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基于信噪比检验的双截断奇异值估计

李豪 顾勇为 韩松辉

李豪, 顾勇为, 韩松辉. 基于信噪比检验的双截断奇异值估计[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2019, 44(2): 228-232, 239. doi: 10.13203/j.whugis20170051
引用本文: 李豪, 顾勇为, 韩松辉. 基于信噪比检验的双截断奇异值估计[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2019, 44(2): 228-232, 239. doi: 10.13203/j.whugis20170051
LI Hao, GU Yongwei, HAN Songhui. Double Truncated Singular Value Estimation Based on Signal-to-Noise Ratio Test[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2019, 44(2): 228-232, 239. doi: 10.13203/j.whugis20170051
Citation: LI Hao, GU Yongwei, HAN Songhui. Double Truncated Singular Value Estimation Based on Signal-to-Noise Ratio Test[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2019, 44(2): 228-232, 239. doi: 10.13203/j.whugis20170051

基于信噪比检验的双截断奇异值估计

doi: 10.13203/j.whugis20170051
基金项目: 

国家自然科学基金 41174005

国家自然科学基金 41474009

详细信息
    作者简介:

    李豪, 硕士生, 主要研究方向为应用统计学。lihao6618@163.com

  • 中图分类号: P207

Double Truncated Singular Value Estimation Based on Signal-to-Noise Ratio Test

Funds: 

The National Natural Science Foundation of China 41174005

The National Natural Science Foundation of China 41474009

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    Author Bio:

    LI Hao, postgraduate, specializes in applied statistics. E-mail: lihao6618@163.com

图(1) / 表(2)
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出版历程
  • 收稿日期:  2017-12-19
  • 刊出日期:  2019-02-05

基于信噪比检验的双截断奇异值估计

doi: 10.13203/j.whugis20170051
    基金项目:

    国家自然科学基金 41174005

    国家自然科学基金 41474009

    作者简介:

    李豪, 硕士生, 主要研究方向为应用统计学。lihao6618@163.com

  • 中图分类号: P207

摘要: 将复共线性对参数估计危害的度量结果与截断奇异值估计相结合,提出了基于信噪比检验的双截断奇异值估计。利用信噪比检验,根据每个参数最小二乘估计信噪比估值的大小将待估参数分为受复共线性危害较大和较小的两部分,并对这两部分参数的截断奇异值估计进行不同强度的截断。对受复共线性危害较大的部分参数,使其截断参数相对较小,对受复共线性危害较小的部分参数,使其截断参数较大。这种精细化的处理在有效降低参数估计方差的同时减少了偏差的引入。将基于信噪比检验的双截断奇异值估计应用于GEO卫星定轨仿真算例中,实验结果表明,新方法的解算精度较高。

English Abstract

李豪, 顾勇为, 韩松辉. 基于信噪比检验的双截断奇异值估计[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2019, 44(2): 228-232, 239. doi: 10.13203/j.whugis20170051
引用本文: 李豪, 顾勇为, 韩松辉. 基于信噪比检验的双截断奇异值估计[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2019, 44(2): 228-232, 239. doi: 10.13203/j.whugis20170051
LI Hao, GU Yongwei, HAN Songhui. Double Truncated Singular Value Estimation Based on Signal-to-Noise Ratio Test[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2019, 44(2): 228-232, 239. doi: 10.13203/j.whugis20170051
Citation: LI Hao, GU Yongwei, HAN Songhui. Double Truncated Singular Value Estimation Based on Signal-to-Noise Ratio Test[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2019, 44(2): 228-232, 239. doi: 10.13203/j.whugis20170051
  • 在大地测量的控制网平差、航空重力向下延拓、GPS快速定位等领域中,大量存在病态问题。其在相应的线性方程组中则呈现设计矩阵具有严重的复共线性特征。针对大地测量中的病态问题,国内外学者提出了许多解决方法。目前广泛应用的方法主要分为两类:一是有偏估计方法和理论[1-3];二是截断奇异值估计等直接解算方法[4]

    如果设计矩阵存在复共线性,很小的观测误差就会造成估计结果严重偏离真值。为了得到精确、可靠的平差结果,必须削弱和克服设计矩阵复共线性对参数估计的不良影响。克服复共线性危害的前提是准确地找到设计阵中存在的复共线性关系,即进行复共线性诊断。到目前为止,国内外学者已经提出10余种复共线性诊断方法[5-10],包括条件数法、方差扩大因子法、特征分析法、条件指标-方差分解比法等。许多学者在将复共线性诊断和处理相结合方面做了深入的研究[11-14]。文献[11]基于复共线性诊断和度量的结果, 提出了测量平差Gauss-Markov模型参数的部分岭估计。文献[13]利用特征分析法确定法矩阵中的复共线性关系个数, 以及具体存在于法矩阵的哪几列中, 据此提出了双K型岭估计, 并将其应用于GEO卫星定轨中。文献[14]首先深入分析了岭估计和截断奇异值(truncated singular value decomposition, TSVD)估计存在的缺陷和不足,结合对复共线性诊断、度量获得的重要信息,引入适当的滤波因子设计基于复共线性诊断的截断型岭估计, 计算其偏差并从中去掉偏差, 得到偏差矫正的截断型岭估计。

    值得注意的是,虽然复共线性经常令测量平差受挫,造成参数估计不准确,并且这种危害有时是灾难性的,然而复共线性也并非总是过分伤害到了每个参数的估计,有时复共线性虽然引起了参数估计的方差膨胀,但未膨胀到严重掩盖参数真值的程度。由此看来,复共线性对参数估计的危害是潜在的,但每个参数估计受到复共线性的危害的大小却不尽相同。因此,需要对复共线性对参数估计危害大小作出合适的度量,由此可以客观评价采用最小二乘(least square, LS)估计作为测量平差模型中未知参数的估计的合理性,以及科学地判断对LS估计作出进一步修改的必要性。Belsley系统地介绍了信号-噪声比(简称信噪比)的概念和思想[15]。文献[12]针对测量平差实际,引进和发展信噪比的概念,运用该方法能够对每个参数的估计是否受到复共线性的危害及其危害的大小作出较为合理的判断。

    本文利用信噪比检验方法,对每个参数的LS估计受到复共线性危害的大小作出判断,据此提出基于信噪比检验的双截断奇异值估计,对受复共线性危害较大的部分参数,使其截断参数相对较小,对受复共线性危害较小的部分参数,使其截断参数较大。通过这种精细化的处理,在降低参数估计方差的同时减少偏差的引入。

    • 考虑线性模型:

      $$ \left\{ \begin{gathered} \mathit{\boldsymbol{L}} = \mathit{\boldsymbol{AX}} + \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }} \hfill \\ E\left( \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }} \right) = 0, {\text{Cov}}\left( \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }} \right) = \sigma _0^2{\mathit{\boldsymbol{I}}_{\text{n}}} \hfill \\ \end{gathered} \right. $$ (1)

      式中,An×t阶矩阵,rank(A)=t,并且对地球物理反问题而言,A通常是接近奇异的;未知参数X=(X1, X2Xt)的最小二乘估计为:

      $$ {\mathit{\boldsymbol{\hat X}}_{{\text{LS}}}} = {\left( {{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\text{T}}}\mathit{\boldsymbol{A}}} \right)^{-1}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\text{T}}}\mathit{\boldsymbol{L}} $$ (2)

      对设计矩阵A作如下奇异值分解:

      $$ \begin{gathered} \mathit{\boldsymbol{A}} = \left[{{\mathit{\boldsymbol{u}}_1}\;{\mathit{\boldsymbol{u}}_2} \cdots {\mathit{\boldsymbol{u}}_n}} \right]\left[{\begin{array}{*{20}{l}} {{\sigma _1}}&{}&{}&{} \\ {}&{{\sigma _2}}&{}&{} \\ {}&{}& \ddots &{} \\ {}&{}&{}&{{\sigma _t}} \end{array}} \right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{v}}_1^{\text{T}}} \\ {\mathit{\boldsymbol{v}}_2^{\text{T}}} \\ \vdots \\ {\mathit{\boldsymbol{v}}_t^{\text{T}}} \end{array}} \right] = \hfill \\ \left[{{\mathit{\boldsymbol{u}}_1}\;{\mathit{\boldsymbol{u}}_2} \cdots {\mathit{\boldsymbol{u}}_t}} \right]\left[{\begin{array}{*{20}{l}} {{\sigma _1}}&{}&{}&{} \\ {}&{{\sigma _2}}&{}&{} \\ {}&{}& \ddots &{} \\ {}&{}&{}&{{\sigma _t}} \end{array}} \right]\left[\begin{gathered} \mathit{\boldsymbol{v}}_1^{\text{T}} \hfill \\ \mathit{\boldsymbol{v}}_2^{\text{T}} \hfill \\ \vdots \hfill \\ \mathit{\boldsymbol{v}}_t^{\text{T}} \hfill \\ \end{gathered} \right] \hfill \\ \end{gathered} $$ (3)

      U=[u1 u2ut],V=[v1 v2vt],Λ=diag(σ1, σ2σt),有UTU=ItVTV=VVT=Itσ1σ2≥…≥σt>0为A的非零奇异值。则

      $$ \mathit{\boldsymbol{A}} = \mathit{\boldsymbol{U \boldsymbol{\varLambda} }}{\mathit{\boldsymbol{V}}^{\text{T}}} $$ (4)

      将式(3)代入式(2),得到最小二乘估计的奇异值展开式为:

      $$ {\mathit{\boldsymbol{\hat X}}_{{\text{LS}}}} = \sum\limits_{i = 1}^t {\left( {\frac{{\mathit{\boldsymbol{u}}_i^{\text{T}}\mathit{\boldsymbol{L}}}}{{{\sigma _i}}}} \right)} {\mathit{\boldsymbol{v}}_i} $$ (5)

      未知参数X的截断奇异值估计为:

      $$ {\mathit{\boldsymbol{\hat X}}_{{\text{TSVD}}}} = \sum\limits_{i = 1}^k {\left( {\frac{{\mathit{\boldsymbol{u}}_i^{\text{T}}\mathit{\boldsymbol{L}}}}{{{\sigma _i}}}} \right){\mathit{\boldsymbol{v}}_i}} $$ (6)

      其中, k为截断参数。

      对照式(5)和式(6),截断奇异值估计就是将最小二乘估计奇异值展开式中小奇异值对应的项去掉,从而减少小奇异值对误差的放大。根据信噪比剖析,并不是所有参数的最小二乘估计都不好,没有参与复共线性的数据列所对应的参数,或者本身数量级较大的参数,它们的LS估计本身效果比较好,而TSVD估计是对所有参数进行完全一致的截断,这种截断具有一定的盲目性,不够精准。通过计算每个待估参数LS估计的信噪比估计量,可以确定各个参数受复共线性危害的大小,如式(7)所示[12, 15]:

      $$ {F_i} = \frac{{{{\left( {\hat X_{{\text{LS}}}^i} \right)}^2}/{\text{Var}}\left( {\hat X_{{\text{LS}}}^i} \right)}}{{{\mathit{\boldsymbol{E}}^{\text{T}}}\mathit{\boldsymbol{E/}}\left[{\left( {n-t} \right)\sigma _0^2} \right]}} $$ (7)

      式中,$\mathit{\boldsymbol{E}} = \mathit{\boldsymbol{A}}{\mathit{\boldsymbol{\hat X}}_{{\text{LS}}}}-\mathit{\boldsymbol{L}}$为残差向量,$\hat X_{{\text{LS}}}^i$为第i个参数Xi的LS估计,式(7)称为第i个参数Xi的信噪比估计量。

      利用文献[12]的检验法则:当FiF1, n-r, χ12(γ)(ω)时,认为Xi的信噪比估计量Fi较小,复共线性对相应参数估计$\hat X_{{\text{LS}}}^i$的危害比较严重,其估计效果不好;当Fi>F1, n-r, χ12(γ)(ω)时,认为Xi的信噪比估计量Fi较大,复共线性对相应参数估计$\hat X_{{\text{LS}}}^i$的危害比较小,其估计效果较好。其中ω为显著性水平;F1, n-r, χ12(γ)(ω)是非中心F分布F1, n-r, χ12(γ)的上侧ω分位点。实际应用中,判断信噪比估计量大小的阈值的选取可以根据具体情况灵活确定,不必拘泥于由显著性水平所确定的分位点,具体选取方法可参阅文献[12]。

      通过计算信噪比估计量,可将待估参数分为两部分X=[XaT XbT]T,其中信噪比估计量较大的s个参数为Xa=[X1 X2Xs]T,它们受复共线性的危害较小;信噪比估计量较小的ts个参数为Xb=[Xs+1 Xs+2Xt]T,它们受复共线性的危害较大。根据信噪比检验的结果,对信噪比估计量较小的参数截断多一些,对信噪比估计量较大的参数截断少一些。据此,下面构造基于复共线性诊断的双截断奇异值估计(double truncated singular value estimation based on signal-to-noise ratio test,DTS):

      $$ {\mathit{\boldsymbol{\hat X}}_{{\text{DTS}}}} = \sum\limits_{i = 1}^{{k_1}} {\left( {\frac{{\mathit{\boldsymbol{u}}_i^{\text{T}}\mathit{\boldsymbol{L}}}}{{{\sigma _i}}}} \right)} {\mathit{\boldsymbol{v}}_i} + \sum\limits_{i = {k_1} + 1}^{{k_2}} {\mathit{\boldsymbol{H}}\left( {\frac{{\mathit{\boldsymbol{u}}_i^{\text{T}}\mathit{\boldsymbol{L}}}}{{{\sigma _i}}}} \right){\mathit{\boldsymbol{v}}_i}} $$ (8)

      式中,k1k2为两个截断参数;Ht×t维对角矩阵:

      $$ \mathit{\boldsymbol{H}} = \left[{\begin{array}{*{20}{l}} 1&{}&{}&{}&{}&{} \\ {}& \ddots &{}&{}&{}&{} \\ {}&{}&1&{}&{}&{} \\ {}&{}&{}&0&{}&{} \\ {}&{}&{}&{}& \ddots &{} \\ {}&{}&{}&{}&{}&0 \end{array}} \right]\begin{array}{*{20}{c}} {第s行} \\ {第s + 1行} \end{array} $$ (9)

      k1的确定借鉴文献[12]中的做法,构造如下的TSVD估计的信噪比估计量:

      $$ {T_i} = \frac{{{{\left( {\hat X_{{\text{TSVD}}}^i- X_0^i} \right)}^2}/{\text{Var}}\left( {\hat X_{{\text{TSVD}}}^i} \right)}}{{{\mathit{\boldsymbol{E}}^{\text{T}}}\mathit{\boldsymbol{E/}}\left[{\left( {n-t} \right)\sigma _0^2} \right]}} $$ (10)
      $$ \begin{gathered} {\text{Var}}\left( {{{\hat X}_{{\text{TSVD}}}}} \right) = {\text{Var}}\left[{\sum\limits_{i = 1}^k {\left( {\frac{{\mathit{\boldsymbol{u}}_i^{\text{T}}\mathit{\boldsymbol{L}}}}{{{\sigma _i}}}} \right){\mathit{\boldsymbol{v}}_i}} } \right] = \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sigma _0^2\sum\limits_{i = 1}^k {\left( {\frac{{{\mathit{\boldsymbol{v}}_i}\mathit{\boldsymbol{u}}_i^{\text{T}}}}{{{\sigma _{\text{i}}}}}} \right){{\left( {\frac{{{\mathit{\boldsymbol{v}}_i}\mathit{\boldsymbol{u}}_i^{\text{T}}}}{{{\sigma _i}}}} \right)}^{\text{T}}}} \hfill \\ \end{gathered} $$ (11)

      式中,X0i为真值Xi的对比值,称式(10)为第i个参数Xi的TSVD估计$\hat X_{{\text{TSVD}}}^i$的信噪比估计量。当反映各个待估参数X1Xt估计效果差异的信噪比估计量T1Tt之间的差异很大时,说明总体估计质量不好。分析式(10),t个信噪比估计量Ti的差异性体现在其分子上,即t个${\left( {\hat X_{{\text{TSVD}}}^i-X_0^i} \right)^2}/{\text{Var}}\left( {\hat X_{{\text{TSVD}}}^i} \right)$之间差异很大,参数估计值与其标准差之间的协调性出现了问题。因为小数量级参数在被估计时,若标准差较大,则可能严重失真。无论参数的数量级如何,${\left( {\hat X_{{\text{TSVD}}}^i-X_0^i} \right)^2}/{\text{Var}}\left( {\hat X_{{\text{TSVD}}}^i} \right)$应大致相当,或差异不大时才协调。若过分失调,解算结果势必扭曲失真。为衡量t个参数的这种差异性,给出如下指标:

      $$ {\text{di}}{{\text{f}}_{{\text{TSVD}}}} = \frac{{\mathop {\max }\limits_{i = 1 \cdots t} \left\{ {{T_i}} \right\}}}{{\mathop {\min }\limits_{i = 1 \cdots t} \left\{ {{T_i}} \right\}}} $$ (12)

      式(12)为t个TSVD估计值之间的信噪差异指标。如果TSVD解的效果较好,t个参数估计结果比较协调,t个参数的信噪比估计量差异较小,对应指标式(12)应该较小。据此提出k1的确定方法:先将取各种截断参数时的TSVD解求出,然后计算在每种情况下TSVD估计的信噪差异指标并找出其中的最小值,该最小值对应的截断参数即为合适的k1

      k2的确定方法:根据确定k1方法的思想,对于信噪比估值较大的s个参数[X1 X2Xs]T,先将截断参数k2分别取k1+1…t时的DTS解求出,然后计算在每种情况下DTS估计的信噪差异指标,并找出其中的最小值,该最小值对应的截断参数即为最终的k2

      综上所述,本文提出的DTS算法主要分为以下几个步骤:

      1) 计算每个参数的信噪比估计量,将全部参数按信噪比估计量大小分为两类;

      2) 根据式(10)计算TSVD估计的信噪比估计量,然后按照式(12)计算TSVD估计的信噪差异指标,进而确定截断参数k1

      3) 再次利用信噪差异指导思想,在确定截断参数k1的基础上确定截断参数k2

      4) 按照式(8)计算得到新算法的估计结果。

    • 算例1:采用文献[16]中模拟空间测边网的算例。D1D9为9个已知点,其坐标见表 1,9个已知点到两个未知点D10D11(假设模拟真值分别为(0,0,0)和(7,10,-5))的观测距离di, 10di, 11也列于表 1。两个未知点之间的观测距离为d10, 11=13.108 m。各距离为等精度观测,中误差为±0.010 m。要求根据19个观测距离确定两个未知点的坐标。

      表 1  控制点的坐标和观测距离

      Table 1.  Coordinates of Control Points and Measured Distances

      点号 坐标/m 观测距离/m
      X Y Z di, 10 di, 11
      D1 23.000 10.000 0.010 25.079 16.765
      D2 -10.000 9.990 0.000 14.135 17.720
      D3 35.000 10.010 -0.010 36.416 28.440
      D4 100.000 19.990 0.005 101.479 93.168
      D5 -36.000 10.005 0.000 37.364 43.299
      D6 0.000 10.010 -0.050 10.010 8.601
      D7 56.000 9.995 0.010 56.996 49.256
      D8 -15.000 10.015 -0.010 18.036 22.560
      D9 -17.000 10.008 0.015 10.151 10.042

      算例中,法矩阵的条件数为4.602×103,属于病态问题。首先计算出LS估计的信噪比估计量为(7.711×103,4.212×103,0.027×103,8.346×103,0.000 1×103,1.004×103),可以看出, 第3和第5个参数的LS估计的信噪比估计量明显小于其他参数,由此确定第3和第5个参数受到复共线性危害较大,其余参数受到复共线性危害较小。根据步骤2)、步骤3)确定截断参数k1=5,k2=6,再分别计算LS估计、岭估计、TSVD估计、DTS估计的结果。参数估值$\mathit{\boldsymbol{\hat X}}$以及$\left\| {\Delta \mathit{\boldsymbol{\hat X}}} \right\| = \left\| {\mathit{\boldsymbol{\hat X}}-\mathit{\boldsymbol{X}}} \right\|$的大小如表 2所示。

      表 2  4种算法解算结果及精度/m

      Table 2.  Results and Accuracy of Four Algorithms/m

      估计方法 $\mathit{\boldsymbol{\hat X}}$坐标值 $\left\| {\Delta \mathit{\boldsymbol{\hat X}}} \right\|$
      真值 0 0 0 7 10 -5 0
      LS估计 0.075 0.011 -9.319 7.013 14.602 -5.033 10.394
      岭估计 0.074 0.026 -0.013 7.074 10.019 -4.948 0.121
      TSVD 0.080 0.034 0.037 7.083 10.030 -4.902 0.162
      DTS估计 0.075 0.012 0.037 7.013 10.030 -5.033 0.097

      从解算结果可以看出,LS估计严重失真,岭估计和TSVD估计两种方法均有效改善了求解的质量,而本文提出的DTS估计则达到了较高的求解质量。

      算例2:采用文献[13]中GEO定轨的算例。设GEO卫星定点于160°E,3个模拟地面观测站为北京、三亚和成都,基本观测量是站星之间的单程测距,以均值为1 m、方差为1的正太分布随机变量为随机误差,数据采样间隔为60 s,初始历元的卫星位置三分量均附加10 m固定偏差。采用动力法进行LS批处理定轨,待估状态向量X分别为初始历元的卫星位置和速度向量、2个光压参数η和$\dot \eta $、两个测站(三亚和成都)系统偏差参数、沿迹方向的2个周日周期经验力振幅共12参数。定轨弧长从4 h到3 d。

      为考察复共线性对定轨弧长的敏感性,逐历元累加法矩阵。12参数8 h观测数据法矩阵的特征值为(160.500,570.420,7.600×107,1.030×109,5.550×1010,7.210×1018,3.280×1020),其条件数达到1019数量级,说明法矩阵具有严重的病态性。采取以下4种方案分析讨论:①LS估计;②文献[13]提出的双K型岭估计;③TSVD估计。④本文提出的DTS估计。

      以卫星位置的三维定轨误差(即3个位置参数的误差)绝对值的平均值为定轨评价标准。在方案④中,在240历元时,3个位置参数LS估计的信噪比估计量为(0.121,0.008,1.175),可以看出第2个位置参数LS估计的信噪比估计量明显小于其他两个位置参数,由此确定第2个位置参数受到复共线性危害较大,其余位置参数受到复共线性危害较小,根据§1中步骤2)、步骤3)确定截断参数k1=9,k2=11,以后的每个历元均照此进行。

      上述4种方案的位置误差随定轨弧长从4 h(240历元)到3 d(4 320历元)的变化情况如图 1所示。由图 1可以看出:

      图  1  4种方案误差精度

      Figure 1.  Error Accuracy of Four Schemes

      1) 当观测历元较少时,设计阵病态性比较严重,LS估计精度很差,双K型岭估计精度有所改善,而TSVD估计和DTS估计精度明显优于以上两种估计。

      2) 随着观测历元的增加,病态性逐渐减弱。在1 000历元之后,设计阵病态性较弱,LS估计、双K型岭估计和DTS估计结果精度基本相当,定轨误差均在10 m以内,而TSVD估计定轨误差在13 m左右。

      3) 无论观测历元较少还是观测历元较多,DTS估计定轨精度一直稳定在10 m以内,TSVD估计的定轨精度一直稳定在13 m左右,DTS估计的定轨精度高于TSVD估计,而且具有良好的稳健性。

    • 本文提出的DTS估计利用信噪比检验,将各个待估参数按受到复共线性危害的大小分为两类,据此对截断奇异值估计做出改进。对于受到复共线性危害较大的参数部分,选取的截断参数小一些,而对于受到复共线性危害较小的参数部分,选取的截断参数大一些,在有效降低参数估计方差的同时尽量减少偏差的引入。将DTS估计应用于GEO卫星定轨仿真算例中,数值实验表明,该方法可以得到比其他方法精度更高的参数估计结果。

参考文献 (16)

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