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病态问题是测量数据处理中经常会遇到的棘手问题，广泛存在于地球物理反演[1]、形变监测[2]、回归分析[3]、重力场向下延拓[4]等领域。在模型出现病态时，应用常规的最小二乘估计准则解算得到的参数估计方差较大，参数估值精度较低。这种情况下，最小二乘估计虽然仍是无偏估计，但已不是可靠的估计[5]。模型的病态性主要体现为方程系数矩阵中出现相对较小的奇异值，最大奇异值与最小奇异值之间相差几个甚至十几个数量级。在解算方程时，参数估计的方差被较小的奇异值严重放大，造成估计精度的降低。
岭估计法是大地测量中解算病态问题的常用方法，相比于最小二乘估计的无偏性，岭估计是一种有偏估计[6]，实质上正是通过引入偏差来降低方差[7, 8]。通过降低均方误差来提高估计的精度，是均方误差意义下优于最小二乘估计的方法。岭估计在最小二乘估计准则的基础上附加待定参数的二范约束[9]，通过岭参数调节其约束程度，进而有效降低均方误差。影响岭估计解算效果的重要因素是岭参数的选取，目前，针对岭参数的选取已有大量的研究，如岭迹法、广义交叉核实法[10]、L曲线法[11]等。对岭估计的方差与偏差进行分析可知，岭估计通过岭参数对病态矩阵的奇异值进行了修正，从而引入少量偏差来降低方差，从而减少均方误差。然而对部分较大奇异值的修正，引入偏差量将会大于方差降低量，不能有效降低均方误差。基于此，通过改进岭估计方法，限制岭估计对较大奇异值的修正，以有效提高岭估计降低均方误差的效果，提高估计的可靠性。本文通过比较岭估计修正奇异值后偏差引入量与方差下降量的大小确定应当修正的小奇异值，提出一种附有奇异值修正限制的岭估计方法，实现岭估计法选择性地修正小的奇异值，进而改善岭估计的解算效果。
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测量数据处理常用的G-M模型表示为[12]：
$$ \mathit{\boldsymbol{L}} + \mathit{\boldsymbol{V}} = \mathit{\boldsymbol{AX}} $$ (1) 式中, L为观测向量; V表示观测值残差向量; A为设计矩阵; X表示待定参数。在最小二乘估计准则下，有：
$$ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }} = {\mathit{\boldsymbol{V}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PV}} = \min $$ (2) 得到参数估计为：
$$ \mathit{\boldsymbol{\hat X}} = {\left( {{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PA}}} \right)^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PL}} $$ (3) 则最小二乘估计的协方差为：
$$ \mathit{\boldsymbol{F}} = {\rm{Cov}}\left( {\mathit{\boldsymbol{\hat X}}} \right) = \sigma _0^2{\left( {{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PA}}} \right)^{ - 1}} $$ (4) 式中，Cov表示协方差计算；F为协方差；设设计矩阵A为m×n维矩阵，对其进行奇异值分解得[13]：
$$ \mathop {\mathit{\boldsymbol{A}}}\limits_{m \times n} = \mathop {\mathit{\boldsymbol{U}}}\limits_{m \times m} \mathop {\mathit{\boldsymbol{S}}}\limits_{m \times n} \mathop {\mathit{\boldsymbol{G}}}\limits_{n \times n} $$ (5) $$ \mathop {{\mathit{\boldsymbol{S}}^{\rm{T}}}}\limits_{n \times m} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda _1}}&0&0&0& \cdots &0\\ 0& \ddots &0&0& \cdots &0\\ 0&0&{{\lambda _n}}&0& \cdots &0 \end{array}} \right] $$ (6) 式中，U表示左奇异向量；S为奇异值矩阵；G表示右奇异向量。对式(4)的协方差矩阵求迹可得到参数估计的整体方差，由于权矩阵P可进行单位化，为了方便推导，设权矩阵为单位阵，结合式(4)、式(5)式得最小二乘估计的协方差矩阵迹：
$$ T = {\rm{tr}}\left[ {{\rm{Cov}}\left( {\mathit{\boldsymbol{\hat X}}} \right)} \right] = \sigma _0^2\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{\lambda _i^2}}} } \right) $$ (7) 式中，tr表示求迹运算。式(6)中，λ1 > λ2 > … > λn为设计矩阵的奇异值，如果方程病态，λ1远大于λn，λn多为接近零的较小值。由式(7)可以看出，较小的奇异值会对估计的方差造成严重影响，这导致最小二乘估计极不可靠，无法得到参数的准确估值。
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针对病态问题，岭估计法在最小二乘准则的基础上，附加待定参数的二范约束，通过岭参数调节其约束程度，有效改善设计矩阵的病态性，提高参数的估计精度，是大地测量中解算病态问题的常用方法[6]。
岭估计的估计准则为：
$$ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }} = {\mathit{\boldsymbol{V}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PV}} + \alpha {\mathit{\boldsymbol{X}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{X}} = \min $$ (8) 式中，α为岭参数，也称平滑因子，岭估计的参数估计结果为：
$$ {\mathit{\boldsymbol{X}}_\alpha } = {\left( {{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PA}} + \alpha \mathit{\boldsymbol{I}}} \right)^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PL}} $$ (9) 式中，I为单位矩阵。由式(9)可以看出，岭估计在最小二乘法方程矩阵的基础上增加了一定比例的单位矩阵来改善矩阵的病态性，并通过岭参数进行调节。
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岭估计是均方误差优于最小二乘估计的有偏估计方法，其中均方误差反映了参数估值与参数真值之间的差异。对于有偏估计，均方误差由方差和偏差组成，因此，对岭估计法的方差与偏差进行分析，可直观理解岭估计解算病态问题的实质。
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由岭估计准则依据协方差传播律，可得岭估计协方差为[5, 14]：
$$ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{F}}_\alpha } = \sigma _0^2{\left( {{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PA}} + \alpha \mathit{\boldsymbol{I}}} \right)^{ - 1}} \cdot \\ {\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PA}}{\left( {{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PA}} + \alpha \mathit{\boldsymbol{I}}} \right)^{ - 1}} \end{array} $$ (10) 对方阵ATPA进行特征值分解可得：
$$ {\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PA}} = \mathit{\boldsymbol{G \boldsymbol{\varLambda} }}{\mathit{\boldsymbol{G}}^{\rm{T}}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{\mathit{\boldsymbol{G}}_i}\lambda _i^2\mathit{\boldsymbol{G}}_i^{\rm{T}}} $$ (11) 式中，Λ为矩阵ATPA的特征值矩阵；G为特征向量矩阵。将式(11)代入式(10)可得协方差矩阵迹计算公式为：
$$ {T_\alpha } = \sigma _0^2\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{\lambda _i^2}}{{{{\left( {\lambda _i^2 + \alpha } \right)}^2}}}} $$ (12) 比较式(7)与式(12)可知，岭估计通过对奇异值进行修正降低了参数估计的方差，方差随着岭参数的增大而减小。对式(12)进行变换可得：
$$ {T_\alpha } = \sigma _0^2\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{\lambda _i^2}}\frac{{\lambda _i^4}}{{{{\left( {\lambda _i^2 + \alpha } \right)}^2}}}} $$ (13) 由式(7)减去式(13)，可得岭估计修正各奇异值后的方差下降量为：
$$ {{T'}_\alpha } = \sigma _0^2\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{\lambda _i^2}}\frac{{2\lambda _i^2\alpha + {\alpha ^2}}}{{{{\left( {\lambda _i^2 + \alpha } \right)}^2}}}} $$ (14) 而岭估计修正奇异值引入的偏差和偏差平方矩阵迹为：
$$ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{B}}_\alpha } = E\left( {{\mathit{\boldsymbol{X}}_\alpha }} \right) - \mathit{\boldsymbol{X}} = \\ \;\;\;\;\;\;\; - \alpha {\left( {{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PA}} + \alpha \mathit{\boldsymbol{I}}} \right)^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{X}} \end{array} $$ (15) $$ {\rm{tr}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{B}}_\alpha ^{\rm{T}}}&{{\mathit{\boldsymbol{B}}_\alpha }} \end{array}} \right] = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{\alpha ^2}}}{{{{\left( {\lambda _i^2 + \alpha } \right)}^2}}}} {\left( {\mathit{\boldsymbol{G}}_i^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{X}}} \right)^2} $$ (16) 比较式(14)与式(16)可以看出，在σ02/λi2≥(GiTX)2时，岭估计对奇异值进行修正的方差下降量始终大于偏差引入量，因此对这部分奇异值的修正可有效降低均方误差。而在σ02/λi2 < (GiTX)2时，对奇异值修正的方差下降量将会小于或等于偏差引入量，则对这部分奇异值的修正不能有效降低均方误差，不利于估计结果的改善。由此可见，岭估计对所有奇异值均进行修正是不合理的，应有选择地对放大方差的较小的奇异值进行修正，而对可靠的大奇异值不作修正。
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由最小二乘估计可得观测值的残差为：
$$ \mathit{\boldsymbol{V}} = \mathit{\boldsymbol{A}}{\left( {{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{A}}} \right)^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{L}} - \mathit{\boldsymbol{L}} $$ (17) 对式(18)中的系数矩阵A进行奇异值分解，化简得单位权方差估计量为：
$$ \hat \sigma _0^2 = \frac{{{\mathit{\boldsymbol{V}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{V}}}}{{m - t}} = \frac{{{{\left( {\mathop {\mathit{\boldsymbol{U}}}\limits_{m \times n} {{\mathop {\mathit{\boldsymbol{U}}}\limits_{m \times n} }^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{L}} - \mathit{\boldsymbol{L}}} \right)}^2}}}{{m - t}} $$ (18) 式中，m为观测值的个数；t为必要观测数；n为待定参数的个数。由式(18)可以看出，单位权方差的估计与奇异值无关，因此，由最小二乘估计得到的单位权方差估计值$ \hat{\sigma }_{0}^{2} $是可靠的，σ02/λi2可被准确计算出。
由于参数X的真值是未知的，(GiTX)2也无法准确求出。考虑参数的最小二乘估计，对估计式(3)进行奇异值分解化简得：
$$ \mathit{\boldsymbol{\hat X = }}\mathop {\mathit{\boldsymbol{G}}}\limits_{n \times n} \mathop {{\mathit{\boldsymbol{S}}^{ -1}}}\limits_{n \times n} \mathop {{\mathit{\boldsymbol{G}}^{\rm{T}}}}\limits_{m \times n} \mathop{ \mathit{\boldsymbol{L}}}\limits_{m \times 1} $$ (19) 式(19)两边同乘以$ \underset{n\times n}{\mathop{{{\mathit{\boldsymbol{G}}}^{\rm{T}}}}}\, $可得：
$$ \mathop {{\mathit{\boldsymbol{G}}^{\rm{T}}}}\limits_{n \times n} \mathit{\boldsymbol{\hat X = }}\mathop {{\mathit{\boldsymbol{S}}^{ -1}}}\limits_{n \times n} \mathop {{\mathit{\boldsymbol{U}}^{\rm{T}}}}\limits_{m \times n} \mathop {\mathit{\boldsymbol{L}}}\limits_{m \times 1} $$ (20) 因此，
$$ \mathit{\boldsymbol{G}}_i^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{\hat X}} = \lambda _i^{ - 1}\mathit{\boldsymbol{U}}_i^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{L}} $$ (21) 由式(21)可知，GiTX的估计会受到小奇异值的影响，奇异值越小，其估值被放大越多。但对于较大的奇异值，GiTX估值未被放大或放大较少，其估值是可靠的。因此，部分较大奇异值对应的(GiTX)2是可以准确计算出来的。考虑到特征向量矩阵G为一组标准正交基，GiTX是参数向量X在Gi方向的投影，参数向量X在正交向量组G各向量上的投影数值虽大小不同，但必然在一定范围内波动。因此，较大奇异值的(GiTX)2的大小情况可以近似反映出较小奇异值的(GiTX)2大小范围。
设前j个奇异值为较大的奇异值，其(GiTX)2估值是可靠的，看作向量$ \mathit{\boldsymbol{J}}=\left[{{\left( \mathit{\boldsymbol{G}}_{\rm{1}}^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{\hat{X}}} \right)}^{2}}\ \ \ {{\left( \mathit{\boldsymbol{G}}_{\rm{2}}^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{\hat{X}}} \right)}^{2}}\cdots {{\left( \mathit{\boldsymbol{G}}_{j}^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{\hat{X}}} \right)}^{2}} \right] $。由于参数向量X在各正交向量上的投影值不尽相同，向量J中的元素大小必然在一定范围内波动。由此可以推广到较小奇异值，其(GiTX)2估值也在此近似范围内波动。考虑到σ02/λi2随奇异值的变小不断增大，而(GiTX)2并不随奇异值的变小而增大，因此，在σ02/λi2增大到超出J的波动范围时，则认为σ02/λi2≥(GiTX)2，由此可确定需要修正的小奇异值。
在实际计算中，GiTX的估计值随奇异值的变小而不断放大，其波动区间也不断增大。由于较大的奇异值并未或者仅小幅放大GiTX，因而在GiTX估值出现剧烈波动前，会有部分奇异值的GiTX估值在一定范围内波动且波动较为平缓，可认为这部分估值较为准确，选择其建立向量J，在σ02/λi2增大到大于多数或全部向量J中的元素时，确定应修正的小奇异值。
设应进行修正的小奇异值为奇异值矩阵的后(n－k)个，则岭估计方法改进为：
$$ {\mathit{\boldsymbol{X}}_\alpha } = {\left( {{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PA}} + \alpha \sum\limits_{i = n - k}^n {{\mathit{\boldsymbol{G}}_i}\mathit{\boldsymbol{G}}_i^{\rm{T}}} } \right)^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PL}} $$ (22) 改进的岭估计方法使岭估计对病态矩阵的奇异值进行选择性修正，在有效降低方差的情况下减少偏差的引入，可更高效地降低均方误差，提高估计的可靠性。
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Fredholm第一类积分方程是一类典型的病态问题，大地测量中的重力场延拓问题本质上就是对该方程的解算。该积分方程的表达式为：
$$ z\left( y \right) = \int_a^b {K\left( {x,y} \right)f\left( x \right){\rm{d}}x} $$ (23) 其核函数为：
$$ K\left( {x,y} \right) = \frac{{1.0}}{{1.0 + 100{{\left( {y - x} \right)}^2}}} $$ (24) 精确解函数为：
$$ f\left( x \right) = \frac{{\exp \left( {{\beta _1}} \right) - \exp \left( {{\beta _2}} \right)}}{{10.9550408}} - 0.052130913 $$ (25) 式中，$ {{\beta }_{1}}=\frac{{{\left( x-0.3 \right)}^{2}}}{-0.03} $；$ {{\beta }_{2}}=\frac{{{\left( x-0.7 \right)}^{2}}}{-0.03} $；x∈[0, 1]，y∈[－2, 2]。
在采样间隔为Δx=Δy=0.02时，对式(25)积分方程进行离散化可得：
$$ z\left( {{y_j}} \right) = \frac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^{50} {\left( {K\left( {{x_i},{y_i}} \right)f\left( {{x_i}} \right) + K\left( {{x_{i + 1}},{y_i}} \right)f\left( {{x_{i + 1}}} \right)} \right)\Delta x} $$ (26) 式中，j=1, 2, 3，…，201。对式(26)进一步整理得：
$$ \begin{array}{l} z\left( {{y_j}} \right) = \frac{{\Delta x}}{2}K\left( {{x_1},{y_i}} \right)f\left( {{x_1}} \right) + \Delta x \cdot \\ \sum\limits_{i = 2}^{50} {K\left( {{x_i},{y_i}} \right)f\left( {{x_i}} \right)} + \frac{{\Delta x}}{2}K\left( {{x_{51}},{y_i}} \right)f\left( {{x_{51}}} \right) \end{array} $$ (27) 由式(27)可知，K(xi, yj)和Δx组成了维数为201×51的设计矩阵A，观测向量L = [z(y1) z(y2)… z(y201)]T，参数向量X = [f(X1) f(X2)…f(X51)]T，设计矩阵A的条件数为2.6×106，病态性严重。为了验证新方法的有效性，在观测向量中加入正态分布为N(0, 5.0×10-4)的随机误差，分别采用岭估计法和改进的岭估计法进行解算，并应用L曲线法确定岭参数，模拟实验500次得到解算的统计结果。
由图 1可以看出，σ02/λi2的数值随着奇异值的变小不断增大，(GiTX)2的估值随着奇异值的变小也呈现增大趋势且数值波动幅度不断增大。然而(GiTX)2的真值变化平缓，表明(GiTX)2的估值受小奇异值的影响估计准确性不断降低。由图 1(a)可以看出，对于较大的奇异值，(GiTX)2的估值与真值基本一致，表明大的奇异值未影响(GiTX)2的估计，其估值是准确的。由(GiTX)2的估值变化曲线可以得到，在第14个奇异值之后曲线开始出现剧烈波动，表明(GiTX)2的估值已被严重放大，估值已不可靠，因此选取前14个奇异值对应的(GiTX)2的估值建立向量J作为判断σ02/λi2≥(GiTX)2的标准集。
图 1 各估计量随奇异值的变化
Figure 1. Changes of Estimations by Singular Values
表 1给出了不同方法解算病态问题的统计结果。由表 1可以看出，最小二乘估计受病态性的影响估计误差较大，已得不到参数的可靠估值。采用岭估计法进行解算，有效改善了估计结果，估计误差显著降低，是一种可行且有效的病态问题解算方法。在采用改进的岭估计法进行解算时，其估计误差的最大值、最小值和均值均要低于岭估计法，表明改进方法有效改善了岭估计法的解算效果，解算精度更高，提高了估计的可靠性，是一种有效的改进方法。
表 1 不同方法的估计结果统计
Table 1. Statistical Results of Each Method
估计误差
‖ΔX‖最小二乘估计/104 岭估计 改进的岭估计 最大值 9.039 7 1.110 9 0.996 8 最小值 1.072 1 0.754 2 0.100 4 均值 3.933 3 0.942 2 0.217 5 图 2反映了岭估计法和改进的岭估计法各次实验的估计误差情况。由图 2可以看出，改进的岭估计法的估计误差在各次实验中均要低于岭估计法，具有较高的可靠性，误差值稳定在0.2左右小幅度波动，稳定性良好。由此可见，新方法是一种可行且有效的岭估计改进方法。
图 2 各次实验的估计误差情况
Figure 2. Estimation Errors for Each Experiment
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病态性对估计的影响主要体现在矩阵较小的奇异值对估计方差的严重放大，导致最小二乘估计难以得到参数的准确估值。岭估计通过引入偏差降低方差来降低均方误差，是均方误差优于最小二乘估计的方法。通过岭估计对病态矩阵的奇异值进行修正来引入偏差降低方差，进而降低均方误差。然而岭估计对部分较大奇异值的修正不能有效地降低方差反而过多地引入了偏差，降低了估计的可靠性。通过比较修正奇异值的方差下降量与偏差引入量的大小关系确定需要修正的小奇异值，进而改进岭估计方法选择性地修正小的奇异值。本文提出的附有奇异值修正限制的改进的岭估计方法，有效改善了岭估计的解算效果和可靠性，实验表明新方法是可行且有效的岭估计改进方法。
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摘要: 最小二乘估计具有无偏性，而岭估计是一种有偏估计，它通过引入偏差降低方差来降低均方误差。在模型出现病态时，岭估计优于最小二乘估计。对岭估计的方差与偏差进行分析发现，岭估计通过修正病态矩阵的奇异值降低均方误差，但对部分较大奇异值的修正不能有效降低均方误差。通过比较修正奇异值的方差下降量与偏差引入量的大小关系确定需要修正的小奇异值，进而改进岭估计方法，实现选择性地修正小奇异值，提出附有奇异值修正限制的改进的岭估计方法，可有效改善岭估计的解算效果和可靠性，实验验证了新方法的可行性和有效性。Abstract: It is well known that ridge estimation is better than least squares estimation for ill posed problems, however the least squares estimation is unbiased compare to ridge estimation which is biased. Actually, ridge estimation reduces the variance by introducing bias so as to improve the MSE (mean square error). Therefore, ridge estimation is better than least squares estimation in term of MSE. Since the MSE is composed of variance and bias, the performance of the ridge estimation can be shown clearly through computing the variance and bias. Through analyzing the changes of variance and bias of ridge estimation, we know that ridge estimation correct the singular values of the ill posed matrix to reduce the variance and introduce the bias. When the reduced variance is much more than the introduced bias, the MSE can be reduced. However, ridge estimation correct all the singular values in the ill-conditioned matrix. Correcting the big singular values cannot reduce the variance of the estimation effectively but introduce much bias into the estimation. In view of this, improved ridge estimation is proposed in this paper to constrain the correction of the singular values. The new ridge estimation only correct the small singular values which are determined by comparing the variance reduction with bias introduction of singular value correction. Theoretical analysis clearly shows the feasibility of the improved ridge estimation. The experiment on the basis of the Fredholm integral equation of the first kind is carried out to demonstrate the effectiveness of the new ridge estimation. The results show that the improved ridge estimation performs much better than ridge estimation in stability and accuracy.
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Key words:
- ridge estimation /
- biased estimation /
- variance /
- bias /
- singular value correction
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表 1 不同方法的估计结果统计
Table 1. Statistical Results of Each Method
估计误差
‖ΔX‖最小二乘估计/104 岭估计 改进的岭估计 最大值 9.039 7 1.110 9 0.996 8 最小值 1.072 1 0.754 2 0.100 4 均值 3.933 3 0.942 2 0.217 5 
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