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变化检测是利用覆盖同一地理区域的多时相遥感影像来提取地表覆盖的变化信息[1]，该技术已经被广泛应用于环境监测[2]、城市研究[3]、森林监测[4]和灾害评估[5]等领域。随着计算机硬件技术的发展，为了提高变化检测的自动程度，减少变化检测过程中人工干预造成的不确定性，非监督变化检测逐渐成为遥感影像信息提取研究的热点之一[3, 6-7]。
与光学影像相比，合成孔径雷达(synthetic aperture radar, SAR)具有穿透云雨雾霾，全天时、全天候获取地面信息的能力，自20世纪50年代以来，已被广泛用于地表沉降监测、地形测绘、资源勘探、环境遥感以及军事等领域。近年来随着SAR技术的迅速发展，利用SAR影像进行变化检测的研究取得较大进展[8-11]。
阈值自动选取是实现多时相遥感影像非监督变化检测的关键。现有阈值自动选取方法按照是否需要先验知识可以分为3类：非参数自动阈值选取[12-14]、半参数自动阈值选取[15]和基于先验知识的自动阈值选取[1, 16-19]。与非参数和半参数方法相比，基于先验知识的方法通常能获得更好的阈值，在变化检测中得到广泛应用。文献[1]提出了基于EM算法的自动阈值计算方法，该方法基于贝叶斯决策准则在假设未变化类和变化类服从高斯模型(Gaussian model, GM)情况下，自动计算阈值。文献[16]假设差异影像中未变化类和变化类都服从GM或广义高斯模型(generalized Gaussian model, GGM)，使用KI(Kittler-Illingworth, KI)准则[17]，自动计算使总体误差最小的阈值。此外，黄世奇等研究了基于EM算法的双阈值自动求取方法[18]，胡召玲研究了基于KI准则和GGM的双阈值自动求取方法[19]。其中基于KI准则的阈值计算方法，可以求得使总体误差最小的阈值[16-17]。然而，文献[16]假设差异影像中的未变化类和变化类信息服从GM或GGM，这种假设并不适用于差值影像，因而无法得到合理的分割阈值。
为此，本文基于逆高斯模型[20-21](inverse Gaussian model, IGM)和KI最小错误率准则提出了一种新的SAR影像非监督变化检测方法，它假设差值影像服从混合IGM，在贝叶斯决策理论支持下，自动计算满足KI最小错误率准则的阈值。本文使用的逆高斯模型有如下优势：①差值影像的灰度值主要集中在灰度分布直方图的左侧(未变化类的灰度值接近0)，GM和GGM概率密度函数的值域是(－∞, +∞)，IGM概率密度函数的值域是(0, +∞)，IGM可以更好地估计未变化类和变化类的概率密度函数；②IGM的参数数量与GM相同，两个参数分别为均值μ和形状参数λ，当μ=λ=1时IGM变为Wald分布，当λ趋近于无穷时，IGM逐渐趋近于GM。与GM相比在参数数量不变的情况下，IGM可以更好地估计差值影像中未变化类和变化类的概率密度函数。实验流程图如图 1所示。
图 1 实验流程图
Figure 1. Flowchart Scheme of the Proposed Approach
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本文方法使用IGM估计差值影像中未变化类和变化类的先验概率密度分布，使用贝叶斯决策理论获得后验概率密度分布，进而计算满足KI最小错误率准则的阈值，实现SAR影像非监督变化检测。
假设已经联合配准的两时相影像分别为X1={X1(i, j), 1≤i≤I, 1≤j≤J}和X2={X2(i, j), 1≤i≤I, 1≤j≤J}，差值影像D={D(i, j), 1≤i≤I, 1≤j≤J}可由式(1)得到
$$ D\left( {i, j} \right) = \left| {{X_1}\left( {i, j} \right) - {X_2}\left( {i, j} \right)} \right| $$ (1) -
GM描述的是布朗运动中分子在某一固定时刻的距离分布，而IGM描述的是分子到达固定距离所需时间的分布。IGM是统计学中一种常用的分布，它的概率密度函数为
$$ \begin{array}{l} f\left( {x, \mu, \lambda } \right) = \sqrt {\frac{\lambda }{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}{x^3}}}} \exp \left\{ {\frac{{ - \lambda {{\left( {x - \mu } \right)}^2}}}{{2{\mu ^2}x}}} \right\}, \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mu > 0, \lambda > 0, x > 0 \end{array} $$ (2) 其中μ是均值，λ是形状参数。已知IGM的均值μ和方差σ2，λ可以表达为:
$$ \lambda = \frac{{{\mu ^3}}}{{{\sigma ^2}}} $$ (3) 其中μ和σ2可以由式(4)得到:
$$ \left\{ \begin{array}{l} \mu = \frac{1}{{I \times J}}\sum\limits_{i = 1}^I {\sum\limits_{j = 1}^J {D\left( {i, j} \right)} } \\ {\sigma ^2} = \frac{1}{{I \times J}}\sum\limits_{i = 1}^I {\sum\limits_{j = 1}^J {{{\left( {D\left( {i, j} \right) - \mu } \right)}^2}} } \end{array} \right. $$ (4) 当μ=λ=1时，IGM变为Wald分布。当λ趋近于无穷时，IGM逐渐趋近于GM。图 2给出了μ=1，λ取不同值时，IGM的分布曲线，可以看出当λ=16时，IGM已经比较接近GM。
图 2 IGM曲线
Figure 2. IGM (μ=1) Versus the Value of λ
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假设差值影像中未变化类和变化类分别为ωu、ωc，在差值影像中发生的先验概率分别为p(ωu)、p(ωc)。差值影像中一个像元值Dl(Dl=0, 1…L－1，L是像元灰度级)属于ωu、ωc的条件概率密度分别为p(Dl|ωu)、p(Dl|ωc)。在本文提出的方法中假设差值影像中未变化类和变化类服从混合IGM，未变化类和变化类构成两个逆高斯总体，通过式(3)和(4)估计IGM参数后，条件概率密度可以由式(2)计算得到。依据全概率公式，Dl在差值影像中发生的概率为:
$$ p\left( {{D_l}} \right) = p\left( {{D_l}|{\omega _u}} \right)p\left( {{\omega _u}} \right) + p\left( {{D_l}|{\omega _c}} \right)p\left( {{\omega _c}} \right) $$ (5) 假设h(Dl)是差值影像的灰度直方图，T∈(0, 1…L－1)是要计算的阈值，它把差值影像分为未变化类和变化类。c(Dl, T)是对应的代价函数，它通过比较Dl与阈值T来计算分类代价。则KI准则函数J(T)可以由式(6)计算得到[17]：
$$ J\left( T \right) = \sum\limits_{{D_l} = 0}^{L - 1} {h\left( {{D_l}} \right)} c\left( {{D_l}, T} \right) $$ (6) 其中
$$ c\left( {{D_l}, T} \right) = \left\{ \begin{array}{l} - 2\ln p\left( {{\omega _u}|{D_l}, T} \right), {D_l} \le T\\ - 2\ln p\left( {{\omega _c}|{D_l}, T} \right), {D_l} > T \end{array} \right. $$ (7) 其中p(ωi|Dl, T)(i=u, c)是在给定Dl和T时未变化类和变化类的后验概率，使用贝叶斯决策理论可以由式(8)计算后验概率：
$$ p\left( {{\omega _i}|{D_l}, T} \right) = \frac{{p\left( {{\omega _i}} \right)p\left( {{D_l}|{\omega _i}, T} \right)}}{{p\left( {{D_l}} \right)}} $$ (8) 其中p(Dl)由式(5)计算得到。计算使总体误差最小的阈值T*等价于求取使KI准则函数取得最小值时的阈值，即
$$ {T^ * } = \arg \min J\left( T \right), T = 0, 1 \cdots L - 1 $$ (9) -
为了验证本文方法的有效性，选择了两组SAR数据进行实验，下面将对实验数据和实验设计进行详细地介绍。
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第1组数据是在河北省某地区由Radarsat-2卫星获取的SAR影像，大小为400×400像素，获取时间分别为2015年4月和2016年3月。该地区两时相影像和参考变化图见图 3，其中结合遥感影像和地形图资料人工描绘的参考变化图是为了定量分析变化检测的精度。
图 3 河北省某地区多时相SAR数据和参考变化图
Figure 3. Multi-temporal Images in Hebei, China
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第2组数据是位于加拿大首都渥太华的两幅SAR影像，大小为290×350像素，由Radarsat-1卫星获得，获取时间分别为1997年5月和1997年8月。两时相SAR影像和参考变化图如图 4所示，其中结合遥感影像和地形图资料人工描绘的参考变化图是为了定量分析变化检测的精度。
图 4 渥太华地区多时相SAR数据和参考变化图
Figure 4. Multi-temporal Images in Ottawa
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为了评定本文提出方法的有效性，在两组数据上分别设计了两组实验以分析：①IGM对差值影像中未变化类和变化类概率密度分布估计的有效性；②使用本文提出的方法进行变化检测的有效性。本文的实验数据均使用3×3的窗口进行均值滤波以抑制SAR影像斑点噪声的影响[22]。在KI最小错误率准则下，对使用GM、GGM和IGM估计未变化类和变化类先验分布的自动阈值求取方法分别称为KIGM、KIGGM和KIIGM。
在第1组实验中，本文分别统计了估计的未变化类概率密度分布函数在[0, T*]区间内的概率和(PSumu)，以及变化类概率密度分布函数在(T*, 255]区间内的概率和(PSumc)。PSumu和PSumc的期望值均为1。
在第2组实验中，把使用KIGM、KIGGM以及OTSU[16]方法生成的变化检测图与使用本文提出的KIIGM方法生成的变化检测图进行比较。使用漏检像元、总体误差、正确检测像元和Kappa系数定量分析本文提出的自动阈值选取方法的有效性。其中Kappa系数反应了两幅影像的一致性程度，一般取值在[0, 1]，Kappa系数越接近1说明变化检测的精度越高。
本文的实验平台基于Visual Studio2013和OpenCV2.4.2环境，采用C++语言编程实现。
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第1组实验定量分析了KIGM、KIGGM和KIIGM方法对差值影像中未变化类和变化类分布估计的合理性，统计了使用不同方法得到的PSumu、PSumc，如表 1所示，其中PSumu、PSumc的期望值均为1。
表 1 不同方法估计的PSumu、PSumc(Ⅰ)
Table 1. PSumu, PSumc Estimated by Utilizing Different Approaches
方法 PSumu PSumc KIGM 0.899 7 0.853 4 KIGGM 0.899 9 0.868 4 KIIGM 0.986 8 0.921 9 可以看出，在KI最小错误率准则下，GM和GGM对未变化类和变化类的估计不理想，PSumu约为0.89，PSumc约为0.85。然而，使用KIIGM方法估计的PSumu和PSumc分别为0.986 8和0.921 9，它们都非常接近期望值，这证明了IGM可以更好的估计差值影像中未变化类和变化类的概率密度分布，从而得到更合理的阈值。
第2组实验是为了验证使用本文提出的方法进行变化检测的有效性。图 5为分别使用KIGM、KIGGM、OTSU和KIIGM方法获得的河北省某地区变化检测图。与图 3(c)中的参考变化图定性比较可以看出，使用KIGM和KIGGM方法生成的变化检测图有较多的虚警像元，使用OTSU方法生成的变化检测图有一些漏检像元，使用本文方法得到的变化检测图与参考变化图的一致性最好。为了定量分析不同方法获得的变化检测图，计算了漏检像元、总体误差、正确检测像元和Kappa系数，如表 2所示。
图 5 河北省数据使用不同方法获得的变化检测图
Figure 5. Change Detection Maps Obtained by Using Different Methods for Multi-Temporal Images in Hebei, China
表 2 不同方法变化检测图的定量分析指标(Ⅰ)
Table 2. Threshold, Missed Alarms, Overall Error, Detected Changes (in Number of Pixels), Kappa Coefficient Resulting From KIGM, KIGGM, OTSU and KIIGM
方法 阈值 漏检像元/像元 总体误差/像元 检测到的变化像元/像元 Kappa KIGM 59 649 5 402 8 324 0.737 5 KIGGM 62 760 4 541 8 213 0.768 5 OTSU 89 2 505 2 892 6 468 0.807 9 KIIGM 74 1 250 2 487 7 723 0.853 1 由表 2的数据可以看出，对于河北省的数据，使用KIGM和KIGGM得到的变化检测图漏检像元较少，分别为649和760，总体误差较大，分别为5 402和4 541，检测到的变化像元数量较多，分别为8 324和8 213。这两种方法的Kappa系数较小，生成的变化检测图精度没有OTSU和KIIGM方法高。与OTSU方法相比，KIIGM生成的变化检测图，漏检像元数量更少为1 250个，总体误差也更小为2 487个，可以检测到更多的变化像元为7 723个，同时具有更大的Kappa系数0.853 1。因此，综合考虑以上4种分析指标，使用本文提出的KIIGM方法获得的变化检测图与参考变化图的一致性程度最好，证明了使用本文的方法进行SAR影像非监督变化检测的有效性。
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第1组实验是为了定量分析KIGM、KIGGM和KIIGM方法对差值影像中未变化类和变化类分布估计的合理性，统计了使用不同方法得到的PSumu、PSumc，如表 3所示。
表 3 不同方法估计的PSumu、PSumc(Ⅱ)
Table 3. PSumu, PSumc Estimated by Utilizing Different Approaches
方法 PSumu PSumc KIGM 0.852 2 0.845 9 KIGGM 0.850 4 0.861 5 KIIGM 0.986 2 0.971 1 可以看出，在KI最小错误率准则下，GM和GGM对未变化类和变化类的估计表现不如KIIGM好，PSumu和PSumc都非常接近0.85。而使用KIIGM得到了很接近期望值的PSumu、PSumc分别为0.986 2和0.971 1，这也证明了IGM可以更好的估计差值影像中未变化类和变化类的概率密度分布，进而得到更合理的阈值。
第2组实验是为了验证使用本文提出的方法进行变化检测的有效性。图 6为分别使用KIGM、KIGGM、OTSU和KIIGM方法获得的渥太华地区变化检测图。与图 4(c)中的参考变化图定性比较可以看出，使用KIGM和KIGGM方法生成的变化检测图有较多的虚警像元，使用OTSU方法生成的变化检测图有一些漏检像元，使用本文方法得到的变化检测图与参考变化图的一致性最好。为了定量分析不同方法获得的变化检测图，计算了漏检像元、总体误差、正确检测像元和Kappa系数，如表 4所示。
图 6 渥太华数据使用不同方法获得的变化检测图
Figure 6. Change Detection Maps Obtained by Using Different Methods for Multi-Temporal Images in Ottawa
表 4 不同方法变化检测图的定量分析指标(Ⅱ)
Table 4. Threshold, Missed Alarms, Overall Error, Detected Changes (in Number of Pixels), Kappa Coefficient Resulting From KIGM, KIGGM, OTSU and KIIGM
方法 阈值 漏检像元/像元 总体误差/像元 检测到的变化像元/像元 Kappa KIGM 19 296 18 994 15 753 0.485 9 KIGGM 22 308 15 968 15 741 0.485 9 OTSU 69 3 022 4 124 13 027 0.835 2 KIIGM 57 1 906 3 995 14 143 0.837 0 由表 4可以看出，对于渥太华的数据，使用KIGM和KIGGM获得的变化检测图相似，漏检像元数量较少，分别为296和308，总体误差较大，分别为18 994和15 968，同时检测到的变化像元较多，分别为15 753和15 741个。由Kappa系数可以看出OTSU和KIIGM方法获得的变化检测图明显优于KIGM和KIGGM方法获得的变化检测图。与OTSU相比，KIIGM方法的漏检像元数量较少为1 906个，总体误差更小为3 995，检测到的变化像元数量更多为14 143，比OTSU方法多1 116个，同时具有最大的Kappa系数0.837 0。因此，综合考虑以上4种分析指标，使用本文提出的KIIGM方法获得的变化检测图与参考变化图的一致性程度最好，验证了本文方法的有效性。
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本文提出了一种新的SAR影像非监督变化检测方法。它假设差值影像中未变化类和变化类服从混合IGM，结合贝叶斯决策理论和KI准则，得到具有最小总体误差的阈值，进而实现SAR影像非监督变化检测。本文在两组多时相SAR数据上分别进行了两组实验，实验结果表明，与KIGM和KIGGM相比，KIIGM可以更好地估计差值影像中未变化类和变化类的概率密度分布，得到更合理的决策阈值和更高精度的变化检测图。
A Novel Approach Combining KI Criterion and Inverse Gaussian Model to Unsupervised Change Detection in SAR Images
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摘要: 提出一种结合逆高斯模型（inverse Gaussian model，IGM）和KI（Kittler-Illingworth，KI）最小错误率准则的合成孔径雷达（synthetic aperture radar，SAR）影像非监督变化检测方法。假设差值影像中未变化类和变化类服从混合IGM，结合贝叶斯决策理论，自动求取满足KI最小错误率准则的阈值。在两组多时相SAR数据上分别设计了两组实验以验证本文方法的有效性。实验表明，本文方法可以更好地估计差值影像中未变化类和变化类的概率密度分布，得到合理的决策阈值，有效提高变化检测图的精度。Abstract: In this context, a novel approach combining inverse Gaussian model (IGM) and the Kittler-Illingworth (KI) criterion has been proposed to carry out tunsupervised change detection in synthetic aperture radar (SAR) images. The minimum error threshold could be computed by exploiting the Bayes decision theory under the assumption that hybrid IGM could describe the distribution of the changed and unchanged class in difference image. Experiments carried out on two sets of multi-temporal SAR images indicate that the proposed approach can effectively estimate the probability density function of the unchanged and changed classes in the difference image and acquire a reasonable threshold for yielding a better change map from the difference image.
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图 5 河北省数据使用不同方法获得的变化检测图
Figure 5. Change Detection Maps Obtained by Using Different Methods for Multi-Temporal Images in Hebei, China
图 6 渥太华数据使用不同方法获得的变化检测图
Figure 6. Change Detection Maps Obtained by Using Different Methods for Multi-Temporal Images in Ottawa
表 1 不同方法估计的PSumu、PSumc(Ⅰ)
Table 1. PSumu, PSumc Estimated by Utilizing Different Approaches
方法 PSumu PSumc KIGM 0.899 7 0.853 4 KIGGM 0.899 9 0.868 4 KIIGM 0.986 8 0.921 9 
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表 2 不同方法变化检测图的定量分析指标(Ⅰ)
Table 2. Threshold, Missed Alarms, Overall Error, Detected Changes (in Number of Pixels), Kappa Coefficient Resulting From KIGM, KIGGM, OTSU and KIIGM
方法 阈值 漏检像元/像元 总体误差/像元 检测到的变化像元/像元 Kappa KIGM 59 649 5 402 8 324 0.737 5 KIGGM 62 760 4 541 8 213 0.768 5 OTSU 89 2 505 2 892 6 468 0.807 9 KIIGM 74 1 250 2 487 7 723 0.853 1
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表 3 不同方法估计的PSumu、PSumc(Ⅱ)
Table 3. PSumu, PSumc Estimated by Utilizing Different Approaches
方法 PSumu PSumc KIGM 0.852 2 0.845 9 KIGGM 0.850 4 0.861 5 KIIGM 0.986 2 0.971 1
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表 4 不同方法变化检测图的定量分析指标(Ⅱ)
Table 4. Threshold, Missed Alarms, Overall Error, Detected Changes (in Number of Pixels), Kappa Coefficient Resulting From KIGM, KIGGM, OTSU and KIIGM
方法 阈值 漏检像元/像元 总体误差/像元 检测到的变化像元/像元 Kappa KIGM 19 296 18 994 15 753 0.485 9 KIGGM 22 308 15 968 15 741 0.485 9 OTSU 69 3 022 4 124 13 027 0.835 2 KIIGM 57 1 906 3 995 14 143 0.837 0
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A, 2000, 456:2995-3004 doi: 10.1098/rspa.2000.0650 -
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图(6) / 表(4)
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