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海洋是人类赖以生存的重要空间，它在地球板块构造、海底火山和板块边缘的地学研究中起着重要的作用[1-2]。在国际全球变化监测的背景下，基于全球导航卫星系统(global navigation satellite system, GNSS)浮标和声学等多技术组合开展海平面变化观测和海底观测具有重要的现实意义[3-4]。GNSS/声学定位能够实现海底高精度定位[5]。近年来，中国在水下导航技术方面取得了许多重要进展[6]，研制了一套基于GNSS浮标和船载GNSS的长基线(long baseline, LBL)水下定位系统[7]；美国还提出了建立类似于GPS的水下定位系统构想[8]。同时，GNSS/声学水下定位数据处理模型也取得了许多研究成果[9]。虽然水下定位和导航技术取得了较大进步，但水下导航定位的理想观测网络系统几何结构还需要开展相关研究。
利用GNSS/声学定位技术，根据GNSS浮标的已知坐标和水下应答器的声纳测距信息来实现海底大地基准的传递[10-12]。事实上，除了几何精度因子(geometric dilution of precision，GDOP)，诊断观测方程的病态性指标还有许多[13]，由于GDOP大小可以一定程度描述点位误差的大小，因而可以用GDOP来评价各类观测图形的几何强度[14-16]。
为了提高水下定位的精度，已有不少文献对GNSS浮标优化和GNSS船迹海面动态控制方法进行了讨论。如文献[17]对LBL阵测阵校阵进行了研究；文献[18]为了消除水下声速误差，提出了一种星型构型，从而提高了定位精度；文献[19]基于星型构型提出了嵌套圆锥构型和螺旋构型，同时推导出了数学上仅有的5种正多面体构型；文献[7]讨论了正多边形基阵网型对LBL的影响，并对几种正多边形网型结构进行了分析研究。此外，文献[11, 17]对船载GNSS的航行轨迹进行了讨论和优化，并在海面航行中进行了应用。
近年来，GDOP最小化理论研究进展迅猛，同时对动态的定位构型研究也获得了大量成果。文献[20]对GDOP最小化的几何意义进行了阐述和分析；文献[21]通过计算获取了GDOP最小化条件，并给出了其对应的构型。随着各个学科的相互融合，测绘界学者们对计算机代数进行了广泛应用，并取得了许多重要的成果[22-24]。关于GDOP的最新研究是利用代数方法获取最小GDOP的完整解[1]，它是将GDOP最小化条件转化为求解非线性方程，从而获取GDOP最小化的所有解。但这些理论都是基于无约束条件下的理想条件，没有考虑实际情况中各种复杂的约束问题，如GNSS浮标位于海面时形成的共面约束等问题。为此，本文利用代数法探讨了GNSS浮标阵列在有高度角约束条件下的优化设计问题。
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如图 1所示，在水面上布设n个GNSS浮标，其三维坐标yi（i=1, 2…n）可利用GNSS实时动态(real time kinematic, RTK)或精密单点定位(precise point positioning, PPP)技术测定。
图 1 浮标布设
Figure 1. Buoys Deployment
利用已知坐标的海面GNSS浮标，通过浮标上的收发器对海底目标点上的应答器进行声纳测距，可获得水下目标点的位置坐标，其观测方程为：
$$ {L_i} = {d_i}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) + {\mathit{\Delta }} + {\varepsilon _i}\;\left( {i = 1, 2 \cdots n} \right) $$ (1) 式中，Li是海面浮标到目标点的距离观测值；${d_i}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) = {\left\| {{\mathit{\boldsymbol{x}}} - {\mathit{\boldsymbol{y}}_i}} \right\|_2}$是目标点到浮标的欧氏距离；$\mathit{\Delta }$是由钟差等引起的距离观测系统误差；${\varepsilon _i}$为观测的随机误差；n为观测值个数。由于方程(1)中的${d_i}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right)$距离函数是非线性函数，需要先在初值${\mathit{\boldsymbol{x}}_0}$处按泰勒级数展开，进行线性化，再代入式(1)中，获得线性化方程组：
$$ {\rm{d}}{L_i} = {\mathit{\boldsymbol{e}}_i}{\rm{d}}\mathit{\boldsymbol{x}} + {\mathit{\Delta }} + {r_i} + {\varepsilon _i}\left( {i = 1, 2 \cdots n} \right) $$ (2) 式中，${\rm{d}}{L_i} = {L_i} - {d_i}\left( {{\mathit{\boldsymbol{x}}_0}} \right)$；${\rm{d}}\mathit{\boldsymbol{x}} = \mathit{\boldsymbol{x}} - {\mathit{\boldsymbol{x}}_0}$为坐标改正；${r_i}$为线性化残余项，一般可以忽略；${\mathit{\boldsymbol{e}}_i}$为方向余弦，可表示为：
$$ {\mathit{\boldsymbol{e}}_i}^{\rm{T}} = \left( {{\mathit{\boldsymbol{x}}_0} - {\mathit{\boldsymbol{x}}_i}} \right)/{d_i}\left( {{\mathit{\boldsymbol{x}}_0}} \right) $$ (3) 为观测方向余弦，即水下目标点到海面浮标的方向余弦，式(2)又可写成：
$$ \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{d}}{L_1}}\\ {{\rm{d}}{L_2}}\\ \vdots \\ {{\rm{d}}{L_n}} \end{array}} \right]}_\mathit{\boldsymbol{b}} = \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{e}}_1}}&1\\ {{\mathit{\boldsymbol{e}}_2}}&1\\ \vdots & \vdots \\ {{\mathit{\boldsymbol{e}}_n}}&1 \end{array}} \right]}_\mathit{\boldsymbol{J}}\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{d}}\mathit{\boldsymbol{x}}}\\ {\mathit{\Delta }} \end{array}} \right]}_\mathit{\boldsymbol{z}} + \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_1} + {\varepsilon _1}}\\ {{r_2} + {\varepsilon _2}}\\ \vdots \\ {{r_n} + {\varepsilon _n}} \end{array}} \right]}_{\varepsilon '} $$ (4) 当水下定位声纳测距的观测数目n > 4时，方程(4)会变成矛盾方程组，采用最小二乘算法求解为：
$$ \mathit{\boldsymbol{\hat z}} = {({\mathit{\boldsymbol{J}}^T}\mathit{\boldsymbol{J}})^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{J}}^T}\mathit{\boldsymbol{b}} $$ (5) 则水下目标点的空间坐标为：
$$ \mathit{\boldsymbol{\hat x}} = {\mathit{\boldsymbol{x}}_0} + {\rm{d}}\mathit{\boldsymbol{\hat x}} $$ (6) 当初值${\mathit{\boldsymbol{x}}_0}$的精度较低时，可采用高斯-牛顿算法。目前，采用实时动态定位可以获得厘米级定位精度；而采用实时PPP技术也可以达到分米级的精度[25-26]。相对于分米级精度的声呐测距，控制点的点位误差可以忽略不计。最小二乘解(6)的协方差为$\mathit{\boldsymbol{D}}\left( {\mathit{\boldsymbol{\hat x}}} \right) = D\left( {\mathit{\boldsymbol{\hat z}}} \right) = {({\mathit{\boldsymbol{J}}^T}\mathit{\boldsymbol{J}})^{ - 1}}\sigma _0^2$，其中${\sigma _0}$为声纳测距中误差。因此，影响水下定位精度的因素一般有3种：（1）水面GNSS浮标与水下目标点构成的几何图形；（2）水下声纳测距的精度；（3）海面GNSS浮标坐标自身定位的精度。为优化几何图形，使用导航定位中常用的GDOP来评价定位图形的优劣[20]，其公式为：
$$ {\rm{GDOP}} = \sqrt {{\rm{tr}}\left[ {{{({\mathit{\boldsymbol{J}}^T}\mathit{\boldsymbol{J}})}^{ - 1}}} \right]} $$ (7) 除了GDOP，还应考虑位置精度因子：
$$ {\rm{GDOP'}} = \sqrt {{\rm{tr}}\left[ {{{\left( {{{\mathit{\boldsymbol{J'}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{J'}}} \right)}^{ - 1}}} \right]} $$ (8) 其中，
$$ \mathit{\boldsymbol{J'}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{e}}_1}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{e}}_2}}\\ \vdots \\ {{\mathit{\boldsymbol{e}}_n}} \end{array}} \right] $$ (9) 通过上述分析可以看出，为提高水下定位的精度，优化几何图形是必不可少的，而GDOP是衡量几何图形强度的重要指标，GDOP越小，几何图形越好，进行水下定位的精度就越高。定位构型具有映射不变性[24]，如图 1所示，未知点位于水深h处，对于方向余弦${{\mathit{\boldsymbol{e}}_1}}$，通过共线映射到海面即可得到海面浮标位置${{\mathit{\boldsymbol{e'}}}_1}$，依次类推，可以得到全部浮标的理想位置。这就是通过优化定位几何图形矩阵达到优化海面浮标阵列的基本原理。
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GDOP是水下目标点的连续函数，在水下较小的定位区域，当定位区域中心点的GDOP达到极小值时，整个水下定位空间中GDOP的分布也会相对较小[20]。研究表明[20]，当：
$$ {{\mathit{\boldsymbol{J'}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{J'}} = n\mathit{\boldsymbol{I}}/3 $$ (10) 式中，I为单位矩阵。则有：
$$ {\rm{GDO}}{{{\rm{P'}}}_{\min }} = \sqrt {9/n} $$ (11) 取得极小值。当：
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\mathit{\boldsymbol{J'}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{J'}} = n\mathit{\boldsymbol{I}}/3}\\ {{\mathit{\boldsymbol{k}}_n}^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{J'}} = 0} \end{array}} \right. $$ (12) 式中，${\mathit{\boldsymbol{k}}_n} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1& \cdots &1 \end{array}} \right]_{n \times 1}}$。则有：
$$ {\rm{GDO}}{{\rm{P}}_{{\rm{min}}}} = \sqrt {10/n} $$ (13) 取得极小值。考虑GDOP在任意坐标转换下均保持不变，为了便于讨论，将水下未知点置于坐标系统的原点上，Z轴是海面浮标Pn-1和Pn的对称轴，则可以将设计矩阵参数化为：
$$\mathit{\boldsymbol{J'}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&{{z_1}}\\ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_2}}\\ \vdots \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}} {{y_2}}\\ \vdots \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}} {{z_2}}\\ \vdots \end{array}}\\ {{x_{n - 2}}}&{{y_{n - 2}}}&{{z_{n - 2}}}\\ {{\rm{sin}}\alpha }&0&{{\rm{cos}}\alpha }\\ { - {\rm{sin}}\alpha }&0&{{\rm{cos}}\alpha } \end{array}} \right]$$ (14) 与文献[1]参数化后的矩阵相比，式（14）参数化后的矩阵第3列最后两个元素使用${{\rm{cos}}\alpha }$代替${{\rm{sin}}\alpha }$，从而确保了GNSS浮标都位于海面，于是GDOP'最小化问题可以转化为求解如下非线性方程组：
$$ \left\{ \begin{array}{l} x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 = 1, {\rm{}}x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 = 1 \cdots x_{n - 2}^2 + y_{n - 2}^2 + z_{n - 2}^2 = 1\\ {x_1}{y_1} + {x_2}{y_2} + \cdots + {x_{n - 2}}{y_{n - 2}} = 0\\ {x_1}{z_1} + {x_2}{z_2} + \cdots + {x_{n - 2}}{z_{n - 2}} = 0\\ {y_1}{z_1} + {y_2}{z_2} + \cdots + {y_{n - 2}}{z_{n - 2}} = 0\\ y_1^2 + y_2^2 + \cdots + y_{n - 2}^2 = \frac{n}{3}\\ x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_{n - 2}^2 + 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha = \frac{n}{3}\\ z_1^2 + z_2^2 + \cdots + z_{n - 2}^2 + 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = \frac{n}{3} \end{array} \right. $$ (15) 上述非线性方程组中有n+3个独立方程，未知数个数为3n-5，增加适当的方程，即给定合适的初值，可对上述方程组进行求解。当n > 5时，方程组(15)存在无穷解。进行水下定位时，GNSS浮标位于海面上，产生共面约束。为提高水下测距精度，需对高度角进行约束，其约束条件可表示为：
$${z_i} \ge {\rm{sin}}\beta \;\;\left( {i = 1, 2 \cdots n} \right)$$ (16) 式中，$\beta $为声线观测高度角。由文献[24]可知，当β≤19.47°时，非线性方程总是存在解的，而当时β>19.47°时，非线性方程可能不存在解。在具体水下定位中，高度角一般大于5°或10°即可。浮标布放所需的水深信息可通过压力传感器或测区水深资料获取。此外，在实际浮标布放中，理论上不能将海面视为水平面，应顾及波浪的影响。
由文献[1]可知，由于存在约束条件(16)，导致无法满足式(12)的第2个方程，也就是说，理论GDOP最小值的水下定位构型是不存在的。因此，GDOP最小化优化问题可转化为在定位构型图集中寻找最小GDOP'图形所对应的定位几何${\mathit{\boldsymbol{J'}}}$，即：
$$ \mathit{\boldsymbol{O'}} = \left\{ {\mathit{\boldsymbol{J'}}\left| {{\rm{min}}\left( {{\rm{GDOP'}}} \right){\rm{且}}{z_i} \ge {\rm{sin}}\alpha , {\rm{}}i = 1, 2 \cdots n} \right.} \right\} $$ (17) 利用设置的初始条件，获取在高度角约束条件下的最小GDOP'构型，进而可以获得GDOP最小的构型。
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水下定位时，需要对整个水下区域进行定位，要求在定位空间内定位精度尽量较高，即保证区域内定位点的GDOP值相对较小，为此，本文采用区域内GDOP均值与方差这两个指标来衡量。区域GDOP均值定义为：
$$ \text{Mean}\left( \text{GDOP} \right)=\frac{1}{S}\iint\limits_{\mathit{\Omega }}{\text{GDOP}\left( x, y \right)\text{d}x\text{d}y} $$ (18) 式中，$\mathit{\Omega }$为需要进行定位的水下区域；$S=\iint{\text{d}x\text{d}y}$为水下区域的面积。水下定位GNSS浮标阵列区域GDOP'最小优化问题可表示为：
$$ \mathit{\boldsymbol{O''}} = \left\{ {\mathit{\boldsymbol{J'}}\left| {\mathit{\boldsymbol{J'}} \in \mathit{\boldsymbol{O'}}且{\rm{min}}\left( {{\rm{Mean}}\left( {{\rm{GDOP'}}} \right)} \right){\rm{}}} \right.} \right\} $$ (19) 具体搜索算法流程如图 2所示。
图 2 区域GDOP'均值最小定位构型搜索算法
Figure 2. Searching Method of Positioning Configuration for the Smallest Region GDOP' Mean
利用图 2的搜索算法通常可以求得唯一的构型解，若解不唯一或者相近，可进一步计算构型的区域GDOP方差：
$$ \begin{align} & \text{Var}\left( \text{GDOP} \right)=\frac{1}{S}\iint\limits_{\mathit{\Omega }}{\left[ \text{GDOP}\left( x, y \right)- \right.} \\ & {{\left. \text{Mean}\left( \text{GDOP} \right) \right]}^{2}}\text{d}x\text{d}y \\ \end{align} $$ (20) 式（20）搜索目标的几何意义为：确保在整个区域内定位精度最为均匀。
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本次试验以5枚和6枚浮标为例，根据方程(15)获得n=5和n=6时的方程，解算方程的初始条件设置为：当浮标数n=5时，
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{z_1} = - 1 + s \times k}\\ {{z_2} = - 1 + s \times k} \end{array}} \right.{\rm{}}\left( {s = 0.1;{\rm{}}k = 1, 2 \cdots 20} \right) $$ (21) 式中，s为步长；k为初始条件取值个数。当浮标数n=6时，除条件(21)外，根据旋转不变性[24]，将其中一枚浮标放置于XOZ平面，其方向向量设置为：
$$ {\mathit{\boldsymbol{e}}_4} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{cos}}\gamma }&0&{{\rm{sin}}\gamma } \end{array}} \right], \gamma = 0^\circ , 5^\circ , 10^\circ \cdots 85^\circ $$ (22) 式中，$\gamma $为${\mathit{\boldsymbol{e}}_4}$与Z轴的夹角。将初始条件式（21）、式（22）与条件方程联立，即可获得有限的具有代表性的GDOP'最小定位构型。如§2所述，为减小测距误差，需要对高度角进行约束（本文设置为5°），经筛选后，GDOP最小构型如表 1所示。
表 1 GDOP最小构型
Table 1. GDOP Minimum Configurations
浮标数 名称 构型 GDOP' GDOP n=5 J1 [0.806, -0.583, 0.1;-0.806, -0.583, 0.1;0, 0.993, 0.118;0.428, 0, 0.904;-0.428, 0, 0.904] 1.342 1.720 J2 [-0.806, 0.583, 0.1;0.806, 0.583, 0.1;0, -0.993, 0.118;0.428, 0, 0.904;-0.428, 0, 0.904] J3 [-0.806, -0.583, 0.1;0.806, -0.583, 0.1;0, 0.993, 0.118;0.428, 0, 0.904;-0.428, 0, 0.904] J4 [0.806, 0.583, 0.1;-0.806, 0.583, 0.1;0, -0.993, 0.118;0.428, 0, 0.904;-0.428, 0, 0.904] n=6 J5 [0.055, 0.994, 0.1;-0.328, -0.923, 0.2;-0.891, 0.4, 0.213;0.285, 0, 0.959;-0.285, 0, 0.959;0.966, 0, 0.259] 1.225 1.666 J6 [0.055, -0.994, 0.1;-0.328, 0.923, 0.2;-0.891, -0.4, 0.213;0.285, 0, 0.959;-0.285, 0, 0.959;0.966, 0, 0.259] 从表 1中可以看出， J1、 J2、 J3、 J4是同一种构型， J5和 J6是同一种构型，并且它们的GDOP'都达到了最小值，而GDOP没有达到最小值，其原因是这些构型都是在高度角约束下得到的，因而GDOP会大一些。同时还可以看出，6枚浮标的GDOP'值和GDOP值比5枚浮标时小，也就是说，增加浮标个数也可以提高定位精度。
为了便于讨论区域GDOP'的情况，将水下定位的试验区域范围$\mathit{\Omega }$设置为100 m×100 m大小的正方形平面，即：
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {X = - 50 + s \times k}\\ {Y = - 50 + s \times k} \end{array}} \right.{\rm{}}\left( {s = 10, k = 1, 2 \cdots 10} \right) $$ (23) 式中，X、Y为格网点坐标。将试验区域$\mathit{\Omega }$格网化，计算每个网格点的GDOP'值。以构型J1和J5为例，它们在区域内的GDOP'分布情况如图 3所示。
图 3 GDOP'空间分布
Figure 3. GDOP' Spatial Distributions
从图 3可以看出，区域中心点处两个构型GDOP'都达到了最小值，并且当n=6时，区域内的GDOP'相对较小。分别利用n=5和n=6时得到的248个和822个构型，计算网格中心点上这些构型的GDOP'值，并分别计算其GDOP'均值和方差，结果如图 4、图 5所示。
图 4 区域GDOP'均值
Figure 4. Region GDOP' Mean Values
图 5 区域GDOP'方差
Figure 5. Region GDOP' Variances
图 4和图 5中，通过对比可以看出，浮标数增加，区域GDOP'均值和方差会减小，即可改善区域内定位精度。同时，当构型的区域GDOP'均值取得最小时，其方差也是最小的；当n=5时，一共是4个构型；当n=6时，一共是2个构型。这些构型解和表 1中获得的区域中心GDOP最小构型解相同，也就是说，区域GDOP'均值最小和区域中心GDOP最小这两个目标函数对应相同的解。
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本文设计了一个水下定位模拟试验，测试上述获得的定位构型在水下定位中的实用性。试验以6枚浮标为例，条件设置为：
1）海面GNSS浮标坐标：$\mathit{\boldsymbol{J}} = 50 \times \mathit{\boldsymbol{J'}}$。
2）水下声纳测量误差：ε = 1 m。
对满足高度角约束条件的822个构型分别进行1 000次重复的水下定位模拟试验，并计算水下目标点的最小二乘解，进而获得每个构型在水下定位模拟试验中目标点的1 000个解，即${{\hat x}_1}, {{\hat x}_2} \cdots {{\hat x}_{1{\rm{}}000}}$。
利用这1 000个定位解可求得构型的网格中心点点位误差，进而计算出整个定位区域的点位误差均值。解析得到的822个构型区域内的点位误差均值结果如图 6所示。
图 6 点位误差的均值（n=6）
Figure 6. Mean Values of Point Errors(n=6)
对比图 4与图 6可以看出，模拟的水下定位试验结果与§4.1的理论试验结果非常相符。很明显，GDOP'均值最小和点位误差均值最小的构型是相同的，水下定位模拟试验验证了在实际定位中，本文最终获得的构型在定位区域具有最高的精度。
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为验证6枚浮标情形下GDOP'与定位精度的关系，本文采用中国南海实测水下定位数据，应答器位于水下2 000 m左右，一个载有超短基线的母船围绕海底应答器航行，圆锥的锥角为45°，一共采集724个数据，如图 7所示。
图 7 实测圆锥构型
Figure 7. Actual Measurement Cone Configuration
在图 7实测的圆锥构型数据中随机选取100组（每组6个）作为海面GNSS浮标的定位控制图形(n=6)，以全部724个控制点观测数据综合定位结果作为真值，计算6个海面控制点情形下的定位误差，GDOP'与定位误差的关系见图 8。
图 8 GDOP'与定位误差的关系
Figure 8. Relationship of GDOP' and Positional Errors
由图 8可知，GDOP'越小，定位精度越高。在随机选取的100个定位图形中，GDOP'最小为1.339 3，相对于理论极小值（$\sqrt {9/6} \approx 1.2247$），相差0.114 6，这是因为GNSS浮标位于海面，无法达到理论GDOP'最小值的构型。上述提及的圆锥构型是最优的构型之一，而本文采用的代数解析法可以获得全部构型，能够解决在实际中更为复杂的布控问题。
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使用海面GNSS浮标进行水下定位时，存在海面共面约束以及高度角约束等限制条件，致使海面浮标阵列无法达到理论构型，GDOP无法获得理论极小值。本文设置5°的高度角，当有5枚和6枚浮标时，发现有无穷种定位构型使GDOP'达到理论最小值，在这些构型中，可进一步计算GDOP最小的定位构型。
此外，海面浮标进行水下定位时，需要在整个定位空间拥有最优的定位能力。因此本文优化海面浮标阵列的指标是GDOP均值，以GDOP均值作为优化条件，可以在所有GDOP'最小构型中进一步获取满足约束条件的最优海面浮标构型。通过搜索获取了最优且唯一的定位构型，利用水下定位模拟试验验证了构型的实用性。
本文试验验证了区域GDOP'均值最小构型解和区域中心点GDOP最小构型是等价的。基于这一规律，意味着可以通过判断区域中心点GDOP最小，搜索得到最佳的定位构型，从而避免区域GDOP'均值和方差的复杂计算。
Analytical Optimization on GNSS/Sonar Buoy Array Deployment for Underwater Positioning
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摘要: 全球导航卫星系统（global navigation satellite system，GNSS）/声纳水下定位精度主要取决于GNSS浮标阵列构型和声学测距精度。优化水面浮标阵列是提高水下定位精度的重要途径。探讨了GNSS浮标阵列解析优化方法，算例以5枚和6枚浮标布设为例，应用所提方法给出了最优浮标阵列解。基于几何精度因子（geometric dilution of precision，GDOP）最小构型解析方法，通过考虑水下定位GNSS浮标位于水面和存在高度角限制这一约束条件，对水下定位浮标阵列进行了解析优化。由于浮标进行水下定位时是范围性的，还基于区域GDOP均值和方差两个指标对GNSS浮标阵优化问题进行了探讨，并采用数值方法设计了区域GDOP均值最小构型搜索算法。研究表明，虽然存在高度角约束条件，最优浮标阵列几何结构并不唯一，若在此基础上进一步考虑区域GDOP均值和方差最小的目标，则最终可获得唯一的区域均值浮标阵列结构。Abstract: Global navigation satellite system (GNSS)/acoustic positioning precision is comprehensively determined by both the configuration of GNSS buoys array and ranging precision. Thus, optimizing the GNSS buoys array is meaningful to improve the positioning accuracy and reliability. This paper proposes an analytical method for optimizing the GNSS buoys array with regard to the cutoff angle constraints for observations. By using the latest geometric dilution of precision (GDOP) minimization method developed by this paper and introducing a set of constrains considering the coplanar GNSS buoys and the cutoff angle limitation, we discuss the position dilution of precision (GDOP') minimization for underwater positioning circumstances and propose an algorithm for producing the configuration with the smallest GDOP. Moreover, we develop a method for searching the best configuration to achieve an isotropic positioning coverage within a given region by employing the concepts about the GDOP mean value and variance. In the experimental test, we take five GNSS buoys as an example to give full solutions based on the centralized GDOP' minimization as well as a unique solution for minimizing the GDOP' mean value. The effectiveness of the proposed method is verified by the simulation experiment. Our experiments show that within a region the centralized GDOP minimization may be equivalent to the GDOP' mean value minimization as well as the GDOP' variance minimization.
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Key words:
- underwater positioning /
- positioning configuration /
- GDOP /
- buoy array /
- analytical optimization
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图 2 区域GDOP'均值最小定位构型搜索算法
Figure 2. Searching Method of Positioning Configuration for the Smallest Region GDOP' Mean
表 1 GDOP最小构型
Table 1. GDOP Minimum Configurations
浮标数 名称 构型 GDOP' GDOP n=5 J1 [0.806, -0.583, 0.1;-0.806, -0.583, 0.1;0, 0.993, 0.118;0.428, 0, 0.904;-0.428, 0, 0.904] 1.342 1.720 J2 [-0.806, 0.583, 0.1;0.806, 0.583, 0.1;0, -0.993, 0.118;0.428, 0, 0.904;-0.428, 0, 0.904] J3 [-0.806, -0.583, 0.1;0.806, -0.583, 0.1;0, 0.993, 0.118;0.428, 0, 0.904;-0.428, 0, 0.904] J4 [0.806, 0.583, 0.1;-0.806, 0.583, 0.1;0, -0.993, 0.118;0.428, 0, 0.904;-0.428, 0, 0.904] n=6 J5 [0.055, 0.994, 0.1;-0.328, -0.923, 0.2;-0.891, 0.4, 0.213;0.285, 0, 0.959;-0.285, 0, 0.959;0.966, 0, 0.259] 1.225 1.666 J6 [0.055, -0.994, 0.1;-0.328, 0.923, 0.2;-0.891, -0.4, 0.213;0.285, 0, 0.959;-0.285, 0, 0.959;0.966, 0, 0.259] 
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