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地球自由核章动(free core nutation, FCN)是由于液态外核与固态地幔的瞬时旋转轴不一致而在核幔边界(core mantle boundary, CMB)产生的一种地球自转简正模，在空间惯性坐标系中称之为自由核章动，在地固坐标系中其本征周期接近于1 d，称为地球近周日自由摆动(nearly diurnal free wobble，NDFW)。该地球动力学现象与地球深内部结构及CMB附近的物性参数(如液核动力学椭率、液核顶部粘滞系数、地幔底部电导率和CMB处径向磁感应强度等)有关[1-2]，因此，精密确定这一自转简正模的本征参数(包括本征周期T和品质因子Q等)可获得地球深内部物性参数，这也是区别于传统地震学技术探索地球深内部结构的重要补充。
本文首先介绍确定FCN本征参数的方法，即共振法，并利用武汉国际重力潮汐基准台观测资料获得的重力潮汐参数精密确定FCN本征周期和品质因子。此外，还利用最新VLBI章动残差观测序列测定了FCN本征参数，并讨论其应用价值。
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FCN相关研究主要包括理论模拟和实际探测两部分。在理论研究方面，文献[3]基于椭球型、旋转、弹性和无海洋地球模型得到FCN本征周期的理论值为460.5 sd (sd指恒星日)；文献[4]研究了地幔的非弹性对FCN的影响，推导得出理论本征周期为462.8(461.6, 467.4)sd，括号内数值表示估计值的上下限，而品质因子不小于78 000；文献[5]将固体内核分别引入到1066A和PREM(Preliminary Reference Earth Model)地球模型，基于角动量方法确定FCN理论周期值为455.8~459.7 sd。利用地表观测资料的实际检测部分可分为直接法和间接法两种方法。直接法是根据高精度基长基线干涉(very long baseline interferometry，VLBI)观测的天球中间极偏差(celestial pole offsets，CPO)序列确定FCN本征参数，包括快速傅里叶变化法[6]、反褶积法[7]和滑动窗复最小二乘拟合法[8]。间接法则基于FCN引起与之频率相近的重力固体潮观测周日潮波或受迫章动出现的共振放大现象，测定液核共振参数，又称之为共振法。由于地球液核的共振现象是地球内在的物理属性，且高精度的章动或潮汐分量参数较容易获得，因此该方法得到了广泛的应用，相关研究描述如下[9-18]。
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文献[9]首次基于FCN引起周日固体潮出现共振放大现象获得了FCN的共振参数，其共振周期为(431±6) sd，品质因子为2 800±500。1997年，国际大地测量与地球物理联合会下属的地球内部委员会与国际地潮中心组织实施了全球地球动力学计划(Global Geodynamics Project, GGP), 积累了丰富的高精度重力潮汐观测资料，近十多年来国内外出现了很多类似的相关研究[10-12, 14-18]。
武汉国际重力潮汐基准站(纬度30.52°N，经度114.49°E)作为中国最早参与GGP的基准站，记录了多年连续的高精度固体潮观测资料，可以用于精密确定该地区的重力潮汐参数(振幅因子和相位滞后)。研究表明，获得高精度的周日潮波重力潮汐参数，尤其是ψ1和φ1潮波的重力潮汐参数，对精密确定FCN本征参数至关重要[14]。根据文献[19]中的引潮位表，我们利用Eterna调和分析软件[20]计算了武汉重力台站各个潮波的理论振幅值，部分周日时频段的数值结果见图 1，蓝色标记的符号代表利用共振法求解FCN本征参数时所选择的周日潮波，绿色竖线代表FCN的理论本征频率。从图 1可以看出，潮波ψ1和φ1的理论振幅仅在10-9 m/s2量级，而且距共振频率相对较近。
图 1 武汉台部分周日潮波理论振幅值
Figure 1. Theoretical Amplitudes of Some Diurnal Tidal Waves at Wuhan Station
为了获得高精度的重力潮汐参数，首先要精密测定超导重力仪的格值因子[21-22]，然后对观测的重力潮汐时间序列预处理，最后，在重力固体潮观测资料的调和分析中，必须消除大气和海洋的干扰。大气压变化对重力变化产生的影响可利用回归分析方法去除，而作为重力潮汐观测的另一主要干扰源——海洋潮汐, 则必须通过海潮模型给出的潮高值与负荷格林函数的积分进行消除。文献[21]根据武汉台1997年11月8日至2012年4月10日记录的连续固体潮观测资料精密确定了重力潮汐参数，我们利用海潮模型ORI96对其做负荷效应改正。在周日频段，频率为δ的潮波的理论振幅因子δt可以表示为[9]：
$$ {\delta _t}\left( \sigma \right) = {\delta _0} + \frac{{\tilde A}}{{\sigma - {{\tilde \sigma }_{{\rm{FCN}}}}}} $$ (1) 式中，δ0表示振幅因子中与共振无关的部分；${\tilde A} $=Ar+iAi为复共振强度；$ {{{\tilde \sigma }_{{\rm{FCN}}}}}$=σr+iσi代表FCN复本征频率，i为虚数单位；对应的FCN本征周期和品质因子分别为TFCN=Ω/(Ω+σr)和Q=σr/2σi，其中Ω表示地球自转速度。为减小区域环境对计算结果的影响，在式(1)的两端同时减掉O1潮波的观测振幅因子，将上文计算的在图 1中以蓝色标识潮波的重力潮汐参数代入式(1)，基于最小二乘法可确定FCN的本征频率。进而可得到FCN本征周期为428.80(422.92, 434.84) sd，括号内的数字表示1倍标准偏差置信区间，而品质因子为-19 929(-∞, -17 415)，负值可能与海潮负荷效应的改正等有关。文献[23]提出最小二乘法得到的形式误差有可能并不代表实际的计算精度，为此，我们使用Monte Carlo(MC)方法对获得的经大气和海潮负荷效应改正后的重力潮汐参数做模拟试验。随机生成了10 000个服从正态分布的重力潮汐参数，标准差为调和分析确定重力潮汐参数时的误差ε或0.5ε，分别计算FCN本征周期。图 2给出了对应结果的统计情况，分布越平坦，说明确定的本征周期不确定度越大。由图 2可知，提高重力振幅因子的观测精度，可提高FCN本征周期的测定精度。当模拟试验标准差为0.5ε时，获得FCN本征周期的最大和最小值分别为434.66 sd和423.78 sd，而当标准差为ε时，相应的最大和最小值分别为419.27 sd和443.19 sd，达到最小二乘法1倍标准偏差置信度时，其不确定度为±2.5 sd。
图 2 MC方法模拟结果直方图
Figure 2. Histogram of Results Simulated by MC Method
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研究表明，唯一可以直接观测到FCN这一地球自转简正模信号的观测技术是VLBI。与上述出现的固体潮共振现象类似，FCN可以引起与之频率相近的章动观测出现共振放大现象。文献[24]首次基于VLBI观测的章动残差资料研究了FCN的本征频率，得出FCN共振周期为(433.2± 2) sd，品质因子为16 130±6 600。随后众多国内外学者进行了类似的相关研究[13, 25-26]。
国际VLBI服务组织提供了由不同机构解算的章动观测残差序列。前人的研究结果表明，根据这些序列确定的FCN共振参数稍有偏差，但对相应的FCN共振周期的影响小于1 sd。考虑到1992年之前VLBI的观测精度较低，为了避免其对FCN共振参数解算的影响，本文以1995-2017年的USNO(US Naval Observatory)天极偏差序列为例，利用VLBI资料测定了FCN共振周期和品质因子。
首先，剔除天极偏差序列中大于1 mas的数据，基于最小二乘方法，利用文献[24]提供的模型计算章动项改正系数：
$$ \begin{array}{l} \delta \Delta \psi \left( t \right) = {C_\psi } + \delta \dot \psi \left( t \right) + \mathop \sum \limits_{j = 1}^n \delta {\psi _{rj}}\sin {\theta _j}\left( t \right) + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathop \sum \limits_{j = 1}^n \delta {\psi _{ij}}\cos {\theta _j}\left( t \right) \end{array} $$ (2) $$ \begin{array}{l} \delta \Delta \varepsilon \left( t \right) = {C_\varepsilon } + \delta \dot \varepsilon \left( t \right) + \mathop \sum \limits_{j = 1}^n \delta {\varepsilon _{rj}}\cos {\theta _j}\left( t \right) + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathop \sum \limits_{j = 1}^n \delta {\varepsilon _{ij}}\sin {\theta _j}\left( t \right) \end{array} $$ (3) 式中，δεrj、δεij、δψrj和δψij分别代表幅角为θj的交角和黄经章动项改正系数的实部和虚部；Cψ和Cε均为常数项；$ \delta \dot \psi $和$ \delta \dot \varepsilon $代表线性速率项；δΔε(t)和δΔψ(t)为观测的CPO值。
然后，将改正系数与刚体地球章动振幅相加获得实际地球的章动振幅，实际地球与刚体地球章动振幅的比值即章动振幅因子T(σ)。最后，选取FCN频率附近的章动振幅因子，利用章动共振式(4)求解FCN的本征频率：
$$ \begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;T\left( \sigma \right) = \frac{{{e_R} - \sigma }}{{{e_R} + 1}}{N_0} \cdot \\ \left[ {1 + \left( {1 + \sigma } \right)\left( {{Q_0} + \mathop \sum \limits_{\alpha = 1}^4 \frac{{{Q_\alpha }}}{{\sigma - {s_\alpha }}}} \right)} \right] \end{array} $$ (4) 式中，eR表示刚体地球的动力学椭率；N0和Q0均为常数；Qα对应4种地球自转简正模的共振强度，α=1，2，3，4分别代表钱德勒摆动、FCN、内核自由章动和内核自由摆动；sα分别代表上述4种简正模的频率。
基于上述计算过程，确定的FCN共振周期的数值结果为430.27(430.15, 430.40)sd，品质因子为18 982(18 512，19 477)。
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本文基于重力和VLBI资料确定的FCN本征周期值略有差异，数值仅为1.47 sd，主要原因如下：①两种不同观测技术中包含了不同来源的观测误差；②重力技术仅使用了武汉台站记录的观测资料，而VLBI技术则使用了全球观测数据。
图 3给出了FCN本征周期的理论值及利用地表重力和VLBI观测资料测定的本征周期观测值。首先可以看出，本文与前人根据实际观测资料(重力潮汐和VLBI资料)获得的FCN本征周期略有差异，不同研究者利用重力资料获得的FCN本征周期的最大值与最小值的差异为4.4 sd，这是由于不同研究者使用了不同观测时段、不同重力台站的数据，而海潮模型的选择及区域环境因素(气压、海洋潮汐、地下水变化、温度变化等)的影响也是造成FCN本征周期测定差异的原因。而对于VLBI资料获得的结果而言，文献[24]测定的FCN本征周期值明显大于其他研究者的观测值，这是由于前者使用了20世纪80年代精度较低的VLBI观测资料，而其他研究者获得的FCN本征周期值间的最大差异仅为1.46 sd，由不同数据处理中心使用了不同数据解算软件或使用不同时间段的观测资料造成。此外，基于VLBI资料确定的本征周期的标准偏差小于根据重力潮汐确定的标准偏差。从图 1可知，受FCN共振影响最大的ψ1波的理论振幅很小，观测信噪比较低，很难精密确定。但在受迫章动项中，与FCN相距最近的周年项，其刚体地球对应的振幅大于20 mas，观测精度非常高，所以利用VLBI资料确定FCN本征参数的精度高于利用重力潮汐获得对应结果的精度。
图 3 FCN本征周期理论值与地表重力和VLBI观测结果间的比较
Figure 3. Inter-comparison of FCN's Period Among Theoretical Values and Surface Observation when Using Gravity and VLBI Techniques
从图 3还可以看出，根据地球模型计算的FCN本征周期理论值均在460 sd左右，即理论值与根据实际观测资料获得的数值结果相差约30 sd。研究者一般将其解释为地球液核的真实动力学椭率比流体静力平衡假设下的液核动力学椭率约大5%~6%[12, 24]。
不同研究获得的品质因子Q值差异较大，文献[9]和文献[24]数值间的差异甚至达到了一个数量级，这主要因为求解Q值的本征频率虚部是小量，容易受外界环境干扰，很难精密确定。因此，要更好地确定Q值，必须尽可能去除环境因素的影响，如提高海潮模型的精度，改善气压改正模型等。
不同的研究得到的FCN本征参数之间有差异，这使得研究者开始讨论该参数是否随时间变化。文献[27]分析了7个不同机构解算的VLBI天极偏差序列，发现FCN本征周期值存在相似的准周期变化；文献[28]使用6个欧洲台站记录的重力潮汐资料和6个VLBI天极偏差序列研究了FCN本征周期的时间变化特征，研究结果表明两种观测资料获得的本征周期值存在相似的变化趋势，且变化周期为10 a左右，根据重力潮汐获得的FCN本征周期值的变化幅度约为7 sd，而根据VLBI资料获得的相应变化幅度小于1 sd。观测资料的积累为今后更深入地探讨该问题提供了有利条件。
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地球FCN发生于核幔边界，其研究可为核幔边界物性参数提供有价值的约束。上文根据本征周期的实际观测值与理论值的差异，得到地球液核的真实动力学椭率比流体静力平衡假设下的对应值约大5%~6%。文献[29-30]利用边界层理论将一个FCN周期内边界层的能量耗散及总能量值表示为液核顶部粘滞系数的函数，而FCN品质因子的定义是上述两个能量数值比值的2π倍。因此，根据实际观测资料确定的FCN本征参数，可以推导出液核顶部的粘滞系数ν。当考虑地球由地壳、地幔、液态外核与固体内核组成时，品质因子与液核顶部粘滞系数的关系如下:
$$ \nu = \frac{{1225I_c^2\mathit{\Omega }\left[ {1 + (2{r_b}/{r_a}){{\left( {{I_{ic}}/{I_c}} \right)}^2}} \right]}}{{8{{\rm{ \mathsf{ π} }}^2}{\rho _0}^2\left( b \right){b^8}{{\left( {9\sqrt 3 + 19} \right)}^2}{Q^2}}} $$ (5) 式中，Ic和Iic分别代表地核与外核惯量矩；Ω为地球自转速度；ra和rb分别代表外核与内核及地幔的粘滞系数；ρ0(b)为核幔边界处的密度；b为外核半径。
基于本文利用VLBI资料确定的FCN品质因子，获得液核顶部的粘滞系数为1 028 Pa·s，与文献[2]的研究结果处在同一数量级上，这是除了利用高温高压实验或地震技术之外约束地球深内部结构的又一重要手段。而文献[31]进行了更深入的研究，结合理论模型讨论了核幔边界的粘滞与耦合参数，将液核顶部的粘滞系数的范围限制在6.6×102~2.6×103 Pa·s，仅考虑电磁耦合来解释实际计算的FCN品质因子时，地幔底部的电导率的取值区间为2.6×106~1.0×107 S/m。
根据超导重力仪或VLBI确定更高精度的FCN本征参数可更深入地研究地球深内部结构。
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本文介绍了利用高精度重力潮汐及VLBI章动观测残差资料确定地球自由核章动本征参数的方法，以武汉超导重力台站记录的固体潮资料及USNO天极偏差序列为例进行了数值计算；此外，利用MC方法进行了模拟试验，得到对应的FCN本征周期的统计分布图；并对本文及前人的研究结果作了对比，分析了造成数值结果差异的可能原因；在此基础上，探讨了FCN本征参数的获取对核幔边界的物性参数的约束作用。可以预见，随着高精度观测资料(重力潮汐、章动残差、大气及海洋角动量等)的积累，人类能更深入地了解地球FCN，进而获得更多的地球深内部结构信息。
Detection of the Geodynamics of Earth's Liquid Core by Using Gravity and VLBI Techniques
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摘要: 利用最新的武汉地区高精度重力和全球高精度甚长基线干涉（very long baseline interferometry，VLBI）测量技术观测确定了地球液态地核的自由核章动本征参数（包括本征周期和品质因子等），同时获得了液核顶部的粘滞系数和液核的真实动力学椭率，使用Monte Carlo方法研究了本征周期的不确定度。结果表明，分别利用重力和VLBI确定的地球自由核章动本征周期值为430 sd（sd指恒星日）左右，两者间的差异为1.47 sd，粘滞系数为1 028 Pa·s。讨论了导致两者差异的主要原因，并将结果与国内外同类研究结果作了对比。Abstract: Based on the latest high-precision gravity data recorded in Wuhan and global high-accuracy VLBI (very long baseline interferometry) observations, we have determined the intrinsic parameters (including eigen-period and quality factor, et al) of FCN(free core nutation) of Earth's liquid core. Moreover, the viscosity at the top of the liquid core and its real dynamic ellipticity are obtained. By using the Monte Carlo method, we have calculated the uncertainty of the FCN's eigen-period. The results show that the FCN's eigen-periods determined by gravity and VLBI are about 430 sd and the difference between them is 1.47 sd, with the viscosity coefficient of 1 028 Pa·s. This paper discusses the main reasons for the above differences, and finally compares our results with similar research results from China and abroad.
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图 1 武汉台部分周日潮波理论振幅值
Figure 1. Theoretical Amplitudes of Some Diurnal Tidal Waves at Wuhan Station
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