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顾及历元间坐标差信息的GPS模糊度快速固定改进方法

易重海 陈源军

易重海, 陈源军. 顾及历元间坐标差信息的GPS模糊度快速固定改进方法[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2019, 44(4): 489-494. doi: 10.13203/j.whugis20170157
引用本文: 易重海, 陈源军. 顾及历元间坐标差信息的GPS模糊度快速固定改进方法[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2019, 44(4): 489-494. doi: 10.13203/j.whugis20170157
YI Zhonghai, CHEN Yuanjun. An Improved GPS Fast Ambiguity Resolution Algorithm with Epoch-Differenced Coordinate Information[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2019, 44(4): 489-494. doi: 10.13203/j.whugis20170157
Citation: YI Zhonghai, CHEN Yuanjun. An Improved GPS Fast Ambiguity Resolution Algorithm with Epoch-Differenced Coordinate Information[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2019, 44(4): 489-494. doi: 10.13203/j.whugis20170157

顾及历元间坐标差信息的GPS模糊度快速固定改进方法

doi: 10.13203/j.whugis20170157
基金项目: 

国家自然科学基金 41204024

国家测绘地理信息局测绘基础研究基金 12-01-06

现代城市测绘国家测绘地理信息局重点实验室开放课题 20111202W

详细信息
    作者简介:

    易重海, 博士, 主要从事GNSS高精度定位方面的研究。yizhonghai@163.com

    通讯作者: 陈源军, 硕士。yjchen218@163.com
  • 中图分类号: P228

An Improved GPS Fast Ambiguity Resolution Algorithm with Epoch-Differenced Coordinate Information

Funds: 

The National Natural Science Foundation of China 41204024

the Basic Research Fund of National Administration of Surveying, Mapping and Geoinformation 12-01-06

Open Program of Key Laboratory for Urban Geomatics of National Administration of Surveying, Mapping and Geoinformation 20111202W

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出版历程
  • 收稿日期:  2017-07-12
  • 刊出日期:  2019-04-05

顾及历元间坐标差信息的GPS模糊度快速固定改进方法

doi: 10.13203/j.whugis20170157
    基金项目:

    国家自然科学基金 41204024

    国家测绘地理信息局测绘基础研究基金 12-01-06

    现代城市测绘国家测绘地理信息局重点实验室开放课题 20111202W

    作者简介:

    易重海, 博士, 主要从事GNSS高精度定位方面的研究。yizhonghai@163.com

    通讯作者: 陈源军, 硕士。yjchen218@163.com
  • 中图分类号: P228

摘要: 单频全球定位系统模糊度在航解算过程中存在法方程病态的问题,利用历元间坐标差信息可以在一定程度上削弱法方程的病态性,提高模糊度浮点解的精度和模糊度收敛速度。为进一步提高历元间坐标差法固定模糊度的效率,提出了一种改进的历元间坐标差方法,该方法对历元间坐标差虚拟观测误差方程进行了重构,并给出了新的虚拟观测值方差阵。实验结果表明,新方法较之以往的历元间坐标差方法具有更优的稳定性和效率。

English Abstract

易重海, 陈源军. 顾及历元间坐标差信息的GPS模糊度快速固定改进方法[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2019, 44(4): 489-494. doi: 10.13203/j.whugis20170157
引用本文: 易重海, 陈源军. 顾及历元间坐标差信息的GPS模糊度快速固定改进方法[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2019, 44(4): 489-494. doi: 10.13203/j.whugis20170157
YI Zhonghai, CHEN Yuanjun. An Improved GPS Fast Ambiguity Resolution Algorithm with Epoch-Differenced Coordinate Information[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2019, 44(4): 489-494. doi: 10.13203/j.whugis20170157
Citation: YI Zhonghai, CHEN Yuanjun. An Improved GPS Fast Ambiguity Resolution Algorithm with Epoch-Differenced Coordinate Information[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2019, 44(4): 489-494. doi: 10.13203/j.whugis20170157
  • 载波相位模糊度在航快速解算一般存在定位法方程病态问题,造成模糊度浮点解精度低,有时即使采用高效的模糊度搜索方法也无法成功固定模糊度[1]。常用的处理动态定位中法方程病态的方法主要有3类。一是利用已知信息作为约束条件,采用附有限制条件的间接平差解算[2];二是通过先验信息构建正则化矩阵,改善法方程的病态[3];三是利用先验信息,构建虚拟观测方程,与双差载波观测方程进行联合平差[4-5]。文献[6]提出了一种利用历元间坐标差信息加快模糊度收敛的新方法——历元间坐标差法,通过历元间坐标差信息构建虚拟观测方程,将其与载波相位双差观测方程联合平差,改善了法方程的病态性,提高了模糊度浮点解的精度。文献[7]采用Helmert方差分量估计对虚拟观测方程的权阵进行调整,模糊度在航解算的效率进一步提高。为了进一步提高顾及历元间坐标差信息的模糊度快速固定算法的有效性和稳定性,本文对历元间坐标差法中的虚拟观测方程进行了重构,并给出了新的方差阵计算公式。实验结果表明,新方法在模糊度固定的效率和稳定性上都有了较大的提升。

    • 在全球定位系统(Global Positioning System, GPS)动态定位中,可将未知参数划分为Χ1Χ2两类。Χ1是时变参数,如位置参数;Χ2是时不变参数,如模糊度参数。GPS载波相位双差观测量误差方程可表示为:

      $$ \mathit{\boldsymbol{V}} = \mathit{\boldsymbol{A}}{\mathit{\boldsymbol{X}}_1} + \mathit{\boldsymbol{B}}{\mathit{\boldsymbol{X}}_2}, - \mathit{\boldsymbol{l}},\mathit{\boldsymbol{P}} $$ (1)

      式中, AB分别为m×(u-r)、m×r维系数矩阵;Χ1Χ2分别为u-rr维参数改正数向量;Vm维残差向量;u为未知参数的个数;m为观测方程的个数;l为观测值减计算值向量;Pm×m维权矩阵。令${\mathit{\boldsymbol{N}}_{11}} = {\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PA}}, {\mathit{\boldsymbol{N}}_{12}} = {\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PB}}, {\mathit{\boldsymbol{N}}_{21}} = {\mathit{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PA}}, {\mathit{\boldsymbol{N}}_{22}} = {\mathit{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PB}}, {\mathit{\boldsymbol{w}}_1} = {\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{Pl}}, {\mathit{\boldsymbol{w}}_2} = {\mathit{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{Pl}}, $由式(1)可导出只保留模糊度参数Χ2的叠加模糊度法方程[8],对于n个历元有:

      $$ \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{M}}_2}} \right)}_{ti}}{\mathit{\boldsymbol{\mathit{\boldsymbol{X}}}}_2}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{R}}_2}} \right)}_{ti}}} $$ (2)

      式中,${\mathit{\boldsymbol{M}}_2} = {\mathit{\boldsymbol{N}}_{22}} - {\mathit{\boldsymbol{N}}_{21}}\mathit{\boldsymbol{N}}_{11}^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{N}}_{12}};{\mathit{\boldsymbol{R}}_2} = {\mathit{\boldsymbol{w}}_2} - {\mathit{\boldsymbol{N}}_{21}}\mathit{\boldsymbol{N}}_{11}^{ - 1} \cdot {\mathit{\boldsymbol{w}}_1};$下标ti表示历元。当Χ2解算出来后,Χ1可由式(3)解算:

      $$ {\mathit{\boldsymbol{\mathit{\boldsymbol{X}}}}_1} = \mathit{\boldsymbol{N}}_{11}^{ - 1}\left( {{\mathit{\boldsymbol{w}}_1} - {\mathit{\boldsymbol{N}}_{12}}{\mathit{\boldsymbol{\mathit{\boldsymbol{X}}}}_2}} \right) $$ (3)

      考虑相邻历元t1、t2的历元间坐标差:

      $$ \Delta {\mathit{\boldsymbol{x}}_{t2}} = {\left( {{\mathit{\boldsymbol{\mathit{\boldsymbol{X}}}}_1}} \right)_{t2}} - {\left( {{\mathit{\boldsymbol{\mathit{\boldsymbol{X}}}}_1}} \right)_{t1}}, {\mathit{\boldsymbol{P}}_{\Delta x}} = \mathit{\boldsymbol{D}}_{\Delta x}^{ - 1} $$ (4)

      式中,Δx为三维历元间坐标差向量; DΔx为历元间坐标差的方差阵,可通过文献[6]的站际历元二次模型计算得到,也可以采用文献[9]中的三差模型计算。将式(3)代入式(4)整理,可构建虚拟观测方程:

      $$ \Delta {\mathit{\boldsymbol{x}}_{t2}} = {\mathit{\boldsymbol{M}}_b} - {\mathit{\boldsymbol{M}}_m}{\mathit{\boldsymbol{\mathit{\boldsymbol{X}}}}_2}, {\mathit{\boldsymbol{P}}_{\Delta x}} = \mathit{\boldsymbol{D}}_{\Delta x}^{ - 1} $$ (5)

      式中,${\mathit{\boldsymbol{M}}_b} = \left( {{\mathit{\boldsymbol{N}}_{11}}} \right)_{t2}^{ - 1}{\left( {{\mathit{\boldsymbol{w}}_1}} \right)_{t2}} - \left( {{\mathit{\boldsymbol{N}}_{11}}} \right)_{t1}^{ - 1}{\left( {{\mathit{\boldsymbol{w}}_1}} \right)_{t1}};{\mathit{\boldsymbol{M}}_m} = \left( {{\mathit{\boldsymbol{N}}_{11}}} \right)_{t2}^{ - 1}{\left( {{\mathit{\boldsymbol{N}}_{12}}} \right)_{t2}} - \left( {{\mathit{\boldsymbol{N}}_{11}}} \right)_{t1}^{ - 1}{\left( {{\mathit{\boldsymbol{N}}_{12}}} \right)_{t1}};{\mathit{\boldsymbol{P}}_{\Delta x}}$为虚拟观测方程的权阵。令$\mathit{\boldsymbol{f}} = {\mathit{\boldsymbol{M}}_b} - \Delta {\mathit{\boldsymbol{x}}_{t2}}.{\mathit{\boldsymbol{M}}_x} = \mathit{\boldsymbol{M}}_m^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_{\Delta x}}{\mathit{\boldsymbol{M}}_m}, {\mathit{\boldsymbol{R}}_x} = \mathit{\boldsymbol{M}}_m^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_{\Delta x}}\mathit{\boldsymbol{f}}$,则式(5)对应的虚拟观测值误差方程的法方程为:

      $$ {\mathit{\boldsymbol{M}}_x}{\mathit{\boldsymbol{\mathit{\boldsymbol{X}}}}_2} = {\mathit{\boldsymbol{R}}_x} $$ (6)

      将式(6)与式(2)联合,即将虚拟观测法方程与模糊度法方程合并构建新的模糊度法方程,对于n个历元累加的法方程可表示如下:

      $$ \begin{array}{l} \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{M}}_2}} \right)}_{ti}}} + \sum\limits_{i = 2}^n {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{M}}_x}} \right)}_{ti}}} } \right){\mathit{\boldsymbol{\mathit{\boldsymbol{X}}}}_2} = \\ \;\;\;\;\;\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{R}}_2}} \right)}_{ti}}} + \sum\limits_{i = 2}^n {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{R}}_x}} \right)}_{ti}}} \end{array} $$ (7)

      式(7)较式(2)的法方程的病态性得到改善。

      综上所述, 历元间坐标差法的核心是利用历元间坐标差信息弥补短时间内观测信息的不足,以减轻定位模型的病态性, 从而加快模糊度的固定。高精度历元间坐标差信息需采用两个相邻历元的相位观测值进行历元间差分计算获取, 因此需要进行相位观测值的周跳探测与修复。本文采用站际历元二次差模型进行周跳的探测与修复[10]方法,可以较好地处理周跳问题。

    • Helmert方差分量估计是一种典型的验后方差分量估计方法,利用不同类型观测值平差后的残差加权平方和优化不同类型观测值之间的权比,提高平差的精度[11]。历元间坐标差法中涉及两类观测值信息。为合理利用历元间坐标差信息,需要确定这两类观测值的权比。基于此,文献[7]采用Helmert方差分量估计优化两种观测的权比,提高了组合解算的精度,其计算公式为:

      $$ \begin{array}{l} \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{M}}_2}} \right)}_{ti}}} + {\rm{fact}} \cdot \sum\limits_{i = 2}^n {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{M}}_x}} \right)}_{ti}}} } \right){\mathit{\boldsymbol{\mathit{\boldsymbol{X}}}}_2} = \\ \;\;\;\;\;\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{R}}_2}} \right)}_{ti}}} + {\rm{fact}} \cdot \sum\limits_{i = 2}^n {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{R}}_x}} \right)}_{ti}}} \end{array} $$ (8)

      式中,fact为历元间坐标差虚拟观测方程权阵增益因子,其具体的计算过程参见文献[7]。

    • 由式(5)可知, 在利用历元间坐标差信息构造虚拟观测方程的过程中,只考虑了方程左边历元间坐标差观测量Δxt2的误差,而方程右边Mb项同样存在误差,且Δxt2Mb存在相关性, 这在理论上是不严密的。基于此,应将f=Mbxt2作为虚拟观测量,构造方程如下:

      $$ \mathit{\boldsymbol{f}} = {\mathit{\boldsymbol{M}}_m}{\mathit{\boldsymbol{\mathit{\boldsymbol{X}}}}_2} $$ (9)

      Df为虚拟观测量的方差阵,$ {\mathit{\boldsymbol{M}}_f} = \mathit{\boldsymbol{M}}_m^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{D}}_f^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{M}}_m}, {\mathit{\boldsymbol{R}}_f} = \mathit{\boldsymbol{M}}_m^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{D}}_f^{ - 1}\mathit{\boldsymbol{f}}$,可知n个历元累加的联合平差法方程为:

      $$ \begin{array}{l} \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{M}}_2}} \right)}_{ti}}} + \sum\limits_{i = 2}^n {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{M}}_f}} \right)}_{ti}}} } \right){\mathit{\boldsymbol{\mathit{\boldsymbol{X}}}}_2} = \\ \;\;\;\;\;\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{R}}_2}} \right)}_{ti}}} + \sum\limits_{i = 2}^n {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{R}}_f}} \right)}_{ti}}} \end{array} $$ (10)

      进行联合平差需要虚拟观测量f的方差阵,下面介绍由三差观测量推导f的方差阵的过程。

      通过三差观测量计算历元间坐标差的过程可表示为[9]

      $$ \begin{array}{l} \;\;\;\;\;\Delta {\mathit{\boldsymbol{x}}_{t2}} = {\left( {\mathit{\boldsymbol{A}}_{t2}^{\rm{T}}{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{P}}_{td}}} \right)}_{t2}}{\mathit{\boldsymbol{A}}_{t2}}} \right)^{ - 1}} \cdot \\ \mathit{\boldsymbol{A}}_{t2}^{\rm{T}}{\left( {{\mathit{\boldsymbol{P}}_{td}}} \right)_{t2}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{l}}_{t2}} - {\mathit{\boldsymbol{l}}_{t1}} - \Delta \mathit{\boldsymbol{A}} \cdot {{\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over X} }}}_1}} \right)}_{t1}}} \right) \end{array} $$ (11)

      式中,下标t1、t2表示历元; A为文献[9]中三差模型的设计矩阵,与站际-星间双差模型的坐标参数系数矩阵相同;${\mathit{\boldsymbol{P}}_{td}} = \mathit{\boldsymbol{D}}_{td}^{ - 1}, {\left( {{\mathit{\boldsymbol{D}}_{td}}} \right)_{t2}} = {\mathit{\boldsymbol{D}}_{t1}} + {\mathit{\boldsymbol{D}}_{t2}}, \mathit{\boldsymbol{D}}、\mathit{\boldsymbol{l}}$依次为站际-星间双差模型的协方差阵和“观测值-计算值”向量,则(Dtd)t2lt2-lt1依次为三差模型的协方差阵和“观测值-计算值”向量;ΔA=At2-At1,即历元t2与t1之间的三差模型的设计矩阵变化值; ${{{\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over X} }}}_1}} \right)}_{t1}}}$表示历元t1流动站坐标改正数的真值; 在实际计算Δxt2时,由于在高采样率条件下ΔA矩阵中元素很小,且考虑到${{{\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over X} }}}_1}} \right)}_{t1}}}$值大小约为米级,因此${\Delta \mathit{\boldsymbol{A}} \cdot {{\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over X} }}}_1}} \right)}_{t1}}}$项量级为毫米级以内,可以将其直接归入残差中,不参与计算。

      将式(11)以及${\mathit{\boldsymbol{M}}_b} = {\left( {{\mathit{\boldsymbol{N}}_{11}}} \right)^{ - 1}}_{t2}{\left( {{\mathit{\boldsymbol{w}}_1}} \right)_{t2}} - {\left( {{\mathit{\boldsymbol{N}}_{11}}} \right)^{ - 1}}_{t1}{\left( {{\mathit{\boldsymbol{w}}_1}} \right)_{t1}}$代入$\mathit{\boldsymbol{f}} = {\mathit{\boldsymbol{M}}_b} - \Delta {\mathit{\boldsymbol{x}}_{t2}}$,整理有:

      $$ \left\{ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{f}} = {\mathit{\boldsymbol{f}}_1} + {\mathit{\boldsymbol{f}}_2}\\ {\mathit{\boldsymbol{f}}_1} = {\left( {{\mathit{\boldsymbol{N}}_{11}}} \right)^{ - 1}}_{t2}\mathit{\boldsymbol{A}}_{t2}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_{t2}} - {\left( {\mathit{\boldsymbol{A}}_{t2}^{\rm{T}}{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{P}}_{td}}} \right)}_{t2}}{\mathit{\boldsymbol{A}}_{t2}}} \right)^{ - 1}} \cdot \\ \;\;\mathit{\boldsymbol{A}}_{t2}^{\rm{T}}{\left( {{\mathit{\boldsymbol{P}}_{td}}} \right)_{t2}}{\mathit{\boldsymbol{l}}_{t2}} - \left( {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{N}}_{11}}} \right)}^{ - 1}}_{t1}\mathit{\boldsymbol{A}}_{t1}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_{tl}} - } \right.\\ \left. {{{\left( {\mathit{\boldsymbol{A}}_{t2}^{\rm{T}}{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{P}}_{td}}} \right)}_{t2}}{\mathit{\boldsymbol{A}}_{t2}}} \right)}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{A}}_{t2}^{\rm{T}}{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{P}}_{td}}} \right)}_{t2}}} \right){\mathit{\boldsymbol{l}}_{t1}}\\ {\mathit{\boldsymbol{f}}_2} = {\left( {\mathit{\boldsymbol{A}}_{t2}^{\rm{T}}{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{P}}_{td}}} \right)}_{t2}}{\mathit{\boldsymbol{A}}_{t2}}} \right)^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{A}}_{t2}^{\rm{T}}{\left( {{\mathit{\boldsymbol{P}}_{td}}} \right)_{t2}}\left( {\Delta \mathit{\boldsymbol{A}} \cdot {{\mathit{\boldsymbol{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over X} }}}_{t1}}} \right) \end{array} \right. $$ (12)

      依据误差传播定律可估算Df

      $$ \mathit{\boldsymbol{D}} = {\mathit{\boldsymbol{D}}_{{f_1}}} + {\mathit{\boldsymbol{D}}_{{f_2}}} $$ (13)
      $$ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{D}}_{{f_1}}} = {\left( {{\mathit{\boldsymbol{N}}_{11}}} \right)^{ - 1}}_{t1} - {\left( {\mathit{\boldsymbol{A}}_{t2}^{\rm{T}}{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{P}}_{td}}} \right)}_{t2}}{\mathit{\boldsymbol{A}}_{t2}}} \right)^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{A}}_{t2}^{\rm{T}}{\left( {{\mathit{\boldsymbol{P}}_{td}}} \right)_{t2}}{\mathit{\boldsymbol{A}}_{t1}} \cdot {\left( {{\mathit{\boldsymbol{N}}_{11}}} \right)^{ - 1}}_{t1} - \\ \;\;\;{\left( {{\mathit{\boldsymbol{N}}_{11}}} \right)^{ - 1}}_{t1}\mathit{\boldsymbol{A}}_{t1}^{\rm{T}}{\left( {{\mathit{\boldsymbol{P}}_{td}}} \right)_{t2}}{\mathit{\boldsymbol{A}}_{t2}}{\left( {\mathit{\boldsymbol{A}}_{t2}^{\rm{T}}{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{P}}_{td}}} \right)}_{t2}}{\mathit{\boldsymbol{A}}_{t2}}} \right)^{ - 1}} - {\left( {{\mathit{\boldsymbol{N}}_{11}}} \right)^{ - 1}}_{t2} + {\left( {\mathit{\boldsymbol{A}}_{t2}^{\rm{T}}{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{P}}_{td}}} \right)}_{t2}}{\mathit{\boldsymbol{A}}_{t2}}} \right)^{ - 1}} \end{array} $$ (14)
      $$ \begin{array}{*{20}{l}} {{{\bf{D}}_{{f_2}}} = \sigma _{{{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over X} }_1}}^2\left[ {{\bf{E}} - {{\left( {{\bf{A}}_{t2}^{\rm{T}}{{\left( {{{\bf{P}}_{td}}} \right)}_{t2}}{{\bf{A}}_{t2}}} \right)}^{ - 1}}{\bf{A}}_{t2}^{\rm{T}}{{\left( {{{\bf{P}}_{td}}} \right)}_{t2}}{{\bf{A}}_{t1}} - } \right.{\bf{A}}_{t1}^{\rm{T}}{{\left( {{{\bf{P}}_{td}}} \right)}_{t2}}{{\bf{A}}_{t2}}{{\left( {{\bf{A}}_{t2}^{\rm{T}}{{\left( {{{\bf{P}}_{td}}} \right)}_{t2}}{{\bf{A}}_{t2}}} \right)}^{ - 1}} + }\\ {\left. {\;\;\;\;\;{{\left( {{\bf{A}}_{t2}^{\rm{T}}{{\left( {{{\bf{P}}_{td}}} \right)}_{t2}}{{\bf{A}}_{t2}}} \right)}^{ - 1}}{\bf{A}}_{t2}^{\rm{T}}{{\left( {{{\bf{P}}_{td}}} \right)}_{t2}}{{\bf{A}}_{t1}}{\bf{A}}_{t1}^{\rm{T}}{{\left( {{{\bf{P}}_{td}}} \right)}_{t2}}{{\bf{A}}_{t2}}{{\left( {{\bf{A}}_{t2}^{\rm{T}}{{\left( {{{\bf{P}}_{td}}} \right)}_{t2}}{{\bf{A}}_{t2}}} \right)}^{ - 1}}} \right]} \end{array} $$ (15)

      式中,$\sigma _{{{\mathit{\boldsymbol{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over X} }}}_1}}^2$为${{{\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over X} }}}_1}} \right)}_{t1}}}$的3个方向分量的大小估计; 实际中${{{\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over X} }}}_1}} \right)}_{t1}}}$的值是未知的,采用伪距差分技术可保证${{{\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over X} }}}_1}} \right)}_{t1}}}$的3个分量的偏差在几分米至几米内。考虑到适当提高虚拟观测值的权有利于改善模糊度法方程的病态性,但虚拟观测值的权重也不宜过大,否则会歧化载体的运动信息[5],本文实验中$\sigma _{{{\mathit{\boldsymbol{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over X} }}}_1}}^2$可取1 m2。数值计算表明Df1的元素远远小于Df2的元素,实际计算中可省略Df1项的计算,即直接取Df=Df2

    • 为了分析验证新方法的有效性,设计4种实验方案。

      方案1  最小二乘法,以式(2)作为法方程;

      方案2  历元间差分法,以式(7)作为法方程;

      方案3  基于Helmert方法分量估计的历元间差分方法,以式(8)作为法方程;

      方案4  本文方法,以式(10)作为法方程。

      首先分别采用上述4种方案计算模糊度的浮点解及其协方差阵,然后采用最小二乘模糊度降相关(least-squares ambiguity decorrelation adjustment, LAMBDA)[12]算法进行模糊度搜索,最后采用ratio值检验进行模糊度确认。

    • 本实验数据来源于某海域的船载动态GPS数据,静态基站设置在岸边,流动站天线载体为轮船。基线长度随时间在12~5 km范围内变化,观测时间为30 min,卫星截止高度角为15°,数据采样间隔1 s,采用L1频观测数据作为本算例实验数据,共观测到9颗卫星,依次为G02、G06、G08、G10、G15、G21、G24、G26、G29,将高度角最大的G26作为参考卫星,8个模糊度参考解为[30 34 12 1 18 18 32 20]T。为了比较4种方法的优劣,主要依据以下4个指标进行分析。

      1) cond:定位法方程矩阵的条件数,表征法方程的病态性;

      2) DN2:模糊度浮点解与模糊度参考解之差的二范数,若${\hat N}$表示模糊度浮点解,N表示模糊度的参考解(文中模糊度参考解由RTKLIB事后处理软件包RTKPOST解算得到),${\rm{DN}}2 = {\left\| {\hat N - N} \right\|_2}, {\left\| \cdot \right\|_2}$表示向量的二范数,DN2表征模糊度浮点解的精度;

      3) trQ:模糊度浮点解协方差阵的迹,表征模糊度浮点解的理论精度。DN2表征模糊度浮点解的真实精度,理论上应当满足trQ≥DN2×DN2;

      4) ratio[13]:模糊度固定检验量,模糊度最优解残差加权平方和与次优解残差加权平方和的比值,表征模糊度固定的可靠性。

      将30 min的数据按5 min为间隔分成6段,以每一段的起始时刻作为起算点,分别按照4种方案进行计算,统计了每个起算点20个历元即20 s的观测数据计算的cond、DN2、trQ以及ratio值,结果见表 1

      表 1  4种方案计算cond、DN2、trQ、ratio

      Table 1.  cond, DN2, trQ, ratio with Different Schemes

      指标 方案 将30 min的数据按5 min为间隔分成6段
      1 2 3 4 5 6
      cond 方案1 23 836 276 23 074 280 22 974 566 23 521 320 24 675 905 26 414 458
      方案2 16 040 548 14 802 795 17 003 853 15 581 614 17 900 710 16 043 176
      方案3 80 732 223 864 1 596 937 248 512 183 509 260 200
      方案4 88 851 82 535 78 030 75 933 76 182 78 063
      DN2
      方案1 27.29 20.83 16.26 22.79 13.85 18.54
      方案2 19.96 10.63 11.91 16.97 9.77 8.34
      方案3 1.57 2.15 3.27 4.09 2.41 1.60
      方案4 2.89 2.71 3.68 4.27 2.99 1.67
      trQ
      方案1 2 893.06 2 687.27 2 540.37 2 448.85 2 410.57 2 425.32
      方案2 1 997.12 1 760.19 1 901.74 1 630.55 1 751.43 1 454.42
      方案3 8.27 20.39 140.57 18.17 12.21 15.98
      方案4 10.51 10.11 9.79 9.54 9.37 9.28
      ratio 方案1 1.02 1.20 1.02 1.13 1.15 1.07
      方案2 1.04 1.32 1.14 1.01 1.29 1.22
      方案3 4.89 13.69 3.64 2.44 7.20 4.17
      方案4 4.15 13.26 6.04 1.58 8.39 4.14
      注:下划线表示模糊度搜索最优解是错误的

      对于不附加额外观测信息的最小二乘法(方案1),法方程的条件数cond量级达到107以上,方程严重病态;一方面造成模糊度浮点解精度很低,表现为DN2值较大,达到10周以上;另一方面,法方程病态性导致模糊度浮点解协方差阵严重膨胀,表现为trQ值很大,量级达到103以上。这两方面都极不利于搜索及确认正确的模糊度,表现为方案1的ratio值都很小,且模糊度搜索得到的最优解多数是错误的,即使正确,ratio值也远没有达到模糊度确认的阈值,该值一般设置为3[14]。方案2较方案1有一定的优化,但是改善并不明显。

      方案3和方案4方程的病态性改善显著,方案3的cond量级下降到106~104,而方案4的cond量级稳定在104。从DN2、trQ和ratio值3个指标看,方案3和方案4的解算效果基本相当。两者计算的DN2都在5周以内,方案3的浮点解精度较之方案4都更高,但是差异不大。模糊度搜索成功与否不仅依赖模糊度浮点解的精度,还需要与之匹配的浮点解方差信息。方案3和方案4都较好地抑制了病态导致方差膨胀的问题。较之方案3,方案4的trQ更为稳定,这与方案4采用观测值先验定权策略有关。由于先验方差是基于经验给定的,比较稳定,在GNSS定位中一般与实际情况比较相符;但是对于部分历元模型残余误差放大或者出现粗差时不能很好地匹配,这也是方案3部分ratio值高于方案4的原因。整体上看,方案3和方案4两者结果基本相当,但是方案4无需迭代进行方差分量估计,在解算稳定性及效率上更优,更适合在实时动态(real-time kinematic, RTK)中推广应用。

    • 采用50 min的飞机航测数据,利用其L1频观测数据作为本算例实验数据,数据采样间隔为1 s,卫星截止高度角为15°,共观测7颗卫星,基线长度约在12~1 km之间变化。对观测数据从0~40 min每隔5 min取每一段的起始时刻作为模糊度在航解算的起算时刻,总共取9个起算时刻。以模糊度检验量ratio>3.0作为模糊度固定的条件[15],为保证模糊度固定的可靠性,只有一段时间内持续满足ratio>3.0这一条件才认为模糊度固定正确[14]。分别按照4种方案计算,对满足连续5个历元ratio>3.0的所需观测时间进行了统计,见表 2。本算例中各方案计算的cond、DN2、trQ的表现特性类似于算例1,限于篇幅,这里不再展示。

      表 2  不同起算时刻各方案模糊度固定所需时间/s

      Table 2.  Time Required to Fix Ambiguity with Different Start Time for All Schemes/s

      方案 7:45 7:50 7:55 8:00 8:05 8:10 8:15 8:20 8:25 8:30 8:35 8:40
      方案1 381 520 286 239 122 135 426 217 189 234 544 447
      方案2 380 190 279 158 121 134 346 210 168 221 491 445
      方案3  17 172   8   8  12  76  19 205  67  10 350 215
      方案4  13  88   7   6   8 108   7  17  50   8  36  24

      表 2可知,方案2的模糊度解算效率要高于方案1,但是提高并不明显。方案3和方案4较之前两种方案模糊度解算效率都有了明显提高,说明合理给定虚拟观测值的权阵有利于提高模糊度浮点解的精度,提高模糊度解算效率。而采用由原始观测量的先验方差直接推导得到虚拟观测值的权阵的方案4即新方法,模糊度固定效率和稳定性较采用方差分量估计的方案3要高。

    • 本文提出了一种顾及历元间坐标差信息的GPS模糊度快速固定的改进算法。该方法基于历元间坐标差法的基本思想,对历元间坐标差虚拟观测方程进行了重新构造,并给出了对应的虚拟观测值方差阵计算公式。实验结果表明,采用新方法构造的虚拟观测方程及其权阵是合理且有效的,较之以往的顾及历元间坐标差的模糊度固定方法,新方法在模糊度固定的效率和稳定性上都有了较大的提升。因此,该方法在单频GPS RTK定位中具有较好的应用前景。下一步将采用更多的实验数据对新方法进行测试,以进一步完善该方法。

参考文献 (15)

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