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全球导航卫星系统（global navigation satel‐ lite system，GNSS）伪距观测量能直接提供站星距离，但是由于测量精度低，仅能提供米级定位精度[1]；载波相位观测量可以达到毫米级别的测量精度，但是由于模糊度参数的解算比较耗费时间[2]，因而难以实现单机高精度快速定位。载波相位平滑伪距结合了二者的优点，可以快速且较大程度地改善伪距观测值的精度。经典的载波相位平滑伪距算法是由Hatch[3]提出的，也称Hatch滤波，它利用电离层群延迟和相位延迟在一阶项上基本相等，以及基于历元间电离层变化较小的条件，通过多历元的叠加平均求出模糊度和电离层延迟量，以此改进伪距观测值的精度。这种方法可以在短时间显著提高伪距观测值精度，但是受电离层延迟变化的影响，长时间将导致平滑伪距发散。
针对经典载波相位平滑伪距算法的适用性及其缺点，一些学者对该算法进行了改进。Park等[4]利用差分基站提供的电离层物理信息，考虑到电离层在不同区域、日、季节的电离层变化和卫星仰角等因素，建立电离层模型并提出一种最优平滑伪距的差分全球定位系统（global posi‐ tioning system，GPS）单频接收机算法，比传统的Hatch滤波具有更高的定位精度和鲁棒性。Kim等[5]利用线性回归模型化电离层延迟的变化率，并综合考虑卫星高度截止角和多路径噪声的特性，提出一种自适应滤波算法，能够在一定程度上提高GPS静态定位和动态定位的精度。徐博等[6]利用Klobuchar模型补偿电离层延迟变化的变化率，提出了一种改进的单频载波相位平滑伪距方法，仿真算例表明，其精度明显优于传统单频载波相位平滑伪距法。赵琳等[7]利用Kalman滤波的新息向量调整了噪声方差矩阵，并得到最优平滑时间窗口的时间常数，此算法在仿真算例中有效改善了定位精度和稳定性。Walter等[8]和Luo等[9]的研究指出，在动态飞行器上搭载的单频区域增强型接收机，其载波相位平滑观测量经常受到电离层变化的影响，尤其在赤道和极地区域，并提出了减轻电子总含量（total electron content，TEC）影响的算法。Huang等[10]针对地基增强系统中载波相位平滑存在的误差问题，采用由卫星仰角、电离层变化以及用户到参考站的距离坐标变量实时确定平滑窗口的宽度，其结果比传统的100 s Hatch滤波器的误差减少了68%。Zhang等[11]为了应对传统Hatch滤波器的发散问题，提出利用电离层延迟变化量和卫星高度角自适应改变平滑窗口的宽度，其结果比经典的Hatch滤波器提高了约21%。目前存在的研究结果部分是利用线性拟合电离层延迟部分进行扣除处理，部分是利用外部的差分信息对电离层延迟进行改正，也有研究根据外部的物理和几何参数对电离层改正窗口的宽度进行估计，但大多需要外部数据支持，且改正算法较为繁琐。
本文针对传统单频载波平滑伪距算法中电离层未完全模型化的问题，在不依赖外部数据支持的前提下，提出采用移动开窗算法对原有的单频平滑伪距算法进行改进，试图较大程度地消除或减弱电离层变化带来的影响，实现较高精度的平滑伪距，大量的试验验证了算法的有效性。
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忽略对伪距码和相位观测量影响基本相同的对流层、卫星和接收机钟差，以及多历元后均值后，误差可忽略不计的多路径效应等，k历元时某一频点的相位和伪距观测方程为：
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{L_k} = {\rho _k} - {I_k} - N + {\varepsilon _L}}\\ {{P_k} = {\rho _k} + {I_k} + {\varepsilon _p}} \end{array}} \right. $$ (1) 式中，L和P分别表示相位距离观测值和伪距观测值；ρ为包含载波和伪距相同的误差的站星几何距离；N为吸收了硬件延迟以距离为单位的模糊度参数；I为当前频率仅考虑一阶项的电离层延迟；ε为观测噪声。
将式（1）中两方程相减，并将观测噪声吸收在观测量中，得：
$$ {P_k} - {L_k} = 2{I_k} + N $$ (2) 指定滑动窗口为n个历元，令起始历元为j= k-n+1，当k < n时，j=1，窗口内电离层延迟均值为Ik，令
$$ {A_{k, j}} = 2{\bar I_k} + N $$ (3) 则有：
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{A_{k, j}} = \frac{1}{k}\mathop \sum \limits_{i = 1}^k \left( {{P_i} - {L_i}} \right), {\rm{}}k < n{\rm{}}}\\ {{A_{k, j}} = \frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{i = k - n + 1}^k \left( {{P_i} - {L_i}} \right), {\rm{}}k \ge n} \end{array}} \right. $$ (4) 由式（2）和式（4）可得基于最近滑动窗口模型的平滑伪距P k，k - n + 1，这里仍然以P k表示：
$$ {\bar P_k} = {L_k} + {A_{k, j}} $$ (5) 由式（5），将相邻历元相减，得到基于滑动窗口的载波平滑伪距的递推公式：
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\bar P}_k} = \frac{1}{k}{P_k} + \left( {1 - \frac{1}{k}} \right)\left( {{{\bar P}_{k - 1}} + {L_k} - {L_{k - 1}}} \right), {\rm{}}k \le n{\rm{}}}\\ {{{\bar P}_k} = {{\bar P}_{k - 1}} + \left( {{L_k} - {L_{k - 1}}} \right) + \frac{1}{n}[\left( {{P_k} - {L_k}} \right) - }\\ {{\rm{}}\left( {{P_{k - n}} - {L_{k - n}}} \right)], {\rm{}}k > n} \end{array}} \right. $$ (6) 式（6）的第一式便是众多文献中所指的载波相位平滑伪距公式[3, 6, 12]。若将窗口大小设置为n=k，则等同于常规的平滑伪距模型，即常规平滑伪距算法是移动开窗平滑伪距的特殊形式。传统平滑伪距算法将历元内所有电离层延迟视为常量，当电离层演示变化较大时，误差积累甚至超过伪距噪声，失去了提升精度的意义。为了抑制电离层延迟的影响，常规Hatch滤波通常设置一个常数或历元窗口大小m，称为加权Hatch滤波：
$$ {\bar P_k} = \frac{1}{m}{P_k} + (1 - \frac{1}{m})({\bar P_{k - 1}} + {L_k} - {L_{k - 1}}) $$ (7) 式（7）虽然在一定程度上降低了历元积累的电离层延迟影响，但是早期的电离层延迟影响依然存在，而移动开窗平滑伪距在计算过程中随着新的历元观测的数据不断增加，超过窗口的过期数据不断移除，同时也消除了窗口外电离层变化带来的偏差，从而由电离层延迟变化引起的平滑伪距的系统偏差得到了减弱。
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令起始历元的电离层为I1，顾及电离层变化，根据式（2），令窗口大小为n，有：
$$ \sum\limits_{i = j}^k {({P_i} - {L_i})} = (2{I_1} + N) + 2\sum\limits_{i = j}^k \Delta {I_{i, 1}} $$ (8) 式中，ΔIi，1 = I i - I1，为历元i与历元1电离层延迟之差，起始历元为j=k-n+1。
如果已知电离层变化ΔIi，1，令指定历元数量为n，则可以计算出：
$$ \begin{array}{*{20}{c}} {{A_{k, j}} = 2{I_1} + N = }\\ {\frac{1}{n}\sum\limits_{i = j}^k {({P_i} - {L_i})} - \frac{1}{n}\sum\limits_{i = j}^k 2 \Delta {I_{i, 1}}} \end{array} $$ (9) 由式（9）和式（2），可得具有电离层延迟变化改正的平滑伪距：
$$ {\bar P_k} = {A_{k, j}} + ({L_k} + 2\Delta {I_{k, 1}}) $$ (10) 对比式（5），相当于L k被(L k + 2ΔIk，1)代替了，可得顾及电离层延迟变化的移动窗口的平滑伪距递推公式：
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\bar P}_k} = \frac{1}{k}{P_k} + \left( {1 - \frac{1}{k}} \right)({{\bar P}_{k - 1}} + {L_k} - {L_{k - 1}} + }\\ {{\rm{}}2{\rm{\Delta }}{I_{k, k - 1}}), {\rm{}}k \le n}\\ {{{\bar P}_k} = {{\bar P}_{k - 1}} + \left( {{L_k} - {L_{k - 1}}} \right) + 2{\rm{\Delta }}{I_{k, k - 1}} + }\\ {{\rm{}}\frac{1}{n}[\left( {{P_k} - {L_k}} \right) - \left( {{P_{k - n}} - {L_{k - n}}} \right) - }\\ {{\rm{}}2{\rm{\Delta }}{I_{k, k - n}}], {\rm{}}k > n} \end{array}} \right. $$ (11) 当k≤n或将窗口大小n设为无限大时，其结果就是顾及电离层变化的常规Hatch滤波模型，若电离层延迟变化为0，即ΔIk，k - n = Ik，k - 1 = 0，则式（11）就是移动开窗的Hatch滤波模型。
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在选定窗口n内，如果历元间电离层变化相等，不妨令其为a=Ii-Ii-1，任一历元i电离层延迟可用线性函数Ii，1 = a · i + I1表示，可得ΔIi，1 = a·i，ΔIk，k - n = na，将其代入式（11）中的第一式，得电离层线性变化下移动开窗法的平滑伪距公式：
$$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\bar P}_k} = {{\bar P}_{k - 1}} + ({L_k} - {L_{k - 1}}) + \frac{1}{n}[({P_k} - {L_k}) - }\\ {({P_{k - n}} - {L_{k - n}})], \quad k > n} \end{array} $$ (12) 可以发现，当k>n时，式（12）与式（6）第二式完全相同，即当电离层延迟做线性变化时，移动开窗法可以有效消除窗口内电离层变化带来的影响，或移动开窗法可以消除当前窗口内一阶电离层变化（趋势项）带来的影响。
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图 1为移动窗口平滑伪距实现方式的流程图，本方法为快速迭代算法即式（6）的实现，在计算的时候需要保留窗口内的伪距载波差值，但是不需要每次全部进行计算，只需要将窗口外（n-k）历元的影响减去即可，因而具有较高的执行效率。
图 1 移动开窗平滑伪距流程图
Figure 1. Flow Chart of Moving Window Smoothing Pseudorange
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本文涉及的单频载波移动开窗平滑伪距算法在GNSSer（GNSS data parallel processer，www.gnsser.com）平台[13]进行了实现。GNSSer是一个自主研发的科研型GNSS数据处理软件，旨在提供大规模、高精度、并行化、云模式的GNSS计算服务平台。下面通过对比3种算法的解算精度，评估本文提出算法的实现效果。
算法1：原始Hatch滤波，式（6）的第一式；
算法2：窗口加权Hatch滤波，即式（7）的实现；
算法3：本文提出的移动开窗Hatch滤波，为式（5）和式（6）的实现。
分别采用静态和动态实测GNSS数据进行计算对比验证。对于静态观测数据，分别选取时间为2018年年积日001天国际GNSS服务（inter‐ natoinal GNSS service，IGS）赤道站NKLG（9.6°E，0.3°N），以及中纬度的SHAO（121.2°E，31.0°N）；对于动态观测数据，采用了3 h的船载运动数据概略位置（120.8°E，33.2°N）。为了减少其他因素的影响，对这些测站进行了必要的预处理，删除了连续性太短的观测数据，同时为了减少多路径的影响，将卫星截止高度角设置为15°。
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算例中，分别采用3种算法计算2个静态测站在不同时段不同采样率的平滑伪距。在精度评估中，利用平滑后的伪距与原始伪距作差，绘制偏差图，并统计中误差，获取平滑伪距的误差大小。
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NKLG位于赤道附近，卫星可见时段长，电离层变化剧烈，观测时段为协调世界时（coordi‐ nated universal time，UTC）6：00―11：40（与当地时间相同）。首先对NKLG站的G01卫星分别采用采样率为1 s和10 s的观测数据进行伪距平滑计算，其中，原始Hatch滤波对1 s采样率和10 s采样率的中误差分别为±4.425 m和±4.422 m。图 2显示了原始Hatch滤波与不同窗口下的移动开窗平滑伪距与原始伪距的残差。本实验和后续实验的电离层延迟都是通过双频载波计算得来。不同时段窗口下的固定权Hatch滤波和移动开窗法平滑伪距偏差中误差如表 1所示，其中加粗字体表示与原始伪距作差后中误差最小的结果，后续表同。
图 2 NKLG G01平滑伪距残差与电离层延迟变化
Figure 2. Smooth Pseudorange Residual and Ionospheric Delay Variation of NKLG G01
表 1 NKLG站G01不同算法的平滑伪距残差中误差
Table 1. Residual Errors of the Pseudorange of NKLG G01 Under Different Algorithms
时段窗口/min 1 s采样率(20 331历元) 10 s采样率(2 033历元) 历元数 固定权Hatch/m 移动开窗/m 历元数 固定权Hatch/m 移动开窗/m 120 7 200 ±3.607 ±2.944 720 ±3.604 ±2.943 60 3 600 ±2.621 ±1.847 360 ±2.617 ±1.845 40 2 400 ±2.059 ±1.342 240 ±2.054 ±1.337 20 1 200 ±1.266 ±0.775 120 ±1.257 ±0.765 10 600 ±0.755 ±0.500 60 ±0.740 ±0.485 5 300 ±0.493 ±0.394 30 ±0.472 ±0.373 2 20 ±0.369 ±0.349 12 ±0.336 ±0.321 1 60 ±0.340 ±0.336 6 ±0.289 ±0.298 0.5 30 ±0.324 ±0.326 3 ±0.235 ±0.259 -
SHAO位于东八区的中纬度地区，G01卫星时段为UTC 14：30―19：30（本地时间22：30―03：30），其中，原始Hatch滤波对1 s采样率和10 s采样率的中误差分别为±0.591 m和±0.590 m。图 3为SHAO G01的平滑伪距残差与电离层延迟变化图，由于SHAO站的电离层延迟较小，平滑伪距残差散点图无法直接判断各方法的趋势性，因此SHAO站的平滑伪距残差采用滑动窗口法进行了平滑处理。不同时段窗口下的固定权Hatch滤波和移动开窗法平滑伪距偏差中误差如表 2所示。
图 3 SHAO G01平滑伪距残差与电离层延迟变化
Figure 3. Smooth Pseudorange Residual and Ionospheric Delay Variation of SHAO G01
表 2 SHAO站G01不同算法的平滑伪距残差中误差
Table 2. Residual Errors of the Pseudorange of SHAO G01 Under Different Algorithms
时段窗口/min 1 s采样率(17 849历元) 10 s采样率(1 785历元) 历元数 固定权Hatch/m 移动开窗/m 历元数 固定权Hatch/m 移动开窗/m 120 7 200 ±0.579 ±0.560 720 ±0.578 ±0.560 60 3 600 ±0.510 ±0.450 360 ±0.507 ±0.444 40 2 400 ±0.465 ±0.415 240 ±0.460 ±0.407 20 1 200 ±0.409 ±0.387 120 ±0.401 ±0.378 10 600 ±0.382 ±0.375 60 ±0.372 ±0.366 5 300 ±0.370 ±0.377 30 ±0.357 ±0.365 2 120 ±0.354 ±0.377 12 ±0.332 ±0.354 1 60 ±0.331 ±0.334 6 ±0.294 ±0.302 0.5 30 ±0.297 ±0.285 3 ±0.226 ±0.232 -
通过以上实验，可以得出以下结论：
1）电离层延迟对载波相位平滑伪距产生较大的系统偏差，电离层变化越大，这种偏差越大。
2）3种算法中，当窗口大于一定时段时（根据电离层变化大小的不同，通常为2~10 min），原始Hatch滤波受电离层影响最大，固定权Hatch滤波次之，移动窗口的平滑伪距残差最小，但是受伪距噪声本身的影响，减小的幅度有限。
3）相同的时段中，不同采样率（1 s、10 s）的平滑伪距残差大小基本一致，即电离层延迟对平滑伪距的影响只与具体的观测时段有关，而与采样率大小无关。
除此之外，可以发现当时段窗口小于一定的时段时（2~10 min），固定权窗口的残差中误差呈现优于移动开窗法的现象，原因是由于式（7）中，当窗口变小，原始伪距的权值增大，因而与其作差的残差变小。
由于本实验采用伪距观测值进行误差分析，因此只能查看大于伪距噪声的系统性偏差。下面采用实测数据进行定位计算，以更好地评估各种算法。
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从上面实验可知，对于具有电离层变化的观测数据，采用较小的时段窗口，可以有效减弱电离层延迟带来的影响。然而由式（4）可以得出，理论上对于载波平滑伪距，历元越多，平滑精度越高。下面采用2 h时段采样率为1 s具有7 200历元的IGS静态观测数据以及一个船载动态GNSS观测数据，分别采用原始Hatch滤波和不同移动窗口的平滑伪距进行定位计算，并比较计算结果。其中，定位方法采用逐历元4参数（接收机位置和钟差）对L1频率伪距进行独立参数平差，对流层采用GPT2模型+VMF1映射函数改正[12]，电离层直接采用非差非组合定位计算的结果，星历和钟差采用IGS精密产品。当出现周跳或观测数据断裂超过5个历元时，滑动窗口置零重新平滑。将IGS的计算结果作为真值，将各历元计算结果与之作差比较。
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采用NKLG站本地时间10：00―12：00共2 h的观测数据，分别采用原始伪距、常规Hatch滤波和移动开窗平滑伪距算法进行独立历元参数平差定位计算。计算结果见图 4、图 5、图 6和表 3。
图 4 NKLG电离层延迟(CODE球谐模型)
Figure 4. Ionospheric Delay of NKLG (CODE Spherical Harmonic Model)
图 5 中午NKLG站不同算法静态定位E、N、U三方向定位偏差
Figure 5. Positioning Deviations of the NKLG in a Static Observation of 2 Hours at Noon
图 6 中午NKLG站不同算法E、N、U三方向定位中误差(此处只列出了正方向值)
Figure 6. RMS of Positioning Deviation in N, E, U with Different Algorithms of the NKLG at Noon(We only Listed the Positive values)
表 3 中午NKLG站不同算法E、N、U三方向定位中误差/m
Table 3. RMS of Positioning Deviation in N, E, U with Different Algorithms of the NKLG at Noon/m
计算方法 E方向 N方向 U方向 原始伪距 ±0.232 ±0.264 ±0.490 1 h移动窗口 ±0.640 ±0.701 ±1.982 20 min移动窗口 ±0.263 ±0.355 ±0.725 10 min移动窗口 ±0.144 ±0.237 ±0.306 5 min移动窗口 ±0.095 ±0.180 ±0.137 2 min移动窗口 ±0.090 ±0.152 ±0.187 1 min移动窗口 ±0.106 ±0.147 ±0.236 30 s移动窗口 ±0.120 ±0.149 ±0.269 常规Hatch ±0.688 ±0.707 ±2.970 1 h加权 ±0.583 ±0.658 ±2.099 20 min加权 ±0.423 ±0.502 ±1.342 10 min加权 ±0.249 ±0.340 ±0.684 5 min加权 ±0.141 ±0.233 ±0.293 2 min加权 ±0.087 ±0.167 ±0.132 1 min加权 ±0.088 ±0.150 ±0.181 30 s加权 ±0.106 ±0.147 ±0.236 从图 4可以看出，该时段电离层变化比较明显，每颗卫星的影响在3~13 m之间，且主要呈上升趋势；图 5（a）是原始伪距偏差，可以发现其定位偏差呈白噪声，高程方向偏差最大；图 5（b）之后为平滑伪距定位偏差，可以发现定位偏差相对原始伪距计算更为平滑，且窗口越大，定位结果越平滑，但是常规Hatch滤波和历元窗口较大的移动窗口平滑伪距定位法，随着时间的积累，定位结果出现发散现象，同时在有卫星终信号停止或出现的时候，E、N、U三方向出现“断裂”，定位结果产生跳跃，初步判断这是由于电离层延迟积累误差得到释放的结果。表 3和图 6为不同的方法定位结果在E、N、U三方向偏差的统计中误差。移动窗口法和加权Hatch滤波分别在5 min和2 min时（对应窗口大小为300、120历元）取得了较好的结果。5 min移动开窗法的E、N、U三方向的中误差分别达到了9.5、18.0和13.7 cm，比原始伪距分别提高了2.4倍、1.5倍和3.6倍，与2 min加权Hatch滤波的结果处在同一水平。但是参与平滑的窗口更长时，历元间定位结果变化更为平滑；而当窗口减小时，历元间结果变化更为剧烈。同时可以发现，移动窗口法在较大时段窗口（大于5 min后）时，受电离层延迟变化影响更小，定位结果明显优于加权Hatch滤波。
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采用位于中纬度的SHAO站当地时间正午12：00―14：00时（UTC 04：00―06：00）共2 h的观测数据，进行独立历元参数平差定位计算。限于篇幅，此处只显示统计结果，见表 4。相对于赤道NKLG站，地处中纬度的SHAO站电离层影响要小很多，但是与NKLG站的结论基本一致，同样，移动窗口法和加权Hatch滤波分别在5 min和2 min时，取得了较好的结果。5 min移动开窗法的E、N、U三方向的中误差分别达到了16.8、13.5和30.9 cm，比原始伪距分别提高了2.3倍、3.2倍和3.1倍，与2 min加权Hatch滤波的结果处在同一水平。移动开窗法在不同时段的定位结果受电离层变化影响弱于常规加权Hatch滤波。
表 4 中午SHAO站不同算法E、N、U三方向定位中误差/m
Table 4. RMS of Positioning Deviation in N, E, U with Different Algorithms of the SHAO at Noon/m
计算方法 E方向 N方向 U方向 原始伪距 ±0.392 ±0.427 ±0.959 1 h移动窗口 ±0.207 ±0.476 ±0.886 20 min移动窗口 ±0.204 ±0.260 ±0.575 10 min移动窗口 ±0.175 ±0.159 ±0.379 5 min移动窗口 ±0.168 ±0.135 ±0.309 2 min移动窗口 ±0.198 ±0.183 ±0.389 1 min移动窗口 ±0.249 ±0.239 ±0.526 30 s移动窗口 ±0.282 ±0.277 ±0.619 常规Hatch ±0.191 ±0.559 ±1.310 1 h加权 ±0.186 ±0.536 ±1.151 20 min加权 ±0.201 ±0.358 ±0.764 10 min加权 ±0.189 ±0.239 ±0.537 5 min加权 ±0.172 ±0.155 ±0.366 2 min加权 ±0.171 ±0.138 ±0.315 1 min加权 ±0.194 ±0.176 ±0.382 30 s加权 ±0.232 ±0.223 ±0.487 -
采用SHAO站本地时间深夜22：00―24：00（UTC 16：00―18：00）共2 h的观测数据，进行独立历元参数平差定位计算。计算结果表 5所示。深夜的SHAO站的电离层影响较小，且电离层变化更为平稳，因而常规Hatch滤波也取得了较好的结果。移动窗口法和加权Hatch滤波分别在10 min和5 min时，取得了较好的结果。10 min移动开窗法的E、N、U三方向中误差分别达到了14.8、12.6和47.1 cm，比原始伪距分别提高了2.5倍、3.4倍和3.0倍，与5 min加权Hatch滤波的结果处在同一水平。
表 5 深夜SHAO站不同定位算法E、N、U三方向定位中误差/m
Table 5. RMS of Positioning Deviation in N, E, U of the SHAO Late at Night/m
计算方法 E方向 N方向 U方向 原始伪距 ±0.366 ±0.434 ±1.399 1 h移动窗口 ±0.210 ±0.122 ±0.496 20 min移动窗口 ±0.142 ±0.129 ±0.467 10 min移动窗口 ±0.148 ±0.126 ±0.471 5 min移动窗口 ±0.148 ±0.136 ±0.529 2 min移动窗口 ±0.179 ±0.177 ±0.683 1 min移动窗口 ±0.229 ±0.242 ±0.891 30 s移动窗口 ±0.263 ±0.289 ±1.023 常规Hatch ±0.224 ±0.110 ±0.464 1 h加权 ±0.222 ±0.113 ±0.465 20 min加权 ±0.185 ±0.125 ±0.502 10 min加权 ±0.159 ±0.125 ±0.491 5 min加权 ±0.145 ±0.122 ±0.485 2 min加权 ±0.154 ±0.141 ±0.576 1 min加权 ±0.178 ±0.176 ±0.693 30 s加权 ±0.214 ±0.225 ±0.838 -
本实验于2017‒09‒29在江苏盐城沿海展开，从UTC 05：38―08：38（本地时间为13：38―16：38）共3 h的海上动态实验，流动站安置于船上，总行程32 km，离出发码头正北方5 km处安置固定站，如图 7所示。接收机都为Trimble Net R9，数据采样率为10 s，截止高度角为15°。
图 7 站点分布图和运动路径
Figure 7. Site Map and Motion Path
参考站坐标通过非差精密单点定位计算的坐标作为真值，与流动站组载波双差，计算结果作为流动站的运行轨迹，其结果作为真值。流动站通过原始伪距、常规Hatch滤波、移动窗口平滑伪距以及加权Hatch滤波，对L1频率的伪距进行逐历元4参数平差伪距定位，计算结果与双差真值轨迹作差，分别统计E、N、U三方向的坐标差，计算结果见表 6和图 8。可以发现，与静态计算的结果类似，由于受电离层影响原始Hatch滤波计算结果产生了发散，移动开窗法与加权Hatch滤波有效地改善了定位结果，分别在2 min和1 min窗口取得了较好的结果，其中移动开窗法E、N、U三方向中误差结果分别为21.8、28.6和84.0 cm，比原始伪距分别提高2.4、5.5和3.5倍。
表 6 海上动态定位E、N、U三方向定位中误差/m
Table 6. RMS of the Deviation of the Dynamic Positioning in the E, N, U Directions /m
计算方法 E方向 N方向 U方向 原始伪距 ±0.523 ±1.567 ±2.942 1 h移动窗口 ±2.868 ±2.824 ±2.804 40 min移动窗口 ±2.073 ±2.143 ±2.151 30 min移动窗口 ±1.608 ±1.702 ±1.746 20 min移动窗口 ±1.098 ±1.180 ±1.359 10 min移动窗口 ±0.563 ±0.631 ±0.940 5 min移动窗口 ±0.314 ±0.383 ±0.813 2 min移动窗口 ±0.218 ±0.286 ±0.840 1 min移动窗口 ±0.227 ±0.294 ±0.877 常规Hatch ±3.578 ±2.350 ±6.691 1 h加权 ±4.083 ±3.065 ±5.196 40 min加权 ±3.377 ±2.901 ±3.739 30 min加权 ±2.810 ±2.621 ±2.948 20 min加权 ±2.064 ±2.084 ±2.166 10 min加权 ±1.105 ±1.195 ±1.326 5 min加权 ±0.562 ±0.638 ±0.908 2 min加权 ±0.264 ±0.335 ±0.782 1 min加权 ±0.211 ±0.280 ±0.807 
图 8 动态定位中不同算法E、N、U三方向偏差的中误差(此处只列出了正方向值)
Figure 8. RMS of Deviation in E, N, U with Different Algorithms in Dynamic Positioning(We only Listed the Positive Values)
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从前面的实验中可以得出以下结论：
1）平滑伪距定位结果可以有效消除原始伪距的噪声，使得定位结果趋势性保持一致，而历元间结果变得连续和平滑，其中参与计算历元数量越多，则定位结果越平滑，但是由于电离层延迟变化影响，大时段平滑伪距将带来系统性偏差，甚至使得定位结果发散。
2）采用移动开窗以及加权Hatch滤波的平滑伪距可以有效减弱电离层延迟变化带来的影响，其中窗口越小，受电离层延迟影响越小，但是历元间的跳跃性偏差增加，定位精度下降。
3）移动开窗法与加权Hatch滤波的最优定位结果精度基本一致，但是移动开窗法在历元窗口较大时，取得的结果优于加权Hatch滤波，且相邻窗口解算结果更为稳定，而加权Hatch滤波结果变化幅度较大。
4）载波相位平滑伪距同时适用于静态和动态定位。
通过本文实验，可以发现电离层延迟变化的影响是直接导致平滑伪距发散的原因。从实验结果不难得出，当电离层影响较为严重时（赤道附近、中午前后、运动状态等），宜采用较短的平滑窗口。对于移动开窗法，从实验结果看，本文推荐为2~10 min或5 min时段窗口；当电离层影响较小（中高纬度地区、静态定位、夜间时段等），可采用稍长的时段窗口，从实验结果看，本文推荐为5~20 min或12 min时段窗口。若所有状态采用统一的参数设置，本文推荐为7 min作为固定的平滑窗口。从本文实验结果来看，虽然不一定取得最优解，但是在以上推荐时段都可以取得较好的平滑效果。
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载波相位平滑伪距受电离层延迟影响而导致发散，采用移动开窗的平滑伪距可以消除窗口内电离层变化趋势项的影响，有效降低电离层延迟积累误差。通过本文实验，得出如下结论：
1）电离层延迟对载波相位平滑伪距的影响与电离层延迟大小和平滑时段窗口大小有关，而与数据采样率无关。
2）对于1 s采样率的实时定位，电离层影响较大时（正午、早晚），采用2~10 min窗口可以获得比较理想的结果，电离层影响较小的时段，采用5~20 min窗口可以获得比较理想的结果。
3）相比原始伪距定位，移动开窗法可以取得2~5倍的精度改进，获得更为平滑的历元间结果，并且定位精度与接收机运动状态无关，因而可以同时满足静态和动态定位应用需求。通过实验结果，在各种应用场景下，本文推荐的统一平滑窗口为7 min。
Single Frequency Carrier Smoothing Pseudorange Algorithm and Accuracy Analysis Based on Moving Window
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摘要: 传统的单频载波相位平滑伪距算法因受到电离层延迟变化的影响，容易出现平滑结果发散的问题。提出采用移动开窗法减弱未模型化的电离层延迟影响，并建立了数学模型。通过公式推导发现：移动开窗法可以消除电离层延迟趋势项的影响。在静态定位实验中，所提出的算法在E、N、U三方向精度分别达到9.5 cm、18.0 cm和13.7 cm，比原始伪距定位结果分别提高了2.4、1.5和3.6倍。结果表明，所提出的算法可以显著减弱电离层影响，大幅提高伪距定位精度，且同时适用于静态和动态定位，其最优结果精度与加权Hatch滤波相当，但是窗口选择性更广，结果更为平滑。在各种应用场景下，推荐统一的平滑窗口为7 min。Abstract: The traditional single‐frequency carrier phase smoothing pseudorange algorithm is prone to divergence of smoothing results due to the influence of ionospheric delay variation. In this paper, a moving window method is proposed to reduce the influence of unmodeled ionospheric delay, and a mathematical model is established. Formula deduction shows that moving window method can eliminate the influence of ionospheric delay trend term. In the static positioning experiment, the accuracy of this algorithm in three directions of north, east and up is 9.5 cm, 18.0 cm and 13.7 cm, which is 2.4, 1.5 and 3.6 times higher than the original pseudorange positioning results. The results show that the proposed algorithm can significantly reduce the ionospheric influence and greatly improve the positioning accuracy. It is also suitable for both static and dynamic positioning. Its optimal result accuracy is comparable to that of weighted Hatch filtering, but the window selectivity is wider and the result is smoother. On various application scenarios, the uniform smoothing window is recommended for 7 minutes.
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Key words:
- single frequency /
- ionosphere delay /
- moving window /
- Hatch filter /
- phase smooth range
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图 2 NKLG G01平滑伪距残差与电离层延迟变化
Figure 2. Smooth Pseudorange Residual and Ionospheric Delay Variation of NKLG G01
图 3 SHAO G01平滑伪距残差与电离层延迟变化
Figure 3. Smooth Pseudorange Residual and Ionospheric Delay Variation of SHAO G01
图 4 NKLG电离层延迟(CODE球谐模型)
Figure 4. Ionospheric Delay of NKLG (CODE Spherical Harmonic Model)
图 5 中午NKLG站不同算法静态定位E、N、U三方向定位偏差
Figure 5. Positioning Deviations of the NKLG in a Static Observation of 2 Hours at Noon
图 6 中午NKLG站不同算法E、N、U三方向定位中误差(此处只列出了正方向值)
Figure 6. RMS of Positioning Deviation in N, E, U with Different Algorithms of the NKLG at Noon(We only Listed the Positive values)
图 8 动态定位中不同算法E、N、U三方向偏差的中误差(此处只列出了正方向值)
Figure 8. RMS of Deviation in E, N, U with Different Algorithms in Dynamic Positioning(We only Listed the Positive Values)
表 1 NKLG站G01不同算法的平滑伪距残差中误差
Table 1. Residual Errors of the Pseudorange of NKLG G01 Under Different Algorithms
时段窗口/min 1 s采样率(20 331历元) 10 s采样率(2 033历元) 历元数 固定权Hatch/m 移动开窗/m 历元数 固定权Hatch/m 移动开窗/m 120 7 200 ±3.607 ±2.944 720 ±3.604 ±2.943 60 3 600 ±2.621 ±1.847 360 ±2.617 ±1.845 40 2 400 ±2.059 ±1.342 240 ±2.054 ±1.337 20 1 200 ±1.266 ±0.775 120 ±1.257 ±0.765 10 600 ±0.755 ±0.500 60 ±0.740 ±0.485 5 300 ±0.493 ±0.394 30 ±0.472 ±0.373 2 20 ±0.369 ±0.349 12 ±0.336 ±0.321 1 60 ±0.340 ±0.336 6 ±0.289 ±0.298 0.5 30 ±0.324 ±0.326 3 ±0.235 ±0.259 
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表 2 SHAO站G01不同算法的平滑伪距残差中误差
Table 2. Residual Errors of the Pseudorange of SHAO G01 Under Different Algorithms
时段窗口/min 1 s采样率(17 849历元) 10 s采样率(1 785历元) 历元数 固定权Hatch/m 移动开窗/m 历元数 固定权Hatch/m 移动开窗/m 120 7 200 ±0.579 ±0.560 720 ±0.578 ±0.560 60 3 600 ±0.510 ±0.450 360 ±0.507 ±0.444 40 2 400 ±0.465 ±0.415 240 ±0.460 ±0.407 20 1 200 ±0.409 ±0.387 120 ±0.401 ±0.378 10 600 ±0.382 ±0.375 60 ±0.372 ±0.366 5 300 ±0.370 ±0.377 30 ±0.357 ±0.365 2 120 ±0.354 ±0.377 12 ±0.332 ±0.354 1 60 ±0.331 ±0.334 6 ±0.294 ±0.302 0.5 30 ±0.297 ±0.285 3 ±0.226 ±0.232
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表 3 中午NKLG站不同算法E、N、U三方向定位中误差/m
Table 3. RMS of Positioning Deviation in N, E, U with Different Algorithms of the NKLG at Noon/m
计算方法 E方向 N方向 U方向 原始伪距 ±0.232 ±0.264 ±0.490 1 h移动窗口 ±0.640 ±0.701 ±1.982 20 min移动窗口 ±0.263 ±0.355 ±0.725 10 min移动窗口 ±0.144 ±0.237 ±0.306 5 min移动窗口 ±0.095 ±0.180 ±0.137 2 min移动窗口 ±0.090 ±0.152 ±0.187 1 min移动窗口 ±0.106 ±0.147 ±0.236 30 s移动窗口 ±0.120 ±0.149 ±0.269 常规Hatch ±0.688 ±0.707 ±2.970 1 h加权 ±0.583 ±0.658 ±2.099 20 min加权 ±0.423 ±0.502 ±1.342 10 min加权 ±0.249 ±0.340 ±0.684 5 min加权 ±0.141 ±0.233 ±0.293 2 min加权 ±0.087 ±0.167 ±0.132 1 min加权 ±0.088 ±0.150 ±0.181 30 s加权 ±0.106 ±0.147 ±0.236
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表 4 中午SHAO站不同算法E、N、U三方向定位中误差/m
Table 4. RMS of Positioning Deviation in N, E, U with Different Algorithms of the SHAO at Noon/m
计算方法 E方向 N方向 U方向 原始伪距 ±0.392 ±0.427 ±0.959 1 h移动窗口 ±0.207 ±0.476 ±0.886 20 min移动窗口 ±0.204 ±0.260 ±0.575 10 min移动窗口 ±0.175 ±0.159 ±0.379 5 min移动窗口 ±0.168 ±0.135 ±0.309 2 min移动窗口 ±0.198 ±0.183 ±0.389 1 min移动窗口 ±0.249 ±0.239 ±0.526 30 s移动窗口 ±0.282 ±0.277 ±0.619 常规Hatch ±0.191 ±0.559 ±1.310 1 h加权 ±0.186 ±0.536 ±1.151 20 min加权 ±0.201 ±0.358 ±0.764 10 min加权 ±0.189 ±0.239 ±0.537 5 min加权 ±0.172 ±0.155 ±0.366 2 min加权 ±0.171 ±0.138 ±0.315 1 min加权 ±0.194 ±0.176 ±0.382 30 s加权 ±0.232 ±0.223 ±0.487
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表 5 深夜SHAO站不同定位算法E、N、U三方向定位中误差/m
Table 5. RMS of Positioning Deviation in N, E, U of the SHAO Late at Night/m
计算方法 E方向 N方向 U方向 原始伪距 ±0.366 ±0.434 ±1.399 1 h移动窗口 ±0.210 ±0.122 ±0.496 20 min移动窗口 ±0.142 ±0.129 ±0.467 10 min移动窗口 ±0.148 ±0.126 ±0.471 5 min移动窗口 ±0.148 ±0.136 ±0.529 2 min移动窗口 ±0.179 ±0.177 ±0.683 1 min移动窗口 ±0.229 ±0.242 ±0.891 30 s移动窗口 ±0.263 ±0.289 ±1.023 常规Hatch ±0.224 ±0.110 ±0.464 1 h加权 ±0.222 ±0.113 ±0.465 20 min加权 ±0.185 ±0.125 ±0.502 10 min加权 ±0.159 ±0.125 ±0.491 5 min加权 ±0.145 ±0.122 ±0.485 2 min加权 ±0.154 ±0.141 ±0.576 1 min加权 ±0.178 ±0.176 ±0.693 30 s加权 ±0.214 ±0.225 ±0.838
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表 6 海上动态定位E、N、U三方向定位中误差/m
Table 6. RMS of the Deviation of the Dynamic Positioning in the E, N, U Directions /m
计算方法 E方向 N方向 U方向 原始伪距 ±0.523 ±1.567 ±2.942 1 h移动窗口 ±2.868 ±2.824 ±2.804 40 min移动窗口 ±2.073 ±2.143 ±2.151 30 min移动窗口 ±1.608 ±1.702 ±1.746 20 min移动窗口 ±1.098 ±1.180 ±1.359 10 min移动窗口 ±0.563 ±0.631 ±0.940 5 min移动窗口 ±0.314 ±0.383 ±0.813 2 min移动窗口 ±0.218 ±0.286 ±0.840 1 min移动窗口 ±0.227 ±0.294 ±0.877 常规Hatch ±3.578 ±2.350 ±6.691 1 h加权 ±4.083 ±3.065 ±5.196 40 min加权 ±3.377 ±2.901 ±3.739 30 min加权 ±2.810 ±2.621 ±2.948 20 min加权 ±2.064 ±2.084 ±2.166 10 min加权 ±1.105 ±1.195 ±1.326 5 min加权 ±0.562 ±0.638 ±0.908 2 min加权 ±0.264 ±0.335 ±0.782 1 min加权 ±0.211 ±0.280 ±0.807
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