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三轴磁力仪常被用在地磁导航、磁目标追踪、未爆物探测等方面[1-3]，但受制造安装工艺、敏感轴电气性不一致及零点偏移等因素影响，磁力仪本身存在三轴非正交、敏感轴灵敏度不一致及零偏误差等性能缺陷，使得磁测的准确性受到较大影响。例如，在地磁场环境中，如果磁力仪三轴正交误差达到1°，则由正交误差所引起的磁场测量误差将达数百nT之多[4]。为获得准确的磁场数据，在使用之前有必要对三轴磁力仪进行相应的标定。
椭球模型[5-7]是人们开展三轴磁力仪标定工作时常用的一种数学模型，建立该模型的理论依据是在均匀的磁场环境中，理想三轴磁力仪在各姿态下所测得的总磁场强度对应到空间方位角时是呈球面分布的，但由于受到磁力仪三轴非正交、敏感轴灵敏度不一致及零偏误差的影响，未标定过的磁力仪测得的总磁场强度对应到空间方位角时是呈椭球面分布的。若能得到椭球面的位置和形状参数，即可实现对磁力仪标定参数的求解，从而实现磁测性能的校正。此外，还可以借助光泵等高精度磁测工具测得当地磁场值作为参考量，利用非线性优化方法实现对标定参数的求解。在以上两种不同的求解模型的基础上，人们研究了很多参数求解方法，例如最大似然估计法[8]、两步估计法[9-10]、高斯-牛顿法[11]、神经网络法[12]、卡尔曼滤波法[13]、非线性最小二乘法[14-15]等参数优化方法均可实现对磁力仪标定参数的求解。但这些优化方法多需要通过迭代计算来完成参数的非线性优化求解，计算过程较为复杂。
为避免求解磁力仪标定参数时进行非线性优化过程，本文提出了一种基于正弦拟合的三轴磁力仪标定方法，将三轴磁力仪沿平面旋转时的三轴输出数据拟合成正弦曲线，利用正弦曲线的幅值、初相角和平移量直接计算标定参数，从而实现对磁力仪的标定和三轴磁测数据的补偿。
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如图 1所示，建立直角坐标系O-XYZ，未经校准的三轴磁力仪的Xm轴与坐标系的X轴重合，Ym轴在OXY平面内，Ym轴与Y轴的夹角为α，Zm轴与X（Xm）轴的夹角记为φ，Zm轴与Z轴的夹角记为γ，Zm轴在OXY面上的投影与X轴的夹角记为β。
图 1 磁力仪三轴指向示意图
Figure 1. Diagram of Magnetometer Three-Axis Directions
在磁场强度为B的环境中，理想情况下，三轴相互正交的磁力仪输出为$B=\left( {{B}_{x}},{{B}_{y}},{{B}_{z}} \right)$，由于磁力仪三轴非正交、各轴灵敏度不一致以及各轴零偏误差的存在，三轴磁测输出可表示为：
$$ \left[ \begin{matrix} {{B}_{xm}} \\ {{B}_{ym}} \\ {{B}_{zm}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{k}_{x}} & 0 & 0 \\ {{k}_{y}}\text{sin}\alpha & {{k}_{y}}\text{cos}\alpha & 0 \\ {{k}_{z}}\text{cos}\beta \text{sin}\gamma & {{k}_{z}}\text{sin}\beta \text{sin}\gamma & {{k}_{z}}\text{cos}\gamma \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{B}_{x}} \\ {{B}_{y}} \\ {{B}_{z}} \\ \end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} {{B}_{x0}} \\ {{B}_{y0}} \\ {{B}_{z0}} \\ \end{matrix} \right] $$ (1) 式中，α、β、γ是用来描述磁力仪三轴非正交角的参数；kx、ky、kz为描述磁力仪三轴敏感度的灵敏度系数；Bx0、By0、Bz0为磁力仪三轴零偏误差。根据式（1）有：
$$ \left[ \begin{matrix} {{B}_{x}} \\ {{B}_{y}} \\ {{B}_{z}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{k}_{11}} & {{k}_{12}} & {{k}_{13}} \\ {{k}_{21}} & {{k}_{22}} & {{k}_{23}} \\ {{k}_{31}} & {{k}_{32}} & {{k}_{33}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{B}_{xm}}-{{B}_{x0}} \\ {{B}_{ym}}-{{B}_{y0}} \\ {{B}_{zm}}-{{B}_{z0}} \\ \end{matrix} \right] $$ (2) 式中，系数kij（i, j=1, 2, 3）为中间过程计算参数，可由非正交角和灵敏度系数联合计算得到。计算得到式（1）中的α、β、γ、kx、ky、kz、Bx0、By0、Bz0这9个标定参数，即可以实现对三轴磁力仪的标定及磁测数据的补偿。
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在均匀的磁场环境中，将三轴磁力仪固定在无磁旋转平台上，使面$O{{X}_{m}}{{Y}_{m}}$平行于水平面（见图 2），等角度间隔转动旋转平台，对应不同的旋转角取一组磁测数据$\left( {{B}_{xmi}},{{B}_{ymi}},{{B}_{zmi}} \right)$，记磁力仪三轴输出数据为$\left[ {{B}_{xm1}},{{B}_{xm2}}\cdots \right]$、$\left[ {{B}_{ym1}},{{B}_{ym2}}\cdots \right]$、$\left[ {{B}_{zm1}},{{B}_{zm2}}\cdots \right]$。
图 2 OXmYm面的旋转示意图
Figure 2. Diagram of OXmYm Plane Rotating
B在水平面上的投影为${{B}_{xy}}=B\text{cos}I$（I是地磁倾角），理想情况下，Xm、Ym轴的输出应满足曲线：
$$ \left\{ \begin{matrix} {{B}_{xm}}={{B}_{xy}}\text{sin}\left( \theta +{{\theta }_{x}} \right) \\ {{B}_{ym}}={{B}_{xy}}\text{sin}\left( \theta +{{\theta }_{y}} \right) \\ \end{matrix} \right. $$ (3) 式中，Bxy为磁场B在OXY平面上的投影；θ为转动角；对相位角θx和θy有|θx-θy |=90°。
受磁力仪三轴非正交、灵敏度不一致及零偏误差的影响，实际上Xm、Ym轴的输出分别对应曲线：
$$ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{B}_{xm}}={{B}_{xmy}}\text{sin}\left( \theta +{{\theta }_{x0}} \right)+{{B}_{xm0}} \\ {{B}_{ym}}={{B}_{ymx}}\text{sin}\left( \theta +{{\theta }_{y0}} \right)+{{B}_{ym0}} \\ \end{array} \right. $$ (4) 式中，Bxym、Bymx分别为Xm、Ym轴的输出曲线幅值；θx0、θy0为曲线的初相位；Bxm0、Bym0为曲线的平移量。相位角θx0、θy0的差值即是磁力仪Xm轴和Ym轴之间的夹角，曲线位置的平移量Bxm0、Bym0即是磁力仪Xm轴和Ym轴的零偏误差。Xm轴和Ym轴之间的非正交角为:
$$ \alpha =\left| {{\theta }_{y0}}-{{\theta }_{x0}}-90{}^\circ \right| $$ (5) Xm轴和Ym轴的零偏误差分别为：
$$ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{B}_{x0}}={{B}_{xm0}} \\ {{B}_{y0}}={{B}_{ym0}} \\ \end{array} \right. $$ (6) 对于Xm轴和Ym轴的灵敏度系数kx、ky，其比例关系为：
$$ {{k}_{yx}}=\frac{{{k}_{y}}{{B}_{xy}}}{{{k}_{x}}{{B}_{xy}}}=\frac{{{B}_{xmy}}}{{{B}_{ymx}}} $$ (7) 图 1中的夹角β可根据Xm轴、Zm轴对应拟合曲线的初始相位角θz0、θx0计算得到。若Zm轴的输出Bzm保持不变，则Zm轴是垂直于OXm Ym平面的，此时β=γ=0；若Bzm的大小随转动发生变化，根据式（1）有：
$$ \begin{matrix} {{B}_{zm}}={{k}_{z}}\left( {{B}_{x}}\text{cos}\beta +{{B}_{y}}\text{sin}\beta \right)\text{sin}\gamma +{{k}_{z}}{{B}_{z}}\text{cos}\gamma +{{B}_{z0}}= \\ {{k}_{z}}\left( {{B}_{xy}}\text{sin}\left( \theta +{{\theta }_{x0}} \right)\text{cos}\beta +{{B}_{xy}}\text{cos}\left( \theta +{{\theta }_{x0}} \right)\text{sin}\beta \right)\text{sin}\gamma + \\ {{k}_{z}}{{B}_{z}}\text{cos}\gamma +{{B}_{z0}}= \\ {{k}_{z}}{{B}_{xy}}\text{sin}\left( \theta +{{\theta }_{x0}}+\beta \right)\text{sin}\gamma +{{k}_{z}}{{B}_{z}}\text{cos}\gamma +{{B}_{z0}}= \\ A\text{sin}\left( \theta +{{\theta }_{x0}}+\beta \right)+{{C}_{0}}= \\ A\text{sin}\left( \theta +{{\theta }_{z0}} \right)+{{C}_{0}} \\ \end{matrix} $$ (8) Zm轴的输出Bzm在OXm Ym平面上的投影为Bzmxy=Bzm sinγ，相当于只对Bzm的大小作压缩变化，不改变其初相位角θz0的大小，则Zm轴在OXm Ym面上的投影与Xm轴的夹角为：
$$ \beta =\left| {{\theta }_{z0}}-{{\theta }_{x0}} \right| $$ (9) 如图 3所示，翻转磁力仪，将OXmZm平面水平固定在无磁旋转平台上，按照同样的方法旋转记录磁测数据，记此时的三轴输出为(Bxm2, Bym2, Bzm2)。类似地，拟合得到Xm轴、Zm轴的输出曲线为：
图 3 OXmZm面的旋转示意图
Figure 3. Diagram of OXmZm Plane Rotating
$$ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{B}_{xm2}}={{B}_{xmz}}\text{sin}\left( \theta +\theta {{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}_{x0}} \right)+{{B}_{xm0}} \\ {{B}_{zm2}}={{B}_{zmx}}\text{sin}\left( \theta +\theta {{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}_{z0}} \right)+{{B}_{zm0}} \\ \end{array} \right. $$ (10) 式中，Bxmz、Bzmx分别为Xm轴、Zm轴的输出曲线的幅值；θ'x0、θ'z0为曲线初相位；Bxm0、Bzm0为曲线平移量。则Zm轴的零偏误差为：
$$ {{B}_{z0}}={{B}_{zm0}} $$ (11) Xm轴与Zm轴的夹角为：
$$ \varphi =\left| \theta {{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}_{x0}}-\theta {{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}_{z0}} \right| $$ (12) 结合图 1，有cosφ=cosβsinγ，则：
$$ \gamma =\text{arcsin}\left( \text{cos}\varphi /\text{cos}\beta \right) $$ (13) Xm轴、Zm轴的灵敏度系数kx、kz之间的比例关系为：
$$ {{k}_{zx}}=\frac{{{k}_{z}}{{B}_{xz}}}{{{k}_{x}}{{B}_{xz}}}=\frac{{{B}_{zmx}}}{{{B}_{xmz}}} $$ (14) 由式（1）可得：
$$ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{k}_{x}}{{B}_{x}}={{B}_{xm}}-{{B}_{x0}} \\ {{k}_{y}}{{B}_{y}}=\left( {{B}_{ym}}-{{B}_{y0}}-{{k}_{yx}}{{k}_{x}}{{B}_{x}}\text{sin}\alpha \right)/\text{cos}\alpha \\ {{k}_{z}}{{B}_{z}}=\begin{array}{*{35}{l}} ({{B}_{zm}}-{{B}_{z0}}-{{k}_{zx}}{{k}_{x}}{{B}_{x}}\text{cos}\beta \text{sin}\gamma - \\ \left( {{k}_{zx}}/{{k}_{yx}} \right){{k}_{y}}{{B}_{y}}\text{sin}\beta \text{sin}\gamma )/\text{cos}\gamma \\ \end{array} \\ \end{array} \right. $$ (15) 此时，式（15）等式右侧的数据已经能够计算得到，再联立式（7）、式（14）和式（15），可得Xm轴的灵敏度系数为：
$$ {{k}_{x}}=\sqrt{\left( {{\left( {{k}_{x}}{{B}_{x}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{k}_{y}}{{B}_{y}}}{{{k}_{yx}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{k}_{z}}{{B}_{z}}}{{{k}_{zx}}} \right)}^{2}} \right)/{{B}^{2}}} $$ (16) 将kx代入式（7）和式（14）即可计算出ky、kz。此时，所需的9个标定参数已全部计算得到，标定后的磁力仪三轴输出可修正为：
$$ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{B}_{x}}=\frac{{{B}_{xm}}-{{B}_{x0}}}{{{k}_{x}}} \\ {{B}_{y}}=\frac{{{B}_{ym}}-{{B}_{y0}}-{{k}_{y}}{{B}_{x}}\text{sin}\alpha }{{{k}_{y}}\text{cos}\alpha } \\ {{B}_{z}}=\frac{{{B}_{zm}}-{{B}_{z0}}-{{k}_{z}}{{B}_{x}}\text{cos}\beta \text{sin}\gamma -{{k}_{z}}{{B}_{y}}\text{sin}\beta \text{sin}\gamma }{{{k}_{z}}\text{cos}\gamma } \\ \end{array} \right. $$ (17) -
设磁力仪三轴非正交角分别为α=1.35°、β=32.7°，γ=1.07°，三轴灵敏度系数分别为kx=0.909，ky=1.146，kz=1.103，三轴零偏误差分别为Bx0=143 nT，By0=97.4 nT，Bz0=123.7 nT，地磁场强度B=50 000 nT，地磁倾角I=43°。
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将磁力仪的OXmYm面水平固定在旋转平面上，转动旋转平台记录磁力仪的三轴输出数据，并将三轴磁测数据拟合成Asin(θ+C)+D（其中，A为曲线幅值，θ为转动角，C为初相位，D为曲线上下偏移量）的曲线形式，拟合后的三轴输出曲线如图 4所示。
由图 4可以看出，测量数据点基本都分布在拟合曲线上，两者的吻合度较好。对应的Xm、Ym、Zm三轴输出数据的拟合曲线描述方程为：
$$ \left\{ \begin{align} & {{B}_{xm1}}=33\ 240.0\text{sin}\left( \theta +90{}^\circ \right)+143.0 \\ & {{B}_{ym1}}=41\ 906.6\text{sin}\left( \theta +178.65{}^\circ \right)+97.4 \\ & {{B}_{zm1}}=753.2\sin \left( \theta +122.7{}^\circ \right)+37\ 729.4 \\ \end{align} \right. $$ 根据式（5）~（7）、式（9）可计算得到磁力仪的标定参数分别为α=1.35°，β=32.7°，Bx0=143.0 nT，By0=97.4 nT，kyx =1.260 7。
改变三轴磁力仪的放置姿态，使OXmZm面水平固定于旋转平台上，转动平台，记录磁测数据，并将Xm轴和Zm轴的输出数据拟合成相应的正弦曲线，如图 5所示。
由图 5可以看出，拟合得到的曲线与原始测量数据的吻合度较好，测量数据基本都分布在拟合曲线上。对应的Xm轴、Zm轴输出数据的拟合曲线描述方程为：
$$ \left\{ \begin{align} & {{B}_{xm2}}=33\ 240.0\text{sin}\left( \theta +90{}^\circ \right)+143.0 \\ & {{B}_{zm2}}=40\ 334.2\text{sin}\left( \theta +0.900\ 4{}^\circ \right)+123.7 \\ \end{align} \right. $$ 根据式（11）~（14），可计算得到磁力仪的标定参数分别为φ=89.999 6°，γ=1.07°，Bz0=123.7 nT，kzx=1.213 4。
结合磁场强度B，再联立式（15）、式（16）可计算得到灵敏度系数kx=0.909，ky=1.146，kz=1.103。此时，所需的9个标定参数已全部得到。
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在得到磁力仪的标定参数后，利用式（17）对测得的磁场三分量进行补偿，补偿后的磁场三分量为Bx、By和Bz。以下分析测量数据中不含和含有测量噪声时的标定参数求解结果及磁场强度补偿结果变化情况。
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利用§3.1中的仿真数据进行计算，在§3.1中，三轴磁力仪的标定参数已计算得到，利用补偿后的三轴输出数据进行磁场强度的计算，补偿前后的计算结果如图 6所示。
图 6 补偿前后的磁场强度曲线
Figure 6. Curves of Magnetic Intensity Before and After the Compensation
由图 6可知，在均匀的磁场环境中，当标定前的磁力仪沿平面转动时，根据测量数据直接计算得到的磁场强度变化幅度很大，磁场强度曲线有较大的波动起伏，偏离真实值可达到5 650 nT；经补偿后，利用三轴输出数据计算得到的磁场强度输出值较为稳定，补偿后的磁场强度曲线基本呈一条直线，补偿后的磁场强度与真实的磁场强度偏差很小。
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在仿真数据中添加白噪声用来模拟测量数据，当测量数据中白噪声均值分别为5 nT、15 nT、25 nT、40 nT时，利用上述方法进行标定参数的求解，计算得到的标定参数见表 1。当仿真数据中含有不同均值的白噪声时，补偿后的磁场强度曲线见图 7。
表 1 白噪声及其对应的标定参数
Table 1. White Noise and Its Corresponding Calibration Parameters
噪声均值/nT α/(°) β/(°) γ/(°) kx ky kz Bx0/nT By0/nT Bz0/nT 5 1.349 32.69 1.071 0.909 1.146 0 1.103 147.77 102.28 128.87 15 1.346 32.64 1.070 0.909 1.146 0 1.103 158.16 112.43 138.99 25 1.361 32.85 1.078 0.909 1.146 1 1.103 170.11 123.46 149.17 40 1.371 32.74 1.082 0.909 1.145 8 1.103 287.23 236.19 266.54 
图 7 测量数据中含有不同白噪声均值时的磁场强度补偿曲线
Figure 7. Magnetic Intensity Compensation Curves with Different White Noises in the Magnetic Measurement Data
由表 1可以看出，3种补偿系数的求解均受测量数据中白噪声的影响。仿真测量数据中含有不同均值的白噪声时，随着测量数据中白噪声均值的增加，磁力仪三轴非正交角、灵敏度系数和零偏误差与真实值之间的偏差均有不同程度的增大。其中，三轴非正交角和灵敏度系数受测量白噪声均值的影响相对较小，零偏误差随白噪声均值的增加而变大的幅度较为明显。
由图 7可以看出，当测量数据中含有白噪声并进行磁力仪的标定参数计算时，利用计算得到的标定参数进行磁场数据的补偿，补偿后的磁场强度与磁场真实值之间有一定的偏差，补偿后的磁场曲线是一条在磁场真实值附近做上下浮动的曲线，白噪声均值不同，补偿后的磁场强度曲线的波动程度也不同。随着白噪声均值由5 nT增加到40 nT，曲线浮动变化的幅值也在增大。
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本文提出了一种基于正弦拟合的三轴磁力仪标定方法，避免了标定参数求解时复杂的非线性优化过程。利用三轴输出的正弦曲线幅值、初相角和上下平移量等信息对磁力仪的非正交角、灵敏度系数和零偏误差等标定参数进行求解，实现了对磁力仪的标定及三轴输出数据的补偿。仿真结果表明，利用该方法可有效实现磁力仪标定参数的求解，标定后的磁力仪磁测性能改善明显，磁测噪声对三轴灵敏度系数及非正交角的反演结果影响较小。
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摘要: 三轴磁力仪是一种常用的磁场测量工具，在地磁导航、海洋磁测、地磁勘探等领域应用较为广泛。作为一种磁场矢量测量工具，三轴磁力仪的磁测误差主要来源于三轴非正交、敏感轴灵敏度不一致及零偏误差等方面，磁力仪的标定优劣影响磁力仪的测量性能。为解决三轴磁力仪的标定问题，建立了磁力仪误差补偿模型，提出了基于正弦拟合的三轴磁力仪标定方法。将磁力仪沿平面旋转时的三轴输出数据拟合成正弦曲线，利用正弦曲线的幅值、初相角和平移量等信息计算出磁力仪的标定参数。仿真结果表明：该方法无需非线性优化过程即可实现标定参数的求解，得到的标定参数与设定值吻合度高；磁测噪声对三轴灵敏度系数及非正交角的计算结果影响较小。Abstract: Three-axis magnetometer is a measuring tool commonly used for magnetic field measurement, which is widely used in geomagnetic navigation, ocean magnetic survey, geomagnetic exploration and other fields. As a magnetic field vector measuring tool, the magnetic measurement error of the three-axis magnetometer mainly comes from three-axis non-orthogonal, sensitivity inconsistency of sensitive axis and zero offset error. The calibration of the magnetometer affects the measurement performance of the magnetometer. In order to solve the calibration problem of three-axis magnetometer, the error compensation model for the magnetometer is established. The calibration method of the three-axis magnetometer based on sine fitting is proposed. The output data of the three-axis magnetometer is fitted into the sine curve when the magnetometer is rotated on a plane. The calibration parameters of the three-axis magnetometer are calculated by using the information of amplitude, initial angle and translational value of sine curve. The simulation results show that the proposed method can solve the calibration problem without the process of nonlinear optimization, and the calculated calibration parameters are in good agreement with the set values. The measurement noise has little effect on the three-axis sensitivity coefficient and the non-orthogonal angle.
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Key words:
- magnetic field measurement /
- three-axis magnetometer /
- calibration /
- sine fitting
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图 6 补偿前后的磁场强度曲线
Figure 6. Curves of Magnetic Intensity Before and After the Compensation
图 7 测量数据中含有不同白噪声均值时的磁场强度补偿曲线
Figure 7. Magnetic Intensity Compensation Curves with Different White Noises in the Magnetic Measurement Data
表 1 白噪声及其对应的标定参数
Table 1. White Noise and Its Corresponding Calibration Parameters
噪声均值/nT α/(°) β/(°) γ/(°) kx ky kz Bx0/nT By0/nT Bz0/nT 5 1.349 32.69 1.071 0.909 1.146 0 1.103 147.77 102.28 128.87 15 1.346 32.64 1.070 0.909 1.146 0 1.103 158.16 112.43 138.99 25 1.361 32.85 1.078 0.909 1.146 1 1.103 170.11 123.46 149.17 40 1.371 32.74 1.082 0.909 1.145 8 1.103 287.23 236.19 266.54 
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