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实时动态定位(real-time kinematic，RTK)在较复杂环境下难以快速且可靠地确定整周模糊度，惯性导航系统(inertial navigation system，INS)具有短期精度好的特点，可以用来辅助模糊度快速可靠地固定[1-4]。基于载波相位差分的紧组合通常有分散式滤波和集中式滤波两种实现方法。分散式滤波先通过独立的全球卫星导航系统(global navigation satellite system，GNSS)来估计整周模糊度，然后利用精确的载波相位观测值对INS滤波器进行量测更新。通常可将INS预测的位置信息作为虚拟观测量以压缩模糊度搜索空间，从而辅助模糊度固定[5-6]。分散式滤波的优点是模块化程度高，独立性较好，缺点是需要设计两个滤波器[7]。另外，分散式滤波在实践中很难确定何时去辅助GNSS滤波器[3]。集中式滤波则将模糊度参数增广到INS滤波器后与INS误差一起进行估计，同时实现INS辅助模糊度固定[2, 6]。集中式滤波器只需要设计一个主滤波器，组合程度更高，其缺点是维数高，运算量比较大[5, 8]，但是可以对确认固定的模糊度进行消参处理来解决该问题，即将固定后的模糊度参数从状态向量中消去。在INS辅助模糊度固定方面，上述两种方法的辅助效果均取决于INS提供的先验位置精度。
当卫星数多于4颗时，采用分散式滤波和集中式滤波方法均可以有效使用载波相位观测值进行滤波更新。在卫星数少于等于4颗且出现信号失锁或者周跳时，则很难正确固定模糊度并进行滤波更新[5]。此时，模糊度域内无法进行模糊度搜索，需要重新设计模糊度处理策略，进而增加算法复杂性。目前，对于不足4颗卫星时紧组合算法性能的比较研究较少。
因此，本文设计了基于集中式卡尔曼滤波的RTK/INS紧组合算法，给出了算法结构图，推导了紧组合卡尔曼滤波器的状态方程和观测方程，介绍了模糊度固定策略。最后，通过实测车载数据，对集中式滤波紧组合算法在GNSS信号完全失锁、仅3颗卫星辅助等情况下的位置漂移误差和模糊度快速恢复等性能进行了分析。
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如图 1所示，RTK/INS紧组合算法主要包括误差补偿、惯导机械编排、紧组合卡尔曼滤波双差观测值形成、紧组合卡尔曼滤波更新、模糊度搜索、反馈修正、结果输出。误差补偿模块利用卡尔曼滤波在线估计的传感器误差对陀螺和加速度计输出的原始观测值进行改正；惯导机械编排模块利用修正的惯性测量单元(inertial measurement unit，IMU)提供的观测量$\Delta \hat \theta $、$ \Delta\hat v$进行INS机械编排，完成速度、位置、姿态更新计算；卡尔曼滤波双差观测值形成模块利用基准站、流动站接收机输出的原始观测值形成双差伪距和双差载波相位观测值，同时利用惯导推算的位置以及星历信息计算站间双差几何距离，二者的差值将作为紧组合卡尔曼滤波的量测输入；紧组合卡尔曼滤波模块对当前的状态进行最优估计；模糊度搜索模块将紧组合卡尔曼滤波估计的浮点模糊度固定为整周模糊度；反馈修正模块将估计的陀螺和加速度计的零偏、比例因子误差反馈到IMU原始观测值进行误差补偿，同时估计位置、速度、姿态误差用以修正惯导机械编排的结果；结果输出模块将输出最优估计的位置、速度、姿态等导航参数。
图 1 RTK/INS紧组合算法结构图
Figure 1. Framework of RTK/INS Tightly-Coupled Integration Algorithm
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卡尔曼滤波是GNSS/INS组合导航常用的估计方法，主要包括滤波初始化、时间更新和测量更新。滤波初始化是指滤波初值及其协方差的确定，时间更新也称为预测，即对状态和协方差矩阵进行一步预测，测量更新使用测量值对预测的状态向量和协方差阵进行修正[9]。基于此，RTK/INS紧组合卡尔曼滤波的状态方程和观测方程如下所述。
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本文采用计算坐标系(c系，在计算的位置处建立的当地水平系)作为参考坐标系，进行扰动分析后可得到ψ角误差模型[10-11]：
$$ \begin{align} \delta {\boldsymbol{\dot r}^c} =& - \boldsymbol{\omega} ^c_{ec} \times \delta {\boldsymbol{r}^c} + \delta {\boldsymbol{v}^c}\\ \delta {\boldsymbol{\dot v}^c} = &{\boldsymbol{f}^c} \times \boldsymbol{\psi} - (2\boldsymbol{\omega} ^c_{ie} + \boldsymbol{\omega} ^c_{ec}) \times {\rm{ }}\\ &\delta {\boldsymbol{v}^c} + \delta {\boldsymbol{g}^c} + \boldsymbol{C}^p_b\delta {\boldsymbol{f}^b}\\ \boldsymbol{\dot \psi} =& - (\boldsymbol{\omega} ^c_{ie} + \boldsymbol{\omega} ^c_{ec}) \times \boldsymbol{\psi} - \boldsymbol{C}^p_b\delta \boldsymbol{\omega} ^b_{ib} \end{align} $$ (1) 式中，$\delta {\boldsymbol{\dot r}^c} $、$\delta {\boldsymbol{\dot v}^c} $、$ \boldsymbol{\dot \psi}$分别为c系下的位置、速度和姿态误差矢量的时间导数；fc为c系下的比力观测矢量；ωiec为c系下的地球自转角速度；ωecc为c系下的载体相对于地球旋转角速度；δgc为c系下的重力误差矢量；δωibb、δfb为惯性传感器误差矢量；Cbp为由b系到p系的旋转矩阵。
传感器误差包括陀螺和加速度计的零偏误差和比例因子误差，通常用以下一阶高斯-马尔科夫过程描述[12]：
$$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\delta \boldsymbol{\dot b}}\\ {\delta \boldsymbol{\dot s}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \frac{1}{{{\tau _b}}}\delta \boldsymbol{b}}\\ { - \frac{1}{{{\tau _s}}}\delta \boldsymbol{s}} \end{array}} \right] + \boldsymbol{w} $$ (2) 式中，δb、δs分别表示零偏误差和比例因子误差；τb、τs为一阶高斯-马尔科夫过程的相关时间；w为驱动白噪声。陀螺和加速度计均含有这两项误差，因此，传感器误差和位置、速度、姿态误差构成了一个21维的误差状态方程为：
$$ {\boldsymbol{\dot x}_{\rm INS}} = \boldsymbol{F}{\boldsymbol{x}_{\rm INS}} + \boldsymbol{Gw} $$ (3) 式中，xINS是与惯导相关的误差状态向量，xINS=[δrc δvc ψ δbg δba δsg δsa]T；F是系统矩阵，其表达式可参考文献[13]；G是噪声驱动矩阵；w为驱动白噪声。
集中式卡尔曼滤波将双差模糊度作为增广状态量，因此完整的状态向量可表示为：X=[xINST ▽ΔNT]T。
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RTK/INS紧组合卡尔曼滤波使用接收机输出的原始伪距和载波相位观测量，分别在站间、星间求差形成双差伪距、双差载波相位，并与惯导推算的双差几何距离求差，作为卡尔曼滤波的观测量。
对于短基线定位，对流层和电离层误差可以通过差分较好地削弱和消除，其载波相位观测方程可以表示为：
$$ \nabla \mathit{\Delta} \varphi ^{jk}_{ru} = \nabla\mathit{ \Delta} r^{jk}_{ru} - \lambda \nabla \mathit{\Delta} N^{jk}_{ru} + \nabla \mathit{\Delta} \varepsilon ^{jk}_{\varphi ,ru} $$ (4) 式中，▽Δ是双差算子；下标r、u分别表示基准站和流动站；上标j、k为观测卫星，j表示参考卫星；上标组合是星间作差，下标组合是站间作差；φ为载波相位观测值；r为卫星和测站的几何距离；λ为载波波长；N为载波相位整周模糊度；ε为观测噪声。
由惯导推算的双差几何距离可以表示为：
$$ \nabla \mathit{\Delta} \hat r^{jk}_{ru} \approx \nabla \mathit{\Delta} r^{jk}_{ru} + ({\boldsymbol{e}_k} - {\boldsymbol{e}_j}) \cdot \delta {\boldsymbol{r}^e} $$ (5) 式中，ek、ej为流动站对观测卫星k、j的视线向量；δre为地心地固坐标(Earth-centered Earth-fixed，ECEF)系下的位置误差矢量，δre=[δx δy δz]T。将式(5)和式(4)相减可得卡尔曼滤波的载波相位观测量δzφ为：
$$ \begin{array}{c} \delta {z_\varphi } = \nabla \mathit{\Delta} \hat r^{jk}_{ru} - \nabla \mathit{\Delta} \varphi ^{jk}_{ru} = \\ ({\boldsymbol{e}_k} - {\boldsymbol{e}_j}) \cdot \delta {\boldsymbol{r}^e} + \lambda \nabla \mathit{\Delta} \boldsymbol{N}^{jk}_{ru} \end{array} $$ (6) 同理，卡尔曼滤波的伪距观测量δzP为：
$$ \delta {z_P} = ({\boldsymbol{e}_k} - {\boldsymbol{e}_j})\cdot\delta {\boldsymbol{r}^e} $$ (7) 综合伪距和载波相位观测量可得系统最终的观测方程为：
$$ \boldsymbol{Z} = \boldsymbol{HX} + \boldsymbol{V} $$ (8) 其中：
$$ \boldsymbol{Z} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{Z}^{\rm T}_P}&{\boldsymbol{Z}^{\rm T}_\varphi } \end{array}} \right]^{\rm T}} $$ (9) $$ \boldsymbol{Z}^{\rm T}_P = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\delta {z_{P1}}}&{\delta {z_{P2}}}& \cdots &{\delta {z_{Pn}}} \end{array}} \right]^{\rm T}} $$ (10) $$ \boldsymbol{Z}^{\rm T}_\varphi = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\delta {z_{\varphi1}}}&{\delta {z_{\varphi2}}}& \cdots &{\delta {z_{\varphi n}}} \end{array}} \right]^{\rm T}} $$ (11) $$ \boldsymbol{H} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{D} \cdot {\boldsymbol{C}_1}}&{{\boldsymbol{\mathit{0}}_{n \times 3}}}&{\boldsymbol{D} \cdot {\boldsymbol{C}_1} \cdot {\boldsymbol{C}_2}}&{{\boldsymbol{\mathit{0}}_{n \times 12}}}&{{\boldsymbol{\mathit{0}}_{n \times n}}}\\ {\boldsymbol{D} \cdot {\boldsymbol{C}_1}}&{{\boldsymbol{\mathit{0}}_{n \times 3}}}&{\boldsymbol{D} \cdot {\boldsymbol{C}_1} \cdot {\boldsymbol{C}_2}}&{{\boldsymbol{\mathit{0}}_{n \times 12}}}&{\lambda {\boldsymbol{I}_n}} \end{array}} \right] $$ (12) 式中，D为位置误差矢量对应的设计矩阵；C1为ECEF坐标系转换到北东地(N-E-D)坐标系的误差转换矩阵，其公式可参考文献[14]；C2为IMU中心到天线相位中心的杠臂补偿项，其推导及计算公式参考文献[13]；In为单位矩阵；V为量测误差；λ为载波的波长；n为双差个数。
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卡尔曼滤波在给定初始状态后便可递推地进行最优状态估计，其中系统噪声与测量噪声等滤波参数将直接影响滤波精度，必须合理地设置。紧组合卡尔曼滤波的状态量为误差量，初值取0，位置、速度、姿态的初始标准差则根据初始对准结果来确定，而IMU零偏与比例因子的标准差需按照IMU厂商提供的指标来给定，模糊度参数的标准差可取一个较大的数值。系统噪声协方差矩阵的设定方法可参考文献[14]，其中模糊度参数对应的系统噪声为0，测量噪声矩阵采用高度角定权的方法进行设定[15]。
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本文的模糊度固定采用两步法进行[16]：(1)先综合使用P1、P2测码伪距观测值和宽巷观测值更新卡尔曼滤波器估计出宽巷模糊度的浮点解和方差协方差阵，使用最小二乘模糊度降相关平差法(least-squares ambiguity decorrelation adjustment，LAMBDA)固定宽巷模糊度[17]；(2)使用固定模糊度的宽巷观测值和L1观测值更新卡尔曼滤波器，估计出L1的浮点解和方差协方差矩阵，再次使用LAMBDA方法搜索L1的模糊度。模糊度验证采用ratio测试，临界值选为3，其是一个被广泛使用的经验值[18]。
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为了评估RTK/INS紧组合算法的性能，2015-04-21在中国武汉进行了实测车载实验，搭载了武汉迈普时空导航科技有限公司研制的战术级组合导航系统POS310，其性能指标如表 1所示。基准站采用Trimble双频接收机，采样率为1 Hz。数据采集持续时长约50 min，测试环境大部分为开阔天空，卫星跟踪情况较好，基线长度在2 km以内，其轨迹如图 2所示。
表 1 IMU性能指标
Table 1. IMU Performance
部件 性能指标 数值 陀螺 零偏/(°·h-1) 0.5 白噪声/(°·$ \rm h^{-\frac 12}$) 0.05 加速度计 零偏/mGal 25 白噪声/(m·s-1·$ \rm h^{-\frac 12}$) 0.1 
图 2 测试轨迹
Figure 2. Test Trajectory
由于GNSS/INS组合导航算法中的姿态精度取决于IMU的精度，而对于陀螺零偏为0.5°/h的战术级IMU，短时失锁内姿态漂移误差很小，且小于滤波解算能达到的精度。因此，本文不对其进行详细分析。GNSS信号中断期间的位置漂移误差是反映GNSS/INS组合导航算法的关键指标[19-20]，模糊度能否快速、正确恢复是衡量RTK/INS紧组合算法的关键指标。本文采用的数据策略如下。
1) 对完整的原始数据进行紧组合平滑后处理得到“参考”轨迹和模糊度，用于评价信号中断期间位置漂移误差和模糊度恢复时间及正确性。为验证模糊度固定解的正确性，车载测试时搭载了2个天线，两者之间的距离固定。紧组合解算的参考轨迹表明，双天线的动态距离与精确量取的距离之差均小于5 cm，表明所有模糊度固定正确。
2) 设置中断时间段仿真卫星信号完全失锁，提高卫星的高度角仿真卫星信号部分失锁。实验共仿真了8个信号失锁时间段，失锁时长为10~60 s，每个失锁时间段中间间隔300 s。仿真卫星信号部分失锁时8个时间段的高度角分别为53.0°、52.5°、51.0°、49.5°、47.5°、45.5°、43.0°、43.0°，保证信号部分中断期间只有3颗可用卫星。由于实测环境中信号部分中断时可能出现周跳或者失锁而导致固定的模糊度丢失，因此本文考察了部分失锁期间使用浮点模糊度进行更新时惯导位置误差漂移和模糊度恢复时间，并和固定解情况进行对比分析。
3) 将中断期间的位置结果和参考轨迹作差来分析组合导航算法位置漂移误差，同时将恢复后的模糊度与参考模糊度进行对比，分析模糊度恢复时间和正确性。
对8个信号完全中断期间的位置漂移误差进行统计，图 3给出了信号完全失锁时紧组合算法的位置漂移误差均方根值(root mean square, RMS)。从图 3中可以看出，信号中断30 s时三维位置误差保持在1 m左右; 60 s时误差在5 m水平，基本符合POS310的性能指标。
图 3 GNSS信号完全失锁时位置误差RMS
Figure 3. Position Error RMS Across all Full GNSS Outages
图 4给出了在3颗卫星的情况下，分别使用整周模糊度和浮点模糊度进行滤波更新时的水平位置漂移误差RMS值。相对于GNSS信号完全失锁情形，二者均能大幅度减小位置漂移误差，信号中断30 s时水平位置漂移均在0.3 m以内; 60 s时小于1.3 m。此外，使用固定解更新时的位置漂移误差比浮点解小，但在短时间内差异不大，因为系统约束较强，随着时间推移差异有增大趋势。
图 4 3颗卫星时固定解与浮点解的水平位置误差RMS
Figure 4. Horizontal Position Error RMS of Fixed andFloat Solution with 3 Satellites
对于RTK/INS紧组合算法，模糊度在GNSS信号失锁后快速正确恢复的能力是一项关键的性能指标。本文模拟了8个GNSS信号失锁时间段，包括信号完全失锁和有3颗卫星辅助的情况。模糊度恢复后首先和参考模糊度进行比较，确定是否正确固定。本文中所有模拟的信号失锁情况，模糊度均得到正确固定。
表 2给出了GNSS完全失锁时模糊度恢复的时间，#表示模拟的信号中断序号。从表 2中可以看出，在完全失锁20 s内，模糊度在1~2 s内就可以正确恢复。
表 2 GNSS信号完全失锁时模糊度恢复时间/s
Table 2. Ambiguity Recovery Time Across GNSS Full Outages/s
中断时长 中断序号及模糊度恢复时间 均值 #1 #2 #3 #4 #5 #6 #7 #8 10 1 1 1 1 1 2 1 1 1.1 20 1 1 3 1 1 2 1 2 1.5 30 1 1 3 2 2 2 3 3 2.9 40 2 2 3 5 3 2 3 3 2.9 50 2 2 2 3 6 5 3 4 3.4 60 2 2 3 2 6 2 4 5 3.3 表 3、表 4给出了在3颗卫星的情况下分别使用整周模糊度和浮点模糊度进行测量更新时模糊度的恢复时间。可以明显看出，相对于GNSS信号完全失锁的情况，3颗可见卫星可以明显加快模糊度的恢复速度，失锁60 s内，平均1~2 s内可以正确恢复整周模糊度。对比表 3和表 4可知，信号部分中断期间，使用固定解更新时模糊度恢复时间短于浮点解更新，特别是在失锁30 s以后。在失锁30 s以内二者恢复模糊度的能力基本相当，因为在30 s以内位置漂移均较小，模糊度基本可以单历元恢复。
表 3 3颗卫星时模糊度恢复时间(固定解)/s
Table 3. Ambiguity Recovery Time with 3 Satellites/s
中断时长 中断序号及模糊度恢复时间 均值 #1 #2 #3 #4 #5 #6 #7 #8 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1.0 20 1 1 1 1 1 1 1 1 1.0 30 1 1 1 1 2 1 1 1 1.1 40 1 1 1 1 2 3 1 1 1.4 50 1 1 1 1 6 1 1 1 1.6 60 1 1 1 2 6 1 1 1 1.8 表 4 3颗卫星时模糊度恢复时间(浮点解)/s
Table 4. Ambiguity Recovery Time with 3 Satellites (Float)/s
中断时长 中断序号及模糊度恢复时间 均值 #1 #2 #3 #4 #5 #6 #7 #8 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1.0 20 1 1 1 1 1 1 1 1 1.0 30 1 1 1 1 2 1 1 1 1.1 40 1 1 1 1 2 3 3 1 1.6 50 1 1 1 3 6 1 3 1 1.9 60 1 1 1 2 6 2 3 1 2.1 上述结果表明，对于采用战术级的IMU，3颗卫星时，采用集中式滤波方法以浮点解形式利用载波相位观测进行滤波更新，也能有效抑制惯导误差积累，加快模糊度恢复，且相对于固定解，短期内滤波精度损失较小。另外，该算法在卫星数少于4颗时采用浮点解更新可避免因模糊度错误固定而导致的后续滤波发散。
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本文设计了基于集中式卡尔曼滤波的RTK/INS紧组合算法，其只需一个主滤波器，在卫星数少于4颗时采用浮点解更新以避免模糊度难以固定的问题，简化了软件设计复杂度。该算法能有效利用不足4颗卫星的载波相位观测量，以限制惯导误差累积并加快模糊度恢复，从而提高组合导航系统的性能。数据表明，在可见卫星数为3颗时，使用中等精度的惯导，失锁30 s时的水平位置漂移误差为0.3 m；失锁60 s内，平均1~2 s就能可靠地恢复整周模糊度。
Performance Analysis of Tightly Coupled RTK/INS Algorithm in Case of Insufficient Number of Satellites
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摘要: 设计了一套基于集中式卡尔曼滤波的实时动态定位（real-time kinematic，RTK）/惯性导航系统（inertial navigation system，INS）紧组合算法，通过实测车载数据对比分析了3颗可用卫星时的固定解和浮点解在位置漂移误差水平和模糊度恢复时间上的差异，验证了该算法在卫星较少情况下的良好性能。该算法在即使观测卫星不足4颗时使用固定解或浮点解进行滤波更新，提高了组合导航在复杂环境下的位置精度，并加快了模糊度恢复过程。实验结果表明，使用中等精度的惯导，在可见卫星数为3颗时，失锁30 s时的水平位置漂移误差为0.3 m；失锁60 s内，平均1~2 s就能可靠地恢复整周模糊度。在位置漂移误差与模糊度恢复方面，固定解和浮点解在GNSS信号短期部分失锁时的差异并不显著，但同时都明显优于信号完全失锁情形。Abstract: Tightly-coupled GNSS/INS integration has been shown to provide better performance than loosely-coupled approach in GNSS degraded environments. However, it is difficult to achieve reliable ambiguity resolution (AR) when the number of satellites is below four. In this case, ambiguity search in the ambiguity domain is not possible, which means other AR method should be considered. Also, it is likely to wrongly fix the ambiguities, which will lead to biased state estimate or even filter divergence. In this paper, a tightly-coupled RTK/INS algorithm based on centralized Kalman Filter (KF) is implemented, in which ambiguity parameters are augmented into the state vector. Ambiguity-fixed or -float carrier phase observables can be used to update the filter even if the number of satellites is less than four, and this improves the accuracy of the integrated system in complex environments. A field vehicular test was conducted to evaluate the performance of the tightly-coupled algorithm in terms of the position drift error during GNSS signal outages and ambiguity recovery time after outages. Test results indicate that by utilizing tactical-grade inertial measurement units (IMUs), the horizontal position drift error is about 0.3m during 30-second partial outage and the average time for reliable ambiguity recovery is 1 to 2 seconds when the number of satellites in view is three. Besides, the performance of float solution is only slightly worse than the fixed solution for shout-time (e.g. 60 seconds) partial outages, but both of them are much better than the case of full GNSS outages.
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Key words:
- RTK/INS /
- tightly coupled /
- centralized Kalman filter /
- carrier phase /
- integer ambiguity
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图 1 RTK/INS紧组合算法结构图
Figure 1. Framework of RTK/INS Tightly-Coupled Integration Algorithm
图 4 3颗卫星时固定解与浮点解的水平位置误差RMS
Figure 4. Horizontal Position Error RMS of Fixed andFloat Solution with 3 Satellites
表 1 IMU性能指标
Table 1. IMU Performance
部件 性能指标 数值 陀螺 零偏/(°·h-1) 0.5 白噪声/(°·$ \rm h^{-\frac 12}$) 0.05 加速度计 零偏/mGal 25 白噪声/(m·s-1·$ \rm h^{-\frac 12}$) 0.1 
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表 2 GNSS信号完全失锁时模糊度恢复时间/s
Table 2. Ambiguity Recovery Time Across GNSS Full Outages/s
中断时长 中断序号及模糊度恢复时间 均值 #1 #2 #3 #4 #5 #6 #7 #8 10 1 1 1 1 1 2 1 1 1.1 20 1 1 3 1 1 2 1 2 1.5 30 1 1 3 2 2 2 3 3 2.9 40 2 2 3 5 3 2 3 3 2.9 50 2 2 2 3 6 5 3 4 3.4 60 2 2 3 2 6 2 4 5 3.3
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表 3 3颗卫星时模糊度恢复时间(固定解)/s
Table 3. Ambiguity Recovery Time with 3 Satellites/s
中断时长 中断序号及模糊度恢复时间 均值 #1 #2 #3 #4 #5 #6 #7 #8 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1.0 20 1 1 1 1 1 1 1 1 1.0 30 1 1 1 1 2 1 1 1 1.1 40 1 1 1 1 2 3 1 1 1.4 50 1 1 1 1 6 1 1 1 1.6 60 1 1 1 2 6 1 1 1 1.8
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表 4 3颗卫星时模糊度恢复时间(浮点解)/s
Table 4. Ambiguity Recovery Time with 3 Satellites (Float)/s
中断时长 中断序号及模糊度恢复时间 均值 #1 #2 #3 #4 #5 #6 #7 #8 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1.0 20 1 1 1 1 1 1 1 1 1.0 30 1 1 1 1 2 1 1 1 1.1 40 1 1 1 1 2 3 3 1 1.6 50 1 1 1 3 6 1 3 1 1.9 60 1 1 1 2 6 2 3 1 2.1
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