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目前中国正在组建北斗卫星导航系统(BeiDou Navigation Satellite System，BDS)。该系统的建设计划分试验系统、区域系统和全球系统三个阶段[1]。至2012年12月27日，北斗已实现5颗地球静止轨道(geostationary earth orbit,GEO)卫星、5颗倾斜同步轨道(inclined geosynchronous satellite orbit,IGSO)卫星和4颗中轨道(middle earth orbit,MEO)卫星的区域系统卫星星座组网。2015年3月30日，中国在西昌卫星发射中心成功发射首颗新一代北斗导航卫星，属于IGSO卫星，它标志北斗卫星导航系统由区域运行向全球拓展启动实施。随着北斗卫星导航系统BDS空间信号接口控制文件公布以及亚太地区无源定位服务开放[2]，北斗精密轨道确定、钟差估计[3-6]、精密单点定位以及相对定位[4, 7-10]成为国内外GNSS研究领域热点问题。
与GPS单系统相比，融合BDS的数据处理能够同时提高服务的精度与可靠性，同时考虑到整周模糊度的固定是GNSS高精度动态定位的关键问题，因此有必要考虑高精度定位中GPS/BDS融合数据处理对模糊度解算的影响。Deng等人利用实验证明:短基线单历元情况下，GPS/BDS组合系统相较于各单系统能够提高模糊度固定成功率，同时也能提高定位精度[11]；He等人利用静态和动态两种模式对短基线进行数据处理，结果同样表明，即使在高卫星高度截止角情况下，GPS/BDS组合系统可以显著提高模糊度固定成功率[12]。以上研究说明了GPS/BDS组合系统可以显著提高模糊度固定成功率，但并没有进一步分析致使模糊度固定成功率提高的具体原因。Teunissen等人不仅对GPS/BDS单历元RTK定位能力以及对模糊度固定成功率的影响进行研究，并且利用模糊度精度因子(ambiguity dilution of precision,ADOP)从模糊度置信椭球体积的角度分析GPS/BDS组合系统对模糊度固定成功率的影响[13]，但模糊度置信椭球体积仅为模糊度搜索空间几何要素之一。
本文首先对模糊度解算方法进行描述，提出了一种组合系统与单系统的模糊度搜索空间对比方法，以此评估组合定位对模糊度搜索空间的影响；然后利用实测数据分析GPS/BDS组合定位对模糊度搜索空间的影响以及对短基线模糊度固定成功率的改进作用。
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在利用GNSS观测值进行基线解算的过程中，待估参数除了包括坐标参数外，还包括模糊度参数。载波相位相对定位观测方程及其随机模型可表示为:
(2) 其中，l为OMC(observed minus computed)值；x和y分别为测站坐标参数和双差模糊度参数(对于GPS/BDS组合系统，双差模糊度参数为各单系统内部双差模糊度参数之和)；A和B为对应于测站坐标和双差模糊度参数的系数阵，且
采用最小二乘方法对载波相位相对定位观测方程进行求解，解算结果可表示为:
(3) 式中，
$\hat{X}$为测站坐标参数和双差模糊度参数的最小二乘解；02为单位权方差；Q为待估参数的协因数阵；D为待估参数的方差-协方差阵。
模糊度固定是GNSS高精度定位的关键问题，LAMBDA方法是一种使用较为广泛的模糊度固定方法[14]。在该方法中，模糊度参数备选解被式(4) 约束:
(4) 式中，ty为模糊度参数数量；F(ty,n-t,αF)表示第一自由度为ty、第二自由度为n-t、显著水平为αF的F分布；y和$\hat{y}$分别为整周模糊度参数备选解和模糊度参数浮点解。
式(4) 约束定义了一个置信椭球。置信椭球的各轴长度由模糊度参数的方差-协方差阵特征值确定。模糊度的搜索空间与置信椭球的各轴长度密切相关，因此可以根据特征值的大小来确定模糊度的搜索空间。
在式(4) 中，可以发现(y-$\hat{y}$)2与模糊度参数的方差-协方差阵成正比，对模糊度参数的方差-协方差阵进行正交分解可求得特征值，这说明模糊度搜索空间长度的平方与模糊度参数的方差-协方差阵特征值成正比。相对于模糊度方差-协方差阵的特征值λ来说，对$\sqrt{\lambda }$的比较能够更加直观地反映出搜索空间长度的变化，因此本文采用$\sqrt{\lambda }$来代替λ进行比较。
为了系统分析GPS/BDS组合定位对模糊度搜索空间的影响，分别从以下5个角度对GPS单系统、BDS单系统以及GPS/BDS组合系统的搜索空间进行比较:(1) 同一计算时长下单系统与组合系统模糊度的搜索空间长度对比；(2) 同一计算时长下单系统与组合系统模糊度的搜索空间平均长度对比；(3) 同一计算时长下能够直接固定的模糊度在所有模糊度中所占比例对比；(4) 同一计算时长下模糊度搜索空间的体积对比；(5) 不同计算时长下单系统与组合系统模糊度的搜索空间对比。操作流程如下。
1) 进行GPS单系统参数解算，获取GPS单系统的模糊度协因数阵QG和单位权方差D0G，使用正交分解方法求取QG的特征值λQG，根据D0G和λQG求取GPS单系统的模糊度特征值$\sqrt{{{\lambda }_{G}}}$，然后根据$\sqrt{{{\lambda }_{G}}}$计算出用于比较的$\sqrt{{{\lambda }_{G}}}$。
2) 采用和(1) 同样的方法获取BDS单系统的λQB和D0B，然后根据D0BλQB求用于比较的BDS单系统的$\sqrt{{{\lambda }_{B}}}$。
3) 对GPS/BDS组合系统的模糊度协因数阵QGB进行分解，分别获取仅与GPS模糊度有关的协因数部分QGB(G)和仅与BDS模糊度有关的协因数部分QGB(B)，根据QGB、QGB(G)、QGB(B)分别计算λQGB、λQGB(G)、λQGB(B)，再根据组合系统的单位权方差D0GB分别求取用于比较的$\sqrt{{{\lambda }_{GB}}}$、$\sqrt{{{\lambda }_{GB\left( G \right)}}}$、$\sqrt{{{\lambda }_{GB\left( B \right)}}}$。
4) 进行同一计算时长下单系统与组合系统模糊度的搜索空间长度对比。分别计算同一计算时长下的不同系统每一个模糊度所对应的$\sqrt{{{\lambda }_{G}}}$、$\sqrt{{{\lambda }_{B}}}$、$\sqrt{{{\lambda }_{GB\left( G \right)}}}$、$\sqrt{{{\lambda }_{GB\left( B \right)}}}$、$\sqrt{{{\lambda }_{GB}}}$，将同一时段下$\sqrt{{{\lambda }_{G}}}$、$\sqrt{{{\lambda }_{B}}}$分别与$\sqrt{{{\lambda }_{GB\left( G \right)}}}$、$\sqrt{{{\lambda }_{GB\left( B \right)}}}$进行对比，同时也将$\sqrt{{{\lambda }_{G}}}$、$\sqrt{{{\lambda }_{B}}}$与$\sqrt{{{\lambda }_{GB}}}$进行对比。
5) 进行同一计算时长下单系统与组合系统模糊度的搜索空间平均长度对比。同一计算时长下包括多个时段，将同一计算时长下所有时段的$\sqrt{{{\lambda }_{G}}}$、$\sqrt{{{\lambda }_{B}}}$、$\sqrt{{{\lambda }_{GB}}}$分别求均值并在单系统和组合系统间进行比较。模糊度搜索空间平均长度$\sqrt{{{\lambda }_{aver}}}$的计算式可表达为:
(5) (6) 式中，$\sqrt{{{\lambda }_{ave{{r}_{i}}}}}$为同一计算时长下第i时段的所有模糊度特征值平方根的平均值；λj为同一计算时长下第i时段、第j个模糊度特征值；n为同一计算时长下所有时段的数量；m为该时段模糊度特征值的数量。
6) 进行同一计算时长下能够直接固定的模糊度在所有模糊度中所占比例的对比。如果某一模糊度所对应的$\sqrt{\lambda }$较小，那么将该模糊度就近取整便可实现固定，而不再需要进行搜索，因此有必要对能够直接固定的模糊度个数进行统计。在本文中，计算单系统和组合系统下较小的$\sqrt{\lambda }$在所有$\sqrt{\lambda }$中所占的比例，并将同一计算时长下各时段所求的比例求均值进行对比。能够直接固定的模糊度在所有模糊度中所占比例raver的计算公式可表达为:
(7) (8) 式中，COUNTIF($\sqrt{\lambda }$＜0.1) 为同一计算时长下第i时段$\sqrt{\lambda }$＜0.1周的个数；COUNT($\sqrt{\lambda }$)为该时段下模糊度特征值平方根的数量；Ratioi为同一计算时长下第i时段能够直接固定的模糊度在所有模糊度中所占比例。
7) 进行同一计算时长下模糊度搜索空间的体积对比。文献[13]表明，ADOP值与模糊度固定成功率密切相关，即理论上若ADOP值小于0.12周，则模糊度的固定成功率将高于99.9%。因此，本文采用ADOP值作为单系统和组合系统下模糊度搜索空间的体积对比要素，计算式可表达为:
(9) 将同一计算时长下所有时段的VADOP求均值(记为MADOP)，并在单系统和组合系统间进行比较。
8) 进行不同计算时长下单系统与组合系统模糊度的搜索空间对比。将不同计算时长下的模糊度的搜索空间平均长度、能够直接固定的模糊度在所有模糊度中所占比例以及模糊度搜索空间的体积进行统计和对比。对比流程见图 1。
图 1 GPS、BDS单系统与GPS/BDS组合系统模糊度搜索空间对比流程
Figure 1. Flowchart of Comparison of Ambiguity Search Region Between GPS,BDS and GPS/BDS
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为了分析GPS/BDS组合定位对模糊度搜索空间的影响，利用实测数据对§1的对比方法进行测试。
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在武汉大学校园内采集5 km基线静态数据。测站均配备GPS/BDS双模接收机UR240-CORS和UA240天线。基线观测时长约为3 h，数据采样率为5 s。
利用PANDA软件进行GPS/BDS组合系统和单系统的基线解算[9, 15]，获取相应协因数阵、单位权方差以及Ratio值，数据处理策略见表 1。
将实验数据分为70个时段，每时段时长为160 s，每时段的处理方案为:定位解分别设为GPS单系统定位解、BDS单系统定位解、GPS/BDS组合定位解；计算时长分别设为2、4、8、16、32历元；观测值分别设为L1/B1和L1+L2/B1+B2。总体上共30个处理方案，每个方案包括70个解。
表 1 基线数据处理策略
Table 1. Baseline Processing Strategy
参数 模型 观测值 双差原始观测值 截止高度角 7° 采样间隔 5 s 观测值加权 卫星高度角定权 相位缠绕 改正 卫星天线PCO和PCV 双差消除/削弱 接收机天线PCO和PCV 双差消除/削弱 潮汐改正 双差消除/削弱 相对论改正 改正 卫星轨道 固定为广播星历 卫星钟差 双差消除/削弱 接收机钟差 双差消除/削弱 测站坐标 参数估计 对流层延迟 双差消除/削弱 电离层延迟 双差消除/削弱 模糊度 LAMBDA -
以计算时长为2个历元、单频情况下的第一个时段解为例，对单系统与组合系统模糊度的搜索空间长度进行对比分析，见图 2、图 3。其它计算时长以及双频情况下的比较结果与此例相似，因此本文没有再对其展示。
图 2 单系统与组合系统中与各单系统相关的$\sqrt{\lambda }$对比
Figure 2. Comparison of Square Root of Eigenvalue Between Single System and Combined System
图 3 单频情况下GPS单系统的$\sqrt{{{\lambda }_{G}}}$和BDS单系统的$\sqrt{{{\lambda }_{B}}}$与GPS/BDS组合系统下的$\sqrt{{{\lambda }_{GB}}}$对比
Figure 3. Comparison of Square Root of Eigenvalue Between Single System (GPS and BDS) and Combined System (GPS/BDS) Within Single Frequency Observation
根据实验结果可以得出以下结论。
1) GPS/BDS组合系统下仅与GPS模糊度有关的$\sqrt{{{\lambda }_{GB\left( G \right)}}}$和仅与BDS模糊度有关的$\sqrt{{{\lambda }_{GB\left( B \right)}}}$均小于GPS单系统的$\sqrt{{{\lambda }_{G}}}$和BDS单系统的$\sqrt{{{\lambda }_{B}}}$，这说明将GPS和BDS进行组合对各自单系统(GPS和BDS)的方差-协方差数阵均有影响，可以缩短各自单系统的模糊度搜索空间长度。
2) 各系统的$\sqrt{\lambda }$中均有一部分值非常小，例如，小于0.1 周，对于这样的模糊度参数，可以认为不进行搜索便可以直接进行固定，固定的成功率也非常高。
3) 将$\sqrt{{{\lambda }_{GB}}}$与$\sqrt{{{\lambda }_{G}}}$、$\sqrt{{{\lambda }_{B}}}$进行比较，$\sqrt{{{\lambda }_{GB}}}$在没有出现明显比$\sqrt{{{\lambda }_{G}}}$、$\sqrt{{{\lambda }_{B}}}$大的情况下，$\sqrt{{{\lambda }_{GB}}}$中具有较大值的个数比$\sqrt{{{\lambda }_{G}}}$、$\sqrt{{{\lambda }_{B}}}$中较大值的个数之和缩小了一倍。例如，在单频情况下，$\sqrt{{{\lambda }_{GB}}}$中大于0.1 周的个数为3，而$\sqrt{{{\lambda }_{G}}}$、$\sqrt{{{\lambda }_{B}}}$中大于0.1 周的个数分别为3。因此组合系统相对于各单系统来说，模糊度个数虽然增加，但$\sqrt{\lambda }$较大的模糊度个数却在减少，能够直接进行模糊度固定的比例在增加，所以组合系统的总体搜索空间在减小，模糊度固定的成功率也将增加。
表 2对所有时段单频和双频情况下单系统与组合系统模糊度的搜索空间平均长度、能够直接固定的模糊度在所有模糊度中所占比例(模糊度能够直接固定的标准为$\sqrt{\lambda }$＜0.1 周)、模糊度搜索空间的体积以及不同计算时长下模糊度的搜索空间进行统计和对比。
表 2 单/双频两种情况下单系统与组合系统模糊度的搜索空间对比
Table 2. Comparison of Ambiguity Search Region Between Single System (GPS or BDS) and Combined System (GPS/BDS) Within Single/Dual Frequency Observation
计算时长/历元 模糊度的搜索空间平均长度/周 能够直接固定的模糊度在所有模糊度中所占比例/% ADOP/周 GPS BDS GPS/BDS GPS BDS GPS/BDS GPS BDS GPS/BDS 2 0.97 0.82 0.48 44.0 69.8 80.4 0.323 0.178 0.122 4 0.84 0.75 0.42 47.0 69.9 80.8 0.275 0.161 0.109 单频 8 0.67 0.59 0.31 48.6 68.8 80.6 0.235 0.140 0.096 16 0.45 0.45 0.21 51.0 67.8 80.5 0.198 0.124 0.087 32 0.24 0.32 0.11 55.0 64.7 80.0 0.163 0.116 0.080 2 0.50 0.37 0.22 71.5 84.9 90.1 0.145 0.108 0.089 4 0.44 0.33 0.20 73.3 85.0 90.4 0.130 0.096 0.080 双频 8 0.35 0.27 0.15 74.2 84.4 90.3 0.117 0.084 0.071 16 0.25 0.22 0.11 74.9 83.9 90.2 0.108 0.075 0.066 32 0.13 0.16 0.06 77.0 82.4 89.9 0.096 0.069 0.063 通过表 2、表 3可以发现，在单频和双频情况下，GPS/BDS组合系统的模糊度搜索空间的评价指标均明显优于GPS或BDS单系统。在所有不同计算时长下，组合系统的模糊度搜索空间平均长度均明显小于单系统:组合系统的搜索空间平均长度均小于GPS单系统的50%、BDS单系统的60%，从总体上可以大幅减小模糊度的搜索空间。随着计算时长不断增加，组合系统和单系统的模糊度搜索空间平均长度都在不断减小，组合系统相较于单系统的平均长度减小的速度较慢。在不同计算时长下，各系统能够直接固定的模糊度在所有模糊度中所占比例没有明显变化，单频情况下组合系统约为81%，明显高于GPS单系统的49%和BDS单系统的68%；双频情况下组合系统可达90%，GPS单系统为74%，BDS单系统为84%，组合系统仍高于单系统，但没有单频显著。在相同计算时长下，组合系统的ADOP值均小于单系统。实验结果表明，组合系统在单频2历元计算时长下便可获得较高的模糊度固定成功率，其所对应的ADOP值相当于GPS单系统双频8历元计算时长以及BDS单系统单频16历元计算时长下的ADOP值。
根据以上单时段和多时段统计结果的对比分析可知，将GPS和BDS进行组合，不仅可以缩小各自单系统的模糊度搜索空间长度，提高搜索效率，而且能减少$\sqrt{\lambda }$较大的模糊度个数，进而增加可以直接进行固定的模糊度比例，所以组合系统的总体搜索空间减小，模糊度固定的成功率增加。
为了验证分析结果的正确性，对本次实验的模糊度固定成功率进行统计(模糊度固定成功的标准为Ratio ＞3) ，结果见表 3。
表 3 不同计算时长下5 km基线的模糊度固定成功率
Table 3. Relationship Between Success Rate of Ambiguity-Fixing and Session Length for 5 km Baseline
计算时长/历元 L1成功率/% L1+L2成功率/% GPS BDS GPS/BDS GPS BDS GPS/BDS 2 7 4 93 96 87 100 4 8 5 93 96 88 100 8 12 5 96 98 93 100 16 25 4 98 98 93 100 32 62 17 98 100 97 100 表 3表明，GPS/BDS组合系统即使在单频观测值情况下就能够显著改善模糊度固定成功率，计算时长为2历元时组合系统模糊度固定成功率便可大于90%。上述分析结果也可在一定程度上对文献[11-12]的实验结果进行解释。
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整周模糊度的固定是GNSS高精度动态定位的关键问题。在区域北斗卫星导航系统已经正式对亚太地区提供定位和导航服务的条件下，本文针对GPS/BDS组合定位对模糊度搜索空间的影响进行研究。利用短基线观测数据和PANDA软件分别从不同角度对GPS单系统、BDS单系统和GPS/BDS组合系统下的模糊度搜索空间进行对比分析，同时也对模糊度固定成功率进行了统计，得出以下结论。
1) 将GPS和BDS进行组合，对各自单系统的方差-协方差数阵均有影响，可以缩短各自单系统的模糊度搜索空间长度。
2) GPS/BDS组合系统相对于各单系统来说，模糊度个数虽然增加，但特征值较大的模糊度个数却在减少，能够直接进行模糊度固定的比例在增加，最终可提高模糊度固定成功率。
3) 在单、双频情况下GPS/BDS组合系统可在在较少历元情况下获取较小的ADOP值，实现快速准确的模糊度固定。
本文只分析了GPS/BDS组合定位在短基线情况下对模糊度搜索空间的影响。进一步将对在长基线相对定位和精密单点定位情况下，GPS/BDS组合定位对模糊度解算的影响进行研究。如果能够将本文的结论推广到以上两种定位模式，必然会大幅提高GNSS作业效率，拓宽GNSS应用领域。
Impact Analysis of GPS/BDS Combined Positioning on Ambiguity Search Region for Short Baseline
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摘要: 整周模糊度固定是GNSS高精度动态定位的关键问题，为研究GPS/BDS（北斗卫星导航系统）组合定位对短基线模糊度搜索效率和固定成功率的提高效果，利用基于模糊度方差-协方差阵特征值平方根的模糊度搜索空间对比方法分别对短基线条件下GPS单系统、BDS单系统和GPS/BDS组合系统下的模糊度搜索空间进行对比分析。实验数据表明：GPS/BDS组合定位对各单系统的方差-协方差阵均有影响，从整体上可以缩小GPS和BDS单系统的模糊度搜索空间。最后对模糊度固定成功率进行了统计，结果表明，在单、双频条件下组合系统均可显著提高模糊度固定成功率和搜索效率。Abstract: Ambiguity fixing is the key to GNSS high-precision dynamic positioning. In order to analyze the performance of a GPS/BDS combined system on ambiguity search efficiency and the success rate of ambiguity fixing on a short baseline, this paper proposes an ambiguity search region correlation method based on the square roots of the eigenvalues of the variance/covariance matrix of ambiguity. This method compares and analyzes the ambiguity search region in a single system GPS,a single system BDS and combined GPS/BDS system, respectively. Experimental results show that the GPS and BDS combination influences the variance/covariance matrix of each single system, and reduces the search region of each single system. Furthermore, the statistical results show that the combined GPS/BDS system can improve the success rate of ambiguity fixing and the ambiguity search efficiency significantly within single- and dual- frequency observations.
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Key words:
- GPS /
- BDS /
- combined positioning /
- ambiguity resolution /
- search region
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图 1 GPS、BDS单系统与GPS/BDS组合系统模糊度搜索空间对比流程
Figure 1. Flowchart of Comparison of Ambiguity Search Region Between GPS,BDS and GPS/BDS
图 2 单系统与组合系统中与各单系统相关的$\sqrt{\lambda }$对比
Figure 2. Comparison of Square Root of Eigenvalue Between Single System and Combined System
图 3 单频情况下GPS单系统的$\sqrt{{{\lambda }_{G}}}$和BDS单系统的$\sqrt{{{\lambda }_{B}}}$与GPS/BDS组合系统下的$\sqrt{{{\lambda }_{GB}}}$对比
Figure 3. Comparison of Square Root of Eigenvalue Between Single System (GPS and BDS) and Combined System (GPS/BDS) Within Single Frequency Observation
表 1 基线数据处理策略
Table 1. Baseline Processing Strategy
参数 模型 观测值 双差原始观测值 截止高度角 7° 采样间隔 5 s 观测值加权 卫星高度角定权 相位缠绕 改正 卫星天线PCO和PCV 双差消除/削弱 接收机天线PCO和PCV 双差消除/削弱 潮汐改正 双差消除/削弱 相对论改正 改正 卫星轨道 固定为广播星历 卫星钟差 双差消除/削弱 接收机钟差 双差消除/削弱 测站坐标 参数估计 对流层延迟 双差消除/削弱 电离层延迟 双差消除/削弱 模糊度 LAMBDA 
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表 2 单/双频两种情况下单系统与组合系统模糊度的搜索空间对比
Table 2. Comparison of Ambiguity Search Region Between Single System (GPS or BDS) and Combined System (GPS/BDS) Within Single/Dual Frequency Observation
计算时长/历元 模糊度的搜索空间平均长度/周 能够直接固定的模糊度在所有模糊度中所占比例/% ADOP/周 GPS BDS GPS/BDS GPS BDS GPS/BDS GPS BDS GPS/BDS 2 0.97 0.82 0.48 44.0 69.8 80.4 0.323 0.178 0.122 4 0.84 0.75 0.42 47.0 69.9 80.8 0.275 0.161 0.109 单频 8 0.67 0.59 0.31 48.6 68.8 80.6 0.235 0.140 0.096 16 0.45 0.45 0.21 51.0 67.8 80.5 0.198 0.124 0.087 32 0.24 0.32 0.11 55.0 64.7 80.0 0.163 0.116 0.080 2 0.50 0.37 0.22 71.5 84.9 90.1 0.145 0.108 0.089 4 0.44 0.33 0.20 73.3 85.0 90.4 0.130 0.096 0.080 双频 8 0.35 0.27 0.15 74.2 84.4 90.3 0.117 0.084 0.071 16 0.25 0.22 0.11 74.9 83.9 90.2 0.108 0.075 0.066 32 0.13 0.16 0.06 77.0 82.4 89.9 0.096 0.069 0.063
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表 3 不同计算时长下5 km基线的模糊度固定成功率
Table 3. Relationship Between Success Rate of Ambiguity-Fixing and Session Length for 5 km Baseline
计算时长/历元 L1成功率/% L1+L2成功率/% GPS BDS GPS/BDS GPS BDS GPS/BDS 2 7 4 93 96 87 100 4 8 5 93 96 88 100 8 12 5 96 98 93 100 16 25 4 98 98 93 100 32 62 17 98 100 97 100
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