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数字高程模型(digital elevation model, DEM)是地表形态的数字化表达，空间插值是构建DEM的常用方法之一[1]。DEM插值会存在误差，其数据精度会影响后续地形分析结果的准确性[2]，如对坡度、坡向的影响等[3-4]。很多学者对此做了大量研究，如汤国安等提出了DEM地形描述误差概念，定量地揭示了误差的空间分布规律[5-6]；王春等提出了中误差场和极值场量化模型[7]；陈永刚等发现DEM重采样产生的误差与坡度成正相关[8]；贾旖旎等、周兴华等探讨了DEM内插对坡度、坡向精度的影响[9-10]；王耀革等对DEM误差的空间自相关特征进行了研究[11]。随着数据采集技术的不断更新，大比例尺DEM得到了广泛使用。现有学者对大比例尺DEM的生成及可视化、数据更新、DEM内插精度等方面开展了研究[12-14]，在DEM的建立及其精度评价方面取得了丰硕的成果。
上述大比例尺DEM的研究区域一般较大，样区多位于中国黄土高原、东北黑土区[15-16]等地，对西南干热河谷区小范围内密集分布、侵蚀剧烈的冲沟插值误差的研究还有待深入。近年来对元谋干热河谷DEM构建的研究表明，用径向基函数(radial basis function, RBF)插值时，选择张力样条(spline with tension, ST)函数且邻域点数3~18个，插值效果较好[17]；用反距离加权(inverse distance weighting, IDW)插值时, 选择权指数为2、邻域点数4~8个、4方向插值效果较好[18]。本文基于实测高程点插值构建DEM，探讨其误差的空间分布特征，以期为元谋干热河谷区构建高精度DEM提供参考。
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利用相对差系数定量分析不同插值方法构建表面的差异，将IDW、局部多项式(local polynomial interpolation, LPI)、ST、析取克里格(disjunctive Kriging，DK)和不规则三角网(triangulated irregular network，TIN) 5种方法生成的DEM进行交互对比，选择其中一种作为基准方法，其他为比较方法。相对差系数α可定义为[19]：
$$ \alpha = 1-\frac{{\sum\limits_{{\rm{ }}i = 1}^n {{{\left( {A_{{\rm{comp}}}^i-A_{{\rm{base}}}^i} \right)}^2}} }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {A_{{\rm{comp}}}^i-{{\bar A}_{{\rm{base}}}}} \right)}^2}} }} $$ (1) 式中，Abasei表示基准方法生成的高程值；Acompi表示比较方法生成的高程值；Abase表示基准方法生成的DEM高程平均值；n为DEM格网数量。以斜率为1的直线拟合基准方法和比较方法，则α可以刻画两者之间的总偏离程度。若α＝1，表示两种方法插值结果没有差异；α越小，表示两者差异越大；若α＜0，则表示两者插值结果无可比性。
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变异系数(coefficient of variation, CV)可用来判别高程误差的空间分布类型，设插值后产生的高程误差点集为S={P1，P2，P3…Pn}，则任意高程误差点的Voronoi区域可表示为[20]：
$$ \begin{array}{l} {T_i} = \{ x\left| {d{{\left( {x, P} \right)}_i} \le d{\rm{ }}\left( {x, {P_j}} \right), } \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;{P_i}, {P_j} \in S, i \ne j\} \end{array} $$ (2) 式中，x为空间中任一高程误差点；d(x, Pi)为平面距离函数。CV值定义为Voronoi多边形面积标准差σ与高程平均值A的比值[21]：
$$ CV = \frac{\sigma }{{\bar A}} $$ (3) 由文献[21]可知，当CV值为33%~64%时，为随机分布；当CV值大于64%时，为集群分布；当CV值小于33%时，为均匀分布。
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Moran指数可用来反映空间邻近区域单元属性值的相似程度，计算公式为[22]：
$$ I = n\frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {} \sum\limits_{j = 1}^n {{W_{ij}}\left( {{x_i}-\bar x} \right)\left( {{x_j}-\bar x} \right)} }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {} \sum\limits_{j = 1}^n {{W_{ij}}} \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{x_i}-\bar x} \right){^2}} }} $$ (4) 式中，I为全局Moran指数；xi、xj分别为单元i、j的误差；n为单元数量；x为n个单元的误差平均值；Wij表示i和j的影响权重。I的取值范围一般为[-1, 1]，I＞0代表邻近正相关；I＜0代表邻近负相关；I=0则代表不相关。通过全局空间自相关分析可以探究高程误差点的聚集效应。
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Getis-Ord Gi*指数是一种基于距离权矩阵的局部空间自相关指标，可以用来探测误差在空间上的聚集区域。计算公式为[22]：
$$ G_i^* = \frac{{\sum\limits_{j = 1}^n {{W_{ij}}{X_i}} }}{{\sum\limits_{j = 1}^n {{X_j}} }} $$ (5) 式中，Wij为i和j的距离权重；Xi、Xj分别为空间单元i、j的误差值。局部Gi*指数可进行标准化处理得：
$$ Z\left( {G_i^*} \right) = \frac{{G_i^*-E\left( {G_i^*} \right)}}{{\sqrt {{\rm{Var}}\left( {G_i^*} \right)} }} $$ (6) 式中，E(Gi*)为Gi*的数学期望；Var(Gi*)为Gi*的变异函数。其中，如果Z(Gi*)为正且显著(Z(Gi*)＞2)，则表明位置i属误差热点区；反之，如果Z(Gi*)为负且显著(Z(Gi*)＜-2)，则表明位置i属误差冷点区。利用Z(Gi*)值可以衡量误差的局部空间自相关特征，以探索误差热点区的地形特征。
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研究样区位于云南省元谋县沙地村，地处北纬25°41′31″，东经101°52′18″，属金沙江流域，气候干热，土壤侵蚀剧烈，其冲沟系统的空间格局和沟系类型复杂多样，地形破碎，具有沟壁陡立、深沟等形态特征[23]，实验选取的冲沟对象为典型的干热河谷冲沟形态，实际地形见图 1。
图 1 研究样区
Figure 1. Study Area
实验数据是通过徕卡全站仪TCR802等高精度测量仪器，按大比例尺测绘测量标准对地表高程进行高密度混合采样[1]得到的，采集时间为2011年7月。测量时采样点的布设综合考虑了研究区的重要地形特征及采样点的空间分布均衡性，注重冲沟坡度坡向突变点和局部侵蚀特征点。首先采集地形特征变化的高程点，然后对其他区域进行适当加密采样，最终获取约8 000个高程采样点，能够表达一条冲沟的主要地表形态，可用于DEM插值。
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为了评估DEM精度，将高程采样点分为训练点集和验证点集，其划分比例对应了插值点集的数据密度，而数据密度对高程精度会有影响[24]。分别采用IDW、LPI、ST、DK和TIN 5种方法进行DEM插值，交叉验证结果如表 1所示。
表 1 不同数据密度的高程插值精度对比
Table 1. Comparison of Interpolation Accuracy with Different Data Densities
插值方法 抽取比例/% 数据密度/(个·m-2) 平均误差/m 中误差/m 训练数据 验证数据 训练数据 验证数据 95 0.70 0.008 7 0.007 4 0.506 6 0.506 0 IDW 90 0.66 0.009 8 0.019 3 0.511 8 0.614 2 85 0.63 0.008 5 0.018 7 0.527 8 0.478 3 80 0.59 0.012 7 0.023 9 0.520 5 0.553 5 95 0.70 0.004 2 0.005 2 0.400 1 0.393 8 LPI 90 0.66 0.003 6 0.007 5 0.400 2 0.430 2 85 0.63 0.002 9 0.008 8 0.401 3 0.365 1 80 0.59 0.004 8 0.017 6 0.406 2 0.464 1 95 0.70 0.002 9 0.004 2 0.452 7 0.462 5 ST 90 0.66 0.001 7 0.006 0 0.457 7 0.546 6 85 0.63 0.000 3 0.002 5 0.465 0 0.429 2 80 0.59 0.006 0 0.008 5 0.441 5 0.482 1 95 0.70 0.001 9 0.002 1 0.408 1 0.411 5 DK 90 0.66 0.003 0 0.006 4 0.419 5 0.436 8 85 0.63 0.001 6 0.001 9 0.420 4 0.391 7 80 0.59 0.002 6 0.013 1 0.402 2 0.461 7 95 0.70 0.003 9 0.019 9 0.106 9 0.193 3 TIN 90 0.66 0.007 7 0.001 8 0.107 0 0.184 3 85 0.63 0.005 7 0.007 1 0.100 9 0.197 3 80 0.59 0.002 2 0.013 5 0.092 8 0.224 1 由表 1可以看出，5种插值方法产生的高程中误差都小于0.7 m，插值精度较高，可以进行DEM地表模拟。分析平均误差：对于训练数据，除TIN以外，其他4种方法均在数据密度为0.63个/m2时最小；对于验证数据，IDW、LPI在数据密度为0.70个/m2时最小，而ST、DK在数据密度为0.63个/m2时最小。分析中误差：对于训练数据，IDW、LPI在数据密度为0.70个/m2时最小，ST、DK在数据密度为0.59个/m2时最小，TIN在数据密度为0.63个/m2时最小；对于验证数据，除TIN以外，其他4种方法均在数据密度为0.63个/m2时最小。因此，本文选用训练数据密度为0.63个/m2进行插值研究，此时训练数据和验证数据的高程平均误差都是ST、DK较小，中误差大小关系都是TIN＜LPI＜DK＜ST＜IDW。综上所述，DK和TIN方法的插值精度较高。
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将5种插值方法生成的DEM进行交互比较，其相对差系数见表 2。由于插值对象为高密度采样点，相对差系数都很接近。以TIN为基准时，DK和LPI的相对差系数最高；DK和LPI互为基准时, 相对差系数较高；IDW的相对差系数比其他方法低。因此，DK、LPI与TIN构建的地形表面较为相近。由于TIN插值产生的中误差最小，因此可以将其他插值方法以TIN为基准进行对比研究。
表 2 相对差系数
Table 2. Relative Difference Coefficients
比较插值方法 基准插值方法 TIN IDW LPI ST DK TIN - 0.997 2 0.998 2 0.997 1 0.998 4 IDW 0.999 2 - 0.998 5 0.996 3 0.998 3 LPI 0.999 5 0.998 5 - 0.997 9 0.999 2 ST 0.999 2 0.996 4 0.997 9 - 0.998 6 DK 0.999 5 0.998 4 0.999 2 0.998 6 - -
以TIN模型构建的DEM提取的沟谷线作为基准，将其他插值方法生成的DEM提取的沟谷线依次与基准沟谷线进行对比，以沟谷线间相交而形成的多边形面积大小来衡量插值方法间的误差差异特征，如图 2所示。对多边形面积进行统计分析，发现IDW与TIN两种方法提取的沟谷线相交总面积最大，而DK与TIN的相交总面积最小；LPI与TIN模型的单个相交多边形面积最大，ST、LPI其次，DK最小。因此，采用DK与TIN插值方法构建的DEM精度相似，与交叉验证结果相符。
图 2 4种插值方法与TIN构建方法提取沟谷线的差异
Figure 2. Valley Line Differences Between Four Methods and TIN Method
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提取高程误差大于1 m的误差点，利用Voronoi多边形计算CV值，基于空间统计分析计算误差的全局Moran指数和Z分数值(见表 3)。Z分数值可用来判断误差是否呈聚类分布或离散分布，若Z分数值为正值，则表示误差在空间上呈聚类分布；若Z分数值为负值，则表示误差在空间上呈离散分布。
表 3 高程误差空间分布特征值
Table 3. Spatial Distribution Feature Values of Height Errors
插值方法 CV值 全局Moran指数 Z分数值 IDW 1.52 0.20 12.29 LPI 1.77 0.07 3.45 ST 1.57 0.03 2.36 DK 1.58 0.13 6.07 TIN 2.22 0.52 25.67 由表 3可以看出，5种方法的CV值均大于1，呈集群分布，且聚集程度TIN＞LPI＞DK＞ST＞IDW；全局Moran指数和Z分数值均大于0, 表明误差均呈空间正自相关且为聚类分布，其中TIN的聚集程度最高，与CV值一致。
为了探讨误差的聚集位置，分别对5种方法进行误差热点分析(见图 3)。图 3表明，5种方法的插值误差具有公共热点区，但误差热点区具有很大差异，如ST方法的部分误差热点区对应于TIN模型的误差冷点区。对DEM计算坡度以分析高程误差点的空间分异规律，误差点在不同坡度范围内的分布比例如表 4所示。由表 4可以看出，5种方法的高程误差点均集中分布在坡度大于45°的区域，此时TIN和DK的插值误差点占比高达80%以上；反之，坡度越低的区域, 其高程误差点所占比例也越低，分布零散; 整体呈坡度越大误差点越多的趋势。
图 3 5种方法高程误差热点分布图
Figure 3. Hot Spot Distribution of Height Errors of Five Methods
表 4 不同坡度范围内高程误差点分布比例/%
Table 4. Distribution Proportions of Height Errors in Different Ranges of Slope/%
方法 坡度/(°) 0~5 5~15 15~30 30~45 ＞45 IDW 1 7 17 30 45 LPI 1 1 12 23 63 ST 0 2 7 12 79 DK 0 2 7 9 82 TIN 0 0 7 10 83 -
采用IDW、LPI、ST、DK、TIN这5种方法对高精度高程采样点进行插值，结果发现DK和TIN模型的插值精度较高。沟谷线对比实验表明，利用DK与TIN插值方法构建的DEM表面最相似。5种方法产生的高程误差均为聚集分布且呈空间正自相关；5种插值方法具有公共误差热点区且都位于坡度较大的区域，但各插值方法的热点区分布具有较大差异。本文对小尺度典型冲沟进行研究，发现坡度大的区域其误差点占比也越大，对于其他地形因子对元谋干热河谷冲沟DEM构建的精度影响还有待深入研究。
Study on Spatial Distribution of DEM Interpolation Errors in the Gully of Dry-Hot Valley
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摘要: 为了分析云南元谋干热河谷典型冲沟插值误差的空间分布特征，采用反距离加权（inverse distance weighting，IDW）、局部多项式（local polynomial interpolation，LPI）、张力样条（spline with tension，ST）、析取克里格（disjunctive Kriging，DK）以及不规则三角网（triangulated irregular network，TIN）模型方法对高程采样点进行插值，用交叉验证法、相对差系数及沟谷线差异衡量其插值精度。遴选高程误差大于1 m的误差点，用变异系数（coefficient of variation，CV）、全局Moran指数和Getis-Ord Gi*指数分析其空间格局特征。结果表明：TIN和DK精度较高，IDW精度最低；高程误差均呈聚集分布，聚集程度TIN > LPI > DK > ST > IDW；高程误差均呈空间正自相关，TIN模型插值误差的自相关程度最高；误差热点位于坡度大的区域。Abstract: To analyze the interpolation errors spatial distribution characteristics of the typical gully of Yuanmou dry-hot valley, the measured elevation points were interpolated by inverse distance weighting (IDW), local polynomial interpolation (LPI), spline with tension (ST), disjunctive Kriging (DK) and triangulated irregular network (TIN)model to generate DEM. Cross validation, relative difference coefficient and the valley lines discrepancy were used to evaluate the interpolation accuracy. The error points with elevation error greater than 1 m were extracted, and their spatial distribution characteristics were analyzed by coefficient of variation(CV), global Moran's index and Getis-Ord Gi* index. The results show that DK and TIN model had higher interpolation accuracy, the height error points of five interpolation methods were overall aggregating distribution, and the degree was TIN > LPI > DK > ST > IDW. Height errors were significantly positive spatial autocorrelation and TIN model had the highest autocorrelation degree, the hot spots of errors were distributed in the area with large slope.
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图 2 4种插值方法与TIN构建方法提取沟谷线的差异
Figure 2. Valley Line Differences Between Four Methods and TIN Method
表 1 不同数据密度的高程插值精度对比
Table 1. Comparison of Interpolation Accuracy with Different Data Densities
插值方法 抽取比例/% 数据密度/(个·m-2) 平均误差/m 中误差/m 训练数据 验证数据 训练数据 验证数据 95 0.70 0.008 7 0.007 4 0.506 6 0.506 0 IDW 90 0.66 0.009 8 0.019 3 0.511 8 0.614 2 85 0.63 0.008 5 0.018 7 0.527 8 0.478 3 80 0.59 0.012 7 0.023 9 0.520 5 0.553 5 95 0.70 0.004 2 0.005 2 0.400 1 0.393 8 LPI 90 0.66 0.003 6 0.007 5 0.400 2 0.430 2 85 0.63 0.002 9 0.008 8 0.401 3 0.365 1 80 0.59 0.004 8 0.017 6 0.406 2 0.464 1 95 0.70 0.002 9 0.004 2 0.452 7 0.462 5 ST 90 0.66 0.001 7 0.006 0 0.457 7 0.546 6 85 0.63 0.000 3 0.002 5 0.465 0 0.429 2 80 0.59 0.006 0 0.008 5 0.441 5 0.482 1 95 0.70 0.001 9 0.002 1 0.408 1 0.411 5 DK 90 0.66 0.003 0 0.006 4 0.419 5 0.436 8 85 0.63 0.001 6 0.001 9 0.420 4 0.391 7 80 0.59 0.002 6 0.013 1 0.402 2 0.461 7 95 0.70 0.003 9 0.019 9 0.106 9 0.193 3 TIN 90 0.66 0.007 7 0.001 8 0.107 0 0.184 3 85 0.63 0.005 7 0.007 1 0.100 9 0.197 3 80 0.59 0.002 2 0.013 5 0.092 8 0.224 1 
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表 2 相对差系数
Table 2. Relative Difference Coefficients
比较插值方法 基准插值方法 TIN IDW LPI ST DK TIN - 0.997 2 0.998 2 0.997 1 0.998 4 IDW 0.999 2 - 0.998 5 0.996 3 0.998 3 LPI 0.999 5 0.998 5 - 0.997 9 0.999 2 ST 0.999 2 0.996 4 0.997 9 - 0.998 6 DK 0.999 5 0.998 4 0.999 2 0.998 6 -
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表 3 高程误差空间分布特征值
Table 3. Spatial Distribution Feature Values of Height Errors
插值方法 CV值 全局Moran指数 Z分数值 IDW 1.52 0.20 12.29 LPI 1.77 0.07 3.45 ST 1.57 0.03 2.36 DK 1.58 0.13 6.07 TIN 2.22 0.52 25.67
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表 4 不同坡度范围内高程误差点分布比例/%
Table 4. Distribution Proportions of Height Errors in Different Ranges of Slope/%
方法 坡度/(°) 0~5 5~15 15~30 30~45 ＞45 IDW 1 7 17 30 45 LPI 1 1 12 23 63 ST 0 2 7 12 79 DK 0 2 7 9 82 TIN 0 0 7 10 83
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