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随着卫星重力测量技术由理论发展到了工程实践，国际上成功实施了地球物理研究和应用挑战微小卫星(Challenging Mini-satellite Payload for Geophysical Research and Application, CHAMP)[1]、重力恢复与气候实验(Gravity Recovery and Climate Experiment, GRACE)[2]、重力和海洋环流探测器(Gravity Field and Steady-State Ocean Circulation Explorer, GOCE)[3] 3项重力测量卫星计划，标志着地球重力场测量技术发生了质的突破，人类进入航天重力测量时代。3颗重力卫星在高精度测量地球重力场方面表现出色，提高了重力场模型的精度和分辨率，其产品在大地测量、地球物理、地震、海洋等领域得到广泛应用。目前，美国、俄罗斯、欧盟等提出并推进更高精度和分辨率的地球重力场探测计划，2018年美国发射了GRACE Follow-on卫星。
重力测量卫星测量重力场的能力与卫星轨道参数、载荷测量精度、数据分辨率、地面反演模型算法等因素密切相关，受到多种要素综合制约。重力卫星轨道参数中的轨道高度、倾角、偏心率是影响其测量能力的核心参数。通常，在重力卫星系统设计方面，需要尽量降低轨道高度，提高重力测量数据的信噪比；将轨道倾角设计接近90°，减小极区空白，实现卫星测量值的全球覆盖；减小偏心率，形成近圆轨道，保证卫星测量数据的空间一致性。此三者均可以有效提升重力卫星的测量能力。重力测量卫星性能也与另一个核心因素——载荷的测量精度密切相关。通常载荷精度越高，重力测量卫星的测量重力场的能力越优。再者，重力测量卫星的测量能力也与数据分辨率有关。提高测量数据分辨率有利于重力测量卫星能力的提升，但是过密的测量数据会带来大量的处理负担，且改善重力测量卫星的性能幅度有限。最后，重力卫星测量能力也受反演方法的模型误差和计算误差影响。
很多文献在卫星指标分析、快速算法等方面做了大量基础性研究，如文献[4]基于谱分析方法分析了重力卫星在不同轨道高度的测量能力；文献[5]采用解析方法分析了重力场恢复对载荷精度的要求；文献[6]基于时域最小二乘误差分析方法设计了卫星重力梯度测量轨道高度、倾角、采样间隔、时间跨度、重力梯度测量精度等指标参数；文献[7]基于解析模型论证了GRACE Follow-on不同载荷配置对于重力场精度的影响；文献[8]采用改进的能量法分析了GRACE星间测量系统、GPS接收机、加速度计精度指标关系，提出重力测量卫星测速精度为1~3 μm/s，轨道精度为3~10 cm，加速度精度为0.3~1 nm/s；文献[9]采用边界分析方法建立了新一代重力测量卫星核心指标；文献[10]对低低跟踪重力测量卫星，文献[11-12]对GRACE Follow-on卫星进行了模拟，给出了低低跟踪重力测量卫星恢复地球重力场模型的精度；文献[13]对GOCE卫星开展了闭环仿真分析；文献[14]分析了GOCE卫星空白区影响，给出了梯度卫星测量重力场的能力。在快速计算方面，引入了并行算法OpenMP和函数库MKL，提高了计算效率[15-16]。在重力卫星数据处理方面，很多文献采用了动力学方法、解析法、短弧法、能量法等恢复时变重力场和静态重力场[17-20]。
综合分析上述文献，在指标分析方面采用的动力学方法、能量法、解析法、短弧法等不可避免地将算法误差引入重力场模型估计误差中，影响重力测量卫星系统设计参数合理性分析和参数对重力场反演影响评估的可靠性。本文提出将空域最小二乘法应用于重力卫星误差分析，即采用轨道高度处空间格网扰动重力数据评估重力测量卫星系统设计性能，可以较好地避免模型误差和算法误差对重力场反演误差分析结论的影响，可有效、可靠、准确地评估重力卫星的测量能力。
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空域最小二乘法的原理是依据轨道空间上扰动重力数据与地球重力场模型的函数关系建立观测方程，以空间扰动重力为观测数据，用最小二乘方法估计地球重力场模型系数。
空域最小二乘法的数学模型为：
$$ \begin{array}{l} \delta g\left( {r, \theta , \lambda } \right) = \gamma \sum\limits_{n = 2}^N {} \left( {n + 1} \right){\left( {\frac{{{a_e}}}{r}} \right)^{n + 2}}\cdot\\ \sum\limits_{m = 0}^n {} \left[ {\bar C_{nm}^*{\rm{cos}}\left( {m\lambda } \right) + {{\bar S}_{nm}}{\rm{sin}}\left( {m\lambda } \right)} \right]\bar P{_{nm}}({\rm{cos}}\theta ) \end{array} $$ (1) 式中，δg(r, θ, λ)表示轨道处的扰动引力观测数据，r、θ、λ分别为轨道观测点的地心距离、地心余纬度和经度；γ=GM/ae2是球心引力，GM表示引力常数与地球质量的乘积, ae是参考椭球的长半轴；$ \bar P{_{nm}}\left( {{\rm{cos}}\theta } \right)$为完全正常化的伴随勒让德函数；$ \bar C_{nm}^*$和$ {{\bar S}_{nm}}$表示位系数。以轨道处扰动引力为观测数据，在最小二乘原则的条件下可以解算出重力场模型位系数。
由于在轨道处直接建立扰动重力与重力位系数的关系，无须将观测数据归算到一个接近轨道面的等位面上，避免了归算过程引入的误差。为独立分析重力卫星的测量性能，在解算中也不引入任何约束条件，只采用最小二乘方法解算地球重力场模型位系数，避免引入不必要的干扰因素。利用扰动重力分析法开展重力卫星轨道高度、倾角、数据分辨率、载荷噪声等因素对于重力场恢复精度的影响研究，确定重力测量卫星的边界条件，论证各种影响因素的匹配和制约关系。
利用空域最小二乘法分析重力卫星误差方法的基本步骤包括3步：(1)选定基准地球重力场模型，仿真设定分辨率的空间格网扰动重力数据；(2)依据各项实验要求对数据进行裁剪和调制，生成反演需要的扰动重力观测数据；(3)采用最小二乘方法处理观测数据，反演得到重力场模型，将反演重力场模型与基准重力场模型进行比较，分析反演模型的误差，进一步确定各种因素对重力卫星性能影响的数值。
实验采用的主要仿真条件如表 1所示。
表 1 仿真条件
Table 1. Simulation Conditions
分析项目 条件 仿真数据类型 轨道处的格网扰动重力 基准重力场模型 EGM2008 力模型 地球中心引力和非球形引力 数据格网分辨率 30′×30′、15′×15′、10′×10′、5′×5′ 轨道高度/km 500、400、300、200 轨道倾角/(°) 89、88、87、85 扰动重力模拟误差/(m·s-2·Hz-1/2) 1×10-9、1×10-10、1×10-11、1×10-12 反演阶数 120、180、240、360、720 -
地球引力位随着高度增加而逐渐衰减，衰减系数β与卫星高度和重力场模型阶数存在函数关系，其谱函数表达式为：
$$ \beta \left( n \right) = {\rm{ }}R/\left( {R + h} \right){^{n + 1}} $$ (2) 式中，R、h分别为平均地球半径和轨道高度；n表示重力场模型阶数。当轨道高度为500 km、地球平均半径取6 378 km时，衰减系数在120阶时为1×10-4，180阶时为1×10-6。由衰减系数分析可知，轨道高度500 km时，恢复120阶地球重力场模型，地面精度优于1 mGal，考虑到测量误差需要比信号小一个数据量级，则要求在轨道高度处测量精度达到1×10-10 m/s2。
为分析重力场模型恢复精度与衰减系数的关系，将轨道高度500 km处恢复的地球重力场模型系数误差与衰减系数同时表示在图 1中。由图 1可知，重力场模型位系数阶误差与衰减系数呈现函数负相关。
图 1 重力场模型位系数阶误差与衰减系数
Figure 1. Degree Error and Attenuation Coefficient
假设载荷测量无误差、无极区空白，在轨道高度500、400、300、200 km处分别仿真格网扰动重力数据，格网大小为15′×15′，恢复的地球重力场模型最高阶数为720阶。反演得到的重力场模型阶误差与卫星轨道高度的关系如图 2所示，恢复地球重力场模型最高阶数和误差见表 2。以考拉(Kaula)准则为依据，位系数估计误差线和Kaula准则线交点作为重力卫星最大测量阶数。
图 2 不同轨道高度条件下重力场模型位系数阶误差
Figure 2. Degree Error of Earth Gravity Model Recovered with Different Orbital Heights
表 2 不同轨道高度条件下重力卫星测量最高阶数及误差
Table 2. The Max Degree and Errors of Gravity Models with Different Orbital Heights
轨道高度/km 最高阶 累积重力异常/mGal 累积大地水准面高/cm 200 563 1.64 1.94 300 386 1.65 2.86 400 296 1.67 3.76 500 240 1.60 4.43 分析图 2和表 2可知，随着轨道高度的升高，恢复地球重力场模型的阶数逐步降低。在500 km高度的重力卫星测量地球重力场的最高阶数约为240阶，其相应的累积重力异常为1.6 mGal，大地水准面高累积误差接近5 cm。因此，可以认为运行在500 km轨道高度的重力卫星的极限测量空间分辨率约为240阶。
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重力卫星轨道倾角是系统设计的重要参数，其决定了两极地区的空白区面积的大小，进而影响卫星测量地球重力场的能力。
在轨道高度500 km处仿真全球格网扰动重力数据，不加入观测误差，格网大小为15′×15′。在两极地区分别去掉1°、2°、3°和5°的球盖数据，获得有极区空白的数据。等效于利用轨道倾角分别为89°、88°、87°和85°的卫星测量得到的扰动重力数据。进一步，分别利用具有不同极区空白的扰动重力数据恢复最高阶360的地球重力场模型，再与基准模型比较评估极区空白的影响。重力场模型阶误差与卫星轨道倾角的关系分析结果如图 3所示，恢复的地球重力场模型最高阶数和误差见表 3。
图 3 不同轨道倾角条件下重力场位系数阶误差
Figure 3. Degree Error of Earth Gravity Model Recovered with Different Orbital Inclinations
表 3 轨道倾角与重力场恢复能力的关系
Table 3. Relation Between Accuracy of Earth Gravity Model and Orbital Inclinations
轨道倾角/(°) 最高阶 累积重力异常/mGal 累积大地水准面高/cm 89 240 1.60 4.44 88 219 2.08 6.38 87 130 3.10 16.23 分析图 3和表 3可知，随着轨道倾角的减小，恢复地球重力场模型的阶数逐渐降低。在500 km高度、倾角88°条件下恢复重力场阶数为219阶，累积重力异常约2 mGal，大地水准面高误差7 cm。运行在500 km轨道高度、倾角大于89°的重力卫星的最优测量分辨率为240阶。倾角小于85°的重力卫星难以独立恢复地球重力场，还需要地面和航空重力测量系统配合完成，且需采用正则化方法处理数据。
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数据分辨率是指载荷测量重力场信号的空间分辨率，是影响地球重力场模型恢复精度的另一重要因素。
利用2 160阶重力场模型在轨道高度500 km处分别仿真不同数据分辨率的扰动重力数据，其格网大小分别为30′×30′、15′×15′、10′×10′、5′×5′，无极区空白，不考虑观测误差。分别处理这4组不同分辨率的数据，得到4组最高阶360的地球重力场模型。计算获得的4个重力场模型的阶误差如图 4所示，恢复的地球重力场模型最高阶数和误差见表 4。
图 4 不同数据分辨率条件下重力场模型位系数阶误差
Figure 4. Degree Error of Earth Gravity Model Recovered with Different Data Resolution
表 4 数据分辨率与重力场恢复能力的关系
Table 4. Relation Between the Accuracy of Earth Gravity Model and Data Resolution
分辨率/(′) 最高阶 累积重力异常/mGal 累积大地水准面高/cm 5 254 1.59 4.17 10 245 1.56 4.22 15 240 1.60 4.43 30 232 1.69 4.84 分析图 4和表 4可知，随着数据分辨率由30′提高到5′，重力场恢复最高阶数逐步提高，累积重力异常误差和大地水准面高误差逐步减小。因此，适度提高观测数据分辨率有利于提高重力场恢复精度。但是，数据分辨率提高到一定水平后，再进一步提高分辨率对于重力场恢复精度提高贡献不大，且带来更大的计算量和时间耗费。
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地球重力场高阶信号在重力卫星轨道高度处尽管衰减很大，但是仍然存在，同样会作用于重力卫星。重力卫星的精密仪器可感知到高阶重力场的摄动，但是该信号被湮没在观测噪声中。因此，在重力场模型恢复过程中无法准确提取相应的信号。但是，这些高阶信号会混叠到其他估计的重力场模型系数中，称为高阶信号混叠效应。
在轨道高度500 km处分别仿真扰动重力数据，其格网大小为5′×5′，利用扰动重力数据分别恢复120、180、240、360阶的地球重力场模型。重力场模型阶误差如图 5所示，恢复地球重力场模型最高阶数和误差见表 5。
图 5 信号混叠引起的重力场模型位系数误差
Figure 5. Degree Error of Earth Gravity Model Caused by High Degree Signal Leaking
表 5 高阶信号混叠引起的重力异常和大地水准面高误差
Table 5. Accumulate Gravity Anormal and Geoid Errors Caused by Signal Leaking
重力场阶数 最高阶 累积重力异常/mGal 累积大地水准面高/cm 120 120 0.46 2.50 180 180 0.34 1.23 240 222 1.74 5.22 360 222 1.74 5.22 分析图 5可知，当估计重力场模型最高阶数为120阶时，重力位系数误差曲线大于30阶后明显上翘；估计最高阶数为180阶时，误差曲线大于160阶后出现上翘现象；估计到240阶后，高频信号对于220阶前的位系数影响不再显著。由此可见，高频信号误差对重力场系数有影响，而且随着恢复重力场模型阶数的增大，信号混叠效应影响在逐步减小。由表 5可知，恢复到120阶和180阶，后者累积重力异常误差和累积大地水准面高误差分别减小了0.12 mGal和1.27 cm。估计到240阶，相对180阶而言，最高阶数达到了222阶。其累积重力异常和大地水准面误差都增大了，其原因是尽管高阶信号混叠效应在逐步减小，但是系数阶数的提高使得累积误差增大更快。比较恢复到360阶和240阶的结果，最高阶数、累积误差均不再提高，显然高频信号混叠效应对于重力场模型恢复精度的影响已不再显著。
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空间扰动重力的观测误差是影响重力场反演精度至关重要的因素。在轨道高度500 km处仿真全球格网扰动重力数据，格网大小为30′×30′。在仿真的格网扰动重力数据上分别调制1×10-9 m·s-2·Hz-1/2、1×10-10 m·s-2·Hz-1/2、1×10-11 m·s-2·Hz-1/2、1×10-12 m·s-2·Hz-1/2噪声，生成全球模拟观测数据。处理4组模拟观测数据，得到4组360阶的地球重力场模型。与基准重力场模型比较，获得的4组重力场模型阶误差如图 6所示，为分析方便，将零误差观测数据恢复的重力场模型误差也表示在图 6中。恢复的地球重力场模型最高阶数和误差见表 6。
图 6 不同载荷误差条件下重力场位系数阶误差
Figure 6. Degree Error of Earth Gravity Model Recovered with Different Observation Errors
表 6 测量误差与重力场恢复能力的关系
Table 6. Relation Between Ability of Recovering Gravity Model and Observation Errors
误差/ (m·s-2·Hz-1/2) 最高阶 累积重力异常/mGal 累积大地水准面高/cm 1×10-9 110 2.84 18.00 1×10-10 136 2.72 13.56 1×10-11 165 2.05 8.33 1×10-12 195 1.91 6.58 分析图 6和表 6可知，随着扰动重力观测误差的减小，恢复重力场模型阶数随之增大，重力场模型的精度随之提高。在500 km高度、一次数据覆盖、载荷误差为1×10-10 m·s-2·Hz-1/2条件下，恢复重力场最高阶数为136阶，累积重力异常误差为2.72 mGal，累积大地水准面高误差为14 cm；载荷误差为1×10-11 m·s-2·Hz-1/2时，恢复重力场最高阶数为165阶；误差减小到1×10-12 m·s-2·Hz-1/2，恢复重力场最高阶数为195阶，逐步接近无误差条件下最高恢复到240阶重力场模型的能力。
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本文将空域最小二乘法应用于重力测量卫星性能与其轨道参数、数据分辨率、载荷误差等各种因素关系分析，避免了模型算法误差的影响，提高了系统参数仿真分析的准确性, 得到如下结论。
1) 采用本文方法分析表明，运行在500 km轨道高度的重力卫星的测量重力场最高阶数约为240阶。
2) 研究表明，重力卫星轨道倾角需要大于89°，可保证其最优测量能力的实现。
3) 处理5′×5′的重力数据时，通常要求恢复重力场最高阶数大于240阶，以减小高频信号混叠效应对于低阶地球重力场系数估计值的影响。为减小高频信号混叠效应对于低阶地球重力场系数估计值的影响，可采用提高重力场位系数估计阶次的方法减弱高频信号对于低阶位系数的影响。
4) 模拟分析表明，在轨道高度为500 km、数据一次覆盖、载荷误差为1×10-10 m·s-2·Hz-1/2的条件下，测量重力场最高阶数为136阶，累积重力异常为2.7 mGal，累积大地水准面高误差为14 cm。
5) 考虑增大重力场信号敏感强度和数据地面覆盖率，轨道高度设计为300~400 km，轨道倾角设计为大于89°。
综合分析，运行在500 km轨道高度的重力卫星，无误差条件下，其最优能力是可恢复240阶重力场模型，而考虑到载荷误差为1×10-10 m·s-2·Hz-1/2的条件下，测量能力为恢复136阶的重力场模型。进一步降低轨道高度和提高载荷测量精度对于挖掘重力卫星测量能力具有重要意义。
Application of Space-Wise Least Square Method to Error Analysis for Satellite Gravimetry
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摘要: 重力测量卫星性能不仅与轨道参数、载荷误差、数据分辨率等因素密切相关，也与反演算法有关。传统的分析方法如动力学法、短弧法等用于误差分析，不可避免将算法误差引入分析结果，使得分析结论确定性不足。为解决这一问题，提出了空域最小二乘分析法，用空域格网重力扰动数据替代重力卫星载荷数据反演地球重力场，有效避免了算法误差对于分析结果的影响。分析结果表明，重力卫星在500 km轨道高度、一次数据覆盖条件下，测量重力场最高阶数约为240阶，载荷误差为1×10-10 m·s-2·Hz-1/2水平时，测量重力场最高阶数为136阶，其累积重力异常误差为2.7 mGal，累积大地水准面误差为14 cm。要达到最优测量能力，轨道倾角通常不小于89°。为减小地球引力高频信号对于地球重力场低阶位系数估计值的影响，估计位系数最高阶数需大于240阶。Abstract: The performance of satellite gravimetry is determined not only by orbital parameters, sensitivity of payloads, resolution of data, et al, but also by inaccuracy of the Earth gravity recovered methods. In past years, the performance analysis results were unavoidably affected by the mathematical model error from recovering methods such as dynamic method, short-arc integrated method, et al. To solve this problem, space-wise least square method is present. The effects of each items which affected the performance of satellite gravimetry are evaluated by this method. The results indicate that the highest degree of the earth gravity model recovered is 240 for the satellite with 500 km orbital height. Then if the error of payload is 1×10-10 m·s-2·Hz-1/2, the degree of model recovered only approach to 136 with the accumulated gravity anomaly error 2.7 mGal and the accumulated geoid height error 14 cm. In order to achieve the best surveying performance, the orbital inclination should be greater than 89°. While, the max degree of the earth gravity model recovered should be greater than 240 so as to reduce the effect of high frequency gravity signal on low degree coefficients recovered. All these conclusions benefit to satellite designing and data processing.
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Key words:
- earth gravity field /
- satellite gravimetry /
- index design /
- disturbing gravity
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图 2 不同轨道高度条件下重力场模型位系数阶误差
Figure 2. Degree Error of Earth Gravity Model Recovered with Different Orbital Heights
图 3 不同轨道倾角条件下重力场位系数阶误差
Figure 3. Degree Error of Earth Gravity Model Recovered with Different Orbital Inclinations
图 4 不同数据分辨率条件下重力场模型位系数阶误差
Figure 4. Degree Error of Earth Gravity Model Recovered with Different Data Resolution
图 5 信号混叠引起的重力场模型位系数误差
Figure 5. Degree Error of Earth Gravity Model Caused by High Degree Signal Leaking
图 6 不同载荷误差条件下重力场位系数阶误差
Figure 6. Degree Error of Earth Gravity Model Recovered with Different Observation Errors
表 1 仿真条件
Table 1. Simulation Conditions
分析项目 条件 仿真数据类型 轨道处的格网扰动重力 基准重力场模型 EGM2008 力模型 地球中心引力和非球形引力 数据格网分辨率 30′×30′、15′×15′、10′×10′、5′×5′ 轨道高度/km 500、400、300、200 轨道倾角/(°) 89、88、87、85 扰动重力模拟误差/(m·s-2·Hz-1/2) 1×10-9、1×10-10、1×10-11、1×10-12 反演阶数 120、180、240、360、720 
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表 2 不同轨道高度条件下重力卫星测量最高阶数及误差
Table 2. The Max Degree and Errors of Gravity Models with Different Orbital Heights
轨道高度/km 最高阶 累积重力异常/mGal 累积大地水准面高/cm 200 563 1.64 1.94 300 386 1.65 2.86 400 296 1.67 3.76 500 240 1.60 4.43
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表 3 轨道倾角与重力场恢复能力的关系
Table 3. Relation Between Accuracy of Earth Gravity Model and Orbital Inclinations
轨道倾角/(°) 最高阶 累积重力异常/mGal 累积大地水准面高/cm 89 240 1.60 4.44 88 219 2.08 6.38 87 130 3.10 16.23
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表 4 数据分辨率与重力场恢复能力的关系
Table 4. Relation Between the Accuracy of Earth Gravity Model and Data Resolution
分辨率/(′) 最高阶 累积重力异常/mGal 累积大地水准面高/cm 5 254 1.59 4.17 10 245 1.56 4.22 15 240 1.60 4.43 30 232 1.69 4.84
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表 5 高阶信号混叠引起的重力异常和大地水准面高误差
Table 5. Accumulate Gravity Anormal and Geoid Errors Caused by Signal Leaking
重力场阶数 最高阶 累积重力异常/mGal 累积大地水准面高/cm 120 120 0.46 2.50 180 180 0.34 1.23 240 222 1.74 5.22 360 222 1.74 5.22
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表 6 测量误差与重力场恢复能力的关系
Table 6. Relation Between Ability of Recovering Gravity Model and Observation Errors
误差/ (m·s-2·Hz-1/2) 最高阶 累积重力异常/mGal 累积大地水准面高/cm 1×10-9 110 2.84 18.00 1×10-10 136 2.72 13.56 1×10-11 165 2.05 8.33 1×10-12 195 1.91 6.58
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