留言板

尊敬的读者、作者、审稿人, 关于本刊的投稿、审稿、编辑和出版的任何问题, 您可以本页添加留言。我们将尽快给您答复。谢谢您的支持!

姓名
邮箱
手机号码
标题
留言内容
验证码

全球CGCS2000坐标框架的构建理论研究

蒋志浩 刘经南 王凡 秘金钟 翟曦

蒋志浩, 刘经南, 王凡, 秘金钟, 翟曦. 全球CGCS2000坐标框架的构建理论研究[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2018, 43(2): 167-174. doi: 10.13203/j.whugis20160068
引用本文: 蒋志浩, 刘经南, 王凡, 秘金钟, 翟曦. 全球CGCS2000坐标框架的构建理论研究[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2018, 43(2): 167-174. doi: 10.13203/j.whugis20160068
JIANG Zhihao, LIU Jingnan, WANG Fan, BEI Jinzhong, ZHAI Xi. Research on Construction Theory of Global CGCS2000 Coordinate Frame[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2018, 43(2): 167-174. doi: 10.13203/j.whugis20160068
Citation: JIANG Zhihao, LIU Jingnan, WANG Fan, BEI Jinzhong, ZHAI Xi. Research on Construction Theory of Global CGCS2000 Coordinate Frame[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2018, 43(2): 167-174. doi: 10.13203/j.whugis20160068

全球CGCS2000坐标框架的构建理论研究

doi: 10.13203/j.whugis20160068
基金项目: 

国家自然科学基金 41304008

详细信息
    作者简介:

    蒋志浩, 博士生, 高级工程师, 主要从事GNSS数据处理与成果分析工作。zhjiang@ngcc.cn

  • 中图分类号: P228

Research on Construction Theory of Global CGCS2000 Coordinate Frame

Funds: 

The National Natural Science Foundation of China 41304008

More Information
    Author Bio:

    JIANG Zhihao, PhD candidate, senior engineer, specializes in GNSS data processing and result analysis.E-mail:zhjiang@ngcc.cn

图(2)
计量
  • 文章访问数:  1793
  • HTML全文浏览量:  249
  • PDF下载量:  552
  • 被引次数: 0
出版历程
  • 收稿日期:  2016-09-07
  • 刊出日期:  2018-02-05

全球CGCS2000坐标框架的构建理论研究

doi: 10.13203/j.whugis20160068
    基金项目:

    国家自然科学基金 41304008

    作者简介:

    蒋志浩, 博士生, 高级工程师, 主要从事GNSS数据处理与成果分析工作。zhjiang@ngcc.cn

  • 中图分类号: P228

摘要: 全球坐标参考框架是发展全球卫星导航系统最具重要性的基础设施之一,也是我国空间信息基础设施建设的迫切需求。研究了构建全球CGCS2000(China Geodetic Coordinate System 2000)坐标参考框架的数学模型,研究了采用内约束理论构建全球CGCS2000框架理论和算法,最后证明了构建全球CGCS2000框架的二步法和一步法数学模型在一定条件下等价。内部约束算法根据框架转换参数及其速率变化量最小标准重新定义框架约束条件,经过坐标相似变化得到最佳网形,并保证最佳网形和初始网形的拟合度达到最高,最后得到最优网形中测站坐标估值,并能保持不同观测技术参考框架的内在纯粹性,发挥不同观测技术优势。本文研究结果可完善中国坐标框架构建基础理论体系,对CGCS2000框架的全球化实现提供科学方法。

English Abstract

蒋志浩, 刘经南, 王凡, 秘金钟, 翟曦. 全球CGCS2000坐标框架的构建理论研究[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2018, 43(2): 167-174. doi: 10.13203/j.whugis20160068
引用本文: 蒋志浩, 刘经南, 王凡, 秘金钟, 翟曦. 全球CGCS2000坐标框架的构建理论研究[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2018, 43(2): 167-174. doi: 10.13203/j.whugis20160068
JIANG Zhihao, LIU Jingnan, WANG Fan, BEI Jinzhong, ZHAI Xi. Research on Construction Theory of Global CGCS2000 Coordinate Frame[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2018, 43(2): 167-174. doi: 10.13203/j.whugis20160068
Citation: JIANG Zhihao, LIU Jingnan, WANG Fan, BEI Jinzhong, ZHAI Xi. Research on Construction Theory of Global CGCS2000 Coordinate Frame[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2018, 43(2): 167-174. doi: 10.13203/j.whugis20160068
  • 20世纪90年代以来, IERS (International Earth Rotation and Reference Systems Service)已经发布了多个国际地球参考框架(International Terrestrial Reference Frame, ITRF)[1]。新的ITRF2008框架联合了各种空间大地测量技术时间序列的组合,提供了更高精度的坐标参考框架。中国于2008年7月1日启用了CGCS2000 (China Geodetic Coordinate System 2000)坐标参考框架,是以ITRF1997参考框架为基础的区域性坐标参考框架[2-3],尚未构建全球性的地球参考框架。中国北斗导航系统即将成为全球卫星导航系统,不能完全依赖IERS所提供的时空基准服务,必须有中国自主的地球参考框架作为支撑。因此当前迫切需要以CGCS2000为基础,建立和实现高精度、高可靠性的全球性动态参考框架。

    目前国内学者对国际和区域参考框架的构建作了大量研究工作[4-7],但均未系统介绍全球CGCS2000坐标框架的构建理论,也未对模型算法深入研究。本文在现有学术成果基础上,首先介绍构建全球CGCS2000坐标框架的数学模型,重点研究了两步法模型;其次分析研究了采用内约束算法构建理论;最后证明两步法和传统的一步法数学模型在一定条件下等价。

    • 目前CGCS2000框架采用2000.0历元, 虽然能够采用速度场模型实现2000历元至当前历元归算(ITRF2008框架和瞬时历元),但是框架站的非线性变化[8-10]和速度值误差都会降低坐标精度,不能满足高精度GNSS导航定位需要。本文利用不同空间观测技术坐标时序成果,采用观测技术内综合处理,观测技术间联合处理方式,建立了从观测历元框架到长期框架的数学模型,为全球CGCS2000框架的实时性、精确性奠定了理论基础。构建全球CGCS2000坐标框架数学模型主要包含3个方面内容:

      1) 坐标时序模型:从全球CGCS2000框架站有效数据中确定参数ai的数学模型xi(t)=F(ai, t),通过参数ai将测站i坐标xi表示成时间t的函数;

      2) 坐标框架构建模型:实现各种观测技术(T)内综合处理,实现观测技术间联合处理,完成观测历元框架Sk、不同观测技术框架ST和最终全球CGCS2000框架SCGCS2000间参数转换;

      3) 内约束算法:选取约束条件消除框架转换方程秩亏影响,构建最优全球CGCS2000参考框架。

    • 通常采用的测站坐标时间序列模型为:

      $$ {x_i}\left( t \right) = F\left( {{a_i},t} \right) = {x_{0i}} + \left( {t - {t_0}} \right){v_i} $$ (1)

      式中,测站参数ai包含全球CGCS2000框架参考历元t0时坐标值和恒定速度值vi。目前在坐标框架构建中坐标时序模型仍采用线性模型,但也可以采用随机过程方法建模[10],进行噪声分析,估计有色噪声、白噪声分量,也可结合确定性参数分析趋势项和零均值的随机过程,分析残余项的组合方式。

    • 构建全球CGCS2000框架的基本参数是框架站坐标和速度值,通过对空间技术数据处理不能直接获取测站坐标,只是得到每个观测时段由点组成的观测网“网形”,只有进行参考框架转换后,才能得到选定框架下测站坐标值和速度值。

    • 参考框架间转换的通用数学模型为:

      $$ \tilde x\left( t \right) = \left( {1 + \lambda \left( t \right)} \right)R\left( {\psi \left( t \right)} \right){x_i}\left( t \right) + g\left( t \right) $$ (2)

      式中,ψλg分别表示旋转、尺度和平移参数。如果框架间旋转角ψ数值较小,可近似表示为R(ψ(t))≈I-[ψ(t)×],[ψ×]X=-[X×]ψ,式(2)可变换为:

      $$ \begin{array}{l} \tilde x\left( t \right) \approx \left( {1 + \lambda \left( t \right)} \right)\left( {1 - \left[ {\psi \left( t \right) \times } \right]} \right)x\left( t \right) + g\left( t \right)\\ \;\;\;\;\;\;\; = \left( {1 + \lambda \left( t \right)} \right)x\left( t \right) - \left[ {\psi \left( t \right) \times } \right]x\left( t \right) - \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\lambda \left( t \right)\left[ {\psi \left( t \right) \times } \right]x\left( {\left( t \right) + g\left( t \right) \approx } \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\left. {1 + \lambda \left( t \right)} \right)x\left( t \right) - \left[ {\psi \left( t \right) \times } \right]x\left( t \right) + g\left( t \right) \end{array} $$ (3)

      舍去二阶项,并对位置求导得到测站速度和转换参数变化率。

      $$ \begin{array}{*{20}{c}} {\tilde v\left( t \right) = v\left( t \right) + \left[ {x\left( t \right) \times } \right]\dot \psi \left( t \right) + x\left( t \right)\dot \lambda \left( t \right) + \dot g\left( t \right)}\\ { = v\left( t \right) + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {x\left( t \right) \times } \right]}&I&{x\left( t \right)} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dot \psi }\\ {\left( t \right)}\\ {\dot g\left( t \right)}\\ {\dot \lambda \left( t \right)} \end{array}} \right]}\\ { = v\left( t \right) + {E_{x\left( t \right)}}\dot P\left( t \right)} \end{array} $$ (4)
    • 在全球CGCS2000框架中函数模型须符合x(t)=x0+(tt0)v形式,带入式(4), 并省略λ、$\dot{\lambda }$、ψ、$\dot{\psi }$和v的二阶项后可得:

      $$ \begin{array}{*{20}{c}} {\tilde x\left( t \right) = {x_0} + \left( {t - {t_0}} \right)v + \lambda \left( t \right){x_0} + \left( {t - {t_0}} \right)\lambda \left( t \right)v + }\\ {\left[ {{x_0} \times } \right]\psi \left( t \right) + \left( {t - {t_0}} \right)\left[ {v \times } \right]\psi \left( t \right) + g\left( t \right) \approx }\\ {{x_0} + \left( {t - {t_0}} \right)v + \lambda \left( t \right){x_0} + \left[ {{x_0} \times } \right]\psi \left( t \right) + g\left( t \right)} \end{array} $$ (5)
      $$ \tilde v\left( t \right) = v + \dot \lambda \left( t \right){x_0} + \left[ {{x_0} \times } \right]\dot \psi \left( t \right) + \dot g\left( t \right) $$ (6)
    • 在数据处理过程中,不直接处理x0v,而是处理近似值x0apvap的改正量:δx0=x0x0apδv=vvap,假定两个坐标框架采用共同近似值x0ap(例如全球CGCS2000框架可采用ITRF2008)。

      $$ \left\{ \begin{array}{l} \delta {{\tilde x}_0} = \delta {x_0} + {\lambda _0}x_0^{ap} + \left[ {x_0^{ap} \times } \right]{\psi _0} + {g_0} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\delta {x_0} + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {x_0^{ap} \times } \right]}&I&{x_0^{ap}} \end{array}} \right]\;\;{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\psi _0}}&{{g_0}}&{{\lambda _0}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\delta {x_0} + {E_{x_0^{ap}}}{P_0}\\ \delta \tilde v = \delta v + \dot \lambda x_0^{ap} + \left[ {x_0^{ap} \times } \right]\dot \psi + \dot g = \\ \;\;\;\;\;\;\;\delta v + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {x_0^{ap} \times } \right]}&I&{x_0^{ap}} \end{array}} \right]\;\;{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dot \psi }&{\dot g}&{\dot \lambda } \end{array}} \right]^{\rm{T}}} = \\ \;\;\;\;\;\;\;v + {E_{x_0^{ap}}}\dot p \end{array} \right. $$ (7)
    • 构建全球CGCS2000坐标参考框架可采用两种数学模型:一步法模型即同步组合处理所有不同空间技术的有效时间序列(同步组合);二步法模型的第1步对不同观测技术有效时间序列分别进行综合处理(技术内综合),第2步联合第1步得到的各种观测技术有效参数估计,实现观测技术间成果联合处理(技术间联合),得到最终的全球CGCS2000框架成果。两步法模型的优势首先在于可以从不同空间技术成果中分别估计全球CGCS2000框架参数,通过比对分析可以揭示技术间系统偏差,例如尺度偏差、精度差异和观测粗差等;其次可对第1步获得的不同空间技术的框架参数进行方差分量估计并适当定权。

    • 综合处理模型将不同观测技术时间序列分别处理,并且考虑独立历元间坐标参考框架的差异(例如24 h连续观测时段作为独立历元),综合处理观测方程式为:

      $$ \begin{array}{*{20}{c}} {\delta \tilde x_i^k = \delta {x_{i0}} + \left( {{t_k} - {t_0}} \right)\delta {v_i} + {s_k}x_{i0}^{ap} + \left[ {x_{i0}^{ap} \times } \right]{\theta _k} + {d_k} + e_i^k = }\\ {\left[ {I\left( {{t_k} - {t_0}} \right)} \right]{{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\delta {x_{i0}}}&{\delta {v_i}} \end{array}} \right]}^{\rm{T}}} + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {x_{i0}^{ap} \times } \right]}&I&{x_{i0}^{ap}} \end{array}} \right]\;\;{{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\theta _k}}&{{d_k}}&{{s_k}} \end{array}} \right]}^{\rm{T}}} + e_i^k} \end{array} $$ (8)

      把观测方程式(8)变为紧凑形式:

      $$ \delta x_i^k = {\mathit{\boldsymbol{A}}_{ai}}{\mathit{\boldsymbol{a}}_i} + {\mathit{\boldsymbol{A}}_{\mathit{\boldsymbol{zi}}}}{\mathit{\boldsymbol{z}}_\mathit{\boldsymbol{k}}} + e_i^k $$ (9)

      式中, ai=[δxi0 δvi]T包含测站i的全球CGCS2000框架参数δxi0δvizk=[θk dk sk]T,包含观测技术T参考框架ST到独立观测历元tk坐标框架Sk的转换参数;Aai=[I (tkt0), Azi=[[xi0ap×] I xi0ap]=Ei

      估计框架转换参数应考虑历元间tk差异,这是综合处理过程的基础。理论上在每个空间技术中,对时间周期(日、周、时段)的不同tk历元的处理结果存在差异。实际中在tk时间周期内每种技术的未知框架参数和地球定向参数等被假定为恒定的。

      输入的每个历元tk的坐标xk的协方差矩阵为${{{\mathit{\boldsymbol{\hat{c}}}}}_{k}}={{{\mathit{\boldsymbol{\hat{c}}}}}_{{{x}_{k}}}}=\hat{\sigma }_{k}^{2}{{\mathit{\boldsymbol{Q}}}_{{{x}_{k}}}}$,其中$\hat{\sigma }_{k}^{2}$为方差因子,协因数阵Qxk是所有参数协因数阵Qk子矩阵,如果得到正确的Qxk,它应该是奇异矩阵,不能够通过转置得到加权矩阵Pxk=Qxk-1,因此通常利用坐标先验信息(先验协方差矩阵Cxkprior=σprior2I)获得可以转置的Qxk,进一步得到Pxk=Qxk-1。由于两个不同历元的观测不相关,堆栈的权矩阵是Pxk的对角阵。集合每个历元中所有测站观测,得到Nk个测站在k历元时的观测方程。

      $$ \mathit{\boldsymbol{\delta }}{\mathit{\boldsymbol{x}}_k} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\delta x_1^k}\\ \vdots \\ {\delta x_i^k}\\ \vdots \\ {\delta x_{Nk}^k} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{0,1}}}\\ \vdots \\ {{x_{0,i}}}\\ \vdots \\ {{x_{0,Nk}}} \end{array}} \right] + \left( {{t_k} - {t_0}} \right)\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_1}}\\ \vdots \\ {{v_i}}\\ \vdots \\ {{v_{Nk}}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{E_1}}\\ \vdots \\ {{E_i}}\\ \vdots \\ {{E_{Nk}}} \end{array}} \right]{Z_k} + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {e_1^k}\\ \vdots \\ {e_i^k}\\ \vdots \\ {e_{Nk}^k} \end{array}} \right] \\ = {\mathit{\boldsymbol{x}}_{0\left( k \right)}} + \left( {{t_k} - {t_0}} \right){\mathit{\boldsymbol{v}}_{\left( \mathit{\boldsymbol{k}} \right)}} + {\mathit{\boldsymbol{E}}_{\left( \mathit{\boldsymbol{k}} \right)}}{\mathit{\boldsymbol{Z}}_\mathit{\boldsymbol{k}}} + {\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{k}}} $$ (10)

      式中, x0(k)v(k)是在历元tk时刻所有N个测站的初始坐标x0和速度v集合。可以通过伴随矩阵Lk的方法处理测站缺少个别历元数据情况,Nk×N矩阵Lk是单位矩阵对应着历元tk时的有效测站。历元tk时刻的观测方程表示为:

      $$ \mathit{\boldsymbol{\delta }}{\mathit{\boldsymbol{x}}_\mathit{\boldsymbol{k}}} = {\mathit{\boldsymbol{L}}_\mathit{\boldsymbol{k}}}{\mathit{\boldsymbol{x}}_0} + \left( {{t_k} - {t_0}} \right){\mathit{\boldsymbol{L}}_\mathit{\boldsymbol{k}}}{\mathit{\boldsymbol{v}}_{\left( \mathit{\boldsymbol{k}} \right)}} + {\mathit{\boldsymbol{L}}_\mathit{\boldsymbol{k}}}\mathit{\boldsymbol{E}}{\mathit{\boldsymbol{Z}}_\mathit{\boldsymbol{k}}} + {\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{k}}} $$ (11)

      得到综合处理法方程为:

      $$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{N}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{N_a}}&{{N_{az}}}\\ {{N_{za}}}&{{N_z}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{N_{x0}}}&{{N_{x_0^v}}}&{{N_{x_0^z}}}\\ {{N_{vx0}}}&{{N_v}}&{{N_{vz}}}\\ {{N_{zx0}}}&{{N_{zv}}}&{{N_z}} \end{array}} \right] = }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{k = 1}^M {{{\bar P}_k}} }&{\sum\limits_{k = 1}^M {\left( {{t_k} - {t_0}} \right){{\bar P}_k}} }&{\left( {\sum\limits_{k = 1}^M {{{\bar P}_k}} } \right)E}\\ {}&{\sum\limits_{k = 1}^M {{{\left( {{t_k} - {t_0}} \right)}^2}{{\bar P}_k}} }&{\left( {\sum\limits_{k = 1}^M {\left( {{t_k} - {t_0}} \right){{\bar P}_k}} } \right)E}\\ {{\rm{sym}}}&{}&{{E^T}\left( {\sum\limits_{k = 1}^M {{{\bar P}_k}} } \right)E} \end{array}} \right]} \end{array} $$ (12)
      $$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{u}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_a}}\\ {{u_z}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_{x0}}}\\ {{u_v}}\\ {{u_z}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{k = 1}^M {{u_k}} }\\ {\sum\limits_{k = 1}^M {\left( {{t_k} - {t_0}} \right){u_k}} }\\ {{E^T}\sum\limits_{k = 1}^M {{u_k}} } \end{array}} \right],}\\ {{u_k} = \mathit{\boldsymbol{L}}_k^{\rm{T}}{P_k}\delta {x_k}.} \end{array} $$ (13)

      式中,${{{\mathit{\boldsymbol{\bar{P}}}}}_{k}}=\mathit{\boldsymbol{L}}_{^{k}}^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{P}}}_{k}}{{\mathit{\boldsymbol{L}}}_{k}}$是N×N加权矩阵,当测站缺失观测历元tk时,需添加零元素到Lk对应kk列。法方程$\mathit{\boldsymbol{N\hat{x}}}=\mathit{\boldsymbol{u}}$中矩阵N是奇异阵,秩亏是由于坐标框架的转换参数未定义。法方程的无穷解对应参考框架无穷多的选择。需要采用内约束算法求得唯一参数估值得到特定参考框架。

    • 在技术内综合处理阶段获得了每个观测技术T中测站初始坐标和速度值${{(\delta {{{\hat{x}}}_{i0}})}_{T|T}}, {{(\delta {{{\hat{\nu }}}_{i}})}_{T|T}}$, i=1T, 2T, …, nT, 观测技术框架ST到每个观测历元t1T, …, tkT, …, tmT框架Sk转换参数${{({{{\hat{z}}}_{k}})}_{T|T}}, {{k}_{T}}={{1}_{T}}, {{2}_{T}}, \ldots {{m}_{T}}$,它们作为联合处理阶段的观测量用以联合估计全球CGCS2000框架模型参数$\delta {{{\hat{x}}}_{i0}}、\delta {{{\hat{\nu }}}_{i}}$和转换参数。

      整体框架网测站改正量δx0iδvi是未知参数,它是每个观测技术观测网和转换参数Zk, T的联合解。Zk, T是全球CGCS2000参考框架到每种观测技术T中所有观测历元tk的转换参数。所有未知参数组成了新的共同的全球CGCS2000参考框架。另外参数Zk, T不是“冗余”参数,它可以实现地球定向参数(EOPs)从初始全球CGCS2000框架到所有观测技术T的观测历元tk框架转换。

      为了估计从全球CGCS2000参考框架A到观测历元tk参考框架C之间转换参数Zk, T,需要建立3个框架转换参数之间的关系式(见图 1)。${{P}_{A\to C}}={{P}_{A\to B}}+{{P}_{B\to C}}$,其中${{P}_{A\to C}}={{Z}_{k, T}}, {{P}_{A\to B}}={{P}_{T}}({{t}_{k}}), {{P}_{B\to C}}={{({{{\hat{Z}}}_{k}})}_{T|T}}, {{Z}_{k, T}}={{({{{\hat{Z}}}_{k}})}_{T|T}}+{{P}_{T}}({{t}_{k}})$,其中${{P}_{T}}({{t}_{k}})={{P}_{0T}}+({{t}_{k}}-{{t}_{0}}){{{\dot{P}}}_{T}}$,得到的观测方程为:

      $$ {\left( {{{\hat Z}_k}} \right)_{T\left| T \right.}} = {Z_{k,T}} - {P_{0T}} - \left( {{t_k} - {t_0}} \right){{\dot P}_T} + {e_{{{\left( {{{\hat Z}_k}} \right)}_{T\left| T \right.}}}} $$ (14)

      图  1  坐标框架关系图

      Figure 1.  The Relational Graph of Coordinate Frame

      不同空间观测技术组成不同的观测网,下标V、S、G、D、C(分别代表VLBI、SLR、GPS、DORIS、COMPASS/BeiDou;i代表测站;K代表历元。

      包含所有观测技术的技术间联合处理观测方程为:

      $$ {{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}}_{P\left| P \right.}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\hat a}_{{\rm{V}}\left| {\rm{V}} \right.}}}\\ {{{\hat a}_{{\rm{S}}\left| {\rm{S}} \right.}}}\\ {{{\hat a}_{{\rm{G}}\left| {\rm{G}} \right.}}}\\ {{{\hat a}_{{\rm{D}}\left| {\rm{D}} \right.}}}\\ {{{\hat a}_{{\rm{C}}\left| {\rm{C}} \right.}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{\rm{V}}}}\\ {{a_{\rm{S}}}}\\ {{a_{\rm{G}}}}\\ {{a_{\rm{D}}}}\\ {{a_{\rm{C}}}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{E_{a{\rm{V}}}}}&0&0&0&0\\ 0&{{E_{a{\rm{S}}}}}&0&0&0\\ 0&0&{{E_{a{\rm{G}}}}}&0&0\\ 0&0&0&{{E_{a{\rm{D}}}}}&0\\ 0&0&0&0&{{E_{a{\rm{C}}}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_{\rm{V}}}}\\ {{P_{\rm{S}}}}\\ {{P_{\rm{G}}}}\\ {{P_{\rm{D}}}}\\ {{P_{\rm{C}}}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{e_{\hat a{\rm{V}}\left| {\rm{V}} \right.}}}\\ {{e_{\hat a{\rm{S}}\left| {\rm{S}} \right.}}}\\ {{e_{\hat a{\rm{G}}\left| {\rm{G}} \right.}}}\\ {{e_{\hat a{\rm{D}}\left| {\rm{D}} \right.}}}\\ {{e_{\hat a{\rm{C}}\left| {\rm{C}} \right.}}} \end{array}} \right] \\ = \mathit{\boldsymbol{a}} + {\mathit{\boldsymbol{E}}_\mathit{\boldsymbol{a}}}\mathit{\boldsymbol{p}} + {\mathit{\boldsymbol{e}}_{\mathit{\boldsymbol{\hat aT}}}} $$ (15)
      $$ {{\mathit{\boldsymbol{\hat z}}}_{p\left| p \right.}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\hat z}_{{\rm{V}}\left| {\rm{V}} \right.}}}\\ {{{\hat z}_{{\rm{S}}\left| {\rm{S}} \right.}}}\\ {{{\hat z}_{{\rm{G}}\left| {\rm{G}} \right.}}}\\ {{{\hat z}_{{\rm{D}}\left| {\rm{D}} \right.}}}\\ {{{\hat z}_{{\rm{C}}\left| {\rm{C}} \right.}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{z_{\rm{V}}}}\\ {{z_{\rm{S}}}}\\ {{z_{\rm{G}}}}\\ {{z_{\rm{D}}}}\\ {{z_{\rm{C}}}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{E_{z{\rm{V}}}}}&0&0&0&0\\ 0&{{E_{z{\rm{S}}}}}&0&0&0\\ 0&0&{{E_{z{\rm{G}}}}}&0&0\\ 0&0&0&{{E_{z{\rm{D}}}}}&0\\ 0&0&0&0&{{E_{z{\rm{C}}}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_{\rm{V}}}}\\ {{P_{\rm{S}}}}\\ {{P_{\rm{G}}}}\\ {{P_{\rm{D}}}}\\ {{P_{\rm{C}}}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{e_{\hat z{\rm{V}}\left| {\rm{V}} \right.}}}\\ {{e_{\hat z{\rm{S}}\left| {\rm{S}} \right.}}}\\ {{e_{\hat z{\rm{G}}\left| {\rm{G}} \right.}}}\\ {{e_{\hat z{\rm{D}}\left| {\rm{D}} \right.}}}\\ {{e_{\hat z{\rm{C}}\left| {\rm{C}} \right.}}} \end{array}} \right] \\ = \mathit{\boldsymbol{a}} + {\mathit{\boldsymbol{E}}_\mathit{\boldsymbol{z}}}\mathit{\boldsymbol{p}} + {\mathit{\boldsymbol{e}}_{\mathit{\boldsymbol{\hat zT}}}} $$ (16)

      在技术间联合处理阶段,需要将各种空间观测技术成果进行联合平差,获取观测站的全球CGCS2000框架参数。但是不同空间技术观测网没有公共观测点,观测方程中也不包含共同未知量。目前通常采取并置站方式,即选取相距较近的两种或者两种以上观测技术测站,通过高精度测量获取不同观测技术T1T2测站之间矢量值,这些矢量值称为局部连接。

      $$ \begin{array}{*{20}{c}} {{d_{{T_1},{T_2}}}\left( t \right) = {x_{{T_2}}}\left( t \right) - {x_{{T_1}}}\left( t \right) = }\\ {\left[ {{x_{0{T_2}}} - {x_{0{T_1}}}} \right] + \left( {t - {t_0}} \right)\left[ {{v_{{T_2}}} - {v_{{T_1}}}} \right]} \end{array} $$ (17)

      通过在不同时间历元t的重复观测,可估计局部连接的初值和变化率,d0T1, T2=x0T2x0T1,${{{\dot{d}}}_{{{T}_{1}}, {{T}_{2}}}}={{v}_{{{T}_{2}}}}-{{v}_{{{T}_{1}}}}$。

      局部连接观测方程为:

      $$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{b}}_{\rm{C}}} = {A_{{\rm{CV}}}}{a_{\rm{V}}} + {A_{{\rm{CS}}}}{a_{\rm{S}}} + {A_{{\rm{CG}}}}{a_{\rm{G}}} + {A_{{\rm{CD}}}}{a_{\rm{D}}} + {A_{{\rm{CC}}}}{a_{\rm{C}}} + {\mathit{\boldsymbol{e}}_{\rm{C}}} = }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_{{\rm{CV}}}}}&{{A_{{\rm{CS}}}}}&{{A_{{\rm{CG}}}}}&{{A_{{\rm{CD}}}}}&{{A_{{\rm{CC}}}}} \end{array}} \right]\;{{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{\rm{V}}}}&{{a_{\rm{S}}}}&{{a_{\rm{G}}}}&{{a_{\rm{D}}}}&{{a_{\rm{C}}}} \end{array}} \right]}^{\rm{T}}} + {e_{\rm{C}}} = {\mathit{\boldsymbol{A}}_{\rm{C}}}\mathit{\boldsymbol{a}} + {\mathit{\boldsymbol{e}}_{\rm{C}}}} \end{array} $$ (18)

      每个观测技术${{\hat a}_{{\rm{V|V}}}}、{{\hat a}_{{\rm{S|S}}}}、{{\hat a}_{{\rm{G|G}}}}、{{\hat a}_{{\rm{D|D}}}}$独立建立法方程,NTx=uT,并置站bC法方程为NCx=uC,观测方程应包括转换参数zp

      $$ {\mathit{\boldsymbol{b}}_{\rm{C}}} = {\mathit{\boldsymbol{A}}_{\rm{C}}}\mathit{\boldsymbol{a}} + {\mathit{\boldsymbol{e}}_{\rm{C}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_{\rm{C}}}}&0&0 \end{array}} \right]{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&z&p \end{array}} \right]^{\rm{T}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_{\rm{C}}}}&0&0 \end{array}} \right]\mathit{\boldsymbol{x}} + {\mathit{\boldsymbol{e}}_{\rm{C}}} $$ (19)

      得到由不同空间观测组成法方法方程为${{\mathit{\boldsymbol{N}}}_{T}}\mathit{\boldsymbol{\hat{X}}}=(\mathit{\boldsymbol{A}}_{T}^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{P}}}_{T}}{{\mathit{\boldsymbol{A}}}_{T}})\mathit{\boldsymbol{\hat{X}}}=\mathit{\boldsymbol{A}}_{T}^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{P}}}_{T}}{{\mathit{\boldsymbol{b}}}_{T}}={{\mathit{\boldsymbol{u}}}_{T}}$,其中

      $$ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{N}}_T} = \mathit{\boldsymbol{A}}_T^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_T}{\mathit{\boldsymbol{A}}_T} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \mathit{\boldsymbol{I}}&0\\ 0&\mathit{\boldsymbol{I}}\\ {\mathit{\boldsymbol{E}}_a^{\rm{T}}}&{\mathit{\boldsymbol{E}}_Z^{\rm{T}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{P}}_a}}&{{\mathit{\boldsymbol{P}}_{az}}}\\ {\mathit{\boldsymbol{P}}_{az}^{\rm{T}}}&{{\mathit{\boldsymbol{P}}_z}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \mathit{\boldsymbol{I}}&0&{{\mathit{\boldsymbol{E}}_a}}\\ 0&\mathit{\boldsymbol{I}}&{{\mathit{\boldsymbol{E}}_z}} \end{array}} \right] = \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{P}}_a}}&{{\mathit{\boldsymbol{P}}_{az}}}&{{\mathit{\boldsymbol{P}}_a}{\mathit{\boldsymbol{E}}_a} + {\mathit{\boldsymbol{P}}_{az}}{\mathit{\boldsymbol{E}}_z}}\\ {\mathit{\boldsymbol{P}}_{az}^{\rm{T}}}&{{\mathit{\boldsymbol{P}}_z}}&{\mathit{\boldsymbol{P}}_{az}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{E}}_a} + {\mathit{\boldsymbol{P}}_z}{E_z}}\\ {\mathit{\boldsymbol{E}}_a^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_a} + \mathit{\boldsymbol{E}}_z^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{P}}_{az}^{\rm{T}}}&{\mathit{\boldsymbol{E}}_a^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_{az}} + \mathit{\boldsymbol{E}}_z^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{P}}_z^{\rm{T}}}&{\mathit{\boldsymbol{E}}_a^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_a}{\mathit{\boldsymbol{E}}_a} + \mathit{\boldsymbol{E}}_z^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{P}}_{az}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{E}}_a} + \mathit{\boldsymbol{E}}_a^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_{az}}{\mathit{\boldsymbol{E}}_z} + \mathit{\boldsymbol{E}}_z^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_z}{\mathit{\boldsymbol{E}}_z}} \end{array}} \right] \\ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{N}}_a}}&{{\mathit{\boldsymbol{N}}_{az}}}&{{\mathit{\boldsymbol{N}}_{ap}}}\\ {\mathit{\boldsymbol{N}}_{az}^{\rm{T}}}&{{\mathit{\boldsymbol{N}}_z}}&{{\mathit{\boldsymbol{N}}_{zp}}}\\ {\mathit{\boldsymbol{N}}_{ap}^{\rm{T}}}&{\mathit{\boldsymbol{N}}_{zp}^{\rm{T}}}&{{\mathit{\boldsymbol{N}}_p}} \end{array}} \right] \end{array} $$ (20)
      $$ {\mathit{\boldsymbol{u}}_T} = \mathit{\boldsymbol{A}}_T^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_T}{\mathit{\boldsymbol{b}}_T} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \mathit{\boldsymbol{I}}&0\\ 0&\mathit{\boldsymbol{I}}\\ {\mathit{\boldsymbol{E}}_a^{\rm{T}}}&{\mathit{\boldsymbol{E}}_Z^{\rm{T}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{P}}_a}}&{{\mathit{\boldsymbol{P}}_{az}}}\\ {\mathit{\boldsymbol{P}}_{az}^{\rm{T}}}&{{\mathit{\boldsymbol{P}}_z}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\hat a}_T}}\\ {{{\hat z}_T}} \end{array}} \right] \\ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{P}}_a}{{\hat a}_T} + {\mathit{\boldsymbol{P}}_{az}}{{\hat z}_T}}\\ {\mathit{\boldsymbol{P}}_{az}^{\rm{T}}{{\hat a}_T} + {\mathit{\boldsymbol{P}}_z}{{\hat z}_T}}\\ {\mathit{\boldsymbol{E}}_a^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_a}{{\hat a}_T} + \mathit{\boldsymbol{E}}_z^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{P}}_{az}^{\rm{T}}{{\hat a}_T} + \mathit{\boldsymbol{E}}_a^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_{az}}{{\hat z}_T} + \mathit{\boldsymbol{E}}_z^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_z}{{\hat z}_T}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_a}}\\ {{u_z}}\\ {{u_p}} \end{array}} \right] $$ (21)

      推导出的二步法联合处理法方程为:

      $$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{N}}_a} + {\mathit{\boldsymbol{N}}_c}}&{{\mathit{\boldsymbol{N}}_{az}}}&{{\mathit{\boldsymbol{N}}_{ap}}}\\ {\mathit{\boldsymbol{N}}_{az}^{\rm{T}}}&{{\mathit{\boldsymbol{N}}_z}}&{{\mathit{\boldsymbol{N}}_{zp}}}\\ {\mathit{\boldsymbol{N}}_{ap}^{\rm{T}}}&{\mathit{\boldsymbol{N}}_{zp}^{\rm{T}}}&{{\mathit{\boldsymbol{N}}_p}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\hat a}\\ {\hat z}\\ {\hat p} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_a} + {u_c}}\\ {{u_z}}\\ {{u_p}} \end{array}} \right] $$ (22)

      其中

      $$ {\mathit{\boldsymbol{N}}_c} = \mathit{\boldsymbol{A}}_c^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_c}{\mathit{\boldsymbol{A}}_c},{\mathit{\boldsymbol{u}}_c} = \mathit{\boldsymbol{A}}_c^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_c}{\mathit{\boldsymbol{b}}_c} $$ (23)
    • 通过数学模型组成的坐标框架构建模型,其观测方程系数阵的列秩亏数等于待求转换参数个数,获得的坐标框架网的所有最小二乘解集具有相同“网形”,但不具有唯一性。为此传统方法是设定一组外部约束条件(条件数等于秩亏数,并且不相关)实现框架定义,例如三角网中两个测站坐标,导线测量中需要一个测站坐标和一个方位角。在空间观测技术中,至少需要3个测站精确坐标值,通过赋予已知测站位置和速率强约束,估计秩亏法方程唯一网解。但如果未恰当选择约束条件,会引起框架网网形变化,参数估计产生偏差。内部约束方法只需全球CGCS2000框架参数和测站定向、平移和尺度参数及其速率变化量满足最小条件,保证成果的数值稳定性,保持不同观测技术参考框架的内在纯粹性,发挥不同观测技术优势(比如SLR技术的地心,VLBI技术的尺度等)。为确定内部约束矩阵,需要根据全球CGCS2000框架转换模型$\tilde{x}=x+{{E}_{p}}$,建立框架站参数和框架转换中旋转角度 $\psi \left( t \right) = {\psi _0} + (t - {t_0})\dot \psi $ ,尺度参数 $\lambda \left( t \right) = {\lambda _0} + (t - {t_0})\dot \lambda $ ,位移量 $g\left( t \right) = {g_0} + (t - {t_0})\dot g$ 等变化量间函数关系。每个测站转换方程组合表示为:

      $$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde a}}}_i} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\delta {{\tilde x}_{0i}}}\\ {\delta {{\tilde v}_i}} \end{array}} \right] \approx \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\delta {x_{0i}} + \left[ {x_{0i}^{ap} \times } \right]{\psi _0} + {\lambda _0}x_{0i}^{ap} + {g_0}}\\ {\delta {v_i} + \left[ {x_{0i}^{ap} \times } \right]\dot \psi + \dot \lambda x_{0i}^{ap} + \dot g} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\delta {x_{0i}}}\\ {\delta {v_i}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {x_{0i}^{ap} \times } \right]}&I&{x_{0i}^{ap}}&0&0&0\\ 0&0&0&{\left[ {x_{0i}^{ap} \times } \right]}&I&{x_{0i}^{ap}} \end{array}} \right] \times }\\ {{{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\psi _0}}&{{g_0}}&{{\lambda _0}}&{\dot \psi }&{\dot g}&{\dot \lambda } \end{array}} \right]}^{\rm{T}}} = {a_i} + {E_{ai}}p} \end{array} $$ (24)

      建立每个观测历元tk的转换参数关系式为:

      $$ \begin{array}{*{20}{c}} {{z_{\tilde k}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\tilde \theta }_k}}\\ {{{\tilde d}_k}{s_{\tilde k}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\theta _k} - {\psi _0} - \left( {{t_k} - {t_0}} \right)\dot \psi }\\ {{d_k} - {g_0} - \left( {{t_k} - {t_0}} \right)\dot g}\\ {{s_k} - {\lambda _0} - \left( {{t_k} - {t_0}} \right)\dot \lambda } \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\theta _k}}\\ {{d_k}}\\ {{s_k}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - I}&0&0&{ - \left( {{t_k} - {t_0}} \right)I}&0&0\\ 0&{ - I}&0&0&{ - \left( {{t_k} - {t_0}} \right)I}&0\\ 0&0&{ - 1}&0&0&{ - \left( {{t_k} - {t_0}} \right)} \end{array}} \right] \times }\\ {{{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\psi _0}}&{{g_0}}&{{\lambda _0}}&{\dot \psi }&{\dot g}&{\dot \lambda } \end{array}} \right]}^{\rm{T}}} \equiv {z_k} + {E_{zi}}p} \end{array} $$ (25)

      组合式(24)、式(25)得到:

      $$ \begin{array}{*{20}{c}} {{E^{\rm{T}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a\\ z \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {E_a^{\rm{T}}}&{E_z^{\rm{T}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a\\ z \end{array}} \right] = E_a^{\rm{T}}a + E_z^{\rm{T}}z = }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {E_{{a_i}}^{\rm{T}}}& \cdots &{E_{{a_N}}^{\rm{T}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}\\ \vdots \\ {{a_N}} \end{array}} \right] + }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {E_{{z_i}}^{\rm{T}}}& \cdots &{E_{{z_N}}^{\rm{T}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{z_1}}\\ \vdots \\ {{z_M}} \end{array}} \right] = }\\ {\sum\limits_{i = 1}^N {E_{{a_i}}^{\rm{T}}{a_i}} + \sum\limits_{i = 1}^M {E_{{z_k}}^{\rm{T}}{z_k}} = }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \sum\limits_{i = 1}^N {\left[ {xa{p_{0i}} \times } \right]\delta {x_{0i}}} - \sum\limits_{k = 1}^M {{\theta _k}} }\\ {\sum\limits_{i = 1}^N {\delta {x_{0i}}} - \sum\limits_{k = 1}^M {{d_k}} }\\ {\sum\limits_{i = 1}^N {{{\left( {xa{p_{0i}}} \right)}^{\rm{T}}}\delta {x_{0i}}} - \sum\limits_{k = 1}^M {{s_k}} }\\ { - \sum\limits_{i = 1}^N {\left[ {xa{p_{0i}} \times } \right]\delta {v_i}} - \sum\limits_{k = 1}^M {\left( {{t_k} - {t_0}} \right){\theta _k}} }\\ {\sum\limits_{i = 1}^N {\delta {v_i}} - \sum\limits_{k = 1}^M {\left( {{t_k} - {t_0}} \right){d_k}} }\\ {\sum\limits_{i = 1}^N {{{\left( {xa{p_{0i}}} \right)}^{\rm{T}}}\delta {v_i}} - \sum\limits_{k = 1}^M {\left( {{t_k} - {t_0}} \right){s_k}} } \end{array}} \right] = 0} \end{array} $$ (26)

      由此建立了由未知参数(比例、平移、旋转)引起的秩亏自由网的最完整的一套内部约束算法,有些情况下,如果比例或平移参数通过有效数据来估计(例如通过SLR建立地心坐标框架),则需要取消对应的内部约束条件。

      在二步法的综合阶段中约束条件分别应用于不同观测技术T的时间序列,表示为δxT, 0iδvT, iθT, kdT, ksT, k。在全球CGCS2000框架建立的一步法同步组合中待估参数为δx0iδviθT, kdT, ksT, k,为保持对应的最优化的最小标准,上述约束条件需要附加到K种空间观测技术中,需要增加$\sum\limits_{T=1}^{K}{{}}$项,将二步法综合阶段的$\sum\limits_{k=1}^{M}{{}}$替换为$\sum\limits_{T=1}^{K}{\sum\limits_{k=1}^{M}{{}}}$。

      内部约束算法根据框架转换参数及其速率变化量最小标准重新定义框架约束条件,经过坐标相似变化得到最佳网形,并保证最佳网形和初始网形的拟合度达到最高,最后得到最优网形中测站坐标估值,并能保持不同观测技术参考框架的内在纯粹性,发挥不同观测技术优势。需要注意的是当比例、地心、平移等参数,能够从有效观测数据中获取,或者有特殊历元定义时,对应的约束应该取消。

    • 构建地球参考框架的一步法数学模型采取同步组合算法,首先分别构建不同观测技术时间序列数据组成的法方程;其次同步组合不同观测技术法方程构成整体法方程,通过解算整体法方程得到全球CGCS2000框架参数最优解。两步法模型的第1步采用技术内综合算法,分别解算不同技术时间序列数据组成的法方程,估计全球CGCS2000框架参数初值;第2步采用技术间联合算法,联合第1步得到的全球CGCS2000框架参数初值,联合构建法方程并解算,求得全球CGCS2000框架参数最优解。

      坐标框架转换模型$\tilde{x}=x+{{E}_{p}}$是线性模型,可以表达为b=Ax+e形式。

      下面以包含并置站局部连接的两个独立观测网为例(见图 2),证明两种算法的一致性。采用不同观测技术的观测网a、观测网b和局部连接观测表达形式分别为:

      $$ \left\{ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{b}}_a} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_{a1}}}&{{A_{a2}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}} \end{array}} \right] + {v_a} = {A_a}{x_a} + {v_a}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{v_a} \sim \left( {0,{\sigma ^2}P_a^{ - 1}} \right)\\ {\mathit{\boldsymbol{b}}_b} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_{b3}}}&{{A_{b4}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_3}}&{{x_4}} \end{array}} \right] + {v_b} = {A_b}{x_b} + {v_b}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{v_b} \sim \left( {0,{\sigma ^2}P_b^{ - 1}} \right)\\ {\mathit{\boldsymbol{b}}_c} = {A_{c2}}{x_2} + {A_{c4}}{x_4} + {v_c}\;\;\;\;{v_c} \sim \left( {0,{\sigma ^2}P_c^{ - 1}} \right) \end{array} \right. $$ (27)

      图  2  包含并置站的两个观测网

      Figure 2.  Network Included Co-location Sites

      采用一步法算法时,式(27)可表达为法方程形式$\mathit{\boldsymbol{N\hat{x}}}=\mathit{\boldsymbol{u}}$,其中

      $$ \left\{ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{N}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{N_{a11}}}&{{N_{a12}}}&0&0\\ {N_{a12}^{\rm{T}}}&{{N_{a22}} + A_{c2}^{\rm{T}}{P_c}{A_{c2}}}&0&{A_{c2}^{\rm{T}}{P_c}{A_{c4}}}\\ 0&0&{{N_{b33}}}&{{N_{b34}}}\\ 0&{A_{c4}^{\rm{T}}{P_c}{A_{c2}}}&{N_{b34}^{\rm{T}}}&{{N_{b44}} + A_{c4}^{\rm{T}}{P_c}{A_{c4}}} \end{array}} \right]\\ \mathit{\boldsymbol{u}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {A_{a1}^{\rm{T}}{P_a}{b_a}}\\ {A_{a2}^{\rm{T}}{P_a}{b_a} + A_{c2}^{\rm{T}}{P_c}{b_c}}\\ {A_{b2}^{\rm{T}}{P_b}{b_b}}\\ {A_{b4}^{\rm{T}}{P_b}{b_b} + A_{c4}^{\rm{T}}{P_c}{b_c}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_{a1}}}\\ {{u_{a2}} + A_{c2}^{\rm{T}}{P_c}{b_c}}\\ {{u_{b3}}}\\ {{u_{b4}} + A_{c4}^{\rm{T}}{P_c}{b_c}} \end{array}} \right] \end{array} \right. $$ (28)

      二步法中第2步联合算法需要利用第1步已求得参数初值,并表示为分块矩阵形式:

      $$ \begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\hat x}_1}}\\ {{{\hat x}_2}}\\ {{{\hat x}_3}}\\ {{{\hat x}_4}}\\ {{b_c}} \end{array}} \right] = \left[ \begin{array}{l} {x_1} + {E_1}{p_a} + {e_1}\\ {x_2} + {E_2}{p_a} + {e_2}\\ {x_3} + {E_3}{p_b} + {e_3}\\ {x_4} + {E_4}{p_b} + {e_4}\\ {A_{c2}}{x_2} + {A_{c4}}{x_4} + {v_c} \end{array} \right] = }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} I&0&0&0&{{E_1}}&0\\ 0&I&0&0&{{E_2}}&0\\ 0&0&I&0&0&{{E_3}}\\ 0&0&0&I&0&{{E_4}}\\ 0&{{A_{c2}}}&0&{{A_{c4}}}&0&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_3}}\\ {{x_4}}\\ {{p_a}}\\ {{p_b}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{e_1}}\\ {{e_2}}\\ {{e_3}}\\ {{e_4}}\\ {{v_c}} \end{array}} \right]} \end{array} $$ (29)

      将上述分块矩阵表示为紧凑形式:

      $$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\hat x}_a}}\\ {{{\hat x}_b}}\\ {{b_c}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_a} + {E_a}{p_a}}\\ {{x_b} + {E_b}{p_b}}\\ {{b_c}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{D_a}}&{{E_a}}&0\\ {{D_b}}&0&{{E_b}}\\ {{A_c}}&0&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ {{p_a}}\\ {{p_b}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{e_a}}\\ {{e_b}}\\ {{b_c}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{W_a}}&0&0\\ 0&{{W_b}}&0\\ 0&0&{{P_c}} \end{array}} \right] $$ (30)

      由于框架转换约束条件和法方程式线性无关,所以NaEa=0, NbEb=0,最终法方程为:

      $$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{D}}_a^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{N}}_a}{\mathit{\boldsymbol{D}}_a} + \mathit{\boldsymbol{D}}_b^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{N}}_b}{\mathit{\boldsymbol{D}}_b} + \mathit{\boldsymbol{A}}_c^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_c}{\mathit{\boldsymbol{A}}_c}}&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ {{p_a}}\\ {{p_b}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{D}}_a^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{N}}_a}{{\mathit{\boldsymbol{\hat x}}}_a} + \mathit{\boldsymbol{D}}_b^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{N}}_b}{{\mathit{\boldsymbol{\hat x}}}_b} + \mathit{\boldsymbol{A}}_c^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_c}{\mathit{\boldsymbol{b}}_c}}\\ 0\\ 0 \end{array}} \right] $$ (31)

      式中, PaPb做为“冗余”参数消除,将D展开后得到:

      $$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{N_{a11}}}&{{N_{a12}}}&0&0\\ {N_{a12}^{\rm{T}}}&{{N_{a22}} + A_{c2}^{\rm{T}}{P_c}{A_{c2}}}&0&{A_{c2}^{\rm{T}}{P_c}{A_{c4}}}\\ 0&0&{{N_{b33}}}&{{N_{b34}}}\\ 0&{A_{c4}^{\rm{T}}{P_c}{A_{c2}}}&{N_{b34}^{\rm{T}}}&{{N_{b44}} + A_{c4}^{\rm{T}}{P_c}{A_{c4}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_3}}\\ {{x_4}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{N_{a11}}{{\hat x}_{a1}} + {N_{a12}}{{\hat x}_{a2}}}\\ {N_{a12}^{\rm{T}}{{\hat x}_{a1}} + {N_{a22}}{{\hat x}_{a2}} + A_{c2}^{\rm{T}}{P_c}{b_c}}\\ {{N_{b33}}{{\hat x}_{b3}} + {N_{b34}}{{\hat x}_{b4}}}\\ {N_{b34}^{\rm{T}}{{\hat x}_{b3}} + {N_{b44}}{{\hat x}_{b4}} + A_{c4}^{\rm{T}}{P_c}{b_c}} \end{array}} \right] $$ (32)

      式(32)结果与式(28)相等。

      一步法方法可理解为首先各观测子网独立构建法方程,再利用独立法方程的系数阵做为权阵,加权平均估计全球CGCS2000框架参数(解算法方程)。如果把一步法同步处理分为两个过程,它的第一个过程与两步法中第一步等价。所以一步法和两步法主要差异在第二步。当采用不同观测技术独立组成的法方程系数阵作为定权矩阵时,一步法和两步法结果具有一致性。

    • 本文介绍了全球CGCS2000坐标框架的构建数学模型,实现了基于不同技术坐标时序成果的历元框架到长期框架的转换数学模型。重点研究了观测技术内综合和技术间联合处理的两步法模型,分析了内约束算法理论,内部约束算法根据框架转换参数及其速率变化量最小标准重新定义框架约束条件,保证最佳网形和初始网形的拟合度达到最高,保持不同观测技术参考框架的内在纯粹性,发挥不同观测技术优势。最后证明了两步法和传统的一步法数学模型在一定条件下等价。

      目前CGCS2000只是满足我国区域性坐标参考框架应用服务,随着北斗卫星全球化应用的逐步开展, 必须要有中国独立自主的全球坐标参考框架做为基础,本文研究结果可完善中国坐标框架构建基础理论体系,为CGCS2000框架的全球化实现提供科学方法。

参考文献 (10)

目录

    /

    返回文章
    返回