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航空重力向下延拓的最小二乘配置Tikhonov正则化法

陈欣 翟国君 暴景阳 欧阳永忠 陆秀平 邓凯亮

陈欣, 翟国君, 暴景阳, 欧阳永忠, 陆秀平, 邓凯亮. 航空重力向下延拓的最小二乘配置Tikhonov正则化法[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2018, 43(4): 578-585. doi: 10.13203/j.whugis20150728
引用本文: 陈欣, 翟国君, 暴景阳, 欧阳永忠, 陆秀平, 邓凯亮. 航空重力向下延拓的最小二乘配置Tikhonov正则化法[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2018, 43(4): 578-585. doi: 10.13203/j.whugis20150728
CHEN Xin, ZHAI Guojun, BAO Jingyang, OUYANG Yongzhong, LU Xiuping, DENG Kailiang. Least Squares Collocation-Tikhonov Regularization Method for the Downward Continuation of Airborne Gravity Data[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2018, 43(4): 578-585. doi: 10.13203/j.whugis20150728
Citation: CHEN Xin, ZHAI Guojun, BAO Jingyang, OUYANG Yongzhong, LU Xiuping, DENG Kailiang. Least Squares Collocation-Tikhonov Regularization Method for the Downward Continuation of Airborne Gravity Data[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2018, 43(4): 578-585. doi: 10.13203/j.whugis20150728

航空重力向下延拓的最小二乘配置Tikhonov正则化法

doi: 10.13203/j.whugis20150728
基金项目: 

国家自然科学基金 41474012

详细信息
    作者简介:

    陈欣, 博士生, 研究方向为海洋重力测量数据处理。chenxin3931@163.com

  • 中图分类号: P223;P631

Least Squares Collocation-Tikhonov Regularization Method for the Downward Continuation of Airborne Gravity Data

Funds: 

The National Natural Science Foundation of China 41474012

More Information
    Author Bio:

    CHEN Xin, PhD candidates, specializes in the data processing of marine gravity survey. E-mail: chenxin3931@163.com

  • 摘要: 基于最小二乘配置法向下延拓航空重力的过程中,由于协方差矩阵严重病态,影响延拓结果的稳定性和精度。针对这一问题,提出了航空重力向下延拓的最小二乘配置Tikhonov正则化法。基于全球协方差函数模型建立航空重力数据与地面重力数据的协方差关系,引入基于广义交叉验证法,选择正则化参数的Tikhonov正则化法改善协方差矩阵的病态性,抑制观测噪声对延拓结果的放大影响。基于EGM2008重力场模型,设计了山区、丘陵和海域3种不同地形区域的航空重力数据向下延拓的仿真实验,实验结果验证了该方法的有效性。
  • 图  1  仿真的航空重力异常

    Figure  1.  Simulative Airborne Gravity Anomalies

    图  2  仿真的地面重力异常

    Figure  2.  Simulative Field Gravity Anomalies

    图  3  不同区域选取的正则化参数

    Figure  3.  Regularization Values Chosen of Different Areas

    表  1  仿真区域重力异常特性的统计/mGal

    Table  1.   Characteristics of Gravity Anomalies at Simulation Area/mGal

    重力异常 最小值 最大值 平均值 标准差
    Δg -56.98 129.17 31.67 52.05
    Δg -229.91 304.67 33.96 116.25
    Δg -46.26 11.59 -21.90 24.07
    Δg -83.76 27.55 -22.65 29.07
    Δg -14.68 41.99 9.15 15.03
    Δg -22.55 68.83 10.87 21.87
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    表  2  仿真区域高程信息统计特性/m

    Table  2.   Characteristics of Height at Simulation Area/m

    区域 最小值 最大值 平均值 标准差
    山区 2 154.99 4 927.52 3 874.43 3 919.88
    丘陵 532.50 1 658.00 1 083.27 1 099.52
    海域 -2 069.44 -1.00 -758.23 911.15
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    表  3  各误差条件下协方差函数的参数

    Table  3.   Parameters of the Covariance Function in ThreeKinds of Errors

    区域 误差/mGal A B s1 s2 α1 α2
    1 100 20 0.995 877 0.997 755 -517.43 86 758.14
    山区 3 100 20 0.995 877 0.997 755 -513.86 86 214.66
    5 100 20 0.995 877 0.997 755 -519.29 87 120.07
    1 100 20 0.981 129 0.998 912 -266.11 108.82
    丘陵 3 100 20 0.981 129 0.999 226 -237.78 89.56
    5 100 20 0.981 129 0.999 539 -108.82 71.80
    1 100 20 0.989 282 0.992 090 -1 609.68 172 165.81
    海域 3 100 20 0.983 045 0.996 149 -1 076.77 1 628.02
    5 100 20 0.980 263 0.997 717 -1 707.69 476.10
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    表  4  正则化前后CΔg′Δg矩阵条件数及选取的正则化参数

    Table  4.   Condition Number of CΔg′Δg Front-Back Regularization and Regularization Parameters

    区域 误差/mGal 正则化前条件数 正则化后条件数 GCV值 正则化参数值
    1 76 819 504 057.29 12 107.52 1.67 501.35
    山区 3 206 959 793 921.49 1 161.53 11.69 2 203.68
    5 327 195 585 657.90 302.84 28.89 31 664.51
    1 6 631 148 434.83 302.84 2.11 133.75
    丘陵 3 15 236 360 151.54 78.96 12.59 1 878.37
    5 29 684 278 693.96 34.09 28.44 9 578.13
    1 6 077 145 251.98 216.40 1.35 470.75
    海域 3 14 526 436 851.06 40.32 10.50 13 582.53
    5 37 031 094 890.94 24.37 26.38 36 432.69
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    表  5  3个区域地面重力异常的比较/mGal

    Table  5.   Comparison Results of Gravity Anomalies Differences Between Calculated Results and Simulative Values of 3 Areas/mGal

    区域 误差 延拓方法 最小值 最大值 平均值 标准差
    -143.58 95.93 -0.13 31.61
    1 -167 667.29 191 139.36 -113.72 13 885.51
    -43.08 21.97 -1.08 5.74
    山区 -140.93 104.80 -0.08 33.21
    3 -1 428 889.85 828 613.15 -444.60 91 821.84
    -35.91 25.40 -1.14 7.86
    -145.39 101.14 -0.08 36.47
    5 -2 347 446.30 1 876 943.59 -30.76 236 578.11
    -44.47 43.25 -1.09 9.91
    -27.35 24.94 -0.69 7.19
    1 -76 544.71 99 133.39 3 444.98 26 637.49
    -22.96 19.88 -1.17 5.50
    丘陵 -30.12 30.03 -0.61 8.69
    3 -133 847.72 111 627.72 -60.33 36 905.24
    -22.64 20.26 -1.20 5.83
    -33.15 33.83 -0.62 11.01
    5 -281 188.03 259 586.91 -210.28 76 013.76
    -20.83 23.14 -1.18 6.78
    -17.91 17.44 -0.09 4.92
    1 -13 239.73 12 559.84 -53.42 1 919.23
    -5.20 6.92 0.77 1.73
    海域 -27.11 24.39 -0.02 7.44
    3 -14 428.20 27 415.26 57.52 2 564.80
    -9.10 11.40 0.26 2.81
    -38.71 31.49 -0.009 9.74
    5 -47 593.57 19 322.04 -342.58 5 464.17
    -12.90 13.01 0.07 4.23
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出版历程
  • 收稿日期:  2016-08-02
  • 刊出日期:  2018-04-05

航空重力向下延拓的最小二乘配置Tikhonov正则化法

doi: 10.13203/j.whugis20150728
    基金项目:

    国家自然科学基金 41474012

    作者简介:

    陈欣, 博士生, 研究方向为海洋重力测量数据处理。chenxin3931@163.com

  • 中图分类号: P223;P631

摘要: 基于最小二乘配置法向下延拓航空重力的过程中,由于协方差矩阵严重病态,影响延拓结果的稳定性和精度。针对这一问题,提出了航空重力向下延拓的最小二乘配置Tikhonov正则化法。基于全球协方差函数模型建立航空重力数据与地面重力数据的协方差关系,引入基于广义交叉验证法,选择正则化参数的Tikhonov正则化法改善协方差矩阵的病态性,抑制观测噪声对延拓结果的放大影响。基于EGM2008重力场模型,设计了山区、丘陵和海域3种不同地形区域的航空重力数据向下延拓的仿真实验,实验结果验证了该方法的有效性。

English Abstract

陈欣, 翟国君, 暴景阳, 欧阳永忠, 陆秀平, 邓凯亮. 航空重力向下延拓的最小二乘配置Tikhonov正则化法[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2018, 43(4): 578-585. doi: 10.13203/j.whugis20150728
引用本文: 陈欣, 翟国君, 暴景阳, 欧阳永忠, 陆秀平, 邓凯亮. 航空重力向下延拓的最小二乘配置Tikhonov正则化法[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2018, 43(4): 578-585. doi: 10.13203/j.whugis20150728
CHEN Xin, ZHAI Guojun, BAO Jingyang, OUYANG Yongzhong, LU Xiuping, DENG Kailiang. Least Squares Collocation-Tikhonov Regularization Method for the Downward Continuation of Airborne Gravity Data[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2018, 43(4): 578-585. doi: 10.13203/j.whugis20150728
Citation: CHEN Xin, ZHAI Guojun, BAO Jingyang, OUYANG Yongzhong, LU Xiuping, DENG Kailiang. Least Squares Collocation-Tikhonov Regularization Method for the Downward Continuation of Airborne Gravity Data[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2018, 43(4): 578-585. doi: 10.13203/j.whugis20150728
  • 以飞机为载体的航空重力测量,不仅能快速经济地获得中高频重力场信息,同时有效地突破了测量范围的局限性,是当前重力场信息获取的重要手段[1]。航空重力测量的观测数据是航线高度上的重力异常或扰动重力,就大地测量领域应用而言,需要将其向下延拓至平均海面或大地水准面上。

    求解逆Poisson积分方程是航空重力数据向下延拓的经典方法,针对其求逆过程具有不适定性,难以得到稳定的延拓解的问题,国内外学者进行了深入研究。文献[2]提出了以航空重力异常作为地面重力异常的低频项,再利用DEM进行向下延拓高频改正的“直接代表法”,在向下延拓中取得了较好的效果;正则化方法因为解决病态问题时的良好效果在延拓算法中得到了广泛应用[3-4],文献[5]提出了基于多个最优正则化参数的广义岭估计方法,并指出该方法在延拓精度和抗差性等方面要优于Tikhonov正则化法和岭估计法;文献[6]在向下延拓谱分析的基础上,提出了Tikhonov双参数正则化方法,避免了单一正则化参数对向下延拓过程可靠成分的修正;文献[7]采用大同航空重力测量试验区的实测数据比较了空中重力异常向下延拓的直接代表法、正则化方法、点质量法和基于球内Dirichlet问题的调和解法,结果表明,直接代表法和正则化法的延拓结果具有较高的精度和可靠性,而球内Dirichlet问题的调和解法的精度较差;文献[8]采用球面快速傅里叶变换(fast Fourier transform,FFT)方法进行向下延拓计算;文献[9]提出了基于矩谐分析的航空重力向下延拓新方法;文献[10-11]研究了小波分析技术在航空重力数据处理中的应用。

    以最小二乘配置理论为代表的统计法,能够联合处理多种类型的重力实测数据,在局部重力场逼近和多源重力数据融合等方面受到了广泛关注[12-14]。文献[15]联合地形信息,采用最小二乘配置法处理了格陵兰岛航空重力数据;文献[16]研究了Forsberg局部扰动位协方差模型导出的实用的局部重力异常协方差模型和局部扰动重力协方差模型在局部重力场延拓中的应用;文献[17]基于最小二乘配置理论,采用经典的局部空间协方差函数进行航空重力向下延拓计算。最小二乘配置法的关键在于确定能够表征局部重力场特性的协方差函数,协方差函数的构建一般有两种思路,一是直接构建局部协方差函数模型,二是利用局部重力数据拟合全球协方差函数模型。文献[18-20]采用全球协方差函数模型在局部重力场逼近中进行了深入研究,得到了较好的效果,而基于全球协方差函数模型的航空重力向下延拓的效果如何未可知;同时,在利用最小二乘配置法进行航空重力向下延拓的过程中,需要对协方差矩阵进行求逆,而协方差函数求逆是一个数据噪声放大的过程,若直接求解,将造成解算结果的不稳定。为此,本文联合最小二乘配置法和Tikhonov正则化法,即基于最小二乘配置法建立航空重力数据与对应地面重力数据之间的协方差关系,引入Tikhonov正则化法来改善协方差矩阵的病态性,从而抑制观测噪声在延拓结果中的放大影响。

    • 最小二乘配置法基于统计理论分析处理重力场观测数据。以航空重力异常Δg′为基础数据,进行向下延拓计算的最小二乘配置解为[21]

      $$ \Delta \mathit{\boldsymbol{g}} = {\mathit{\boldsymbol{C}}_{\Delta \mathit{\boldsymbol{g}}\Delta \mathit{\boldsymbol{g'}}}}\mathit{\boldsymbol{C}}_{\Delta \mathit{\boldsymbol{g'}}\Delta \mathit{\boldsymbol{g'}}}^{ - 1}\Delta \mathit{\boldsymbol{g'}} $$ (1)

      式中, CΔgΔg为地面重力异常与航空重力异常的互协方差矩阵; CΔg′Δg为航空重力异常的自协方差矩阵。

      依据统计理论和位理论,协方差函数可以通过扰动位协方差函数施以相应算子而得。航线平面上两点p′、q′的扰动位协方差函数C(Tp′, Tq′)的球谐展开式为[22]

      $$ \begin{array}{*{20}{c}} {C\left( {{T_{p'}},{T_{q'}}} \right) = \sum\limits_{n = 2}^\infty {\sum\limits_{m = 0}^n {\left( {\frac{{{\rm{G}}{{\rm{M}}^2}}}{{{{r'}_p}{{r'}_q}}}} \right){{\left( {\frac{{{a^2}}}{{{{r'}_p}{{r'}_q}}}} \right)}^n}} } \cdot }\\ {\left( {\bar C_{nm}^2 + \bar S_{nm}^2} \right){{\bar P}_n}\left( {\cos \psi } \right)} \end{array} $$ (2)

      式中,T为扰动位;GM为地球引力常数;r′pr′q为地心向径,r′p = rp +Hr′q = rq +Hrprq为对应地面点pq的地心向径,H为飞行高度;a为地球椭球长半径;CnmCnm为完全规格化地球外部扰动位位系数;ψp′和q′两点间的球心角;Pn为完全规格化勒让德函数;nm分别为球谐展开的阶和次。

      依据边值理论和协方差传播定律,基于移去-恢复思想,航空重力异常自协方差函数Cgp, Δgq)和航空重力异常与地面重力异常间的互协方差函数Cgp, Δgq)为[23]

      $$ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {C\left( {\Delta {\mathit{\boldsymbol{g}}_{p'}},\Delta {\mathit{\boldsymbol{g}}_{q'}}} \right) = \frac{{{\rm{G}}{{\rm{M}}^2}}}{{{{r'}_p}{{r'}_q}}}\sum\limits_{n = 2}^M {{\varepsilon _n}\left( {{T_{p'}},{T_{q'}}} \right){{\left( {\frac{{{a^2}}}{{{{r'}_p}{{r'}_q}}}} \right)}^{n + 1}}{{\bar P}_n}\left( {\cos \psi } \right)\frac{{{{\left( {n - 1} \right)}^2}}}{{{{r'}_p}{{r'}_q}}}} + }\\ {\frac{{{\rm{G}}{{\rm{M}}^2}}}{{{{r'}_p}{{r'}_q}}}\sum\limits_{n = N + 1}^\infty {{\sigma _n}\left( {{T_{p'}},{T_{q'}}} \right){{\bar P}_n}\left( {\cos \psi } \right)\frac{{{{\left( {n - 1} \right)}^2}}}{{{{r'}_p}{{r'}_q}}}} } \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {C\left( {\Delta {\mathit{\boldsymbol{g}}_{p'}},\Delta {\mathit{\boldsymbol{g}}_q}} \right) = \frac{{{\rm{G}}{{\rm{M}}^2}}}{{{{r'}_p}{r_q}}}\sum\limits_{n = 2}^M {{\varepsilon _n}\left( {{T_{p'}},{T_q}} \right){{\left( {\frac{{{a^2}}}{{{{r'}_p}{r_q}}}} \right)}^{n + 1}}{{\bar P}_n}\left( {\cos \psi } \right)\frac{{{{\left( {n - 1} \right)}^2}}}{{{{r'}_p}{r_q}}}} + }\\ {\frac{{{\rm{G}}{{\rm{M}}^2}}}{{{{r'}_p}{r_q}}}\sum\limits_{n = N + 1}^\infty {{\sigma _n}\left( {{T_{p'}},{T_q}} \right){{\bar P}_n}\left( {\cos \psi } \right)\frac{{{{\left( {n - 1} \right)}^2}}}{{{{r'}_p}{r_q}}}} } \end{array} \end{array} $$ (3)

      式中,εn为位模型误差阶方差相关量;σn为扰动位阶方差函数;N为位模型阶数;其余符号同前。由于重力场模型位系数有限,必须通过构建的阶方差函数模型计算更高阶的阶方差函数。本文采用Moritz两分量阶方差模型[21-22],其通用表达式为:

      $$ {\mathit{\boldsymbol{C}}_n} = {\alpha _1}\frac{{n - 1}}{{n + A}}s_1^{n + 2} + {\alpha _2}\frac{{n - 1}}{{\left( {n - 2} \right)\left( {n + B} \right)}}s_2^{n + 2} $$ (4)

      式中,ABs1s2α1α2为模型的系数,需要利用经验协方差函数值拟合求取,球面重力异常经验协方差C(ψ)的计算公式为[21]

      $$ \begin{array}{l} C\left( \psi \right) = \frac{1}{{4{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\int_{\lambda = 0}^{2{\rm{ \mathsf{ π} }}} {\int_{\theta = 0}^{2{\rm{ \mathsf{ π} }}} {\frac{1}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\int_{\alpha = 0}^{2{\rm{ \mathsf{ π} }}} {\Delta \mathit{\boldsymbol{g}}\left( {\theta ,\lambda } \right)} } } \cdot \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta \mathit{\boldsymbol{g}}\left( {\theta ',\lambda '} \right)\sin \theta {\rm{d}}\theta {\rm{d}}\lambda {\rm{d}}\alpha \end{array} $$ (5)

      式中,θλθ′、λ′为地心坐标;ψα分别为球面角距和方位角。

      离散格网形式的局部重力数据为[24]

      $$ {C_0} = \frac{1}{{mn}}\sum\limits_{i = 1}^m {\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {f_{i,k}^ * } \right)}^2}} } $$ (6)
      $$ \begin{array}{*{20}{c}} {C\left( v \right) = M\left( {{f^ * } \times {f^ * }} \right) = }\\ {\frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{k = 1}^{m - q} {f_{ik}^ * f_{i,k + q}^ * } } + \sum\limits_{k = 1}^m {\sum\limits_{i = 1}^{n - q} {f_{ik}^ * f_{i + q,k}^ * } } }}{{n\left( {m - q} \right) + \left( {n - q} \right)m}}} \end{array} $$ (7)

      式中,C0为计算区域内重力异常的方差;C(v)为网格间距为v的重力异常协方差函数值;f*为归中残差重力异常;mn表示格网的行数和列数;q为格网数。

    • 最小二乘配置法进行航空重力向下延拓是一个不适定问题,观测误差会被协方差矩阵的小奇异值放大,导致配置结果的不稳定且精度偏低,需要进行正则化处理[25]

    • Tikhonov正则化法的实质是用相邻的适定解去逼近源问题的解[26],其基本原理是以正则化函数:

      $$ {F_a}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) = {\left\| {\mathit{\boldsymbol{Ax}} - \mathit{\boldsymbol{l}}} \right\|^2} + \alpha {\left\| \mathit{\boldsymbol{x}} \right\|^2} = \min $$ (8)

      取最小值为约束条件,求解参数x的估值。式中, $\mathit{\boldsymbol{x = C}}_{\Delta \mathit{\boldsymbol{g}}\Delta \mathit{\boldsymbol{g'}}}^{-1}\Delta \mathit{\boldsymbol{g}} $; $ \mathit{\boldsymbol{A = C}}_{\Delta \mathit{\boldsymbol{g'}}\Delta \mathit{\boldsymbol{g'}}}^{} $; lg′; α>0是正则化参数; ‖ x ‖表示x的范数。则Tikhonov正则化解为:

      $$ {{\mathit{\boldsymbol{\hat x}}}_\alpha } = {\left( {{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{A}} + \alpha \mathit{\boldsymbol{I}}} \right)^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{l}} $$ (9)

      将法矩阵A作奇异值分解:

      $$ \mathit{\boldsymbol{A}} = \mathit{\boldsymbol{U \boldsymbol{\varLambda} }}{\mathit{\boldsymbol{V}}^{\rm{T}}} $$ (10)

      式中,UV为矩阵A的左右酉矩阵;Λ为奇异值对角阵;U =[u1 u2un];V =[v1 v2vn];Λ =diag[λ1 λ2λn]。则式(9)的谱分解式为:

      $$ {{\mathit{\boldsymbol{\hat x}}}_\alpha } = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{\lambda _i^2}}{{\lambda _i^2 + \alpha }}\frac{{\mathit{\boldsymbol{u}}_i^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{\hat l}}}}{{{\lambda _i}}}{\mathit{\boldsymbol{v}}_i}} $$ (11)

      由式(11)可知,正则化参数α能够调整高频段小奇异值对误差的放大影响。故而正则化参数的选取是Tikhonov正则化法的关键。

    • 选取正则化参数的方法有广义交叉验证(GCV)法[27-28]、L-曲线法、图解-数值迭代法等。本文采用GCV法确定正则化参数,GCV函数定义为:

      $$ {\rm{GCV}} = \frac{{n{{\left\| {\mathit{\boldsymbol{A}}{\mathit{\boldsymbol{x}}_\alpha } - \mathit{\boldsymbol{l}}} \right\|}^2}}}{{{{\left[ {{\rm{tr}}\left( {\mathit{\boldsymbol{I}} - {\mathit{\boldsymbol{Q}}^\alpha }} \right)} \right]}^2}}} $$ (12)

      式中,n为观测值个数;tr(·)为矩阵的迹;I为单位阵;Qα为影响矩阵,且有:

      $$ {\mathit{\boldsymbol{Q}}^\alpha } = \mathit{\boldsymbol{A}}{\left( {\alpha \mathit{\boldsymbol{I}} + {\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{A}}} \right)^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}} $$ (13)

      利用法矩阵奇异值[λi](i =1, 2, …,n),构造正则化参数向量[αj](j = 1, 2, …,q)。令:

      $$ {\alpha _1} = {\lambda _1},{\rm{ratio}} = {\left( {\frac{{{\lambda _1}}}{{{\lambda _n}}}} \right)^{\frac{1}{{q - 1}}}} $$ (14)
      $$ {\alpha _j} = {\rm{ratio}} \times {\alpha _{j - 1}},2 \le j \le q $$ (15)

      式中,ratio为比例系数。此时,使得GCV函数取最小值的αj即为最优正则化参数。

    • 为了验证联合Tikhonov正则化法的最小二乘配置法向下延拓航空重力的有效性,设计了以EGM2008重力场模型重力异常为基础数据的仿真实验。EGM2008是由美国国家地理空间情报局利用卫星重力数据、卫星测高数据以及地面重力数据等资料联合解算得到的全球超高阶地球重力场模型,阶次完全至2 159(球谐系数的阶扩展至2 190),导出的重力异常在我国大陆的总体精度为10.5 mGal。

    • 以EGM2008模型重力异常作为仿真计算的基础数据,区域范围为1°×1°,分辨率为2′×2′,分别计算得到山区(28°N~29°N,100°E~101°E)、丘陵(27°N~28°N,106°E~107°E)和海域(16°N~17°N,112°E~113°E)3种地形条件下,5 000 m高空面2 160阶的重力异常Δg、Δg和Δg(图 1),地面重力异常Δg、Δg和Δg(图 2)。以相应的360阶航空重力异常ΔgM、ΔgM和ΔgM,地面重力异常ΔgM、ΔgM和ΔgM作为参考场模型。表 1给出了仿真区域航空重力异常和地面重力异常的统计特性。表 2给出了仿真区域高程信息的统计特性。

      图  1  仿真的航空重力异常

      Figure 1.  Simulative Airborne Gravity Anomalies

      图  2  仿真的地面重力异常

      Figure 2.  Simulative Field Gravity Anomalies

      表 1  仿真区域重力异常特性的统计/mGal

      Table 1.  Characteristics of Gravity Anomalies at Simulation Area/mGal

      重力异常 最小值 最大值 平均值 标准差
      Δg -56.98 129.17 31.67 52.05
      Δg -229.91 304.67 33.96 116.25
      Δg -46.26 11.59 -21.90 24.07
      Δg -83.76 27.55 -22.65 29.07
      Δg -14.68 41.99 9.15 15.03
      Δg -22.55 68.83 10.87 21.87

      表 2  仿真区域高程信息统计特性/m

      Table 2.  Characteristics of Height at Simulation Area/m

      区域 最小值 最大值 平均值 标准差
      山区 2 154.99 4 927.52 3 874.43 3 919.88
      丘陵 532.50 1 658.00 1 083.27 1 099.52
      海域 -2 069.44 -1.00 -758.23 911.15
    • 为模拟包含观测误差的航空重力异常,在仿真航空重力异常Δg、Δg和Δg中分别引入中误差1 mGal、3 mGal和5 mGal的3种零均值白噪声:e1e2e3。以山区为例,实验步骤如下。

      1) 基于包含误差的山区航空重力异常Δge1,Δge2和Δge3,采用移去-恢复技术,移去Δg得到残差航空重力异常δΔge1δΔge2δΔge3

      2) 依据式(7),由残差航空重力异常δ Δge1δΔge2δΔge3计算该区域航空重力异常经验协方差,基于式(3)、式(4),采用非线性最小二乘法拟合理论协方差函数的系数(由于航空重力异常数据是基于EGM2008重力场模型计算,故εn为零,因此式(3)中的右端第一项均为零),拟合结果列于表 3

      表 3  各误差条件下协方差函数的参数

      Table 3.  Parameters of the Covariance Function in ThreeKinds of Errors

      区域 误差/mGal A B s1 s2 α1 α2
      1 100 20 0.995 877 0.997 755 -517.43 86 758.14
      山区 3 100 20 0.995 877 0.997 755 -513.86 86 214.66
      5 100 20 0.995 877 0.997 755 -519.29 87 120.07
      1 100 20 0.981 129 0.998 912 -266.11 108.82
      丘陵 3 100 20 0.981 129 0.999 226 -237.78 89.56
      5 100 20 0.981 129 0.999 539 -108.82 71.80
      1 100 20 0.989 282 0.992 090 -1 609.68 172 165.81
      海域 3 100 20 0.983 045 0.996 149 -1 076.77 1 628.02
      5 100 20 0.980 263 0.997 717 -1 707.69 476.10

      3) 依据式(3)计算CΔg′Δg和残差航空重力异常与残差地面重力异常的互协方差矩阵CΔg′Δg;依据Tikhonov正则化原理,选取了向量长度为100的正则化参数,如图 3所示(图 3中第1列~3列分别表示中误差为1 mGal、3 mGal和5 mGal),利用GCV法确定矩阵CΔg′Δg的正则化参数,选取结果列于表 4

      图  3  不同区域选取的正则化参数

      Figure 3.  Regularization Values Chosen of Different Areas

      表 4  正则化前后CΔg′Δg矩阵条件数及选取的正则化参数

      Table 4.  Condition Number of CΔg′Δg Front-Back Regularization and Regularization Parameters

      区域 误差/mGal 正则化前条件数 正则化后条件数 GCV值 正则化参数值
      1 76 819 504 057.29 12 107.52 1.67 501.35
      山区 3 206 959 793 921.49 1 161.53 11.69 2 203.68
      5 327 195 585 657.90 302.84 28.89 31 664.51
      1 6 631 148 434.83 302.84 2.11 133.75
      丘陵 3 15 236 360 151.54 78.96 12.59 1 878.37
      5 29 684 278 693.96 34.09 28.44 9 578.13
      1 6 077 145 251.98 216.40 1.35 470.75
      海域 3 14 526 436 851.06 40.32 10.50 13 582.53
      5 37 031 094 890.94 24.37 26.38 36 432.69

      4) 联合最小二乘配置法和Tikhonov正则化法,基于残差航空重力异常δΔge1δΔge2δΔge3计算延拓至地面的残差重力异常δΔge1δΔge2δΔge3

      5) 在地面残差重力异常的基础上恢复地面重力异常参考场模型值ΔgM,得到Δge1、Δge2和Δge3,并与地面重力异常“真值”Δg进行比较,同理进行丘陵区域和海洋区域的仿真实验。

    • 为了更加客观地说明联合最小二乘配置法和Tikhonov正则化法(简称方法一)进行航空重力异常向下延拓的有效性,在同等试验条件下,加入了基于逆Poisson积分方程的Tikhonov正则化法(简称方法二)和直接最小二乘配置法(简称方法三)进行航空重力异常向下延拓,3种方法的比较结果列于表 5

      表 5  3个区域地面重力异常的比较/mGal

      Table 5.  Comparison Results of Gravity Anomalies Differences Between Calculated Results and Simulative Values of 3 Areas/mGal

      区域 误差 延拓方法 最小值 最大值 平均值 标准差
      -143.58 95.93 -0.13 31.61
      1 -167 667.29 191 139.36 -113.72 13 885.51
      -43.08 21.97 -1.08 5.74
      山区 -140.93 104.80 -0.08 33.21
      3 -1 428 889.85 828 613.15 -444.60 91 821.84
      -35.91 25.40 -1.14 7.86
      -145.39 101.14 -0.08 36.47
      5 -2 347 446.30 1 876 943.59 -30.76 236 578.11
      -44.47 43.25 -1.09 9.91
      -27.35 24.94 -0.69 7.19
      1 -76 544.71 99 133.39 3 444.98 26 637.49
      -22.96 19.88 -1.17 5.50
      丘陵 -30.12 30.03 -0.61 8.69
      3 -133 847.72 111 627.72 -60.33 36 905.24
      -22.64 20.26 -1.20 5.83
      -33.15 33.83 -0.62 11.01
      5 -281 188.03 259 586.91 -210.28 76 013.76
      -20.83 23.14 -1.18 6.78
      -17.91 17.44 -0.09 4.92
      1 -13 239.73 12 559.84 -53.42 1 919.23
      -5.20 6.92 0.77 1.73
      海域 -27.11 24.39 -0.02 7.44
      3 -14 428.20 27 415.26 57.52 2 564.80
      -9.10 11.40 0.26 2.81
      -38.71 31.49 -0.009 9.74
      5 -47 593.57 19 322.04 -342.58 5 464.17
      -12.90 13.01 0.07 4.23

      表 4表 5的统计结果可知:

      1) 在3种零均值白噪声下,正则化前的协方差矩阵CΔg′Δg在山区、丘陵和海域的条件数为1010~1012的量级,表现出严重的病态性,若直接采用最小二乘配置求解,计算结果不稳定且精度不高;正则化后,CΔg′Δg的条件数明显减少,说明正则化参数的加入有效改善了法矩阵的病态性;

      2) 方法二计算的地面重力异常标准差在山区分别为13 885.51 mGal、91 821.84 mGal和236 578.11 mGal,在丘陵则为26 637.49 mGal、36 905.24 mGal和76 013.76 mGal,在海洋分别为1 919.23 mGal、2 564.80 mGal和5 464.17 mGal,表明使用方法二进行延拓计算的解极不稳定,观测误差放大效果明显;

      3) 方法三算得的地面重力异常标准差在山区分别为5.74 mGal、7.86 mGal和9.91 mGal,在丘陵分别为5.50 mGal、5.83 mGal和6.78 mGal,在海洋分别为1.73 mGal、2.81 mGal和4.23 mGal,远优于方法二算得的结果,表明该方法能有效抑制观测误差对结果的影响,得到稳定精确的延拓解;

      4) 方法一算得的地面重力异常标准差在山区分别为31.61,33.21和36.47 mGal,丘陵分别为7.19,8.69和11.01 mGal,在海洋分别为4.92,7.44和9.74 mGal,计算结果要略逊于方法三。

    • 利用最小二乘配置法向下延拓航空重力需要对协方差矩阵进行求逆,而协方差函数求逆是一个数据噪声放大的过程,若不采用合适的处理方法,将无法得到稳定精确的延拓解。为此,本文利用最小二乘配置法建立航空重力数据与对应地面重力数据之间的协方差关系,通过引入基于GCV法选择正则化参数的Tikhonov正则化法改善协方差矩阵的病态性,以抑制观测噪声在延拓结果中的放大影响。

      基于EGM2008重力场模型,设计了山区、丘陵和海域3种区域的航空重力数据向下延拓的仿真实验,验证了该方法的有效性。实验结果表明,Tikhonov正则化方法能有效改进最小二乘配置法进行航空重力数据向下延拓的精度和稳定性。

      在同等实验条件下,采用基于逆Poisson积分方程的Tikhonov正则化法进行航空重力异常向下延拓。就本文的仿真试验结果而言,联合最小二乘配置法和Tikhonov正则化法的延拓结果精度要优于基于逆Poisson积分方程的Tikhonov正则化法,而在丘陵区域和海洋区域,二者精度相当,这也从侧面印证了本方法的有效性。

参考文献 (28)

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