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大地测量地震断层同震滑动分布反演的两步解法

王乐洋 赵雄 高华

王乐洋, 赵雄, 高华. 大地测量地震断层同震滑动分布反演的两步解法[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2019, 44(9): 1265-1273, 1311. doi: 10.13203/j.whugis20170382
引用本文: 王乐洋, 赵雄, 高华. 大地测量地震断层同震滑动分布反演的两步解法[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2019, 44(9): 1265-1273, 1311. doi: 10.13203/j.whugis20170382
WANG Leyang, ZHAO Xiong, GAO Hua. A Two-Step Solution Method for the Co-seismic Slip Distribution Inversion of Earthquake Faults in Geodesy[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2019, 44(9): 1265-1273, 1311. doi: 10.13203/j.whugis20170382
Citation: WANG Leyang, ZHAO Xiong, GAO Hua. A Two-Step Solution Method for the Co-seismic Slip Distribution Inversion of Earthquake Faults in Geodesy[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2019, 44(9): 1265-1273, 1311. doi: 10.13203/j.whugis20170382

大地测量地震断层同震滑动分布反演的两步解法

doi: 10.13203/j.whugis20170382
基金项目: 

国家自然科学基金 41874001

国家自然科学基金 41664001

江西省杰出青年人才资助计划 20162BCB23050

国家重点研发计划 2016YFB0501405

详细信息
    作者简介:

    王乐洋, 博士, 教授, 主要研究方向为大地测量反演及大地测量数据处理。wleyang@163.com

  • 中图分类号: P228;P315

A Two-Step Solution Method for the Co-seismic Slip Distribution Inversion of Earthquake Faults in Geodesy

Funds: 

The National Natural Science Foundation of China 41874001

The National Natural Science Foundation of China 41664001

the Support Program for Outstanding Youth Talents in Jiangxi Province 20162BCB23050

the National Key Research and Development Program of China 2016YFB0501405

More Information
    Author Bio:

    WANG Leyang, PhD, professor, specializes in geodetic inversion and geodetic data processing. E-mail: wleyang@163.com

  • 摘要: 针对同震滑动分布反演中系数矩阵出现病态的问题,提出两步解法,并在两步解法反演过程中引入拉普拉斯二阶平滑矩阵进行平滑约束。该方法不仅改善了系数矩阵的病态问题,同时也很好地抑制了相邻断层面间出现大的梯度变化。在两步解法反演过程中,用L曲线法确定正则化参数。系统模拟实验表明,对于最大滑动量,该方法的反演结果较一步最小二乘法的反演结果精度提高了3.34%~19%;对于均方根误差,该方法的反演结果较一步最小二乘法减小了3.3%~13.3%。芦山地震反演结果表明,利用两步解法进行滑动分布反演是可行的。
  • 图  1  GPS三方向模拟观测点

    Figure  1.  Simulated Observation Points of GPS Three Directions

    图  2  利用L曲线法确定正则化参数

    Figure  2.  Regularization Parameters Determined by L-curve Method

    图  3  模拟实验同震滑动分布反演结果

    Figure  3.  Inversion Results of Co-seismic Slip Distribution for Simulation Experiments

    图  4  改变断层参数对最大滑动量和均方根误差的影响

    Figure  4.  Influence of Changing the Fault Parameters of the Maximum Slip and the Root Mean Square Error

    图  5  芦山地震水平方向观测形变

    Figure  5.  Observation Deformation in the Horizontal Direction of Lushan Earthquake

    图  6  芦山地震同震滑动分布反演结果

    Figure  6.  Inversion Results of Co-seismic Slip Distribution of Lushan Earthquake

    表  1  模拟实验预设模型参数

    Table  1.   Default Model Parameters for Simulation Experiments

    预设参数 实验1 实验2 实验3 实验4 实验5 实验6
    断层块边长/km 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 2
    最大滑动量/m 1.472 1.472 1.472 1.472 1.472 1.500
    平均滑动量/m 0.3104 0.3104 0.3104 0.3104 0.3104 0.3105
    滑动角/(°) 43 43 43 43 65 43
    断层走向/(°) 70 55 70 70 70 70
    断层倾向/(°) 50 50 65 50 50 50
    震源深度/km 12.5 12.5 12.5 10.8 12.5 12.5
    矩震级 Mw6.582 Mw6.582 Mw6.582 Mw6.582 Mw6.582 Mw6.583
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    表  2  模拟实验两种方法反演结果

    Table  2.   Inversion Results of Two Methods for Simulation Experiments

    方法 参数 实验1 实验2 实验3 实验4 实验5 实验6
    OSS法 最大滑动量/m 1.250 1.240 1.196 1.249 1.207 1.312
    平均滑动量/m 0.318 0.321 0.322 0.320 0.324 0.318
    矩震级 Mw6.589 Mw6.592 Mw6.593 Mw6.591 Mw6.594 Mw6.589
    均方根误差/mm 3.0 3.1 3.1 3.1 3.0 3.0
    平滑因子α1 0.28 0.3 0.18 0.27 0.29 0.25
    TSS法 最大滑动量/m 1.388 1.334 1.373 1.378 1.371 1.423
    平均滑动量/m 0.311 0.313 0.315 0.315 0.314 0.310
    矩震级 Mw6.583 Mw6.585 Mw6.587 Mw6.586 Mw6.586 Mw6.582
    均方根误差/mm 2.8 2.8 2.9 2.9 2.8 2.8
    平滑因子α1/α2 0.28/0.28 0.28/0.24 0.18/0.25 0.27/0.25 0.29/0.23 0.25/0.22
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    表  3  模拟实验两种方法反演结果与真值的比较

    Table  3.   Comparison of the Inversion Results of Two Methods with True Values for Simulation Experiments

    方法 参数 实验1 实验2 实验3 实验4 实验5 实验6
    OSS法 最大滑动量/m 0.222 0.232 0.276 0.224 0.266 0.188
    平均滑动量/m 0.007 0.011 0.012 0.009 0.013 0.007
    TSS法 最大滑动量/m 0.084 0.138 0.099 0.094 0.101 0.077
    平均滑动量/m 0.001 0.003 0.005 0.004 0.004 0
    TSS较OSS提升比 最大滑动量/% 9.37 6.38 12.05 8.80 11.16 7.38
    平均滑动量/% 2.02 2.74 2.23 1.71 3.06 2.29
    均方根误差/% 10.00 6.67 6.67 6.67 6.67 6.67
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    表  4  模拟实验特征值位置与TSS法优势条件之间的关系

    Table  4.   Relationship Between the Location of Eigenvalues and the Dominant Conditions of TSS Method in Simulation Experiments

    条件 特征值位置
    实验1 实验2 实验3 实验4 实验5 实验6
    满足${\lambda _i} < - {\alpha _2}{R_i}$ 1~737 1~739 1~739 1~739 1~738 1~387
    满足${\lambda _i} > - {\alpha _1}{T_i}$ 762~800 767~800 761~800 763~800 763~800 411~450
    注:特征值位置是指在特征值矩阵中特征值沿着对角线从左上到右下排列所对应的位置
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    表  5  芦山地震断层几何参数及滑动参数

    Table  5.   Geometric Parameters and Slip Parameters of Lushan Earthquake Fault

    来源 滑动角/(°) 最大滑动量/m 断层长度/m 矩张量/(1019 N·m) 矩震级 数据拟合度
    均匀滑动 80.13 0.75 21.94 0.72 Mw6.54
    TSS法 70.62 0.65 51 1.19 Mw6.68 0.763
    OSS法 70.37 0.55 51 1.07 Mw6.65 0.741
    文献[21] 71 0.91 31.2 0.53 Mw6.45
    文献[22] 1.59 1.54 Mw6.7
    文献[23] 71 0.61 46 0.95 Mw6.6
    USGS 93 Mw6.5
    CENC 95
    注:USGS为美国地质调查局(United States Geological Survey),CENC为中国地震台网中心(China Earthquake Networks Center)
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    [20] 张祖勋, 吴军, 张剑清.  建筑场景三维重建中影像方位元素的获取方法 . 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2003, 28(3): 265-271,300.
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出版历程
  • 收稿日期:  2018-08-16
  • 刊出日期:  2019-09-05

大地测量地震断层同震滑动分布反演的两步解法

doi: 10.13203/j.whugis20170382
    基金项目:

    国家自然科学基金 41874001

    国家自然科学基金 41664001

    江西省杰出青年人才资助计划 20162BCB23050

    国家重点研发计划 2016YFB0501405

    作者简介:

    王乐洋, 博士, 教授, 主要研究方向为大地测量反演及大地测量数据处理。wleyang@163.com

  • 中图分类号: P228;P315

摘要: 针对同震滑动分布反演中系数矩阵出现病态的问题,提出两步解法,并在两步解法反演过程中引入拉普拉斯二阶平滑矩阵进行平滑约束。该方法不仅改善了系数矩阵的病态问题,同时也很好地抑制了相邻断层面间出现大的梯度变化。在两步解法反演过程中,用L曲线法确定正则化参数。系统模拟实验表明,对于最大滑动量,该方法的反演结果较一步最小二乘法的反演结果精度提高了3.34%~19%;对于均方根误差,该方法的反演结果较一步最小二乘法减小了3.3%~13.3%。芦山地震反演结果表明,利用两步解法进行滑动分布反演是可行的。

English Abstract

王乐洋, 赵雄, 高华. 大地测量地震断层同震滑动分布反演的两步解法[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2019, 44(9): 1265-1273, 1311. doi: 10.13203/j.whugis20170382
引用本文: 王乐洋, 赵雄, 高华. 大地测量地震断层同震滑动分布反演的两步解法[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2019, 44(9): 1265-1273, 1311. doi: 10.13203/j.whugis20170382
WANG Leyang, ZHAO Xiong, GAO Hua. A Two-Step Solution Method for the Co-seismic Slip Distribution Inversion of Earthquake Faults in Geodesy[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2019, 44(9): 1265-1273, 1311. doi: 10.13203/j.whugis20170382
Citation: WANG Leyang, ZHAO Xiong, GAO Hua. A Two-Step Solution Method for the Co-seismic Slip Distribution Inversion of Earthquake Faults in Geodesy[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2019, 44(9): 1265-1273, 1311. doi: 10.13203/j.whugis20170382
  • 大地测量反演是大地测量学科深入地球科学研究领域的核心手段,利用大地测量资料反演地震震源机制是地学领域的前沿研究热点[1]。大地测量地震反演的主要目的是通过大地测量技术获得地表形变位移,再利用反演算法求解地震震源参数。由于大地测量数据观测面广、精度高、反演出的滑动分布结果精细、全面,故基于大地测量观测资料(GPS、合成孔径雷达干涉数据等)反演同震滑动分布是当今国内外许多学者研究震源参数的重要手段[2-5]

    在震源机制研究中,位错模型是反演震源参数的有效模型[6-7]。利用弹性半空间均匀矩形位错模型反演地震震源参数,通常包括非线性断层几何参数反演和线性滑动分布反演两个过程[8]。地震同震滑动分布反演是震源位错模型几何参数确定后的线性反演,此时断层滑动量与地表同震位移之间为线性关系。地震同震滑动分布反演通常可以采用一步最小二乘法解法(简称一步解法)[9]或总体最小二乘法[10-13]

    利用一步解法(one-step solution,OSS)和总体最小二乘法进行地震同震滑动分布反演的结果相近,但两种方法往往会低估最大滑动量[14]。针对此问题,本文在文献[15]两步解法的基础上,引入拉普拉斯二阶平滑矩阵[16]构成第一步解中的正则化矩阵,在求得滑动参数的均方误差矩阵的逆矩阵后,取其与第一步解中正则化矩阵非零元素对应位置的元素构成第二步解的正则化矩阵。首先将此方法应用于同震滑动分布反演并进行系统模拟实验,然后将该方法应用于2013年芦山Mw7.0实际震例,探讨两步解法在地震同震滑动分布反演中的可行性与优势。

    • 在地震同震滑动分布反演过程中,地表同震位移与断层滑动量之间为线性关系,可以表示为[1]

      $$ \mathit{\boldsymbol{d}} = \mathit{\boldsymbol{Gm}} + \mathit{\boldsymbol{\varepsilon }} $$ (1)

      式中,G为格林函数矩阵;d为地表形变数据;m为滑动参数向量,在同震滑动分布反演中需要加入非负约束条件来解决整个断层面上出现反向滑动的问题,故本文令m中的元素均大于0;$\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}$为随机观测误差。根据Tikhonov正则化原理,相应的准则为:

      $$ {\left\| {\mathit{\boldsymbol{Gm}} - \mathit{\boldsymbol{d}}} \right\|^2} + \alpha {\mathit{\boldsymbol{m}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{R}}_1^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{R}}_1}\mathit{\boldsymbol{m}} = {\rm{min}} $$ (2)

      式中,$\mathit{\boldsymbol{R}}_1^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{R}}_1}$为正则化矩阵;$\left\| \cdot \right\|$为二范数;$\alpha $为正则化参数,一般可以通过拟合残差和模型粗糙度之间的折中曲线来确定[17-18]

      本文将文献[15]提出的两步解法(two-step solution,TSS)进行改进,文献[15]第一步解采取的正则化矩阵为单位矩阵I,而本文第一步解采取的正则化矩阵T是由拉普拉斯二阶平滑矩阵H构成(其中$\mathit{\boldsymbol{T}} = {\mathit{\boldsymbol{H}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{H}}$,实为关于主对角线对称的均匀对称矩阵)。第一步解的正则化参数${\alpha _1}$可通过L曲线法求得,则由文献[15]知第一步解的滑动参数解可表达如下:

      $$ {\mathit{\boldsymbol{m}}_1} = {\left( {{\mathit{\boldsymbol{G}}^{\rm{{\rm T}}}}\mathit{\boldsymbol{G}} + {\alpha _1}\mathit{\boldsymbol{T}}} \right)^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{G}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{d}} $$ (3)

      对应的均方误差矩阵为[19]

      $$ \mathit{\boldsymbol{{A}}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{m}}_1}} \right) = \hat \sigma _0^2{\left( {{\mathit{\boldsymbol{G}}^{\rm{{\rm T}}}}\mathit{\boldsymbol{G}} + {\alpha _1}\mathit{\boldsymbol{T}}} \right)^{ - 1}} $$ (4)

      式中,$\mathit{\boldsymbol{{A}}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{m}}_1}} \right)$表示m1的均方误差矩阵;$\hat \sigma _0^2$为单位权方差估值。

      文献[15]两步解法的第二步解是将第一步解得到的均方误差矩阵求逆,取对角元素构成第二步解的正则化矩阵。由于文献[15]第一步解的正则化矩阵由单位矩阵构成,而本文第一步解的正则化矩阵T由拉普拉斯二阶平滑矩阵构成,故本文将第一步解的均方误差矩阵求逆后,取与第一步解的正则化矩阵中非零元素位置对应的元素构成第二步解的正则化矩阵R。相应的第二步解的正则化参数α2的值会影响观测数据的拟合程度以及相邻断层块间梯度的约束程度,α2可用L曲线法求取,则第二步解的滑动参数解可表达为:

      $$ {\mathit{\boldsymbol{m}}_2} = {\left( {{\mathit{\boldsymbol{G}}^{\rm{{\rm T}}}}\mathit{\boldsymbol{G}} + {\alpha _2}\mathit{\boldsymbol{R}}} \right)^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{G}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{d}} $$ (5)

      相应的均方误差矩阵为:

      $$ \mathit{\boldsymbol{A}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{m}}_2}} \right) = \hat \sigma _0^2{\left( {{\mathit{\boldsymbol{G}}^{\rm{{\rm T}}}}\mathit{\boldsymbol{G}} + {\alpha _2}\mathit{\boldsymbol{R}}} \right)^{ - 1}} $$ (6)

      式中,R为两步解法第二步解对应的正则化矩阵。

      两步解法的本质是在第二步解中选择一个比第一步解更合适的正则化矩阵,从而使反演结果有所改善[15]

    • 在利用Tikhonov正则化法求解过程中,正则化参数一般大于0,在此情况下, 若m1的均方误差B(m1)大于m2的均方误差B(m2),则可说明两步解法在均方根误差意义下的反演结果要优于一步解法。由于均方根误差为均方误差的算术平方根,在比较大小时,均方误差可以有效地代表均方根误差的大小,为了便于公式推导,本文采用均方误差进行公式推导。

      根据两步解法的定义可知,$\mathit{\boldsymbol{R}} = {\mathit{\boldsymbol{T}}_1} + {\alpha _1}\mathit{\boldsymbol{T}}$,此处T1为${{\mathit{\boldsymbol{G}}^{\rm{{\rm T}}}}\mathit{\boldsymbol{G}}}$中与T中非0位置对应的元素;设单位权方差为1,由于${{\mathit{\boldsymbol{G}}^{\rm{{\rm T}}}}\mathit{\boldsymbol{G}}}$非负正定,所以${\rm{tr}}\left( \mathit{\boldsymbol{R}} \right) > {\rm{tr}}\left( \mathit{\boldsymbol{T}} \right)$。设T的特征值为${T_1}, {T_2} \cdots {T_n}$,R的特征值为${R_1}, {R_2} \cdots {R_n}$,${{\mathit{\boldsymbol{G}}^{\rm{{\rm T}}}}\mathit{\boldsymbol{G}}}$矩阵的特征值为${\lambda _1}, {\lambda _2} \cdots {\lambda _n}$,且${\lambda _i} > 0$。由式(4)、式(6)及文献[20]得到m1m2的均方误差为:

      $$ B\left( {{\mathit{\boldsymbol{m}}_1}} \right) = {\rm{tr}}\left( {\mathit{\boldsymbol{A}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{m}}_1}} \right)} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{{\lambda _i} + {\alpha _1}{T_i}}}} $$ (7)
      $$ B\left( {{\mathit{\boldsymbol{m}}_2}} \right) = {\rm{tr}}\left( {\mathit{\boldsymbol{A}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{m}}_2}} \right)} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{{\lambda _i} + {\alpha _2}{R_i}}}} $$ (8)

      令${\rm{\Delta }}k = B\left( {{\mathit{\boldsymbol{m}}_1}} \right) - B\left( {{\mathit{\boldsymbol{m}}_2}} \right)$,由式(7)、式(8)可知:

      $$ {\rm{\Delta }}k = \frac{{{\alpha _2}{R_i} - {\alpha _1}{T_i}}}{{\left( {{\lambda _i} + {\alpha _1}{T_i}} \right)\left( {{\lambda _i} + {\alpha _2}{R_i}} \right)}} $$ (9)

      式中,n为正则化矩阵R中的特征值个数。若${\rm{\Delta }}k > 0$,说明两步解法在均方根误差意义下的反演精度优于一步解法,优势条件讨论如下:

      1)若${R_i} > \frac{{{\alpha _1}}}{{{\alpha _2}}}{T_i}$,${\lambda _i} + {\alpha _1}{T_i} > 0$,${\lambda _i} + {\alpha _2}{T_i} > 0$,即当${R_i} > \frac{{{\alpha _1}}}{{{\alpha _2}}}{T_i}$,${\lambda _i} > - {\alpha _1}{T_i}$时,${\rm{\Delta }}k > 0$。

      2)若${R_i} > \frac{{{\alpha _1}}}{{{\alpha _2}}}{T_i}$,${\lambda _i} + {\alpha _1}{T_i} < 0$,${\lambda _i} + {\alpha _2}{T_i} < 0$,即当${R_i} > \frac{{{\alpha _1}}}{{{\alpha _2}}}{T_i}$,${\lambda _i} < - {\alpha _2}{R_i}$时,${\rm{\Delta }}k > 0$。

      3)若${R_i} > \frac{{{\alpha _1}}}{{{\alpha _2}}}{T_i}$,${\lambda _i} + {\alpha _1}{T_i} > 0$,${\lambda _i} + {\alpha _2}{T_i} < 0$,即当${R_i} < \frac{{{\alpha _1}}}{{{\alpha _2}}}{T_i}$,$ - {\alpha _1}{T_i} < {\lambda _i} < - {\alpha _2}{R_i}$时,${\rm{\Delta }}k > 0$。

      综上可以看出,当${R_i} > \frac{{{\alpha _1}}}{{{\alpha _2}}}{T_i}$,${\lambda _i} > - {\alpha _1}{T_i}$或${\lambda _i} < - {\alpha _2}{R_i}$以及当${R_i} < \frac{{{\alpha _1}}}{{{\alpha _2}}}{T_i}$,$ - {\alpha _1}{T_i} < {\lambda _i} < - {\alpha _2}{R_i}$时,${\rm{\Delta }}k > 0$,此时两步解法的反演结果在均方根误差意义下要优于一步解法。

    • 为了验证本文方法的可行性,进行了系统模拟实验,模拟实验1~6的预设参数见表 1。模拟GPS三方向观测点如图 1所示,并给形变点施加观测误差E(0,32 mm2)。

      表 1  模拟实验预设模型参数

      Table 1.  Default Model Parameters for Simulation Experiments

      预设参数 实验1 实验2 实验3 实验4 实验5 实验6
      断层块边长/km 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 2
      最大滑动量/m 1.472 1.472 1.472 1.472 1.472 1.500
      平均滑动量/m 0.3104 0.3104 0.3104 0.3104 0.3104 0.3105
      滑动角/(°) 43 43 43 43 65 43
      断层走向/(°) 70 55 70 70 70 70
      断层倾向/(°) 50 50 65 50 50 50
      震源深度/km 12.5 12.5 12.5 10.8 12.5 12.5
      矩震级 Mw6.582 Mw6.582 Mw6.582 Mw6.582 Mw6.582 Mw6.583

      图  1  GPS三方向模拟观测点

      Figure 1.  Simulated Observation Points of GPS Three Directions

      利用L曲线法确定模拟实验1~6的正则化参数α1α2,其中TSS法第一步解法中的正则化参数与OSS法正则化参数一致,本文以模拟实验1的L曲线图为例进行展示,如图 2所示。

      图  2  利用L曲线法确定正则化参数

      Figure 2.  Regularization Parameters Determined by L-curve Method

      模拟实验1~6分别利用OSS法及TSS法反演的结果见表 2,两种方法反演结果与真值的差值以及TSS法较OSS法的提升程度见表 3,两种方法反演同震滑动分布如图 3所示。

      表 2  模拟实验两种方法反演结果

      Table 2.  Inversion Results of Two Methods for Simulation Experiments

      方法 参数 实验1 实验2 实验3 实验4 实验5 实验6
      OSS法 最大滑动量/m 1.250 1.240 1.196 1.249 1.207 1.312
      平均滑动量/m 0.318 0.321 0.322 0.320 0.324 0.318
      矩震级 Mw6.589 Mw6.592 Mw6.593 Mw6.591 Mw6.594 Mw6.589
      均方根误差/mm 3.0 3.1 3.1 3.1 3.0 3.0
      平滑因子α1 0.28 0.3 0.18 0.27 0.29 0.25
      TSS法 最大滑动量/m 1.388 1.334 1.373 1.378 1.371 1.423
      平均滑动量/m 0.311 0.313 0.315 0.315 0.314 0.310
      矩震级 Mw6.583 Mw6.585 Mw6.587 Mw6.586 Mw6.586 Mw6.582
      均方根误差/mm 2.8 2.8 2.9 2.9 2.8 2.8
      平滑因子α1/α2 0.28/0.28 0.28/0.24 0.18/0.25 0.27/0.25 0.29/0.23 0.25/0.22

      表 3  模拟实验两种方法反演结果与真值的比较

      Table 3.  Comparison of the Inversion Results of Two Methods with True Values for Simulation Experiments

      方法 参数 实验1 实验2 实验3 实验4 实验5 实验6
      OSS法 最大滑动量/m 0.222 0.232 0.276 0.224 0.266 0.188
      平均滑动量/m 0.007 0.011 0.012 0.009 0.013 0.007
      TSS法 最大滑动量/m 0.084 0.138 0.099 0.094 0.101 0.077
      平均滑动量/m 0.001 0.003 0.005 0.004 0.004 0
      TSS较OSS提升比 最大滑动量/% 9.37 6.38 12.05 8.80 11.16 7.38
      平均滑动量/% 2.02 2.74 2.23 1.71 3.06 2.29
      均方根误差/% 10.00 6.67 6.67 6.67 6.67 6.67

      图  3  模拟实验同震滑动分布反演结果

      Figure 3.  Inversion Results of Co-seismic Slip Distribution for Simulation Experiments

      表 2表 3可以看出,对于最大滑动量,TSS法的反演结果较一步解法的精度提高6.5%~12.5%;对于平均滑动量,TSS法较OSS法精度提高2%~4%;对于矩震级参数,TSS法反演结果比OSS法反演结果更接近真值,但两种方法差值相差不大。对于均方根误差,TSS法的反演结果均小于OSS法,进一步表明本文TSS法的反演精度要优于OSS法。

      两种方法的本质区别在于选取的正则化矩阵不同,OSS法选取的正则化矩阵为T,而TSS法所选取的正则化矩阵为RTR之间的关系见§1.2两步解法性质)。§1.2的优势条件与两种方法所选取的正则化矩阵的特征值(TiRi)、矩阵${{\mathit{\boldsymbol{G}}^{\rm{{\rm T}}}}\mathit{\boldsymbol{G}}}$的特征值${{\lambda _i}}$以及所选取的正则化参数α1α2有关。对于本文的6组模拟实验,分别计算两种方法所选取的正则化矩阵与矩阵${{\mathit{\boldsymbol{G}}^{\rm{{\rm T}}}}\mathit{\boldsymbol{G}}}$的特征值TiRi、${{\lambda _i}}$,求出在6组实验中TiRiα1α2之间的关系均为${R_i} > \frac{{{\alpha _1}}}{{{\alpha _2}}}{T_i}$,满足§1.2两步解法性质中所推导的TSS法在均方误差条件下的反演结果优于OSS法的优势条件1)、2)。

      已知TiRi、${{\lambda _i}}$构成的3个矩阵为对角矩阵,且对角线上的元素为特征值。矩阵维度与断层块数有关,实验1~5的特征值构成的矩阵维度均为800×800,实验6的特征值构成的矩阵维度为450×450,则实验1~6中TiRi、${{\lambda _i}}$、α1α2与TSS法在均方根误差下优于OSS法条件的关系见表 4

      表 4  模拟实验特征值位置与TSS法优势条件之间的关系

      Table 4.  Relationship Between the Location of Eigenvalues and the Dominant Conditions of TSS Method in Simulation Experiments

      条件 特征值位置
      实验1 实验2 实验3 实验4 实验5 实验6
      满足${\lambda _i} < - {\alpha _2}{R_i}$ 1~737 1~739 1~739 1~739 1~738 1~387
      满足${\lambda _i} > - {\alpha _1}{T_i}$ 762~800 767~800 761~800 763~800 763~800 411~450
      注:特征值位置是指在特征值矩阵中特征值沿着对角线从左上到右下排列所对应的位置

      由于在模拟实验1~6中,TiRiα1α2之间的关系均满足${R_i} > \frac{{{\alpha _1}}}{{{\alpha _2}}}{T_i}$,故表 4只考虑了特征值的位置与§1.2推导出的TSS法优势条件1)、2)之间的关系。由表 4可知,在模拟实验1~6中,当特征值的位置i分别位于1~737、1~739、1~739、1~739、1~738、1~387时,TiRi、${{\lambda _i}}$、α1α2之间的关系满足§1.2推导的TSS法优势条件2);当i的位置分别位于762~800、767~800、761~800、763~800、763~800、411~450时,TiRi、${{\lambda _i}}$、α1α2之间的关系满足§1.2推导的TSS法优势条件1);当i的位置分别位于738~761、740~766、740~760、740~762、739~762、388~410时,TiRi、${{\lambda _i}}$、α1α2之间的关系不符合§1.2推导的TSS法3个优势条件,但由于其数量相对于特征值总数(800和450)来说较少,且在数值上与其他特征值相差不大,所以没有影响到最终整体${\rm{\Delta }}k$大于0的结果。由表 4可知,将TSS法用于地震同震滑动分布反演中,因其正则化矩阵R与OSS法所采用的正则化矩阵T之间的关系为$\mathit{\boldsymbol{R}} = {\mathit{\boldsymbol{T}}_1} + {\alpha _1}\mathit{\boldsymbol{T}}$,故在反演过程中TSS法易满足在均方根误差意义下优于OSS法。

      为进一步探讨本文方法在最大滑动量与均方根误差意义下较OSS法反演结果有所提高与各断层参数变化之间的规律,分别在断层走向(0°~360°)每间隔20°取值,断层倾向(0°~90°)每间隔15°取值,滑动角(-180°~180°)每间隔30°取值,断层顶深(0~20 km)每间隔2 km取值,以及在断层块边长分别取值1.0 km、1.5 km、2.0 km、3.0 km进行滑动分布反演,最终最大滑动量与均方根误差随各断层参数的变化曲线如图 4所示。

      图  4  改变断层参数对最大滑动量和均方根误差的影响

      Figure 4.  Influence of Changing the Fault Parameters of the Maximum Slip and the Root Mean Square Error

      图 4可以看出,无论断层参数怎样变化,TSS法的反演结果在最大滑动量和均方根误差意义下均要优于OSS法。对于最大滑动量,随着各断层参数的变化,TSS法的反演结果较OSS法的反演精度提高3.34%~19%。对于均方根误差,TSS法的反演精度较OSS法减少3.3%~13.3%。模拟实验反演结果表明,两步解法在最大滑动量、平均滑动量、矩震级以及均方根误差等参数反演精度上较一步解法有所提高,尤其是最大滑动量的提升比较明显,这可能与TSS法确定的正则化矩阵较OSS法更适应于反演模型有关。

    • 本文从文献[5]中获取2013年芦山地震的GPS三维形变数据,利用文献[10]非线性反演得到的芦山地震断层参数来固定断层破裂面,在此基础上将断层破裂面沿断层走向、倾向设置断层面长和宽均为51 km,并将破裂面延伸至地表,将断层面均匀剖分成1.5 km×1.5 km大小的矩形单元,利用本文两种方法(OSS法、TSS法)进行反演,并计算两种方法反演结果的数据拟合度,公式为:

      $$ M = 1 - \sqrt {\frac{{\sum\limits_{i = 1}^N {{{\left( {{d_i} - d_{^i}^{\rm{*}}} \right)}^2}} }}{{\sum\limits_{i = 1}^N {d_i^2} }}} $$ (10)

      式中,M表示数据拟合度;di表示第i个地表观测位移值;${d_{^i}^{\rm{*}}}$表示模型反演计算出的第i个地表位移值;N表示观测值个数。

      本文两种方法的最优正则化参数分别为α1=0.19,α2=0.41。两种方法反演的芦山地震水平方向形变与水平方向观测形变如图 5所示,滑动分布反演结果如图 6所示,两种方法与国内外部分学者研究芦山地震的滑动参数结果见表 5

      图  5  芦山地震水平方向观测形变

      Figure 5.  Observation Deformation in the Horizontal Direction of Lushan Earthquake

      图  6  芦山地震同震滑动分布反演结果

      Figure 6.  Inversion Results of Co-seismic Slip Distribution of Lushan Earthquake

      表 5  芦山地震断层几何参数及滑动参数

      Table 5.  Geometric Parameters and Slip Parameters of Lushan Earthquake Fault

      来源 滑动角/(°) 最大滑动量/m 断层长度/m 矩张量/(1019 N·m) 矩震级 数据拟合度
      均匀滑动 80.13 0.75 21.94 0.72 Mw6.54
      TSS法 70.62 0.65 51 1.19 Mw6.68 0.763
      OSS法 70.37 0.55 51 1.07 Mw6.65 0.741
      文献[21] 71 0.91 31.2 0.53 Mw6.45
      文献[22] 1.59 1.54 Mw6.7
      文献[23] 71 0.61 46 0.95 Mw6.6
      USGS 93 Mw6.5
      CENC 95
      注:USGS为美国地质调查局(United States Geological Survey),CENC为中国地震台网中心(China Earthquake Networks Center)

      图 5可以看出,TSS法反演的芦山地震水平方向形变较OSS法反演结果与观测形变拟合程度更高,更能真实地反映芦山地震水平方向观测形变,反演效果更好。表 5给出了2013年芦山地震Mw7.0级地震震源参数的研究成果[21-23]。从表 5中可以看出,本文方法反演的最大滑动量为0.65 m,略大于OSS法的反演结果,这可能与两种方法反演时对应的正则化矩阵有关。文献[22]综合地震震源机制及断层的地质构造资料确定出断层的位置、走向、倾角等参数,反演出的最大滑动量为1.59 m,文献[23]反演得到的最大滑动量为0.61 m,其结果也小于通过格网搜索法均匀反演得到的0.70 m。从图 6(c)6(d)6(g)6(h)可以看出,芦山地震在垂直方向的滑动比水平方向上的滑动更大一些;从反演结果得到的矩震级和矩张量来看,本文方法反演的矩张量为1.19×1019N·m,对应的矩震级为Mw6.68,与OSS法的反演结果相近。均匀滑动反演的矩张量和矩震级分别为0.72×1019N·m、Mw6.54,均匀滑动将断层面看作均匀整体,所以可能遗漏了细节滑动,导致整体矩张量偏小。而文献[22]反演的矩张量及矩震级分别为1.54×1019N·m、Mw6.7,相比其他几位学者反演的矩张量和矩震级更大。从以上分析可以看出,由于数据来源和预设的断层位置、走向、倾向、断层单元大小等参数不同,导致最后反演得出的矩震级、最大滑动量等参数结果出现差异。总之,本文方法反演的参数结果均在其他学者的反演范围内,表明利用两步解法进行地震同震滑动分布反演是可行的。

    • 本文将文献[15]提出的用于解决病态问题的两步解法应用到地震同震滑动分布反演中,改善了系数格林矩阵的病态问题,同时很好地抑制了相邻断层面间出现大的梯度变化,为地震同震滑动分布反演增加了一条新的途径。

      本文推导了在均方根误差意义下利用两步解法进行地震同震滑动分布反演结果优于一步解法的条件,通过系统的模拟实验证实了在均方根误差意义下两步解法的优势条件易于实现,这可能与两步解法反演中正则化矩阵的特殊构造有关。此外,系统模拟算例与芦山实际地震算例均证实了利用两步解法进行地震同震滑动分布反演是合理的,且模拟实验的反演结果表明,两步解法在最大滑动量、平均滑动量、矩震级以及均方根误差等参数反演精度上较一步解法有所提高,尤其是最大滑动量的提升比较明显,这可能与两步解法所构建的正则化矩阵较一步解法更适应反演模型有关,至于更具体的原因有待于进一步的探索与研究。

参考文献 (23)

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