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利用L1范数和中位数选取拟准观测值

赵俊 郭飞霄

赵俊, 郭飞霄. 利用L1范数和中位数选取拟准观测值[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2018, 43(8): 1242-1248. doi: 10.13203/j.whugis20160156
引用本文: 赵俊, 郭飞霄. 利用L1范数和中位数选取拟准观测值[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2018, 43(8): 1242-1248. doi: 10.13203/j.whugis20160156
ZHAO Jun, GUO Feixiao. A Method for Selecting the Quasi-Accurate Observations Based on L1 Norm and Median[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2018, 43(8): 1242-1248. doi: 10.13203/j.whugis20160156
Citation: ZHAO Jun, GUO Feixiao. A Method for Selecting the Quasi-Accurate Observations Based on L1 Norm and Median[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2018, 43(8): 1242-1248. doi: 10.13203/j.whugis20160156

利用L1范数和中位数选取拟准观测值

doi: 10.13203/j.whugis20160156
基金项目: 

大地测量与地球动力学国家重点实验室开放基金 SKLGED 2017-3-2-E

地理信息工程国家重点实验室开放基金 SKLGIE2015-M-1-2

地理信息工程国家重点实验室开放基金 SKLGIE 2015-M-3-2

详细信息
    作者简介:

    赵俊, 博士, 主要从事测量数据处理理论及地球重力场理论研究。zhaojun4368@163.com

  • 中图分类号: P207

A Method for Selecting the Quasi-Accurate Observations Based on L1 Norm and Median

Funds: 

State Key Laboratory of Geodesy and Earth's Dynamics SKLGED 2017-3-2-E

State Key Laboratory of Geo-information Engineering SKLGIE2015-M-1-2

State Key Laboratory of Geo-information Engineering SKLGIE 2015-M-3-2

More Information
    Author Bio:

    ZHAO Jun, PhD, specializes in theory of surveying data processing and gravity. E-mail: zhaojun4368@163.com

  • 摘要: 粗差探测拟准检定法的核心是拟准观测的选取。提出了L1范数和中位数相结合的方法选取拟准观测值,并设计了相应的准则。首先利用L1范数方法得到稳健的残差,将其中残差接近于零时对应的观测值直接确定为拟准观测值,然后将余下残差形成新的残差向量,并计算其绝对值的中位数,拟准观测值即为那些余下残差绝对值小于中位数所对应的观测值。GPS网平差和GPS单点定位计算结果表明本文提出的选取拟准观测值的方法有效可行。
  • 图  1  第二部分拟准观测选取结果

    Figure  1.  Results of the Selected Quasi-accurate Observations for the Second Part

    图  2  真误差的估值

    Figure  2.  Estimate of Real Errors

    图  3  含粗差时第2 442个历元的残差

    Figure  3.  Residuals for Epoch 2 442 with Outliers

    图  4  含粗差时第1 262个历元真误差估值的分群现象

    Figure  4.  Hive-off Phenomena in Estimation of Real Errors for Epoch 1 262 with Outliers

    图  5  含粗差时第2 442个历元真误差估值的分群现象

    Figure  5.  Hive-off Phenomena in Estimation of Real Errors for Epoch 2 442 with Outliers

    图  6  无粗差时第2 114个历元真误差估值的分群现象

    Figure  6.  Hive-off Phenomena in Estimation of Real Errors for Epoch 2 114 Without Outliers

    表  1  含粗差时第1 262个历元对应观测值的残差及其拟准观测的选取

    Table  1.   Residuals and Choice of Quasi-Accurate Observations for Epoch 1 262 with Outliers

    卫星号 残差 拟准观测选取
    G24 -0.321 080 +
    G01 -0.513 690 -
    G07 0.347 980 +
    G30 -0.546 080 -
    G17 28.566 000 -
    G28 -8.091 100×10-8 +
    G19 37.286 000 -
    G08 -0.427 720 +
    G22 0.079 256 +
    G13 -2.360 400×10-8 +
    G11 33.979 000 -
    G18 7.075 600×10-9 +
    G15 -7.894 900×10-9 +
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    表  2  含粗差时第2 442个历元对应观测值的残差及其拟准观测的选取

    Table  2.   Residuals and Choice of Quasi-Accurate Observations for Epoch 2 442 with Outliers

    卫星号 残差 拟准观测选取
    G20 28.260 000 -
    G22 -0.620 120 +
    G29 -7.778 500×10-16 +
    G27 9.745 100×10-16 +
    G13 -1.133 900×10-13 +
    G08 -0.870 780 +
    G07 -0.873 490 +
    G05 11.794 000 -
    G21 -3.116 000×10-15 +
    G15 -0.894 690 -
    G30 0.152 370 +
    G18 25.929 000 -
    G16 11.725 000 -
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    表  3  含粗差和删除粗差后的τ统计量

    Table  3.   The τ-test Statistics with Outliers and after Deleting Outliers

    卫星号 无粗差 剔除G28 剔除G17 剔除G11 剔除G19
    G24 0.149 340 0.277 450 0.499 590 0.523 510 -1.823 800
    G01 -1.160 700 -1.353 600 -1.618 200 -1.388 400 0.392 610
    G07 -0.274 880 0.635 090 1.744 000 2.063 200 1.687 200
    G30 -1.118 200 -1.383 500 -0.818 630 -0.811 020
    G17 1.737 100 2.044 200
    G28 -1.983 500 -1.016 900
    G19 1.459 900 0.122 290 0.376 380 2.448 100
    G08 -0.503 550 -0.245 900 -0.765 050 -0.313 370 -0.581 780
    G22 0.001 990 0.178 120 -0.156 920 0.134 160 0.970 040
    G13 -0.278 500 -0.769 120 0.057 861 -0.238 950 0.360 310
    G11 1.498 000 1.393 100 1.741 800
    G18 0.167 990 0.310 650 0.360 830 0.463 160 -0.187 760
    G15 -0.061 767 -0.772 470 -0.527 940 -0.780 840 0.770 810
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出版历程
  • 收稿日期:  2017-10-31
  • 刊出日期:  2018-08-05

利用L1范数和中位数选取拟准观测值

doi: 10.13203/j.whugis20160156
    基金项目:

    大地测量与地球动力学国家重点实验室开放基金 SKLGED 2017-3-2-E

    地理信息工程国家重点实验室开放基金 SKLGIE2015-M-1-2

    地理信息工程国家重点实验室开放基金 SKLGIE 2015-M-3-2

    作者简介:

    赵俊, 博士, 主要从事测量数据处理理论及地球重力场理论研究。zhaojun4368@163.com

  • 中图分类号: P207

摘要: 粗差探测拟准检定法的核心是拟准观测的选取。提出了L1范数和中位数相结合的方法选取拟准观测值,并设计了相应的准则。首先利用L1范数方法得到稳健的残差,将其中残差接近于零时对应的观测值直接确定为拟准观测值,然后将余下残差形成新的残差向量,并计算其绝对值的中位数,拟准观测值即为那些余下残差绝对值小于中位数所对应的观测值。GPS网平差和GPS单点定位计算结果表明本文提出的选取拟准观测值的方法有效可行。

English Abstract

赵俊, 郭飞霄. 利用L1范数和中位数选取拟准观测值[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2018, 43(8): 1242-1248. doi: 10.13203/j.whugis20160156
引用本文: 赵俊, 郭飞霄. 利用L1范数和中位数选取拟准观测值[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2018, 43(8): 1242-1248. doi: 10.13203/j.whugis20160156
ZHAO Jun, GUO Feixiao. A Method for Selecting the Quasi-Accurate Observations Based on L1 Norm and Median[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2018, 43(8): 1242-1248. doi: 10.13203/j.whugis20160156
Citation: ZHAO Jun, GUO Feixiao. A Method for Selecting the Quasi-Accurate Observations Based on L1 Norm and Median[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2018, 43(8): 1242-1248. doi: 10.13203/j.whugis20160156
  • 粗差会对未知参数估值造成不良影响,需及时、有效处理。粗差处理方法的研究一直是测量数据处理领域关注的热点[1-2]。粗差处理的方法可分为粗差探测[3-5]和抗差估计[6-8]。Baarda[9]最早引入数理统计的相关理论进行粗差检验,称之为data-snooping技术。由于单位权方差通常未知,Pope [10]提出了τ统计量作为识别粗差的统计检验量。相关学者对τ统计检验量进行了详细的分析,从理论上严格论证了其存在重大缺陷[11-12]。以上均在单个粗差情形下进行讨论,而针对多个粗差,通常采用迭代连续探测的方法[13-14],而这种方法容易造成隐差现象[15],如何同时探测多个粗差成为需要解决的难题[16-20]。也有学者比较了部分粗差探测方法和抗差估计在处理粗差方面的效果, 认为这些方法很难百分百地识别和定位粗差[21-22]

    粗差探测的拟准检定法[18]是一种探测多个粗差的有效方法,已经形成了一套较为完备的理论和应用体系[23-27],其实施的关键是拟准观测值的选取。针对相关观测,Guo等[25-26]对拟合优度检验进行敏感度分析,构造了局部敏感度指标,以此选取拟准观测,从而形成了拟准观测选取的新思路。上述方法本质上可认为是基于稳健的统计量,由此,本文提出运用L1范数和中位数相结合来选取拟准观测的新方法,并建立相应的准则,为拟准观测的选取提供更多的技术手段。

    • 考虑Gauss-Markov模型[5]

      $$ \mathit{\boldsymbol{L}} = \mathit{\boldsymbol{AX}} + \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }} $$ (1)

      式中,Ln×1观测向量; An×t列满秩设计矩阵; Xt×1未知参数向量; Δn×1随机误差向量。误差Δ的随机性质可以描述为:

      $$ E\left( \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }} \right) = \mathit{\boldsymbol{AX}},D\left( \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }} \right) = \sigma _0^2{\mathit{\boldsymbol{P}}^{ - 1}} $$ (2)

      由LS(least square)原理[5]可知,未知参数的估计为:

      $$ \mathit{\boldsymbol{\hat X}} = {\left( {{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PA}}} \right)^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PL}} $$ (3)

      对应的残差为:

      $$ \mathit{\boldsymbol{V}} = \mathit{\boldsymbol{A\hat X}} - \mathit{\boldsymbol{L}} = - \mathit{\boldsymbol{RL}} $$ (4)

      式中,$ \mathit{\boldsymbol{R }} = {\rm{ }}\mathit{\boldsymbol{I}}{_n} - \mathit{\boldsymbol{A}}\left( {\mathit{\boldsymbol{{\rm A}}}{\mathit{\boldsymbol{}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PA}}} \right)\mathit{\boldsymbol{ }}{^{-1}}\mathit{\boldsymbol{A}}{\mathit{\boldsymbol{}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{P}}$为平差因子阵。

      对模型(1)两边同时乘以R,得到:

      $$ \mathit{\boldsymbol{R \boldsymbol{\varDelta} }} = \mathit{\boldsymbol{RL}} $$ (5)

      式(5)表示真误差与观测值之间的关系没有任何的近似。鉴于R秩亏,无法直接用LS原理解算。借鉴拟稳平差的思想[28], 通过添加拟准观测值,构造约束条件,形成新的目标函数。假如选择了r(r>t)个拟准观测值,则相应的观测方程为:

      $$ {\mathit{\boldsymbol{L}}_r} = {\mathit{\boldsymbol{A}}_r}{\mathit{\boldsymbol{X}}_r} + {\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}_r} $$ (6)

      运用LS原理,易得到方程:

      $$ \mathit{\boldsymbol{A}}_r^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{Q}}_r^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{V}}_r} = {\bf{0}} $$ (7)

      式中,QrVr为对应的协因子阵和残差向量。如果拟准观测值选择合理,则对应的观测量是干净无污染的,对应的残差可以用真误差代替:

      $$ \mathit{\boldsymbol{A}}_r^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{Q}}_r^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}_r} = {\bf{0}} $$ (8)

      联合式(5),有:

      $$ \left\{ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{R \boldsymbol{\varDelta} }} = \mathit{\boldsymbol{RL}}\\ \mathit{\boldsymbol{G \boldsymbol{\varDelta} }} = {\bf{0}} \end{array} \right. $$ (9)

      式中,$\mathit{\boldsymbol{G}}{\rm{ }} = {\rm{ }}\mathit{\boldsymbol{A}}_r^{\rm{T}}Q_r^{ - 1}\mathit{\boldsymbol{W}}{\rm{ }};{\rm{ }}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}{_r} = {\rm{ }}\mathit{\boldsymbol{W \boldsymbol{\varDelta} }}{\rm{ }};{\rm{ }}\mathit{\boldsymbol{W}} $表示ΔrΔ之间的转换矩阵。从式(8)可以看出, ΔrΔ的一部分,可知W是一个由0和1组成的r×n维矩阵。

      式(9)可通过拉格朗日极值函数解算:

      $$ \mathit{\Omega } = {\left( {\mathit{\boldsymbol{R \boldsymbol{\varDelta} }} - \mathit{\boldsymbol{RL}}} \right)^{\rm{T}}}{\left( {\mathit{\boldsymbol{R}}{\mathit{\boldsymbol{P}}^{ - 1}}} \right)^ - }\left( {\mathit{\boldsymbol{R \boldsymbol{\varDelta} }} - \mathit{\boldsymbol{RL}}} \right) + 2{\mathit{\boldsymbol{\lambda }}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{G \boldsymbol{\varDelta} }} $$ (10)

      式中,()表示求矩阵的广义逆。对相应变量求偏导,则真误差的估值为[25-26]

      $$ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\bar \varDelta} }} = {\left( {\mathit{\boldsymbol{PR}} + {\mathit{\boldsymbol{G}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{G}}} \right)^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{PRL}} $$ (11)

      如果观测值中含有粗差,则对应的真误差估值会远离其他估值,称之为分群现象[23-26]。则所有粗差均能准确识别和定位,而粗差的大小可以通过均值漂移模型进行参数估计得到。

    • 拟准检定法的核心是拟准观测值[23-24]。相关观测情形下,对拟合优度检验进行敏感度分析,构造的敏感度指标用来确定拟准观测值[25-26],这是一种可靠的方法。本质上认为该方法是采用更为稳健的统计量来选取拟准观测值。由于残差对粗差敏感,易受粗差的影响,本文提出运用L1范数方法得到稳健的残差,然后将其与中位数相结合选取拟准观测,并建立相应的准则。

      首先,确定最优化问题min pT|Δ|,p为由权阵对角线元素组成的n×1向量。为消去观测量之间的相关性,利用Cholesky分解:

      $$ {\mathit{\boldsymbol{P}}^{ - 1}} = \mathit{\boldsymbol{Q}} = {\mathit{\boldsymbol{S}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{S}} $$ (12)

      于是模型(1)转化为:

      $$ \mathit{\boldsymbol{\bar L}} = \mathit{\boldsymbol{\bar AX}} + \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\bar \varDelta} }} $$ (13)

      式中,$ \mathit{\boldsymbol{\bar L}} = {\rm{ }}\left( {\mathit{\boldsymbol{S}}{^{\rm{T}}}} \right){^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{L}};\mathit{\boldsymbol{\bar A}} = {\rm{ }}\left( {\mathit{\boldsymbol{S}}{^{\rm{T}}}} \right){^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{A}}{\rm{ }};\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\bar \varDelta} }} = {\rm{ }}\left( {\mathit{\boldsymbol{S}}{^{\rm{T}}}} \right){^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }}$。结合模型(13),关于min pT|Δ|的最优化问题可转化为新的最优化问题$ {\rm{min|}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\bar \varDelta} }}{\rm{|}}$。

      显然,上述最优化问题很难解算。为了消去${\rm{min|}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\bar \varDelta} }}{\rm{|}} $中的绝对值符号,引入松弛变量$\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\bar \varDelta} }} = {\rm{ }}\mathit{\boldsymbol{\beta }}{\rm{ }} - {\rm{ }}\mathit{\boldsymbol{\gamma }}{\rm{ }}, {\rm{ }}\mathit{\boldsymbol{X = \xi - \psi }} $,其中$ \mathit{\boldsymbol{\beta }}{\rm{ }} = {\left[ {{\beta _1} \ldots {\rm{ }}{\beta _n}} \right]^{\rm{T}}}.{\rm{ }}\mathit{\boldsymbol{\gamma }} = {\rm{ }}{\left[ {{\gamma _1} \ldots {\rm{ }}{\gamma _n}} \right]^{\rm{T}}}, {\rm{ }}\mathit{\boldsymbol{\xi }}{\rm{ }} = {\left[ {{\xi _1} \ldots {\rm{ }}{\xi _t}} \right]^{\rm{T}}}, {\rm{ }}\mathit{\boldsymbol{\psi }}{\rm{ }} = {\left[ {{\psi _1} \ldots {\rm{ }}{\psi _t}} \right]^{\rm{T}}}$。进而将关于$ {\rm{min|}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\bar \varDelta} }}{\rm{|}}$的最优化问题转化为求解如下线性规划问题:

      $$ \min \mathit{\Omega } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\bf{0}}&{\bf{0}}&\mathit{\boldsymbol{h}}&\mathit{\boldsymbol{h}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \mathit{\boldsymbol{\xi }}\\ \mathit{\boldsymbol{\psi }}\\ \mathit{\boldsymbol{\beta }}\\ \mathit{\boldsymbol{\gamma }} \end{array}} \right] $$ (14)

      约束条件为:

      $$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{\bar A}}}&{ - \mathit{\boldsymbol{\bar A}}}&{{\mathit{\boldsymbol{I}}_n}}&{ - {\mathit{\boldsymbol{I}}_n}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \mathit{\boldsymbol{\xi }}\\ \mathit{\boldsymbol{\psi }}\\ \mathit{\boldsymbol{\beta }}\\ \mathit{\boldsymbol{\gamma }} \end{array}} \right] = \mathit{\boldsymbol{\bar L}} $$ (15)

      式(14)中,h = [1 1…1]n

      最后,可以得到稳健的L1范数残差,即:

      $$ \mathit{\boldsymbol{\bar V}} = \mathit{\boldsymbol{\hat \beta }} - \mathit{\boldsymbol{\hat \gamma }} $$ (16)

      通常来说,${\mathit{\boldsymbol{\bar V}}} $中部分值会近似接近零,表明对应的观测值没有受到粗差的污染,因而这部分观测值将直接确定为第一部分拟准观测值。然后取剩下的残差组成新的残差向量$ \overline {\mathit{\boldsymbol{\bar V}}} $,同时计算残差向量$ \overline {\mathit{\boldsymbol{\bar V}}} $的绝对值的中位数med=median($ |\overline {\mathit{\boldsymbol{\bar V}}} |$),则确定第二部分拟准观测的准则为:如果$ |\overline {\mathit{\boldsymbol{\bar V}}} |$ < med,则对应的观测值将选取为拟准观测。鉴于L1范数方法和中位数具有较强的稳健性,用其选取拟准观测值是合理和可行的。

      在准确定位粗差后,可以通过参数估计的方法对粗差进行定值。如果确定第k1, k2km个观测值含粗差,则可形成均值漂移模型[25-26]

      $$ \mathit{\boldsymbol{L}} = \mathit{\boldsymbol{AX}} + {\mathit{\boldsymbol{H}}_m}{\mathit{\boldsymbol{Z}}_m} + \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varDelta} }} $$ (17)

      式中,$ \mathit{\boldsymbol{Z}}{_m} = {\left[ {\mathit{\boldsymbol{Z}}{_{{k_1}}}\mathit{\boldsymbol{Z}}{_{{k_2}}} \ldots {\rm{ }}\mathit{\boldsymbol{Z}}{_{{k_m}}}} \right]^\rm{T}}$为附加参数向量; $\mathit{\boldsymbol{H}}{_m} = \left[ {\mathit{\boldsymbol{H}}{_{{k_1}}}\mathit{\boldsymbol{H}}{_{{k_2}}} \ldots {\rm{ }}\mathit{\boldsymbol{H}}{_{{k_m}}}} \right]{\rm{ }} $为对应的系数矩阵;Hki=[0 … 1 … 0]T为第ki个分量为1的单位向量。

    • 本文实验所用GPS网数据来自文献[29],根据文献[26]中的模拟方法,在第5、15、21、31、37个观测值中分别加入大小为0.4 m、-0.3 m、-0.2 m、0.3和-0.4 m的粗差(这些粗差基本上是10倍单位权方差),然后应用本文提出的方法计算分析。首先,由L1范数方法得到相应的残差,部分残差相对较小,近似接近于零,因而对应的观测值被直接确定为第一部分拟准观测值。然后,将剩余残差的绝对值构成新的残差向量,同时计算新的残差向量的中位数,则第二部分的拟准观测为那些残差小于中位数对应的观测值。第二部分拟准观测选取结果如图 1所示。图 1中符号“+”表示非拟准观测对应新的残差,而符号“·”则表示拟准观测对应新的残差,直线表示中位数。

      图  1  第二部分拟准观测选取结果

      Figure 1.  Results of the Selected Quasi-accurate Observations for the Second Part

      在确定完拟准观测值后,真误差的估值如图 2所示。图 2中结果表明第5、15、21、31、37个观测值对应的真误差估值明显偏离其他估值,这就是所谓的分群现象[23-26],用来识别和定位粗差。利用上述原理,所有粗差被准确识别和定位,验证了新方法的有效性。

      图  2  真误差的估值

      Figure 2.  Estimate of Real Errors

      很明显,多余观测有利于更多观测值选取为拟准观测值,进而使未知参数的解算更加稳定。为了说明较少多余观测时的情况,下面对本文方法能否有效地探测出粗差进行了讨论。

    • 为了比较w检验法和本文方法,下面采用IGS(International GNSS Service) BAKE站的GPS数据,其观测时间为2015-11-07全天, 样本采样率为30 s,高度角为15°。选取其中两个历元(第1 262个历元和第2 442个历元),每个历元均含14颗卫星。

      首先,在第1 262个历元中,将3个大小为40 m的粗差分别加到G11、G17和G19这3颗卫星观测值中;然后,在第2 442个历元中,将4个大小为30 m的粗差分别加入到G05、G16、G18和G20这4颗卫星观测值中,而残差的大小主要针对定位精度而考虑,取大于3倍定位精度。为了阐明LS残差不适合应用于多个粗差,以第2 442个历元为例进行分析,相应的残差如图 3所示。从图 3中可以看出,除加了粗差的观测值对应的残差较大外,G22和G29卫星的残差也较大,造成了隐差现象,这一结果充分表明LS原理不适用于多粗差探测。

      图  3  含粗差时第2 442个历元的残差

      Figure 3.  Residuals for Epoch 2 442 with Outliers

      利用L1范数方法进行解算,得到的第1 262个历元和2 442个历元的残差分别如表 1表 2所示,其中符号“+”表示拟准观测值,而符号“-”表示非拟准观测值。

      表 1  含粗差时第1 262个历元对应观测值的残差及其拟准观测的选取

      Table 1.  Residuals and Choice of Quasi-Accurate Observations for Epoch 1 262 with Outliers

      卫星号 残差 拟准观测选取
      G24 -0.321 080 +
      G01 -0.513 690 -
      G07 0.347 980 +
      G30 -0.546 080 -
      G17 28.566 000 -
      G28 -8.091 100×10-8 +
      G19 37.286 000 -
      G08 -0.427 720 +
      G22 0.079 256 +
      G13 -2.360 400×10-8 +
      G11 33.979 000 -
      G18 7.075 600×10-9 +
      G15 -7.894 900×10-9 +

      根据§2提出的拟准观测值的选取准则,并结合表 1中的残差,针对第1 262个历元,显然G28、G13、G18和G15卫星对应的观测值应被确定为第一部分拟准观测值,并计算剩余残差绝对值的中位数为0.513 69,很容易确定第二部分的拟准观测值;同理,对于第2 442个历元,利用表 2中的残差,可以直接将G29、G27、G13和G21对应的观测值选取为第一部分拟准观测值,同时计算剩余残差的中位数为0.894 69,很容易确定第二部分的拟准观测值。

      表 2  含粗差时第2 442个历元对应观测值的残差及其拟准观测的选取

      Table 2.  Residuals and Choice of Quasi-Accurate Observations for Epoch 2 442 with Outliers

      卫星号 残差 拟准观测选取
      G20 28.260 000 -
      G22 -0.620 120 +
      G29 -7.778 500×10-16 +
      G27 9.745 100×10-16 +
      G13 -1.133 900×10-13 +
      G08 -0.870 780 +
      G07 -0.873 490 +
      G05 11.794 000 -
      G21 -3.116 000×10-15 +
      G15 -0.894 690 -
      G30 0.152 370 +
      G18 25.929 000 -
      G16 11.725 000 -

      在确定完拟准观测后,就可以利用拟准检定法对真误差进行估计,图 4图 5分别给出了第1 262个历元和2 442个历元观测值的真误差估值。

      图  4  含粗差时第1 262个历元真误差估值的分群现象

      Figure 4.  Hive-off Phenomena in Estimation of Real Errors for Epoch 1 262 with Outliers

      图  5  含粗差时第2 442个历元真误差估值的分群现象

      Figure 5.  Hive-off Phenomena in Estimation of Real Errors for Epoch 2 442 with Outliers

      图 4的结果表明, G11、G17和G19这3颗卫星的观测值对应的真误差估值明显远离其他估值,于是G11、G17和G19为含粗差的3颗卫星被准确识别定位。同理,图 5的结果表明G05、G16、G18和G20这4颗卫星受到了粗差的污染。综合以上分析,所有粗差均被准确识别定位。

      然而,在实际应用中,通常不知观测值中是否含有粗差,为了进一步验证本文方法的有效性,对不加粗差的第2 114个历元作进一步的分析。图 6给出了相应的真误差估值,其没有表现出明显的分群现象,进而可判断观测值中不含粗差。可知在无粗差的情形下,该方法不会造成粗差的误判。

      图  6  无粗差时第2 114个历元真误差估值的分群现象

      Figure 6.  Hive-off Phenomena in Estimation of Real Errors for Epoch 2 114 Without Outliers

      实际上,通过拟准检定法准确定位粗差后,可利用均值漂移模型对粗差进行定值。两个历元中粗差的估值分别为[39.911 8 39.003 3 40.049 1]和[31.220 4 29.813 5 30.238 9 28.231 8],再在相应观测值上减去粗差估值,对粗差观测进行修复。

      为了比较传统的w检验法在多个粗差探测方面的效果[12],以第2 442个历元为例进行分析。下面给出w检验法探测粗差的基本方法。首先,由模型(1)构造出统计量:

      $$ {w_i} = \frac{{\mathit{\boldsymbol{z}}_i^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{PV}}}}{{{\sigma _0}\sqrt {\mathit{\boldsymbol{z}}_i^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{PR}}{\mathit{\boldsymbol{z}}_i}} }} $$ (18)

      式中,zi表示第i个元素为1,其余元素均为0的单位列向量,即zi= [0 … 1 … 0]T

      针对多个粗差,如果|wi| >δ1-α/2,则表示第i个观测值为粗差,将其从观测值L中剔除,其中δ1-α/2为临界值。然后重新解算wi,并判断其是否满足|wi| >δ1-α/2

      鉴于单位权方差未知,于是选择τ检验统计量作为粗差识别的检验统计量,显著性水平取为0.05,而对应的临界值可通过t统计量得出。利用τ检验统计量进行粗差识别的结果见表 3(表 3中加粗项为凸显其对应观测值为粗差)。从表 3中结果不难看出,在进行初次粗差探测时,G28卫星被误判为含粗差的卫星,在经过几次粗差剔除后,G24卫星也同样被误判为含粗差的卫星,即出现隐差现象。这些分析结果清楚地表明,应用τ检验或w检验进行连续的单个探测法不适用于多个粗差探测。

      表 3  含粗差和删除粗差后的τ统计量

      Table 3.  The τ-test Statistics with Outliers and after Deleting Outliers

      卫星号 无粗差 剔除G28 剔除G17 剔除G11 剔除G19
      G24 0.149 340 0.277 450 0.499 590 0.523 510 -1.823 800
      G01 -1.160 700 -1.353 600 -1.618 200 -1.388 400 0.392 610
      G07 -0.274 880 0.635 090 1.744 000 2.063 200 1.687 200
      G30 -1.118 200 -1.383 500 -0.818 630 -0.811 020
      G17 1.737 100 2.044 200
      G28 -1.983 500 -1.016 900
      G19 1.459 900 0.122 290 0.376 380 2.448 100
      G08 -0.503 550 -0.245 900 -0.765 050 -0.313 370 -0.581 780
      G22 0.001 990 0.178 120 -0.156 920 0.134 160 0.970 040
      G13 -0.278 500 -0.769 120 0.057 861 -0.238 950 0.360 310
      G11 1.498 000 1.393 100 1.741 800
      G18 0.167 990 0.310 650 0.360 830 0.463 160 -0.187 760
      G15 -0.061 767 -0.772 470 -0.527 940 -0.780 840 0.770 810
    • 相比单个粗差的探测,同时探测多个粗差变得相对复杂。本文引入拟准检定法来探测和识别多个粗差。拟准检定法的核心部分是拟准观测值的选取,本文提出了一种新的方法选取拟准观测值,首先应用L1范数方法得到稳健的残差,将其中残差接近于0对应的观测值直接确定为第一部分拟准观测值;然后将剩余残差的绝对值组成新的残差向量,并计算相应的中位数,将残差绝对值小于中位数所对应的观测值选取为第二部分拟准观测值。GPS网平差和GPS单点定位的分析结果表明, 本文提出的选取拟准观测值的新方法能够准确识别和定位多个粗差,是合理的和可行的。如何综合考虑L1范数残差的大小和统计性质,给出严格统计意义的判别准则,需作进一步研究。

参考文献 (29)

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