验站点的预测效果都明显优于BP神经网络的预测效果,且GP模型预测结果基本达到mm级,满足普通用户定位的要求。

    • 为了进一步探究GP模型对ZTD预测精度的影响,将12个站点的GP模型24 h预测结果与原始数据比较,结果如图 8所示。图 8中不同颜色表示不同的时间,蓝色实线表示高斯过程预测结果与原始数据的拟合曲线。

      图  8  GP模型预测结果与原始数据及其线性拟合结果

      Figure 8.  Prediction Results of GP Model and Original Data and Their Linear Fitting Results

      图 8可知,GP模型预测结果与原始数据同步增大。原始数据点大致分布在一条直线附近,拟合方程为y=0.997x+6.857 8,相关系数达到0.997,GP模型预测结果的误差随着ZTD的增大而增大。

    • 为了验证模型的精度和有效性,选用BP神经网络模型作对比分析。基于12个实验站点的数据,分别计算GP模型与BP神经网络模型预测结果的均方根误差(root mean square error,RMSE)和平均相对误差(mean relative error,MRE)。北半球、南半球站点的预测结果分别如表 2表 3所示。

      表 2  北半球两种模型预测结果的RMSE和MRE值

      Table 2.  RMSE and MRE of Prediction Results of Two Models in the Northern Hemisphere

      纬度地区 站点 RMSE/mm MRE/%
      GP模型 BP模型 GP模型 BP模型
      低纬 pbri 9.340 10.812 0.256 0.279
      hnlc 8.793 10.213 0.287 0.350
      中纬 hnpt 7.435 12.262 0.221 0.397
      lama 11.348 39.822 0.361 1.100
      高纬 invk 2.960 5.108 0.098 0.146
      nyal 3.096 4.635 0.102 0.161

      表 3  南半球两种模型预测结果的RMSE和MRE值

      Table 3.  RMSE and MRE of Prediction Results of Two Models in the Southern Hemisphere

      纬度地区 站点 RMSE/mm MRE/%
      GP模型 BP模型 GP模型 BP模型
      低纬 xmis 4.322 10.413 0.138 0.368
      iqqe 4.096 5.817 0.143 0.201
      中纬 mobs 3.127 4.491 0.103 0.156
      parc 4.522 5.644 0.157 0.185
      高纬 dav1 3.557 10.514 0.127 0.361
      mcm4 2.271 2.610 0.073 0.101

      表 2可知,在北半球,GP模型的RMSE有5个站点达到mm级,BP神经网络模型的RMSE有2个站点达到mm级;GP模型的MRE均小于0.37%,BP神经网络模型的MRE均小于1.2%,可见,GP模型在北半球的预测精度明显高于BP神经网络。由表 3可知,在南半球,GP模型的RMSE均达到了mm级,BP神经网络模型的RMSE基本达到mm级;GP模型的MRE均小于0.16%,BP神经网络模型的MRE均小于0.37%,可见,GP模型在南半球的预测精度明显高于BP神经网络。

      由上述分析可知,GP模型适用于对流层延迟的预测,预测精度基本达到mm级,在纬度相近的站点,对于南半球ZTD的预测精度明显高于北半球,且高纬地区更适用于该模型。由于ZTD与温度呈正相关[15],本文研究的时域正值北半球的夏季、南半球的冬季,因此ZTD在北半球的误差较大,在南半球的误差较小。

    • 为了进一步验证GP模型对ZTD预测的有效性和可行性,本文基于相空间重构后的ZTD数据,探究了GP对ZTD预测结果的时空分布特征。首先分析了不同时间ZTD的预测精度,然后采用控制变量法分别探究了经度、海拔对ZTD预测精度的影响。结果表明,GP模型对南半球的预测精度高于北半球,且更加适用于高纬地区的ZTD预测;GP模型对大部分站点晚上的预测精度高于白天;经度对ZTD预测精度的影响不明显;海拔与ZTD的预测精度呈正比。

    • 为了更进一步分析GP模型对南、北半球12个站点的预测精度,将世界时转换成地方时,统计了南、北半球各站点的昼夜平均绝对误差,平均绝对误差是指白天、晚上12 h ZTD的预测值与真值的绝对误差取绝对值后再求平均值。北半球、南半球各站点的结果分别如表 4表 5所示。

      表 4  北半球各站点的昼夜平均绝对误差/mm

      Table 4.  Mean Absolute Errors of Day and Night at All Stations in the Northern Hemisphere/mm

      站点 白天 晚上
      pbri 5.90 7.73
      hnlc 7.55 6.82
      hnpt 3.79 7.56
      lama 9.03 8.51
      invk 2.56 2.18
      nyal 2.76 2.11

      表 5  南半球各站点的昼夜平均绝对误差/mm

      Table 5.  Mean Absolute Errors of Day and Night at All Stations in the Southern Hemisphere/mm

      站点 白天 晚上
      xmis 4.01 2.69
      iqqe 2.58 4.26
      mobs 2.93 1.99
      parc 3.90 3.36
      dav1 3.68 2.10
      mcm4 2.11 1.12

      表 4表 5可知,位于北半球的6个站点中,hnlc、lama、invk、nyal站点白天的平均绝对误差大,pbri、hnpt站点晚上的平均绝对误差大;位于南半球6个站点中,xmis、mobs、parc、dav1、mcm4站点白天的平均绝对误差大,iqqe站点晚上的平均绝对误差大。12个站点中,其中9个站点晚上的预测精度高于白天,这是由于ZTD与温度呈正相关[15],对于同一站点,白天受到太阳的辐射,温度相对高于晚上,因此晚上的预测精度高于白天;而pbri、hnpt、iqqe这3个站点处于海洋附近,晚上的预测精度小于白天,这可能是由于受到水汽含量的影响。

    • 为了进一步探究GP模型预测过程中经度对ZTD预测结果的影响,选取了南、北半球2014年年积日第180~200天的3组ZTD数据:第1组:nrc1站和mikl站;第2组:chan站和tlse站;第3组:iqqe站和nium站。这3组数据的特点是纬度和海拔相似,经度相差较大,预测结果如表 6所示。

      表 6  不同经度地区ZTD的预测结果

      Table 6.  Prediction Results of ZTD at Different Longitude Areas

      组别 站点 经度 纬度 海拔/m 预测中误差/mm
      第1组 nrc1 284.38°W 45.45°N 82.5 6.46
      mikl 31.97°E 46.97°N 94.7 7.98
      第2组 chan 125.44°E 43.79°N 268.3 10.11
      tlse 1.48°E 43.56°N 207.2 9.17
      第3组 iqqe 289.87°W 20.27°S 38.9 4.10
      nium 190.07°W 19.08°S 90.1 5.33

      表 6可知,GP模型预测过程中,当纬度和海拔基本相近时,经度对ZTD预测精度的影响不明显。部分对流层延迟模型对ZTD的计算中并不考虑经度的影响[16],这也证明了经度变化对ZTD的影响效果并不明显。

    • 为了进一步探究GP模型预测过程中海拔对ZTD预测结果的影响,选取了北半球2014年年积日第180~200天的whc1站(海拔94.28 m)、bill站(海拔470.05 m)、gold站(海拔986.677 9 m)、wlsn站(海拔1 705.27 m)、pie1站(海拔2 347.710 9 m)的ZTD数据,这组数据的特点是经纬度极其接近,海拔存在一定的差异。首先统计了各站点ZTD在年积日第180~200天随海拔的变化趋势(见图 9),然后分析GP模型对不同海拔ZTD的预测精度,结果如图 10所示。

      图  9  ZTD随海拔的变化趋势

      Figure 9.  Change Trend of ZTD with Altitude

      图  10  GP模型对不同海拔地区ZTD的预测结果

      Figure 10.  Prediction Results of ZTD at Different Altitude Areas Using GP Model

      图 9可知,在经纬度相近的情况下,ZTD变化受到海拔的影响,ZTD的值随着海拔的增大而减小。由图 10可知,GP模型对ZTD的预测精度与海拔呈正比,即海拔越高,预测误差越小,精度越高。由于海拔的差异较大,可能导致测站周围的自然环境发生较大的变化,因此研究海拔的变化对ZTD的影响具有重要的指导意义。

    • 本文基于ZTD数据的混沌特性,构建了一种结合相空间重构和GP回归算法的无需考虑气象参数的预测方法,基于IGS站提供的ZTD数据,分别从精度、时间和空间上分析了该方法的有效性,得到以下结论:

      1) GP模型对ZTD的预测精度明显优于BP神经网络,GP模型在南北半球预测结果的RMSE达到mm级的约占92%,BP神经网络模型在南北半球预测结果的RMSE达到mm级的约占50%,GP模型相对于BP神经网络在精度和稳定性上都有较显著的提高;GP模型在纬度相近的站点对南半球的预测精度高于北半球,且更适用于高纬地区的对流层延迟预测;GP模型预测结果与理论值的相关性达到0.997,其误差随着ZTD的增大而增大。

      2) 在研究时域内,GP模型在大部分站点对晚上的预测精度高于白天,在纬度和海拔相近的情况下,经度对ZTD预测精度的影响不明显;在经纬度相近的情况下,ZTD的值随着海拔的增大而减小,海拔与ZTD的预测精度呈正比,即海拔越高,预测精度越高。

参考文献 (16)

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