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地面三维激光扫描(terrestrial laser scanning,TLS)能记录单个目标点对激光的“后向散射回波强度”，也称为“激光强度”。利用激光强度可对目标几何形状、表面特性、内部结构等进行提取和反演，实现点云分类及目标特征精细提取。激光强度受到扫描仪特性、大气传输特性、目标特性、扫描环境等多种因素的影响[1-3]，利用激光强度信息首要的问题就是对其进行改正。激光强度改正是指消除各种影响因素，将原始激光强度值转换为一个与目标反射率相关或相等的值[4-6]。
在TLS中，激光强度主要受到目标反射率、入射角及距离的影响。反射率是目标表面固定属性,不需要对其进行改正[7]。理论上，激光强度与入射角的余弦成正比，与距离的平方成反比。TLS的首要目的是保证高精度的距离测量，光电探测器用于优化距离测量的精度[4, 5]。在近距离与远距离区间，为了提高距离测量的精度，扫描系统会对回波强度进行调节[4, 5, 7]。强度值与距离的实际对应关系并不遵循理论关系[8]，使得现有的距离改正方法并不适用于TLS。自然界大多数目标对激光的反射只近似遵循朗伯余弦定律[4, 5]，入射角效应的改正精度还可进一步提高。
本文将目标反射率、入射角及距离进行分离，将激光强度表示成三者多项式函数的乘积，提出一种新的TLS激光强度改正方法。
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对于扩展的朗伯目标，激光雷达方程可简化为[6]：
$${{P}_{r}}=\frac{{{P}_{t}}{{D}^{2}}_{r}\rho \cos \theta }{4{{R}^{2}}}{{\eta }_{\text{sys}}}{{\eta }_{\text{atm}}}$$ (1) 式中，Pr为接收激光功率；Pt为发射激光功率；Dr为接收机孔径；R为扫描仪中心到扫描目标点距离；ηatm为大气传输系数；ηsys为扫描系统传输系数；ρ为目标反射率；θ为入射激光与目标表面法向量之间的夹角，即激光入射角。
对于TLS，ηatm可以忽略不计。此外，与扫描系统相关的参数都可以看作常数[2, 7]。令C=PtDr2ηsysηatm/4，式(1)可简化为：
$${{P}_{r}}=C\cdot \rho \cdot \cos \theta \cdot {{R}^{2}}$$ (2) 扫描仪的光学接收系统与光电转换原理不尽相同，但激光强度值I与回波接收功率Pr之间必定存在一定的函数关系：
$$I=\Psi ({{P}_{r}})$$ (3) 假设扫描系统对接收功率线性放大，即Ψ为线性函数，激光强度值I∝Pr，则可得改正后激光强度值[6]：
$${{I}_{s}}=\rho \propto I\cdot {{R}^{2}}/\cos \theta $$ (4) 式(4)即为理论改正模型。对入射角余弦及距离的参数进行修正，可得理论模型的修正模型[9]：
$${{I}_{s}}\propto I\cdot {{R}^{a}}/\cdot {{\cos }^{b}}\theta $$ (5) 式中，a、b为修正参数。
本文将式(4)中各变量进行分离，将激光强度值I表达为目标反射率的函数F1、入射角余弦的函数F2及距离的函数F3的乘积形式：
$$I={{F}_{1}}\left( \rho \right)\cdot {{F}_{2}}(\cos \theta )\cdot {{F}_{3}}\left( R \right)$$ (6) 式中，0≤ρ≤1,0≤cosθ≤1,Rmin≤R≤Rmax(Rmin、Rmax为测距范围的最小值、最大值)。根据Weierstrass定理：闭区间上的连续函数可用多项式级数一致逼近。本文将F1(ρ)、F2(cosθ)、F3(R)用多项式函数代替，式(6)可写为：
$$I=\sum\limits_{i=0}^{{{N}_{1}}}{({{\alpha }_{i}}\cdot {{\rho }^{i}})}\cdot \sum\limits_{i=0}^{{{N}_{2}}}{[{{\beta }_{i}}\cdot {{(\cos \theta )}^{i}}]}\cdot \text{ }\sum\limits_{i=0}^{{{N}_{3}}}{({{\gamma }_{i}}\cdot {{R}^{i}})}~$$ (7) 式中，N1、N2、N3为多项式次数；αi、βi、γi为多项式系数。
由激光强度改正的定义可得：
$${{I}_{s}}=\sum\limits_{i=0}^{{{N}_{1}}}{{{\alpha }_{i}}{{\rho }^{i}}}=I/[{{F}_{2}}(\cos \theta )\cdot {{F}_{3}}\left( R \right)]$$ (8) 式中，Is为改正后强度值。与入射角及距离无关，仅受目标反射率的影响。扫描距离根据扫描仪中心坐标与点云三维坐标(x,y,z)计算，入射角可根据入射激光向量与点的法向量计算[2, 3]，法向量通过最邻近(K-nearest neighbor,KNN)算法建立邻域集拟合平面，再求取拟合平面的法向量得到。
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为了求取激光强度改正模型中的相关参数，利用4种不同反射率的标准漫反射参照目标设计了入射角实验及距离实验。四种漫反射参照目标反射率分别为20%、40%、60%、80%，均为10×10cm2的正方形。将4块漫反射参照目标固定于一块大小为20×20 cm2矩形泡沫薄板上。泡沫薄板通过金属支架固定于三脚架上，金属支架能左右自由旋转，旋转角度可由测角度盘测得。
本文实验采用Faro Focus3D X330地面三维激光扫描仪，测距范围为0.6~330 m，扫描数据由每个点的三维坐标(x,y,z)及强度值I组成。激光强度无量纲，量化等级为11bit，范围为[0,2 048]。值得注意的是，虽然Faro Focus3D X330的理论最大测距值为330m，但当距离较大时，强度噪声与各类误差较大。为保证较高的数据精度与可靠性，在实际应用中大都采用30m以内的数据。实验中各漫反射目标的面积较小，在后续实验分析中均采用激光强度均值。
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将泡沫薄板置于离扫描仪5 m的位置，从0°~80°，每隔10°水平旋转泡沫薄板并进行扫描，入射角实验结果如图 1所示。分析图 1可知，四种漫反射参照目标强度值随入射角的整体变化趋势一致。在入射角相同时，强度值与反射率成正相关。随着入射角的增加，同一目标强度值不断减少。
图 1 四种朗伯目标在不同入射角
Figure 1. Original Intensities of the Four Lambertian Targets at Different Incidence
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将泡沫薄板正对扫描仪，在1 m处设置第一站，此后5 m~30 m每隔5 m设置一个站，距离实验结果如图 1所示。4种漫反射参照目标强度值随距离的变化整体趋势一致。在距离相同时，强度值与反射率成正相关。由激光雷达方程可知，接收功率随着距离的增大而减少，而由图 1可知，在入射角不变时，强度值随着距离的增大先增大后减少再增大，因此强度值与接收功率之间并不是线性关系。
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(1) F1(ρ)参数估计
由图 1知，激光强度值与目标反射率成正相关，因此可取N1=1，即：
$${{F}_{1}}\left( \rho \right)={{\alpha }_{0}}+{{\alpha }_{1}}\rho $$ (9) 当入射角与距离都相同时，则 K1=F2(cosθ)·F3(R) 为常数，式(7)可写成I+v=K1(α0+α1ρ)，v为残差。令α1=1，利用入射角及距离实验数据，根据最小二乘平差可得α0=3.72。
(2) F2(cosθ)参数估计
当反射率和距离都相同时，则K2=F1(ρ)·F3(R)为常数，式(7)可写为：
$$I+v={{K}_{2}}\cdot \sum\limits_{i=0}^{{{N}_{2}}}{[{{\beta }_{i}}\cdot {{(\cos \theta )}^{i}}]}$$ 中误差为：
$${{\sigma }_{0}}=\sqrt{{{v}^{\text{T}}}v/(9-({{N}_{2}}+1))}$$ N2与σ0的对应情况如图 2所示，兼顾模型的精度与简洁性，取N2=3。
图 2 中误差与多项式次数的对应关系
Figure 2. Mean Errors with Respect to Polynomial Degrees
利用入射角实验中20%目标扫描数据，根据最小二乘平差可得[K2β0 K2β1 K2β2 K2β3]T=[1 162.33 1 307.81 -1 506.18 677.07]。令β3=1，可得β0=1.72,β1=1.93,β2=-2.22。类似地，取入射角实验中其他三种参考目标数据，分别求得β0、β1、β2，最后取均值，可得：[β0 β1 β2 β3]T=[2.41 2.27 -2.42 1]。
(3) F3(R)参数估计
当反射率和入射角都相同时，则
$${{K}_{3}}={{F}_{1}}\left( \rho \right)\cdot {{F}_{2}}(\cos \theta )$$ 为常数，式(7)可写为：
$$I+v={{K}_{3}}\cdot \sum\limits_{i=0}^{{{N}_{3}}}{({{\gamma }_{i}}\cdot {{R}^{i}})}$$ 中误差为：
$${{\sigma }_{0}}=\sqrt{{{v}^{\text{T}}}v/(7-({{N}_{3}}+1))}$$ N3与σ0的对应情况如图 2所示。在N3为5时，σ0最小，因此取N3=5。类似于F2(cosθ)参数估计，可得
[γ0 γ1 γ2 γ3 γ4 γ5]=[-5.58×106 -2.03×105 9.03×103 853.00 61.35 1]
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在§2.3节参数求取过程中，各多项式最高次数项的系数都设置为1，因此式(7)可写为：
$$\begin{align} & I=K\cdot \left( \frac{{{\alpha }_{0}}}{{{\alpha }_{1}}}+\rho \right)+\cdot \left[ \sum\limits_{i=0}^{2}{\left( \frac{{{\beta }_{i}}}{{{\beta }_{3}}}\cdot {{(\cos \theta )}^{i}} \right)+{{(\cos \theta )}^{3}}} \right]\cdot \\ & \left[ \sum\limits_{i=0}^{4}{(\frac{{{\gamma }_{i}}}{{{\gamma }_{5}}}\cdot {{R}^{i}})+{{R}^{5}}} \right] \\ \end{align}$$ (10) K=α1·β3·γ5。将距离与入射角实验各测站中相关数据及各系数代入式(10)，可求得K值为2.03×10-5。
得到各模型参数以后，可以根据式(8)计算改正后激光强度值。为使改正后强度值与原始强度值在数值上具有可比性，令K=M1·M2，将式(8)写为：
$${{I}_{s}}=I/\left\{ {{M}_{2}}\cdot \left[ \sum\limits_{i=0}^{2}{\left( \frac{{{\beta }_{i}}}{{{\beta }_{3}}}\cdot {{(\cos \theta )}^{i}} \right)+{{(\cos \theta )}^{3}}} \right]\cdot \left[ \sum\limits_{i=0}^{4}{(\frac{{{\gamma }_{i}}}{{{\gamma }_{5}}}\cdot {{R}^{i}})+{{R}^{5}}} \right] \right\}$$ (11) 令入射角实验中20%参考目标在入射角为0°时的改正后强度值Is等于原始强度值I，可求得M1=416.84,M2=-4.87×10-8。根据式(11)求取改正后的强度值，结果如图 3所示。
图 3 4种朗伯目标在不同入射角
Figure 3. Corrected Intensities of the Four Lambertian Targets at Different Incidence
对比图 1和图 3可得，改正前，激光强度受到入射角和距离的影响，同一目标在不同入射角、不同距离下得到的强度值相差较大；改正后，同一目标在不同入射角、不同距离下的强度值基本相等，改正后强度值已不再受入射角和距离的影响，仅与目标反射率相关。本文采用变异系数来对改正结果做出评价，变异系数为：
$$CV = \sigma /\mu \times 100\% $$ (12) 式中，μ为强度值均值;σ为强度值标准差。设CVbef表示原始强度值变异系数，CVaft表示本文模型改正后强度值变异系数，令δ=CVaft/CVbef，则δ小于1，表示改正有效，δ越小，表明改正结果越好。本文模型改正后δ约为0.10，即改正后强度值变异系数只有原始强度值变异系数的1/10，说明本文改正模型能很好地对强度值进行改正。
理论模型与修正模型改正前后δ值(入射角0°，距离5 m为标准)如表 1所示。分析表 1可得，理论模型与修正模型δ均大于1，说明二者对本文实验数据的改正是没有效果的，原因是Faro Focus3D X330中接收功率与强度值之间并不满足线性关系。
表 1 理论模型与修正模型改正后δ值
Table 1. Values of δ for the Theoretical and Modified Models
反射率/% 入射角实验 距离实验 理论模型
(式(4))20
40
60
8010.92
11.47
12.40
13.3522.46
24.40
28.27
28.65修正模型
(式(5))20
40
60
802.01
2.06
2.14
2.2222.46
24.40
28.27
28.65 -
为了验证本文模型的适用性，利用Faro Focus3D X330扫描某一白色石灰墙壁。从扫描数据中选取A~P共16个面积大约为20×20 cm2的小区域，A~P区域的原始强度值如图 4所示。
图 4 区域A~P原始强度值
Figure 4. Original Intensities of Regions A~P
根据式(7)，若先对原始强度值进行入射角改正，可得Ir=I/F2(cosθ)，Ir与入射角无关，与目标反射率及距离有关；若先对原始强度值进行距离改正，可得Ij=I/F3(R)，Ij与距离无关，与目标反射率及入射角有关。此外根据式(7)，可以得到在某一特定入射角下各个距离下的强度值的理论值IJ=χr·F3(R),χr为常数； 也可以得到某一特定距离下各个入射角下强度值的理论值IR=χj·F2(cosθ),χj为常数。A~P区域的强度值Ir如图 5(a)中圆点所示,IJ如图 5(a)中三角形所示，进行入射角改正之后再进行距离改正的强度值Is1如图 5(b)所示。A~P区域强度值Ij如图 5(c)中圆点所示，IR如图 5(c)中三角形所示，进行距离改正之后再进行入射角改正的强度值Is2如图 5(d)所示。由图(5)可得: Ir与IJ非常接近；Ij与IR也非常接近；Is1与Is2完全一致，δ为0.11。上述结果表明，距离与入射角对激光强度的影响相互独立，二者对激光强度值的影响可分开进行改正。另一方面，也表明本文方法对自然目标强度改正的适用性。
图 5 白色墙壁区域A~P改正前后强度值
Figure 5. Intensities Before and After Correction of Regions A~P of the White Wall
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本文将激光强度表示成三者多项式函数的乘积形式，提出了一种新的TLS激光强度改正方法，对入射角及距离效应进行统一改正。对于某一特定的扫描仪，只需确定各多项式次数与系数，因此本文模型适用于各种地面激光扫描仪的强度数据改正，具有很好的通用性。值得注意的是，在本文模型中，将系统参数当作常量，忽略了系统参数的影响，可能引起改正结果的相应误差。考虑系统参数的影响可以进一步提高本文模型改正的精度，也是后续的研究方向。
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摘要: 通过分离目标反射率、入射角及距离三个因素，利用Weierstrass定理，将激光强度表示成三个因素多项式函数的乘积形式，提出一种新的地面三维激光扫描（terrestrial laser scanning，TLS）激光强度改正模型。利用不同反射率的漫反射目标，设计入射角与距离实验，确定各个多项式的次数及系数，求取改正后激光强度值。实验结果表明，与现有改正模型进行比较，本文模型能精确地对激光强度值进行改正，并可以推广到自然目标强度数据的改正。Abstract: By separating the target reflectance, incidence angle, and distance, the intensity value is expressed as the product of these three factors in the form of their polynomial functions based on the Weierstrass approximation theorem and a new terrestrial laser scanning (TLS) intensity data correction model is proposed. By using diffuse targets with different reflectance values, incidence angle and distance experiments are conducted to estimate the degrees and coefficients of each polynomial by the least squares adjustment and then the corrected intensity. The results show that compared with existing methods the proposed model can accurately correct the intensity value and can be extended to natural surfaces.
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Key words:
- laser intensity /
- incidence angle /
- distance /
- TLS /
- correction method
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图 1 四种朗伯目标在不同入射角
(a)及不同距离(b)得到的原始强度值
Figure 1. Original Intensities of the Four Lambertian Targets at Different Incidence
Angles (a) and Distances (b)
图 3 4种朗伯目标在不同入射角
(a)及不同距离(b)得到的改正后强度值
Figure 3. Corrected Intensities of the Four Lambertian Targets at Different Incidence
Angles (a) and Distances (b)
图 5 白色墙壁区域A~P改正前后强度值
Figure 5. Intensities Before and After Correction of Regions A~P of the White Wall
表 1 理论模型与修正模型改正后δ值
Table 1. Values of δ for the Theoretical and Modified Models
反射率/% 入射角实验 距离实验 理论模型
(式(4))20
40
60
8010.92
11.47
12.40
13.3522.46
24.40
28.27
28.65修正模型
(式(5))20
40
60
802.01
2.06
2.14
2.2222.46
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28.27
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